vi. fase de medición - probabilidad - Contacto: 55-52-17-49-12

VI. FASE DE
MEDICIÓN
2. Probabilidad
Dr. Primitivo Reyes Aguilar /
enero 2009enero 2009
www.icicm.com
primitivo_reyes@yahoo.com
04455 52 17 49 12
FASE DE MEDICIÓN PROBABILIDAD
P. Reyes / febrero 2009
Contenido
VI. FASE DE MEDICIÓN - PROBABILIDAD ............................................................................ 3
Definiciones .................................................................................................................. 3
VI.1 Conclusiones estadísticas válidas ............................................................................. 3
Estudios analíticos (inferenciales) ................................................................................ 3
Estudios enumerativos (descriptivos) .......................................................................... 4
VI.2 Teorema del límite central ....................................................................................... 5
VI.3 Conceptos de Probabilidad ...................................................................................... 6
Probabilidad de un evento simple ............................................................................... 7
Probabilidad de eventos Compuestos ......................................................................... 7
Relaciones entre eventos ............................................................................................. 8
Leyes dela probabilidad ............................................................................................. 10
Teorema de Bayes ...................................................................................................... 11
VI.4 Distribuciones de probabilidad .............................................................................. 13
VI.5 Distribuciones de probabilidad discretas ............................................................... 14
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA............................................................................ 14
b) Cuál es la probabilidad de aceptar el lote si contiene 3 defectuosos. ................. 15
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL........................................................................................... 15
DISTRIBUCIÓN DE POISSON ....................................................................................... 18
VI.6 Distribuciones de probabilidad continuas.............................................................. 22
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL .................................................................................... 23
La distribución normal................................................................................................ 27
VI.7 Distribuciones de probabilidad para decisión ........................................................ 29
DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADA .................................................................................. 29
DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT .................................................................................... 30
Distribución F ............................................................................................................. 31
Bibliografía ..................................................................................................................... 33
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FASE DE MEDICIÓN PROBABILIDAD
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VI. FASE DE MEDICIÓN - PROBABILIDAD
Definir
Definir
Medir
Medir
Analizar
Analizar
Mejorar
Mejorar
Controlar
Controlar
Definiciones
Distribuciones de Contienen un número infinito de valores que pueden ser
probabilidad
mostrarlos en una escala de medición continua (distribuciones
continuas
normal, uniforme, Weibull y exponencial)
Distribuciones de
probabilidad
discretas
Resultan de datos contables (atributos) con un número finito de
valores
posibles
(distribuciones
binomial,
Poisson
e
hipergeométrcia)
Distribuciones de
probabilidad de
decisión
De utilizan para tomar decisiones y construir intervalos de
confianza. Ejemplos t, F, Chi cuadrada
VI.1 Conclusiones estadísticas válidas
Estudios analíticos (inferenciales)
El objetivo de la inferencia estadística es obtener conclusiones acerca de una
característica de la población con base en la información obtenida en una muestra.
Tiene dos pasos: (1) la inferencia y (2) la medición de su validez. Los pasos para realizar
la inferencia son:

Definir el objetivo del problema en forma precisa

Decidir si el problema se evaluará con una o dos colas

Formular una hipótesis nula y la alterna
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
Seleccionar una distribución de prueba y un valor crítico del estadístico reflejado
el grado de incertidumbre que puede ser tolerado (alfa, riesgo)

Calcular el valor del estadístico de prueba con la información de la muestra

Comparar el valor del estadístico calculado vs su valor crítico y tomar una
decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula

Comunicar los hallazgos a las partes interesa
Todos los días nos enfrentamos a tomar decisiones (A o B), mientras que mucha gente
piensa que con su intuición es suficiente, el caso es que frecuentemente toman malas
decisiones.
Estudios enumerativos (descriptivos)
Los datos enumerativos son los que pueden ser contados (por ejemplo: clasificación de
cosas, clasificación de gente por rango de ingreso, etc.). Las herramientas usadas en las
pruebas de hipótesis realizadas con datos enumerativos son la Chi cuadrada. Binomial y
Poisson.
Para Deming:
 En un Estudio enumerativo la acción se toma en el universo.
 En un estudio analítico la acción será tomada en un proceso para mejorar su
desempeño futuro
Las medidas calculadas de una muestra se denominan estadísticos y cuando describen a
la población se denominan parámetros:
Medida
Estadístico
Media
𝑋̅
Desviación estándar
s
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Parámetro


