Álgebra Booleana

Matemáticas Básicas para
Computación
Sesión 6: Álgebra Booleana
Contextualización
El álgebra Booleana es una herramienta fundamental para el análisis y diseño de
circuitos. Es un conjunto de reglas matemáticas.
El Álgebra booleana es un sistema basado en los valores 1 y 0 (verdadero y
falso), es decir de forma binaria.
En esta sesión veremos los postulados, teoremas y algunas aplicaciones acerca
del álgebra booleana, así como algunas de sus aplicaciones y la forma de usarse.
Introducción
A mediados del siglo XIX, George Boole,
desarrolló una teoría de que las proposiciones
podían
ser
tratadas
por
herramientas
matemáticas. Las proposiciones lógicas, como ya
lo vimos anteriormente, tienen solo dos tipos de
respuestas. Según Boole las proposiciones se
pueden representar con símbolos y trabajar con
éstos. Dicha lógica sigue el comportamiento del
álgebra, por esta razón a dicha lógica se le
conoce como álgebra de Boole.
En el siglo XX resultó de gran importancia
práctica, dicha importancia se ha ido
incrementando hasta llegar a nuestros días en la
información digital.
Álgebra Booleana
El álgebra booleana es un sistema matemático basado en los
valores binarios, uno y cero (verdadero y falso). Un operador binario
“•” acepta un par de entradas y produce como resultado un solo valor
booleano, es decir, un operador booleano “AND” acepta dos
entradas booleanas y produce una sola salida booleana.
Postulados

Cerrado: Un sistema booleano con respecto a un operador binario se considera
cerrando en caso de que para cada par de valores booleanos se produzca un
solo resultado booleano.

Conmutativo: se considera conmutativo al operador binario “•” si:


A•B=B•A

A+B=B+A
Asociativo: se considera asociativo un operador binario “•” si:

(A • B) • C = A • (B • C)

(A + B) * C = A + (B + C)
Postulados

Distributivo: se considera a dos operadores binarios “•” y “+” si:
 A • (B + C) = (A • B) + (A • C)
 A + (B • C) = (A + B) • (A + C)
 A • (B • C) = (A • B) • C

Identidad: se dice que un calor booleano “1” tiene identidad con respecto a un
operador binario “•” si:
 A•1=A
 A+ 0=A

Inverso: Un valor booleano “1” es un elemento inverso con respecto a un
operador binario “•” si A • 1 = B, siendo B diferente de A, es decir B es el
inverso de A.
Expresiones booleanas
Las expresiones relacionales determinan los valores dados entre una relación, la forma
general de una expresión relacional es:
Expresión1 – operador de relación – expresión2
Donde:

Expresión1 es una expresión numérica o una expresión de cadena.

Operador de relación puede ser:


= igual que.

=! Diferente de.

< Menor que.

<= Menor o igual que.

> Mayor que.

>= Mayor o igual que.

: Contiene.
Expresión2 es una expresión del mismo tipo de la expresión1
Expresiones booleanas

Los operandos de una expresión booleana pueden formarse de acuerdo con los siguientes
operadores:
 NOT (No) produce el valor Verdadero si el operando es Falso y por lo contrario produce
Falso si el operando es Verdadero.
 AND (Y) produce un valor Verdadero si ambos operandos son Verdaderos, si cualquiera
de los dos operandos es Falso el valor de la expresión será Falso.
 OR (O) realiza una operación O-inclusivo. El resultado será Verdadero si cualquiera de los
dos o ambos operandos son Verdadero, de lo contrario el resultado será Falso.
Conclusión

Boole dentro de la historia ocupa un lugar muy destacado, su gran
aportación es el uso de un lenguaje matemático-algebraico en un
contexto de análisis y razonamiento. Se trata de adquirir técnicas y/o
métodos afirmados en la matemática para darle un uso enfocado
hacia la lógica.

Podemos ver que en este sentido Boole usa un mecanismo
inferencial para el análisis de una consecuencia lógica, no hay un
método semántico.
Referencias
Instituto de Estudios Documentales sobre Ciencia y Tecnología.
(2013).
Obtenido
de
Lenguaje
de
Formateo:
http://www.cindoc.csic.es/isis/04-2-3.htm
ITESCAM.
(2013).
Álgebra
Booleana.
Obtenido
de
http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r63906.P
DF
Matemáticas para computadora. (2013). Obtenido de Álgebra
Booleana: http://matematicasparacomputadora.weebly.com/unidad4---algebra-booleana.html
W. K. Grassmann, J. P. (1997). Matemática Discreta y Lógica.
Prentice HAll.