INSTITUCION EDUCATIVA PEDRO CASTELLANOS Área

INSTITUCION EDUCATIVA PEDRO CASTELLANOS
Área: Matemática
ASIGNATURA: trigonometría
Docente: Adalberto Paternina
GRADO 10
PENSAMIENTO VARIACIONAL
ESTANDAR: Modela situaciones de variación periódica utilizando los ángulos y las
razones trigonométrica
ALUMNOS:
Fechas:
ANGULOS Y SUS MEDIDA
GUIA # 1:
COMPETENCIA: Establece correspondencia entre diferentes formas de
Medir ángulos
ANGULOS EN POSICION NORMAL: Un Angulo es la esquina que se forma cuando
2 líneas se cortan y se dice que está en posición normal si su vértice se
Encuentra en el punto de corte de los ejes coordenados de un Plano Cartesiano
y su lado inicial coincide con el eje de las X positivas y su lado Terminal se Encuentra en
cualquiera de los 4 cuadrantes
ANGULOS POSITIVOS Y ANGULOS NEGATIVOS
Un Angulo se dice que es positivo si gira en sentido contrario a las
Manecillas del reloj y es negativo cuando gira en el mismo sentido a
Las manecillas del reloj
MEDIDAS DE ANGULOS: Los ángulos se pueden medir en grados y en radianes:
UN GRADO: Es la trescientos sesentava parte de la circunferencia
UN RADIAN: Corresponde al Angulo que se forma cuando hacemos una abertura de un arco con
la misma medida del radio de la circunferencia
PARA CONVERTIR GRADOS A RADIANES: Se multiplica la cantidad en grado por el constante
y
luego se hacen las simplificaciones del caso ejemplo:
1. En 30º y 270º grado cuantos radianes hay
Solución # 1:
30º = 30º.
=
Solución # 2: 270º = 270º .
𝜋
𝜋
6
270 º𝜋
=
180º
180º
3𝜋
=
2
PARA CONVERTIR RADIANES A GRADO: Se multiplica la cantidad en radianes por la constante (180/π) y
luego se hacen las simplificaciones del caso ejemplos:
1, Convertir en grados:
3𝜋
Solución a.
4
=
7𝜋
Solucion b.
3
a.
3𝜋
4
=
3𝜋
. (180/π) =
7𝜋
3
7𝜋
b.
4
3
3 . 180º
= 135º
4
. (180/π) =
7 . 180º
3
= 420º
TALLER # 1
Trabajar en clase en grupo máximo de 3 alumnos con la asesoría del docente
1.
Convertir en grados:
a. ( 4 /
𝜋)
b. ( 4 /5
2.
𝜋)
Convertir en
c. ( 4 /3
𝜋)
d. ( 2 /7
𝜋)
e. ( 2 /5
f.
𝜋)
( 3 / 2𝜋)
radianes los siguientes ángulos en grados
a. 75º
c. 225º
e. 330º
b. 120º
d. 150º
f. 540º
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Área: Matemática
ASIGNATURA: trigonometría
Docente: Adalberto Paternina
GRADO 10
ESTANDAR: Modela situaciones de variación periódica utilizando los ángulos y las
razones trigonométrica
COMPETENCIA: Establece relaciones de medidas entre los lados de un triangulo rectángulo
Alumnos:
Fechas:
GUIA # 2
TRIANGULOS Y TEOREMA DE PITAGORA
Los triángulos: son polígonos determinados por 3 rectas que se cortan formando 3angulos internos. Y se
pueden clasificar según sus ángulos y según sus lados
Según sus lados pueden ser:
A. EQUILÁTEROS: si tienes sus 3 lados iguales
b. ISÓSCELES: Si tiene 2 lados iguales
c. ESCALENO: si sus 3 lados tienen medidas distintas
Según sus ángulos Pueden ser:
A. RECTÁNGULO: Si tiene un ángulo
Recto
B. ACUTÁNGULOS: si todos sus ángulos son
Agudos
c. OBTUSÁNGULO si tiene un ángulo
Obtuso
También debemos tener en cuenta que la suma de los ángulos internos de todo triangulo siempre mide
180º
TEOREMA DE PITAGORA: Es que relaciona los lados de un triangulo Rectángulo y dice:
LA HIPOTENUSA AL CUADRADO ES IGUAL A LA SUMA AL
CUADRADO LOS CATETOS o sea esto se puede expresar como:
Ejemplo: Si el triangulo que tenemos al frente mide los
Solución: Se sabe que b = 4cm c= 5 cm a=?Como