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RESUMEN
Los estudios analíticos inician con el establecimiento de la hipótesis acerca de los
parámetros de la población. Se obtiene un estadístico muestral para probar la hipótesis
y ya sea rechazarla o no rechazarla. En un cierto nivel de confianza se deben poder
hacer inferencia respecto a la población.
VI.2 Teorema del límite central
Si una variable aleatoria X tiene media  con varianza finita 2, conforme se incrementa
n, 𝑋̅ tiende a ser una distribución normal con media  y varianza 𝜎𝑋2̅ . Donde 𝜎𝑋2̅ = /n.
Donde n es el número de observaciones en las que se basa el cálculo de las medias.
La distribución de las medias de las muestras tienden a distribuirse normalmente
independientemente de la población de donde se originan las muestras.
La dispersión de los valores individuales en mayor que la dispersión de los promedios y
se relacionan como sigue:
sX 
X
n
Ejemplo:
Si la media del peso de un producto es de 20 gramos y su desviación estándar S es de
0.124 gramos. Estimar la sigma de las medias para un tamaño de muestra de 4:
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𝑆𝑋̅ =
𝑆𝑋
√𝑛
=
0.124
√4
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= 0.062 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠
En la siguiente página se muestra el comportamiento de la distribución de las medias
para varias distribuciones de pobalciones:
VI.3 Conceptos de Probabilidad
Para hacer inferencias acerca de la población con base en información tomada de una
muestra, se utilizan las probabilidades.
La probabilidad de cualquier evento (E ) se encuentra entre 0 y 1. La suma de las
probabilidades de todos los eventos posibles (E ) en un espacio muestra (S) es 1.
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Probabilidad de un evento simple
La probabilidad de un evento (E), puede ser calculada mediante la relación de el número de
respuestas en favor de E, y el número total de resultados posibles en un experimento.
P E  
# Favorable E
# Total resultados
1
 .16
6
1
Ejemplo 2: La probabilidad de lanzar una moneda y que caiga cara es:  .5
2
Ejemplo 1: La probabilidad de que salga 2 al lanzar un dado es:
Ejemplo 3: La probabilidad de sacar 1,2,3,4,5, o 6 al lanzar un dado es:
1 1 1 1 1 1
     1
6 6 6 6 6 6


La probabilidad de un evento está comprendida siempre entre 0 y 1. La suma de las
probabilidades de todos los eventos posibles (E) en un espacio muestral S = 1
Un espacio muestral (S): Es el conjunto Universal; conjunto de todos los “n” elementos
relacionados = # Total de resultados posibles.
Probabilidad de eventos Compuestos
Es la probabilidad compuesta por dos eventos simples relacionados entre sí.
En la composición existen dos posibilidades: Unión  o Intersección  .

Unión de A y B
Si A y B son eventos en un espacio muestral (S), la unión de A y B  A  B  contiene todos los
elementos de el evento A o B o ambos.

Intersección de A y B
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Si A y B son eventos en un espacio muestral S, la intersección de A y B  A  B  está compuesta
por todos los elementos que se encuentran en A y B.
Relaciones entre eventos
Existen tres tipos de relaciones para encontrar la probabilidad de un evento: complementarios,
condicionales y mutuamente excluyentes.
1. Eventos complementarios: El complemento de un evento A son todos los elementos en un
A  1  P A
espacio muestral (S) que no se encuentran en A. El complemento de A es:
Ejemplo 4: En el evento A (día nublado), P(A) = .3, la probabilidad de tener un día
despejado será 1-P(A) = .7
P A  .7 
P(A)=.3
2. Probabilidad condicional: Para que se lleve a cabo un evento A se debe haber realizado el
evento B. La probabilidad condicional de un evento A dado que ha ocurrido el evento B es:
P A B  
P A  B 
, si B  0
P B 
Ejemplo 5:
Si el evento A (lluvia) y B(nublado) = 0.2 y el evento B (nublado) = 0.3, cual es la
probabilidad de que llueva en un día nublado? Nota: no puede llover si no hay nubes
P A B  
P A  B 
=
P B 
0 .2
 0.67
0 .3
A
P(A/B)=.67
Ejemplo 6. Las razones de queja en productos se muestran a continuación:
RAZÓN DE LA
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B
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En garantía
Fuera de
garantía
Total
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Falla eléctrica
18%
12%
QUEJA
Falla mecánica
13%
22%
Falla apariencia
32%
3%
Total
63%
37%
30%
35%
35%
100%
Si A es el evento de que la queja es por apariencia y que B representa que la queja ocurrió en el
periodo de garantía. Se puede calcular P(Z | B) = P(A y B) / P(B)
P(A | B) = 0.32 / 0.63 = 0.51
Si C es el evento fuera de garantía y D falla mecánica:
P(C|D) = P(C y D) / P(D) = 0.22 / 0.35 = 0.628
 Se dice que dos eventos A y B son independientes si: P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B).
La probabilidad de la ocurrencia de uno no está afectada por la ocurrencia del otro. De otra
manera los eventos son dependientes.
Un ejemplo de evento independiente es: ¿Cuál es la probabilidad de que llueva en lunes?
El ejemplo de evento dependiente es el ejemplo 5.
3. Eventos mutuamente excluyentes.
Cuando un evento A no contiene elementos en común con un evento B, se dice que estos son
mutuamente excluyentes.
A
B
Eventos mutuamente excluyentes.
Ejemplo 7. Al lanzar un dado:
a) cual es la probabilidad de que salga 2 o 3? B) Calcule P A  B ?
a)
P A  B 
1 1 1
   .33
6 6 3
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b) P A  B = 0, ya que al ser conjuntos mutuamente excluyentes la intersección no existe, es
imposible que salga 2 y 3 al mismo tiempo.
Leyes dela probabilidad
Ley aditiva:
 Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes:
P A  B  P A  PB  P A  B
Ejemplo: Si se tienen dos coches y cada uno tiene la probabilidad de arrancar en una mañana
fría de 0.7 ¿Cuál es la probabilidad de llegar al trabajo?
P(AuB) = P(A) + P(B) – P(AyB) = 0.7 + 0.7 – 0.49 = 91%

