ANEXO A3_DESARROLLO DEL ERROR POR PROPAGACION

ANEXO A3: DESARROLLO DEL ERROR POR PROPAGACIÓN
El error de tolerancia por componentes (capacitores, potenciómetros digitales) y por la
programación de los potenciómetros digitales genera una desviación del valor deseado
de las frecuencias de corte de los bloques de primer y segundo orden utilizados en el
diseño, así como el factor de calidad de los bloques de segundo orden. Este apartado
desarrolla el modelo matemático del error por propagación en las variables de
frecuencia de corte y factores de calidad.
MODELO GENERAL:
Para el caso general de una función de varias variables, el error de la variable
dependiente se expresa como la sumatoria de los productos del valor absoluto de la
derivada parcial de la función para una de las variables independientes por el error de
esa variable. Esta es una forma aproximada de calcular el error, pero permite
generalizar el valor del error de la función para cualquier valor que tome cada variable
independiente.
𝑞 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, … )
𝑓(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦, 𝑧 + 𝑑𝑧, … ) − 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, … ) =
∆𝑞 ≅ |
𝑑𝑓
|∗
𝑑𝑥
∆𝑥 + |
𝑑𝑓
|∗
𝑑𝑦
∆𝑦 + |
𝑑𝑓
𝑑𝑓
𝑑𝑓
∗ 𝑑𝑥 +
∗ 𝑑𝑦 +
∗ 𝑑𝑧 + ⋯
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑑𝑓
|
𝑑𝑧
∗ ∆𝑧
(A3.1)
ERRORES EN COMPONENTES:
ERROR EN POTENCIOMETROS DIGITALES:
El error presente en los potenciómetros digitales se debe tanto a la tolerancia en el
valor de la resistencia de estos como en el error por programación debido a la
resolución de estos. Para un integrado AD5206BN100, sus 6 potenciómetros presentan
el mismo error por tolerancia, no siendo este el caso con el error de programación, ya
que este depende del valor con el que se quiera programar cada potenciómetro.
Se puede expresar la resistencia real de un potenciómetro digital como
𝐷
𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙 = 256 ∗ (100𝑘𝑜ℎ𝑚 + ∆𝑅𝑡𝑜𝑙) + 45 𝑜ℎ𝑚𝑠
(A3.2)
1
Donde ∆Rtol representa la desviación de la resistencia del potenciómetro, que para
una tolerancia de hasta +/-30% (especificado en la hoja de datos), representaría una
desviación de +/-30kohms. Para el diseño planteado, no se consideró este valor, por lo
que la resistencia requerida se puede expresar por:
𝑅𝑟𝑒𝑞 =
𝐷
∗
256
100𝑘𝑜ℎ𝑚𝑠 + 45𝑜ℎ𝑚𝑠 + ∆𝑅𝑝
(A3.3)
Donde ∆Rp representa el error por programación, el cual toma como valor máximo:
∆𝑅𝑝 = +/−
100𝑘𝑜ℎ𝑚𝑠
512
(A3.4)
De (A3.2) Y (A3.3) y considerando la dualidad del signo de ∆Rp:
∆𝑅 = 𝑅𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑅𝑟𝑒𝑞 = ∆𝑅𝑡𝑜𝑙 ∗
∆𝑅 =
𝐷
+ ∆𝑅𝑝
256
∆𝑅𝑡𝑜𝑙
𝐷 ∗ 100𝑘𝑜ℎ𝑚𝑠
∗
+ ∆𝑅𝑝
100𝑘𝑜ℎ𝑚𝑠
256
∆𝑅𝑡𝑜𝑙
∆𝑅 = 100𝑘𝑜ℎ𝑚𝑠 ∗ (𝑅𝑟𝑒𝑞 − 45𝑜ℎ𝑚𝑠 − ∆𝑅𝑝) + ∆𝑅𝑝
(A3.5)
Expresando el error relativo:
∆𝑅
𝑅𝑟𝑒𝑞
=
∆𝑅𝑡𝑜𝑙
100𝑘𝑜ℎ𝑚𝑠
∗
(𝑅𝑟𝑒𝑞−45𝑜ℎ𝑚𝑠−∆𝑅𝑝)
𝑅𝑟𝑒𝑞
+
∆𝑅𝑝
𝑅𝑟𝑒𝑞
(A3.6)
Si consideramos el valor de Rreq grande comparado con ∆Rp, con una tolerancia de
los potenciómetros digitales no mayor a +/-10% (aunque técnicamente puede llegar a
+/-30%), el error relativo se puede aproximar para valores máximos:
∆𝑅
𝑅𝑟𝑒𝑞
∆𝑅
𝑅𝑟𝑒𝑞
≅
∆𝑅𝑡𝑜𝑙
100𝑘𝑜ℎ𝑚𝑠
≅ ±10% ±
+
∆𝑅𝑝
𝑅𝑟𝑒𝑞
100𝑘𝑜ℎ𝑚𝑠
512∗𝑅𝑟𝑒𝑞
(A3.7)
(A3.8)
Lo que indica que el error relativo para los potenciómetros depende de la tolerancia de
estos y del valor con el cual desea ser programado. Para valores mayores de
resistencia, el error por programación es pequeño comparado con el valor de la
resistencia requerida.
