Sesión 2: Razones y Proporciones

Sesión 2: Razones y Proporciones - Magnitudes Proporcionales – Regla de Tres – Tanto por Ciento
RAZONES Y PROPORCIONES
I)
Razón o Relación.Es la comparación entre 2 cantidades por medio de las operaciones inversas básicas (sustracción y
división)
Clases de razones o relaciones.a) Razón aritmética.- Cuando la comparación entre las 2 cantidades se realizan por medio de la
diferencia. El valor de la razón aritmética me indica el exceso de una cantidad sobre la otra.
Notación:
𝑎– 𝑏 = 𝑟
* a  ant ecedente


* b  consec uent e  a; b; r  Z
* r  valor de la razón
Ejemplo:
1. La edad de Juan es 42 años y la edad de Ana es 14 años, hallemos la razón aritmética de sus
edades.
Solución:
42 − 14 = 28
Interpretación
 La edad de Juan excede a la edad de Ana en 28 años.
 La edad de Ana es excedida por la edad de Juan en 28 años.
 La edad de Juan es mayor en 28 años a la edad de María.
b) Razón Geométrica.- Cuando la comparación entre las 2 cantidades se realizan por medio de
la división. El valor de la razón geométrica me indica cuantas veces cada una de las cantidades
contienen a cierta unidad de referencia.
Notación:
𝑎
𝑏
=𝑘
* a  ant ecedente


* b  consec uent e  a; b; r  Z
* r  valor de la razón

Ejemplo:
1. Hallemos la razón geométrica con respecto de las edades del ejemplo 1.
Solución:
edad de Juan 42 3
=
=
edad de Ana 14 1
Interpretación:

La razón geométrica de las edades de Juan y Ana es 3.

Las edades de Juan y Ana están en la relación de 3 a1.

Las edades de Juan y Ana son como 3 es a 1.

La edad de Juan es tres veces la edad de Ana.

La edad de Juan es el triple de la edad de Ana.

La edad de Ana es la tercera parte de la edad de Juan.

Las edades de Juan y Ana son proporcionales a 3 y 1.

La edad Juan es dos veces más que la edad de Ana.
CICLO 2013-I
UCV-CH
Aplicación
1. Dos números están en la relación de 9 a 4, y su razón aritmética es 340. Dar como respuesta la suma de
cifras del número mayor.
a) 9
b) 8
c) 12
d) 10
e) 11
2. Dos números están en la relación de 2 a 3, si se añade 165 a uno y 150 al otro se hacen iguales. Hallar el
mayor.
a) 15
b) 45 c) 75
d) 60
e) 30
3. Las camisas se vendían a 60 soles cada una y ahora a 648 soles la docena. ¿Cuál es la razón entre el
precio antiguo y el actual?
9
10
5
a)
b)
c)
5
9
9
3
9
d)
e)
10
5
4. El número de soles de Pilar y Sandra están en la relación de 2 a 3; el de Sandra y Henry como 3 es a 4.
Sabiendo que los tres juntos tienen 2700 soles.
¿Cuánto de dinero tiene Sandra?
a) S/.1200
b) S/.600
c) S/.750
d) S/.1500
e) S/.900
II) PROPORCIÓN
Dado cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, formarán, una proporción, si la razón de
los primeros es igual a la razón de los últimos. Esta proporción puede ser: aritmética, geométrica.
Proporción Aritmética o Equidiferencia
Si a – b = r y c – d = r, entonces:
. 𝑎– 𝑏 = 𝑐– 𝑑 .
. 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 .
Clases de Proporción Aritmética
Discreta: Cuando todos los términos son Continua: Cuando los términos medios son
diferentes entre sí donde:
iguales:
𝑎– 𝑏 = 𝑐– 𝑑 .
. 𝑎– 𝑏 = 𝑏– 𝑐
d: 4ta diferencial
b
.
ac
2
b: media diferencial o media aritmética
c: 3era. diferencial
Aplicación
5. Hallar la media diferencial de 100 y 60.
a) 90
b) 30 c) 50
d) 70
e) 80
6. Hallar la tercera diferencial de 17 y 12.
a) 8
b) 6
c) 9
d) 7
e) 5
CICLO 2013-I
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7.
Hallar la cuarta diferencial de 32; 14 y 26.
a) 10
b) 8
c) 14
d) 12
e) 6
Proporción Geométrica
.
b, c : Medios
a c
.