Cuando los eventos son mutuamente excluyentes:
P A  B  P A  PB
Ejemplo: Si la probabilidad de hallar un balón negro en un cuarto obscuro es de 0.4 y la
probabilidad de hallar un balón azul es de 0.3 ¿Cuál es la probabilidad de hallar un balón negro o
azul?
P(AuB) = 0.4 + 0.3 = 70%
Ley multiplicativa:
 Si los eventos A y B son dependientes:
P A  B  P A  PB A

Si los eventos A y B son independientes:
P A  B  P A  PB
Ejemplo 8: Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades, se sabe que 98
de los 100 artículos están en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer
artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo (con reemplazo), a)
calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado, b) si la muestra se toma
sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado.
A: El primer artículo está en buen estado.
B: El segundo artículo está en buen estado.
a) Al ser eventos independientes el primero del segundo:
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 98   98 
P A  B  P A  PB = 

  .9604
 100  100
A
P(A) =.98
B
P(B) =.98
b) Si la muestra se toma “sin reemplazo” de modo que el primer artículo no se regresa antes de
seleccionar el segundo entonces:
 98   97 
P A  B  P A  PB A = 
     .9602
 100  99 
Se observa que los eventos son dependientes ya que para que para obtener el evento B, se tiene
que haber cumplido antes el evento A.
B
P(B/A)=.97
A
P(A) =.98
Teorema de Bayes
Mediante el teorema de Bayes se puede calcular la probabilidad de que ocurra un determinado
evento, cuando no hay datos inmediatos del mismo mediante la información que se tiene de
otros eventos.
Cuando existen dos eventos posibles A y B, la probabilidad de que ocurra Z se describe
mediante el “teorema de probabilidad total” el cual es:
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P(Z )  P A  PZ APB  PZ B
Mediante el teorema anterior se deduce el teorema de Bayes:
P A Z  
P A  PZ A
P A  PZ APB   PZ B 
Ejemplo 8: En cierta universidad 20% de los hombres y 1% de las mujeres miden más de 1.80m
de altura. Asimismo 40% de los estudiantes son mujeres. Si se selecciona un estudiante al azar y
se observa que mide más de 1.80m ¿Cual es la probabilidad de que sea mujer?
Z > 1.80 m
HOMBRE
MUJER
A = Hombre
B = Mujer
.80
.99
< 1.80
P (A) = .60
P (B) = .40
> 1.80
.20
.01
P (Z|A) = .20
P (Z|B) = .01
=Z
Para encontrar la probabilidad de que sea mujer dado que mide más de 1.80,
Utilizando el teorema de Bayes:
P B Z  
PB  PZ B 
P A PZ APB PZ B
Hombre
P(B/Z) = (.4 x .01)/ (.6 x .20 +.4 x .01) = .032.
Mujer
Se puede visualizar P(B/Z) en el siguiente diagrama:
Z > .80
Por lo tanto la probabilidad de que sea mujer dado
que mide más de 1.80 es .032 = 3.2 %
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P(A/Z)
P(B/Z) = .032
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VI.4 Distribuciones de probabilidad
Variable aleatoria: Para un determinado espacio muestral SS una variable aleatoria (VA)
es cualquier regla que relaciona un número con cada resultado en SS.
Variable aleatoria de Bernoulli: Es cualquier variable aleatoria con valores 0 y 1.
Variable aleatoria discreta: Es una variable aleatoria cuyos posibles valores son enteros.
Variable aleatoria continua: Es una variable aleatoria cuyos valores posibles son los
reales.
Distribución de probabilidad o función de masa de probabilidad: Establece en una