2
ERROR EN CONDENSADORES:
El error en el valor de los condensadores se debe a la tolerancia de los mismos. En el
circuito implementado se utilizan condensadores de 10% de tolerancia, que representa
el error relativo máximo:
∆𝐶
𝐶
= +/−10%
(A3.9)
PROPAGACION DE ERRORES:
Determinadas las relaciones de errores relativos tanto para los potenciómetros digitales
como para los condensadores, se procede a determinar los errores relativos para las
frecuencias de corte y factores de calidad como función de los dos primeros.
FRECUENCIA DE CORTE BLOQUE PRIMER ORDEN
𝑤𝑜 = 1⁄𝑅 ∗ 𝐶
∆𝑤𝑜 =
∆𝑤𝑜
𝑤𝑜
=
1
1
∗ ∆𝑅 +
∗ ∆𝐶
∗𝐶
𝑅 ∗ 𝐶2
𝑅2
∆𝑅
𝑅
+
∆𝐶
(A3.10)
𝐶
Para frecuencias bajas, el valor de R es mayor, por lo que su error relativo será menor
y así también lo será el error relativo de la frecuencia. Por todo esto la variación de la
frecuencia es baja y se tiene mayor precisión
FRECUENCIA DE CORTE BLOQUE SEGUNDO ORDEN:
𝑤𝑜 = 1/√𝑅1 ∗ 𝑅2 ∗ 𝐶1 ∗ 𝐶2
∆𝑤𝑜 = −
𝑅2 ∗ 𝐶1 ∗ 𝐶2
3
𝐶2)2
2 ∗ (𝑅1 ∗ 𝑅2 ∗ 𝐶1 ∗
−
𝑅1 ∗ 𝑅2 ∗ 𝐶2
2 ∗ (𝑅1 ∗ 𝑅2 ∗ 𝐶1 ∗
∆𝑤𝑜
𝑤𝑜
1
∆𝑅1
3
𝐶2)2
= −( ) ∗ (
+
2
𝑅1
∆𝑅2
𝑅2
𝑅1 ∗ 𝐶1 ∗ 𝐶2
∗ ∆𝑅1 −
2 ∗ (𝑅1 ∗ 𝑅2 ∗ 𝐶1 ∗
∗ ∆𝐶1 −
+
∆𝐶1
𝐶1
3
𝐶2)2
∗ ∆𝑅2
𝑅1 ∗ 𝐶2 ∗ 𝐶1
∗ ∆𝐶1
2 ∗ (𝑅1 ∗ 𝑅2 ∗ 𝐶1 ∗ 𝐶2)3/2
+
∆𝐶2
𝐶2
)
(A3.11)
3
Como R1 y R2 presentan el mismo error por tolerancia y según la expresión en (A3.7):
∆𝑤𝑜
𝑤𝑜
1
2∆𝑅𝑡𝑜𝑙
= −( ) ∗ (
+
2
100𝑘𝑜ℎ𝑚𝑠
∆𝑅𝑝1
𝑅1
+
∆𝑅𝑝2
𝑅2
+
∆𝐶1
𝐶1
+
∆𝐶2
𝐶2
)
(A3.12)
El signo menos indica que incrementos de los valores de componentes generan
decrementos en el valor de la frecuencia.
FACTOR DE CALIDAD FILTRO PASA-BAJO:
𝑄 = √𝑅1 ∗ 𝑅2 ∗ 𝐶1 ∗ 𝐶2⁄𝐶1 ∗ (𝑅1 + 𝑅2)
∆𝑄
𝑄
1
𝑅2−𝑅1
2
𝑅1+𝑅2
=( )∗(
∗
∆𝑅1
𝑅1
+
𝑅1−𝑅2
𝑅1+𝑅2
∗
∆𝑅2
𝑅2
∆𝐶1
−
𝐶1
+
∆𝐶2
𝐶2
)
(A3.13)
Como R1 y R2 presentan el mismo error por tolerancia y según la expresión en (A3.7):
∆𝑄
𝑄
1
𝑅2−𝑅1
2
𝑅1+𝑅2
=( )∗(
∗
∆𝑅𝑝1
𝑅1
+
𝑅1−𝑅2
𝑅1+𝑅2
∗
∆𝑅𝑝2
−
𝑅2
∆𝐶1
𝐶1
+
∆𝐶2
𝐶2
)
(A3.14)
En este caso, incrementos en el valor de una resistencia por error de programación
implicarán un aumento en el factor de calidad sólo si la otra resistencia es mayor.
FACTOR DE CALIDAD FILTRO PASA-ALTO:
𝑄 = √𝑅1 ∗ 𝑅2 ∗ 𝐶1 ∗ 𝐶2⁄𝑅2 ∗ (𝐶1 + 𝐶2)
∆𝑄
𝑄
1
𝐶2−𝐶1
2
𝐶1+𝐶2
=( )∗(
∗
∆𝐶1
𝐶1
+
𝐶1−𝐶2
𝐶1+𝐶2
∗
∆𝐶2
𝐶2
+
∆𝑅1
𝑅1
−
∆𝑅2
𝑅2
)
(A3.15)
Como C1 y C2 se consideran iguales, además R1 y R2 presentan el mismo error por
tolerancia y según la expresión en (A3.7):
∆𝑄
𝑄
1
∆𝑅𝑝1
2
𝑅1
=( )∗(
−
∆𝑅𝑝2
𝑅2
)
(A3.16)
En general se puede concluir que los errores de los componentes influyen en los
valores de frecuencias de corte y factores de calidad, sumando sus efectos o
anulándose entre sí según las ecuaciones mostradas.
4