metodos de demostración. - Germán Isaac Sosa Montenegro

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA
LOGICA MATEMATICA
METODOS DE DEMOSTRACIÓN.
DEMSOTRACION.
1. Argumentaciones y demostraciones
1.1
Argumentación.
Un argumento es un razonamiento que se hace con el propósito de conseguir la aceptación o el rechazo de una tesis
propuesta.
En otras palabras, un argumento es una proposición (conclusión) que se obtiene de otros enunciados (tesis).
1.2 Demostración.
Una demostración es un razonamiento o una serie de razonamientos que buscan probar la validez de un nuevo
conocimiento estableciendo relaciones necesarias con otros conocimientos.
La matemática se estructura en un conjunto de proposiciones cada una de las cuales se deduce de otras anteriores.
Ahora, puesto que para demostrar una proposición hay que partir de otras proposiciones ya establecidas se ha de
partir de proposiciones primitivas y conocimientos primitivos (axiomas o postulados)
1.3
Estructura de una demostración
La demostración consta de tres partes:
1. El conocimiento que se trata de demostrar.
2. Los fundamentos matemáticos, que constituyen la base de la demostración.
3. El procedimiento usado para lograr la demostración (que el conocimiento quede demostrado). Esto permite
establecer conexiones lógicas en los conocimientos básicos o fundamentales y sus secuencias sucesivas hasta
llegar a la conclusión final.
1.4 aplicaciones.
a. Demostración directa.
Ejemplo 1:
El cuadrado de un entero impar es de la forma 8k + 1, donde k es un entero positivo.
Demostración
1. Sea x un número impar
Justificación.
Postulado
2. x  2n  1
Definición de número impar
3. x  2n  1
2
2
2
Propiedad de las igualdades
2
4. x  4n  4n  1
2


 4  n  n   1  1
2
 4  n  n    1
5. x  4n  4n  1
6. x
2
7. x
2
Productos notables
2
Propiedad asociativa
2
2
Propiedad modulativa de la multiplicación
Propiedad distributiva
2
 n2  n 
  1
8. x  8  
2