tabla, fórmula o gráfica como se distribuye la probabilidad P(y) asociada a los posibles
valores de la variable aleatoria y.
Debe cumplir con las reglas siguientes:
1. 0 <= P(y) <= 1
2. Suma (P(y)) = 1
y
P(Y=y)
0
1/4
1
1/2
2
1/4
Su fórmula es la siguiente:
3 
P( y)  P(Y  y)   (.5)3 y (.5) y
 y
Función de distribución acumulativa:
FX ( x)  P( X  x)
Con propiedades:
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0  F ( x)  1
Limx F ( x)  1
Limx F ( x)  0
Valor esperado de una distribución de probabilidad discreta
La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X , denotada como E(X), es
 X  E ( X )   xf X ( x)  xP( X  x)
x
x
La media es el centro de la masa del rango de los valores de X.
Varianza de una distribución de probabilidad discreta
Sea Y una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades P(X=x).
Entonces, la varianza de Y es:
 X 2  E[( X   X )2 ]   ( x   X )2 P( X  x)
x
VI.5 Distribuciones de probabilidad discretas
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Se aplica cuando la muestra (n) es una proporción relativamente grande en relación con la
población (n > 0.1N). El muestreo se hace sin reemplazo.
P(x, N, n, D) es la probabilidad de exactamente x éxitos en una muestra de n elementos tomados
de una población de tamaño N que contiene D éxitos. La función de densidad de distribución
hipergeométrica:
CxDCnNxD
P( x)
CnN
C xn 
Con
n!
x!(n  x)!
La media y la varianza de la distribución hipergeométrica son:

nD
N
 nD  D  N  n 
 2   1  

 N  N  N  1 
Ejemplo: De un grupo de 20 productos, 10 se seleccionan al azar para prueba. ¿Cuál es la
probabilidad de que 10 productos seleccionados contengan 5 productos buenos? Los productos
defectivos son 5 en el lote.
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N = 20, n = 10, D = 5, (N-D) = 15, x = 5
P(x=5) = 0.0183 = 1.83%
 5!  15! 



5!0!  5!10! 

P (5) 
 0.0183
20!
10!10!
USO DE EXCEL:
N = Tamaño de Población, n = Tamaño de muestra, D= éxitos en la población; x = éxitos en la
muestra.
 En Fx Estadísticas seleccionar
 =distr.hipergeom(x, n, D, N)
USO DE MINITAB:
 Calc > Probability distributions > Hypergeometric
 Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada)
 N, D, n y en Input constant introducir x.
EJERCICIO:
1. Se compran 10 transformadores y se toma una muestra de 4. Si se encuentra uno o más
defectuosos se rechaza el lote de 10.
a) Cuál es la probabilidad de aceptar el lote si contiene 3 defectuosos.
b) Si el lote tiene un defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que se rechace el lote?
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Ensayo Bernoulli. Es un experimento aleatorio que solo tiene dos resultados. Éxito o
fracaso. Donde la probabilidad de éxito se denota por p
Suponga se realizan n experimentos Bernoulli independientes. Suponga que la variable X
de interés es el número de éxitos. X toma valores 0,1,2,...,n
La distribución binomial se utiliza para modelar datos discretos y se aplica para
poblaciones grandes (N>50) y muestras pequeñas (n<0.1N). El muestreo binomial es
con reemplazo. Es apropiada cuando la proporción defectiva es mayor o igual a 0.1.
La binomial es una aproximación de la hipergeométrica
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La distribución normal se aproxima a la binomial cuando np > 5
La variable aleatoria x tiene una distribución binomial como sigue:
 n
f ( x)  P( X  x)    p x (1  p) n x
x  0,1,...,n
x
 