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 remplazando 𝑎2 = (4 𝑐𝑚)2 + (5𝑐𝑚)2 entonces 𝑎2 = 16 𝑐𝑚2 + 25 𝑐𝑚2
𝑎2 = 41 𝑐𝑚2 luego
𝑎2 = √41 𝑐𝑚2
TALLER # 2
Resolver los siguientes problemas de aplicación en grupos de 3 alumnos pedir asesoría al docente si es
necesario
1.- Calcula la medida de la diagonal de un cuadrado sabiendo que sus lados mide 10 cm. También
halle el área del cuadrado.
2.- Calcular la medida de la diagonal de un rectángulo con lados 3 y 4 centímetros respectivamente.
3.- Calcular la altura de un triángulo equilátero de 5 cm de lado.
4.- Para sujetar una antena de 13 m de alto, se proyecta colocar tres cables de acero. Si se desea que
el punto de enganche del cable esté a una distancia de 4 m de la base de la antena. ¿Cuántos metros
de cable se necesitarán?.
5.- Un explorador requiere conocer la altura de una montaña que se encuentra a una distancia
indeterminada de él. Para ello mide el ángulo que forma el suelo con el pico de la montaña resultando ser
de 60º, avanza en dirección a la montaña 25 metros y hace otra medición del ángulo que forma el suelo
con el pico de la montaña, dándole esta vez 75º. Se pide el cálculo de la altura de la montaña, y de la
distancia a la que se encuentra la base de la montaña respecto al segundo lugar donde se realizó la
medida del ángulo
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Área: Matemática
ASIGNATURA: trigonometría
Docente: Adalberto Paternina
GRADO 10
ESTANDAR: Modela situaciones de variación periódica con razones trigonométricas
COMPETENCIA: -halla las razones trigonométricas en un triangulo rectángulo
ALUMNOS
Fechas:
Guía # 3
RAZONES TRIGONOMETRICAS
En un triangulo rectángulo se llaman razones Trigonométrica
al cociente o división indicada de 2 de sus lados.
En todo triangulo rectángulo podemos encontrar 6 razones trigonométricas
que son:
1. Seno( 𝛼 )=
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
2.
Coseno (𝛼 ) =
3.
Tangente( 𝛼 )=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
4.Cosecante ( 𝛼 )=
5. Secante ( 𝛼 )=
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝐷𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
6. Cotangente(𝛼 )=
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
A las 3 primeras las llamaremos fundamentales porque las encontraremos siempre en el tablero de toda calculadora
científica y a las otras 3 inversas.
HALLAR LAS 6 RAZONES TRIGONOMETRICAS CONOCIENDO 2 LADOS DE
UNTRIANGULO RECTANGULO
Para esto se usa el teorema de Pitágoras para hallar el lado que falta y luego se
Remplaza en las razones trigonométricas Ejemplo:
Hallar las razones trigonométricas para el siguiente triangulo si sabemos que b= 4
C = 3 y que a no lo conocemos.
Solución:
Sabemos que a = √𝑏 2+ 𝑐 2 remplazando a = √42+ 32 a = √25 luego a = 5 entonces las razones
trigonométricas nos que quedan:
1.
cateto opuesto = 3 cateto adyacente= 4 hipotenusa = 5 luego
3
3
4
4
Sen( 𝛼 )=
2. Cos (𝛼 ) =
3. Tang( 𝛼 )=
4. Cot(𝛼 )=
5
4
3
5
5
5
5.Csc ( 𝛼 )=
6. Sec ( 𝛼 )=
3
4
TALLER
1. Conociendo una de las razones trigonométricas encontrar las otras 5 razones, utilice el teorema
de Pitágoras y las razones trigonométricas:
2
6
a. Sen (𝛼 ) = 5
c. sec (∝) = 4
7
2
b. Tang (∝) =
d.cos ( ∝ )=
6
5
2. En los siguientes triángulos rectángulos, calcula las seis razones trigonométricas para sus ángulos
agudos.
a)