2
Factor común
2
9. x  8  k  1
Haciendo k = (n²+n)/2
Luego: El cuadrado de un entero impar es de la forma 8k + 1
Ejemplo 2:
La suma de la medida de los ángulos exteriores de un triángulo es 360º
B
x
y
C
z
A
Demostración:
Justificación
1. Sea
A, B, C ángulos exteriores al triángulo ABC
Supuesto
2. Sean x, y, z ángulos interiores al triángulo ABC
Supuesto
3.  m
A + m z = 180º
Ángulos suplementarios
m
C + m x = 180º
m
B + m y = 180º
4. m
A+m z+m
C+m x+m
B + m y = 180º + 180º + 180º Propiedad de las igualdades
5. (m
A+m
B+m
C) + (m z + m x + m y ) = 540º Propiedades conmutativa y
asociativa
6. (m
A+m
B+m
C) + 180º = 540º
Def. Ángulos internos
7. (m
A+m
B+m
C) = 540º - 180º
Propiedad de las igualdades
8. (m
A+m
B+m
C) = 360º
Luego, la suma de las medidas de los ángulos externos de todo triángulo es 360º
b. Demostración indirecta o de reducción al absurdo.
Ejemplo 3:
Demostrar que si x2 es par, entonces x es par.
Hipótesis: x2 es par
Tesis
: x es par
Demostración:
Justificación
1. Supongamos x no es par
Negación de la tesis
2. x es impar
Ley de la doble negación
3. x = 2n - 1
Definición de número impar
4. x2 = (2n - 1)²
Propiedad de las igualdades
5. x2 = 4n² - 4n + 1
Producto notable
6. x2 = 4n² - 4n + 1 + 0
Propiedad modulo matemático
7. x2 = 4n² - 4n + 1 + (1 - 1)
Propiedad anulativa
8. x2 = (4n² - 4n + 2) - 1
Propiedad Asociativa
9. x2 = 2(2n² - 2n + 1) - 1
Factorización
10. x2 = 2k - 1
Haciendo k = 2n² - 2n + 1
11. x2 es impar
Pero x es par
Luego: se llega a una contradicción puesto que se originó al suponer que x no es par y se concluye que x es par.
Ejemplo 4:
Demostrar que “si x  0 entonces x-1  0”
Hipótesis: x  0
Tesis: x-1  0
Demostración
1. Sea x-1 = 0
2. 1/x = 0
3. (1/x) x = 0. x
4. 1 = 0.x
5. 1 = 0
ya que 0. x = 0
Justificación
Negación de la tesis
Propiedad de los exponentes negativos
Propiedad de las igualdades.
Ley del inverso multiplicativo.
Puesto que 1 = 0 es una contradicción que se genera al suponer que x -1 = 0 y se concluye que x-1  0.
c.
Métodos de refutación.
La refutación es el razonamiento o series de razonamientos que prueban la falsedad de una hipótesis o la
inconsecuencia de su propia demostración.
Hay dos formas de refutar:
a. Refutación por contradicción.
b. Refutación por ejemplo del contrario (contraejemplo)
1. Refutación por contradicción
En este caso se supone que la afirmación dada es verdadera y usando cualquiera de los métodos de demostración,
llegamos a una conclusión que contradiga una proposición cuya verdad ha sido probada o demostrada.
Ejemplo 5:
Refutar la afirmación: el cuadrado de un número impar es par:
Demostración
Justificación
1. Sea x un número impar
hipótesis
2. x = 2n - 1
Definición de número impar
3. x2 = (2n - 1)²
Propiedad de las igualdades
4. x2 = 4n² - 4n + 1
Producto notable
5. x2 = (4n² - 4n + 2) - 1
Propiedad Asociativa
6. x2 = 2(2n² - 2n + 1) - 1
Factorización
7. x2 = 2k - 1
Haciendo k = 2n² - 2n + 1
Luego, si x2 es par, entonces tenemos x2 = 2n para algún entero n, por tanto:
2k - 1 = 2n de donde 2k - 2n = 1
2(k - n) = 1
Así concluimos que: 2(k - n) = 1 lo cual es un absurdo
Ejemplo 6:
Sea ABC un triángulo cualquiera; considerando el
afirmación m
1+m
2 + m 3 = 180o.
Demostración
1,
2 y
3 exteriores al ángulo al triángulo. Refutar la
justificación
1
B
2
A
C
3
1. Sea
1,
2,
3 exteriores al triángulo ABC
Supuesto
2.  m
1 + m B = 180º
Ángulos suplementarios
m
2 + m A = 180º
m
3 + m C = 180º
3. m
1+m B+m
2+m A+m
3 + m C = 3(180º)
Propiedad de las igualdades
4. (m
1+m
2+m
3) + (m A + m B + m C ) = 3(180º) Propiedad asociativa
5. 2 * 180º = 3 * 180º
Suma de.
internos y externos.
6. 2 = 3
Lo que evidentemente es absurdo
Luego, la suma de las medidas de los ángulos externos de todo triángulo es 360º
2. Refutación por contraejemplo.
Este razonamiento consiste en hallar un caso en el cual no tenga cumplimiento una hipótesis o sea verificar que existe
un contraejemplo.
Ejemplo:
Refutar la afirmación:
x,y  Z ; (x + y)3 = x3 + y3
El problema se reduce a determinar un par de números (x, y) la cual no cumple la igualdad dada.
Así si
x=2x=5
Entonces:
(2 + 5)3 = 23 + 53
73 = 8 + 125
243 = 133
Lo cual nos indica que no todos los enteros satisfacen la igualdad (x + y) 3 =x3 + y3
d. Inducción matemática:
Frecuentemente se puede usar este método para probar que ciertas proposiciones en las que aparece (n) son válidas
para todos los valores enteros positivos de n.
El proceso general de una demostración por inducción matemática consiste de los pasos:
1. Se demuestra que la proposición es o teorema por demostrar es válida para n igual a un valor particular entero,
positivo especificado.
2. Se demuestra que la proposición es o teorema por demostrar es válida para n igual a un valor particular entero,
positivo no especificado, k y se expresa esta consideración en forma simbólica.
3. se demuestra el teorema para n = k + 1.
EJEMPLO.
Demostrar por inducción matemática 1 + 2 + 5 +…….+ (2n – 1) = n2



Verifiquemos para n =1.
1 = (1)2, de donde 1 = 1
Verifiquemos para n = k.
1 + 2 + 3 +…….+ (2k + 1) = (k)2.
Verifiquemos para n = k + 1.
1 + 2 + 3 +……+ (2k – 1) + (2k +1) = (k)2 + (2k + 1)
1 + 2 + 3 +……+ (2k – 1) + (2k +1) = k2 + 2k +1
1 + 2 + 3 +……+ (2k – 1) + (2k +1) = (k + 1)2
Demuéstrese las siguientes relaciones por medio de inducción matemática.
1. 1  2  3  4  ..  n 
nn  1
2
2. 2  4  6  ........ 2n  nn  1
3.
3  6  9  ........ 3n 
3n
2
n  1
4. 1  5  9  ........ 4n  3   n2n  1
5.
1
2

1
1
1
1
1


 ....... n  1  n
4
2
3
2
2
2
2
2
e. Ll
“SI USTED NO SABE HACIA DONDE VA, IMPOSIBLE PERDERSE. YA ESTA PÉRDIDO”
ANÓNIMO
GERMAN ISAAC SOSA MONTENEGRO
Octubre 15 de 2011.