n = tamaño de muestra
x = Ocurrencias o número de defectivos
p = probabilidad o proporción defectiva
Con media y varianza:
E ( X )   X  np
V ( X )   X2  np(1  p)
Ejemplo: Se toma una muestra aleatoria de 10 unidades de un lote de una prena. Por
experiencia se sabe que hay el 10% de partes defectivas. Encontrar la probabilidad de
encontrar exactamente una parte defectiva (n = 10, x = 1, p = 0.1)
𝑃(𝑋 = 1) =
10!
(0.1)1 (0.9)9 = 𝟑𝟖. 𝟕𝟒%
1! 9!
Ejemplo: Durante el mes pasado un proceso continuo promedió 6% de defectivos, al
inicio de este mes se tomó una muestra de 300 unidades, encontrando 22 defectivos.
¿Cuál es el promedio de defectivos esperado y la variación a 3 sigmas?
P = x/n = 22 / 300 = 0.073
𝑝(1−𝑝)
1- p =0.927 𝜎𝑝 = √
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𝑛
0.073(0.927)
=√
300
= 0.015
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P ± 3 S = 0.073 ± 0.045 = ( 0.028, 0.118)
Ejemplo: Un equipo requiere a lo más 10% de servicios en garantía. Para comprobarlo
se compran 20 de estos equipos y se someten a pruebas aceleradas de uso para simular
el uso durante el periodo de garantía. Obtener la probabilidad para P(x<=4).
Rechazar la afirmación de que falla menos del 10% si se encuentra que X>=5.
P(X>=5) = 1- P(X<=4) =1 - distr.binom(4,20,0.1,1) = 1 – 0.9568 = 0.0432 lo cual es bajo.
USO DE EXCEL:
x = éxitos en la muestra, p = probabilidad de éxito, n = tamaño de muestra.
 En Fx Estadísticas seleccionar
 =distr.binom(x, n, p, 0 o 1 dependiendo si es puntual o acumulada)
USO DE MINITAB:
 Calc > Probability distributions > Binomial
 Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada)
 n = number of trials, p = probability of success y en Input constant introducir x.
EJERCICIOS
1. Un panel solar tiene una vida útil de 5 años con una probabilidad de 0.95. Se toman 20
paneles solares y se registró la vida útil.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 18 tengan su vida útil de 5 años?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho 10 tengan esa vida útil?
c) ¿Si solo 10 paneles tienen una vida útil de 5 años, que debería pensarse sobre el valor
verdadero de P?
2. 20% de los teléfonos se reparan cuando todavía está vigente la garantía. De estos el 60% se
reparan mientras que el 40% se reemplazan. Si una empresa compra 10 de estos teléfonos,
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente sean reemplazados 2 en periodo de garantía?.
3. Suponga que solo 25% de los automovilistas se detienen por completo en un alto con luz roja
intermitente cuando no está visible otro automóvil. ¿Cuál es la probabilidad de que de 20
automovilistas seleccionados al azar se detengan:
a) A lo sumo 6 se detengan por completo
b) Exactamente 6 se detengan por completo?
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c) Al menos 6 se detengan por completo?
d) Cuántos de los siguientes 20 automovilistas se espera que se detengan por completo?
4. De todas las plantas sólo el 5% descargan residuos por sobre la norma. Si se muestrean 20
plantas ¿Cuál es la probabilidad de que estén fuera de la ley:
a) Menos que una planta?
b) Menos de dos plantas
c) Exactamente 3
d) Más de una
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
La distribución de Poisson se utiliza para modelar datos discretos como aproximación a
la Binomial dada la dificultad que existía de encontrar tablas Binomiales adecuadas
cuando n es grande y p pequeña. La distribución de probabilidad de Poisson
proporciona buenas aproximaciones cuando np <= 5.
Se aproxima a la binomial cuando p es igual o menor a 0.1, y el tamaño de muestra es
grande (n > 16) por tanto np > 1.6.
Una Variable aleatoria X tiene distribución Poisson si toma probabilidades con.
e   x
f ( x) 
x!
x  0,1,...
Con media y varianza:
  np
    np
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Ejemplo 1. Suponga que una compañía de seguros asegura las vidas de 5000 hombres
de 42 años de edad. Si los estudios actuariales muestran que la probabilidad de que un
hombre muera en cierto año es 0.001, entonces la probabilidad de que la empresa
pague exactamente 4 indemnizaciones y= 4 en un cierto año es:
5000!
(0.001) 4 (0.999 ) 4996
4!*4996!
P( y  4)  p(4) 
El valor de esta expresión no aparece en tablas y su cálculo era difícil, no así con Excel.
Aproximando con la distribución de Poisson, se toma la tasa media de sucesos = np =
(5000)*(0.001)= 5, teniendo:
P( y  4) 
4 e  
4!

