Función Correlación

Función Correlación Cruzada
Función Correlación
Rxy ( ) 
Correlación Cruzada
Autocorrelación
 x( t ) y( t   ) dt

Función Correlación Cruzada
Rxy ( ) 

Función Correlación Cruzada

 x( t ) y( t   ) dt

• x(t) y y(t) son señales de energía finita
• Rxy() = 0 cuando las señales son ortogonales para un
desplazamiento  determinado
• En ese caso se dice que las señales no están correlacionadas
•
•
•
•
•
Para correlacionar una señal…
con otra…
traslado la segunda señal…
multiplico ambas…
integro bajo la curva.
Rxy ( ) 

 x( t ) y( t
  ) dt

Interpretación
Interpretación
• Es una medida de la similitud entre las dos
señales tanto en morfología como en
ubicación temporal.
• La función correlación cruzada representa la
evolución de esta similitud según varía .
• Desde el punto de vista de espacios de señales, la
modificación de  es análoga a una rotación del
vector considerado.
• La correlación es máxima cuando dos señales son
similares en forma, y están “en fase” (o no
desplazadas entre sí).
Interpretación
Si dos señales son similares y están en fase...
su producto es siempre positivo.
Función Autocorrelación
Rxx ( ) 

 x( t ) x( t   ) dt

Pero a medida que las desfaso...
algunas partes se vuelven negativas,...
por lo que la correlación nos muestra
donde las señales son más similares en
función de su corrimiento.
Función Autocorrelación

Rxx ( ) 
 x( t ) x( t   ) dt
Propiedades
La correlación cruzada y la autocorrelación de señales reales son
también reales

Para  0, Rxx() toma el valor de la ENERGÍA de la señal
según fue definida anteriormente

Rxx ( 0) 
 x( t )
2
dt  x 2 2

Propiedades
Para señales reales
Propiedades
Teniendo en cuenta la Desigualdad de Schwarz se demuestra que
Rxy() = Ryx(-)
|Rxy()|2  Rxx(0) Ryy(0)
Rxx() = Rxx(-) La función autocorrelación de una señal real es
una función par
Para la autocorrelación:
|Rxx()|  Rxx(0) En consecuencia, el valor absoluto de la
función autocorrelación está acotado
superiormente por la energía de la señal.
Relación entre
Correlación y Convolución
Utilizando un cambio de variable t’ = -t en la correlación cruzada
de dos señales:
Rxy ( ) 


 x( t ) y( t   ) dt


 x(  t ' ) y(  t ' ) dt '
Algunas Aplicaciones

En Procesamiento de Señales
Autocorrelación y señales...
• Diferentes tipos de señales tienen diferentes funciones de
autocorrelación.
•
•
•
•
•
•
Autocorrelación y ruido
• La autocorrelación puede ser utilizada para extraer una
señal del ruido.
El ruido aleatorio es similar a si mismo solo
sin ningún corrimiento...
por lo tanto su autocorrelación es un pulso.
Las señales periódicas se ponen en fase o
salen de ella a medida que el corrimiento
avanza...
por lo tanto su autocorrelación también es
periódica
Las señales transitorias son solo similares
mientras duran...
por lo tanto su autocorrelación también es
transitoria
Detección y correlación...
• La correlación cruzada puede ser utilizada para
detectar y localizar una señal conocida de
referencia inmersa en ruido:
– Una copia de la señal conocida de referencia se
correlaciona con la señal desconocida.
– La correlación será alta cuando la referencia sea similar
a la señal desconocida.
– Un valor grande de correlación muestra el grado de
confianza en la detección de la señal.
– Este valor indica también cuando ocurre la señal de
referencia.
•
El ruido aleatorio posee una autocorrelación
igual a un pulso...
•
Las señales senoidales poseen una
autocorrelación periódica...
•
por lo tanto la autocorrelación de una señal
senoidal ruidosa...
reduce el ruido a un pulso y deja la señal
periódica casi limpia.
•
Detección y correlación...
•
Una señal “chirrido” (chirp) de radar o sonar ...
•
emitida por un objeto “blanco” puede estar
“enterrada” en ruido...
•
pero correlacionándola con la referencia...
•
revela claramente el momento en que se ha
producido el eco...
Otro ejemplo: detección del QRS
Identificación y correlación...
Identificación y correlación...
• Por ejemplo:
• La correlación cruzada puede ser utilizada para
identificar una señal por comparación con una
librería de señales conocidas de referencia:
– La señal desconocida es correlacionada con un número
de señales conocidas de referencia.
– La mayor correlación corresponde al patrón o
referencia más similar.
Identificación y correlación...
El canto de un ruiseñor...
se correlaciona fuertemente con otro ruiseñor...
pero débilmente con una paloma...
o un herón...
Correlación cruzada para
identificar “donde”
• La correlación cruzada es una de las formas en las
cuales un sonar puede identificar distintos tipos de
cuencas o lechos:
– Cada cuenca tiene una “firma” de sonar única.
– El sistema del sonar posee una librería de ecos
pregrabados desde diferentes cuencas.
– Un eco de sonar desconocido se correlaciona con la
librería de ecos de referencia.
– Cuando más grande es la correlación más probable es la
coincidencia.
Autocorrelación y AR id
x
y
Rxy
Bibliografía
• A. Papoulis, “Probability, Random Variables, and
Stochastic Processes”, McGraw-Hill, 1991.
• P.Z. Peebles, “Probability, Random Variables and
Random Signal Principles”, McGraw-Hill, 1987.
• J. Deller, J. Proakis, J. Hansen, “Discrete Time
Processing of Speech Signals”. Macmillan
Publishing, NewYork, 1993.