10
6

8
b)
3
2
2


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ASIGNATURA: trigonometría
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GRADO 10
Guía # 4
MEDIR ANGULO CONOCIENDO 2 LADOS DE UN TRIANGULO RECTÁNGULO
Alumnos:
Fechas:
Competencia: Halla la medida de un ángulo conociendo 2 lados de un
triangulo rectángulo
Si conocemos 2 lados de un triangulo rectángulo y tenemos a la mano una calculadora científica podemos
calcular el valor del ángulo agudo de un triangulo rectángulo usando las razones trigonométricas así:
1
Ejemplo # 1 supongamos que conocemos que sen ( ∝ ) = 2 entonces sen ( ∝ )= 0, 5 entonces buscamos
en la calculadora ∝ = 𝑠𝑒𝑛− 1 (0, 5) = 30º Para buscarlo en la calculadora seguimos los siguientes pasos:
introducimos primero shit luego sen y después 0,5 y después =
Ejemplo # 2 : cos ( ∝ )= 3/5 entonces cos ( ∝ )= 0,8 luego buscamos en la calculadora ∝ = 𝑐𝑜𝑠 − 1 (0,8) =
36,869 =
Se busca en la calculadora marcando shit luego cos luego 0,8 después igual
después la tecla de las 2 comillas ,,
Actividad
Use las razones trigonometría para determinar la medida de los ángulos
siguientes
1. Hallar la medida del ángulo A, la medida del ángulo B del siguiente triangulo:
2. determinar la medida de los ángulos en el siguiente triangulo si se sabe
1. . a= 4cm c = 2cm ∝c =?
∝b= ?
2. c= 15cm b= 12 cm ∝c=?
∝a =?
TALLER # 5
1. Resolver un triángulo equivale a determinar el valor de los tres
5 ángulos y los tres lados. A
continuación se dan los tres mínimos que necesitarás para resolver
cada triángulo.
2
2.
a) sen 23º =
2
5
b) cos 73º =
2
7
c) tg 7º =a
1
8
a
h
a
3. Resuelve cada uno de los siguientes triángulos rectángulos.
tˆ  37º 20´

tm  20cm.
a. 
t
 yˆ  53º 20´

yz  33cm.
b. 
st  13cm.

sr  5cm.
c. 
y
de  12cm.

df  20cm.
d. 
s
d
f
e
m
p
x
z t
r
A. Plantea y resuelve cada uno de los siguientes problemas.
1. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol cuando un mástil de 24 m proyecta una sombra de 16
m?
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2. ¿Cuál es la altura de una antena si una persona que se encuentra a 250m de su base, observa
la punta bajo un ángulo de 22º?
3. ¿Cuál es el área de un pentágono regular de 40 cm. de perímetro?
4. Un barrilete se encuentra a 40 m de altura y su cuerda tiene una longitud de 80m. ¿Cuál es el
ángulo que forma la cuerda con el piso?
5. ¿Cuál es el área de un rombo de 4 cm. de lado y un ángulo interior de 67º?
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Resuelva las siguientes situaciones problemas aplicando las razones trigonométricas
1. Un árbol está situado en la orilla de un río. El extremo superior del árbol, desde un cierto punto
ubicado en la otra orilla del río, determina un ángulo de elevación de 17º. Si a 25 m de dicho punto y
en dirección al árbol, el ángulo es de 35º, ¿cuál es la altura del mismo Encuentre el ángulo de elevación
del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura, produce una sombra de 82 cm. de longitud en el suelo.
2. Desde un punto que está a 12 m. del suelo, un observador obtiene una medición de 53 grados para el
ángulo de depresión de un objeto que se encuentra en el suelo. ¿Aproximadamente qué tan lejos está el
objeto del punto en el suelo que está directamente bajo el observador?
3. El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48 grados con la horizontal.
Encuentre la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m. y el extremo de la cuerda se
sostiene a 1,3 m. del suelo.
4. Un avión vuela a una altitud de 10.000 metros y pasa directamente sobre un objeto fijo en tierra. Un
minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42 grados. Determine la velocidad aproximada
del avión.
5. Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado de la misma
bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal.
6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y
observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un
ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.
7. Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se observa un punto R de la
orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la orilla ángulos de 40 grados y 50 grados,
respectivamente, y la distancia entre los puntos P y Q es 30 metros, determine el ancho del río.
8. Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia de 20 cm. sobre
el nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el ángulo queformalas visuales con los
bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10 grados, ¿cuál es la altura del cuadro?
9. Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie de la
escalera queda a 1,5 m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la escalera forma con la pared y
hasta qué altura de la pared llega la escalera?
10. Las longitudes de las sombras de dos postes verticales son 22 m. y 12 m. respectivamente. El primer
poste es 7,5 m. más alto que el segundo. Encuentre el ángulo de elevación del sol y la longitud de cada
poste.
11. Un árbol de 12 m. de altura queda a un lado de un arroyo. El ángulo de elevación del árbol, desde un
punto situado a 180 m. es de 3 grados. Determine si el arroyo queda por encima o por debajo del nivel
del señalado punto y calcule la diferencia de nivel.
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Área: Matemática
ASIGNATURA: trigonometría
Docente: Adalberto Paternina
GRADO 10
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Matemática
Asignatura: Trigonometría
Grado 10°
Docente: Adalberto Paternina A
Lic: Matemáticas Físicas
?
2°Periodo