5 4 e 5
 0.1745
4!
Ejemplo 2. Una planta tiene 20 máquinas, si la probabilidad de que falla una en cierto
día es 0.05. Encuentre la probabilidad de que durante un día determinado fallen dos
máquinas.
np = 20 *0.05 = 1.0
P( y  2) 
12 e1
 0.184
2!
Si se calcula con la distribución Binomial se tiene:
P( y  2)  p(2) 
20!
(0.05) 2 (0.95)18  0.188
2!*18!
Ejemplo 3. Un proceso continuo tiene una 2 defectos en cada 100 m2 de tela ¿cuál es la
probabilidad de que en 100 m2 de la muestra se encuentre exactamente 2 defectos?
𝑃(𝑋 = 2) =
𝜇 𝑋 𝑒 −𝜇
4
=
= 0.27 = 𝟐𝟕%
𝑥!
2! 𝑒 2
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La aproximación es mejor conforme se aproxima a np = 5.
La distribución de Poisson además de ser útil como aproximación de las probabilidades
Binomiales, constituye un buen modelo para experimentos donde Y representa el
número de veces que ha ocurrido un evento en una unidad dada de tiempo o de
espacio. Por ejemplo:




Número de llamadas recibidas en un conmutador durante un día, conociendo el
promedio por día.
Número de reclamaciones contra una empresa de seguros por semana,
conociendo el prom. Sem.
Número de llegadas a una estación de servicio durante un minuto dado,
conociendo el prom./min.
Número de ventas hechas por un agente de ventas en un día, conociendo el
promedio por día.
Sólo se requiere que los eventos sean independientes.
USO DE EXCEL:
x = éxitos en la muestra, np = media.
 En Fx Estadísticas seleccionar
 =Poisson(x, np, 0 o 1 dependiendo si es puntual o acumulada)
USO DE MINITAB:
 Calc > Probability distributions > Poisson
 Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada)
 n*p = mean y en Input constant introducir x.
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EJERCICIOS:
1. El 20% de los choferes son mujeres, si se seleccionan 20 al azar para una encuesta:
Usando la distribución binomial y la distribución de Poisson
a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos choferes sean mujeres ?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro sean mujeres?
2. Se tienen 8 recepcionistas, estan ocupadas en promedio el 30% del tiempo, si 3
clientes llaman ¿la prob. De que estén ocupadas es mayor al 50%?
3. Un proveedor de partes de bicicleta tiene 3% de defectos. Se compran 150 partes y si
la probabilidad de que 3 o más partes sean defectuosas excede al 50%, no se hace la
compra.
¿Qué sucede en este caso?.
4. En una universidad las llamadas entran cada 2 minutos
a) ¿Cuál es la cantidad esperada de llamadas en una hora?
b) ¿Cuál es la probabilidad de 3 llamadas en los sig. 5 minutos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de no llamadas en los sig. 5 minutos?
d) ¿cuál es la prob. de recibir 10 llamadas en los sig. 15 minutos?
5. Un proceso de manufactura produce 1.2 defectos por cada 100 unidades producidas,
¿Cuál es la probabilidad de que las siguientes 500 unidades presenten X=3 defectos?
6. 40 trabajadores tienen nuevas computadoras, 26 con MMX. Si se seleccionan 10 al
azar, ¿Cuál es la prob. De que 3 tengan la tecnología MMX?.
7. De un grupo de 20 productos, se toman 10 al azar,
¿Cuál es la probabilidad de contengan las 5 mejores unidades?
8. De 9 empleados diurnos sólo 6 están calificados para hacer su trabajo, si se
seleccionan aleatoriamente 5 de los 9 empleados, Cuál es la probabilidad de que:
a) Los 5 estén calificados
b) 4 estén calificados
c) Por lo menos 3 estén calificados
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VI.6 Distribuciones de probabilidad continuas
Se diferencian de las distribuciones de probabilidad discretas en que su función de
distribución acumulativa (F(yo)) para una variable aleatoria y es igual a la probabilidad
F(yo) = P(y<=y0).
Si F(y) es la función de distribución acumulada para una variable aleatoria continua
entonces su función de densidad f(y) para y es:
f(y) = dF(y) / dy
Sus propiedades son que:
1. f(y) >= 0
2. Integral desde menos infinito a más infinito de f(y) d(y) = F(  ) = 1
f(y)
F(yo)
yo
y
Función de distribución acumulativa
Entre las distribuciones continuas más comunes se encuentran la distribución normal y
la distribución exponencial.
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DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Se usa para modelar artículos con una tasa de falla constante y está relacionada con la
distribución de Poisson. Si una variable aleatoria x se distribuye exponencialmente,
entonces el recíproco de x,
y = 1/x sigue una distribución de Poisson y viceversa.
La función de densidad de probabilidad exponencial es: Para x >= 0
f ( x)
1

e

x

 e x
Donde Lambda es la tasa de falla y theta es la media.
La función de densidad de la distribución exponencial
El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más simple de todos los modelos
de distribución del tiempo de vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se
muestran:
Si el número de ocurrencias tiene Distribución de Poisson, el lapso entre ocurrencias
tiene distribución exponencial. Su función de distribución acumulada es la siguiente:
P( X  x)  1  e t
Cuando X = 0 la distribución de Poisson se convierte en el segundo término de la
distribución exponencial.
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Probabilidad de que el tiempo entre la ocurrencia de dos eventos cualquiera sea
<= t
F(x)
t
Aquí se desea saber de que no transcurra más de cierto tiempo entre dos llegadas,
sabiendo que se tiene una tasa de llegadas .
Ejemplo: El tiempo de respuesta de un departamento es de 5 minutos promedio y se
distribuye exponencialmente. La probabilidad de que el tiempo de respuesta a lo sumo
sea de 10 minutos se determina como sigue:
P(X<=10) = F(10; 1/5) = 1- exp(-0.2*10) = 0.865
La probabilidad entre el tiempo de respuesta de 5 y 10 minutos es:
P(5<=X<=10) = F(10;1/5) – F(5; 1/5) = 0.233
USO DE EXCEL:
Lamda = 1/ media.
 En Fx Estadísticas seleccionar
 =distr.exp(x, lamda,1) = distr.exp(10,0.2,1) = 0.865
USO DE MINITAB:
 Calc > Probability distributions > Exponential
 Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada)
 Indicar Threshold = 0 y en Scale indicar la media 5
 En Input constant indicar la X del tiempo.
Exponential with mean = 5
x P( X <= x )
10 0.864665
La Distribución Exponencial es usada como el modelo, para la parte de vida útil de la
curva de la bañera, i.e., la tasa de falla es constante. Los sistemas complejos con muchos
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componentes y múltiples modos de falla tendrán tiempos de falla que tiendan a la
distribución exponencial
Desde una perspectiva de confiabilidad, es la distribución más conservadora para
predicción.
Las fallas ocurren en los sistemas con una distribución denominada Curva de la Bañera:
Fallas diseño
  tasa.de. falla.  constante
Fallas infantiles
Fallas aleatorias
Senectud
Fallas por desgaste
La zona de tasa de fallas constantes, es modelada con La Distribución exponencial, muy
aplicada a la Confiabilidad, que es la probabilidad de que un equipo o componente
sobreviva sin falla hasta un periodo t bajo condiciones normales de operación:
R(t) = Confiabilidad de un sistema o componente
R(t )  et
Donde  es la tasa media de falla y su inverso es el tiempo medio entre fallas (MTBF), o
sea:

1
MTBF
Ejemplo: El MTBF de un foco es de 10 semanas, por tanto = 0.1 fallas/semana y la
probabilidad de que el foco no falle o continúe en operación hasta las 15 semanas es:
R(15)  e0.1*15  0.223
y la probabilidad de que falle dentro de las 15 semanas es:
P(15)  1  e0.1*15  0.777
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EJERCICIOS:
1. Sea X el tiempo entre dos solicitudes de servicio sucesivas a un departamento, si X
tiene una distribución exponencial con media = 10, calcular:
a) El tiempo esperado entre dos solicitudes sucesivas.
b) La desviación estándar de esas llegadas
c) P(X<=15)
d) P(8<=X<=14)
2. Las falla de los ventiladores de un equipo tiene un tiempo promedio de 25,000 Horas,
¿cuál es la probabilidad de que
a) Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20,000 horas?
b) A lo sumo 30,000 horas?
c) Entre 20,000 y 30,000 horas?
3. Un fabricante de equipos electrónicos ofrece un año de garantía. Si el equipo falla en
ese periodo por cualquier razón se reemplaza. El tiempo hasta una falla está modelado
por la distribución exponencial:
f(x) = 0.125 exp(-0.125*x)
a) ¿Qué porcentaje de los equipos fallarán dentro del periodo de garantía?
b) El costo de fabricación del equipo es de $500 y la ganancia es de $250 ¿Cuál es el
efecto de la garantía por reemplazo sobre la ganancia?
4. El tiempo entre fallas de un componente de equipo es importante para proveer de
equipos de respaldo. Un generador eléctrico tiene una vida promedio de 10 días.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que falle dentro de los siguientes 14 días?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que opere por más de 20 días?
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La distribución normal
Esta distribución tiene numerosas aplicaciones, como ya se vio antes es la base del
teorema del límite central para la distribución de las medias muestrales.
Su función de densidad es la siguiente:
Donde  es la media y la desviación estándar
0.0140
0.0120
 = 500
 = 30
 = 50
 = 70
f(t)
0.0100
0.0080
0.0060
0.0040
0.0020
0.0000
200
400
600
Tiempo
800
1000
Efecto de la variación de la desviación estándar en la forma de la curva normal
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La desviación estándar
sigma representa la
distancia de la media al
punto de inflexión de la
curva normal
X
x-3
x-2
x-
x
x+
x+2
x+3
z
-3
-2
-1
0
1
2
3
Para obtener las áreas bajo la curva normal se utiliza la transformación de Z = (X-)/
Ejemplo: Que porciento usa entre 20 y 24 lts?
El valor Z asociado con X = 20 es z = 0 y con X = 24, z = (24 - 20)/5 = 0.8.
Entonces, P(20 < X < 24) = P(0 < z < 0.8) = P(0.8) - P(0) = 0.7881- 0.5 = 0.2881 o
28.81%.
¿Qué porciento usa entre 16 y 20 lts?
El valor Z1 para X = 16 es z1 = (16 - 20)/5 = -0.8,
y para X = 20, z2 = 0. Entonces, P(16 < X < 20) = P(-0.8 < z < 0) = P(0) - P(-0.8) = 0.5 0.2119 = 0.2881 = 28.81%.
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VI.7 Distribuciones de probabilidad para decisión
Las distribuciones Chi cuadrada, t y F están formadas con la combinación de variables
aleatorias. Normalmente no se utilizan para fenómenos físicos, como el tiempo a falla,
sino se utilizan para tomar decisiones y construir intervalos de confianza.
DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADA
Si Z es una variable aleatoria normal estándar, entonces:
Es una variable aleatoria Chi cuadrada con n grados de libertad. Esta distribución es un
caso especial de la distribución gama con una tasa de falla de 2 y grados de libertad igual
a 2 dividido por el número de grados de libertad correspondiente a la distribución Chi
cuadrada.
La función de densidad de la distribución Chi cuadrada es la siguiente:
Donde  son los grados de libertad y x es la funciçoon gama.
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DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
La distribución t de student se forma al combinar una variable aleatoria normal y una
variable aleatoria chi cuadrada, de forma que la variable aleatoria con una distribución t
es a siguiente:
La función de densidad de la distribución t de student es:
La media y la varianza de esta distribución son;
De una muestra aleatoria de n artículos, la probabilidad que se encuentren entre dos
valores especificados es igual al área bajo la curva de la función de densidad de
probabilidad entre los valores correspondientes en el eje X con n-1 grados de libertad.
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Ejemplo: La resistencia de 15 sellos seleccionados al azar se muestran a continuación
¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia sea mayor a 500?
Resistencia
480
500
499
489
486
504
491
499
501
508
479
496
501
496
498
495.1333333 Media
8.467304063 S
La probabilidad de que l a media poblacional sea mayor a 500 es igual al área bajo la
función de densidad de probabilidad t con n – 1 = 14 grados de libertad a la izquierda
de:
𝑡=
495.13−500
8.467√15
= −2.227
De tablas el área a la izquierda de este valor -2.227 es 0.0214, o sea que hay un 2.14%
de posibilidad de que la media de la población sea mayor a 500.
Distribución F
Si X es una variable aleatoria Chi cuadrad con 1 grados de libertad y Y es una variable
aleatoria Chi cuadrada con 2 grados de libertad y X y Y son independientes, entonces la
siguiente variable aleatoria sigue una distribución de probabilidad F con 1 , 2 grados
de libertad.
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La distribución F se utiliza para probar la igualdad de varianzas de dos poblaciones
normales. Si U y V son las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamaño n
y m de tomadas de poblaciones normales con varianzas w y z se tiene que:
Es una variable aleatoria con una distribución F con 1 = n -1 y 2 = m -1 , la forma de la
distribución F es:
Sus valores están tabulados o se determinan con Excel o Minitab, también se puede
aplicar la siguiente relación en caso de algunas tablas faltantes:
Si F0.05, 8, 10 = 3.07 F0.95,10,8 = 0.326
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