a, d : Extremos
b d
Clases de Proporción Geométrica
Discreta: Cuando todos los términos son Continua: Cuando los términos medios son
diferentes entre sí donde:
iguales:
𝑎 𝑐
=
𝑏 𝑑
𝑎 𝑏
=
𝑏 𝑐
d: 4ta Proporcional
b  ac
b : media Proporcion
al o media geométrica
c : 3era.Proporcion
al
Aplicación
8. Hallar la media proporcional de 256 y 225.
a) 210
b) 180 c) 240
d) 270
e) 195
9. Hallar la tercera proporcional de 81 y 27.
a) 3
b) 4
c) 9
d) 1
e) 2
10. Hallar la cuarta proporcional de 180; 15 y 36.
a) 5
b) 4
c) 3
d) 6
e) 2
Serie de Razones Equivalentes (S.R.E).1) Serie Aritmética:
*
*
2)
S.R.E.A Continua: Forma General: a – b = b – c = c – d = d – e =…= r
S.R.E.A. Discreta: Forma General: a – b = c – d = e – f =…= r
Serie Geométrica:
*
*
S.R.E.D. Continua: Forma General: a  b  c  d    k
b c d e
S.R.E.G. Discreta: Forma General: a  c  e    k
b d f
Aplicación
11. En una serie de razones geométricas equivalentes los antecedentes son: 3; 5; 8 y 13. El producto de los
consecuentes es 126360. Hallar la suma de los consecuentes.
a) 81
b) 84 c) 90
d) 78
e) 87
12. En una serie de 3 razones geométricas equivalentes y continuas, el primer antecedente es 125 veces el
último consecuente. Hallar el valor de la constante de proporcionalidad.
CICLO 2013-I
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a) 1
b) 6
c) 3
d) 5
e) 4
13. Las edades de tres personas son proporcionales a: 5; 8 y 9. Dentro de 6 años la suma de sus edades será 172
años. ¿Cuántos años tendrá el mayor dentro de 10 años?
a) 45
b) 72 c) 66
d) 74
e) 73
14. Se tiene un cierto número de bolas blancas, rojas y azules, donde se cumple que por cada 2 blancas hay 3
rojas y por cada 5 rojas hay 8 azules. Si la cantidad de azules excede a los rojos en 108. ¿en cuánto excede
las bolas azules respecto a las bolas blancas?
a) 144
b) 168 c) 156
d) 192
e) 180
MAGNITUDES PROPORCIONALES
MAGNITUD
Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio. Una característica
de las magnitudes es el poder aumentar o disminuir. A un niño se le podría medir: su peso, estatura,
presión arterial,.....etc.
CANTIDAD (Valor):
Resultado de medir el cambio o variación que experimenta la magnitud.
MAGNITUD
CANTIDAD
Longitud
2km
Tiempo
7 días
# de obreros
12 obreros
RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES
Dos magnitudes son proporcionales, cuando al variar el valor de una de ellas, el valor correspondiente
de la otra magnitud cambia en la misma proporción. Se pueden relacionar de 2 maneras.
Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)
Ejemplo Ilustrativo:
 Si compramos libros cada uno a S/. 2 (Precio constante); al analizar como varia el valor de costo
total, cuando el número de libros varía, se tendrá:
 (Costo total) DP (# de libros)
Se observo:
En General:
Decimos que las magnitudes “A” y “B” son directamente proporcionales; si al aumentar o disminuir
los valores de la magnitud de “A”, el valor de “B” también aumenta o disminuye (en ese orden) en
la misma proporción.
CICLO 2013-I
UCV-CH
La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean D.P. es que el cociente de cada
par de sus valores correspondientes, sea una constante.
OJO:
DEBEMOS
CONSIDERAR QUE AL RELACIONAR
2
MAGNITUDES, LAS DEMÁS
NO DEBEN VARIAR DEL EJEMPLO ANTERIOR, EL PRECIO DE CADA LIBRO,
NO VARÍA (PERMANECE CONSTANTE)
SI:
. “A” DP “B”  valor de A  k  constan te .
valor de B
Interpretación Geométrica
IMPORTANTE:
I) LA GRÁFICA DE 2
MAGNITUDES
D.P
ES UNA RECTA QUE PASA POR EL
ORIGEN DE COORDENADAS
II) EN
CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA
COORDENADAS)
EL
CONCIENTE
DE
(EXCEPTO
CADA
CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE.
PAR
EL ORIGEN DE
DE
VALORES
III) SI TENEMOS QUE “A” DP “B”
MAGNITUD A
VALORES CORRESPONDIENTES
a1
a2
a3
.......
an
MAGNITUD B
b1
SE VERIFICA:
b2
b3
……
bn
a1 a2 a3
a


...  n  k
b1 b2 b3
bn
IV) SI TENEMOS QUE “A” DP “B”
. F(x) = mx .
m: pendiente (constante)
Aplicación:
1. La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A = 51; B = 3. hallar el valor que toma B, cuando A = 34
A) 19
D) 13
2.
C) 5
Para abrir una zanja de 200 m de largo se emplearon cierto número de obreros, si la zanja fuese 150 m, más larga,
se necesitarían 9 obreros más. ¿Cuántos obreros se emplearon?
A) 12
D) 13
3.
B) 2
E) 17
B) 9
E) 18
C) 21
Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales. Calcular a + b
CICLO 2013-I
UCV-CH
A) 10
D) 46
B) 43
E) 34
C) 64
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P)
Ejemplo ilustrativo:
 Para pintar las 60 habitaciones idénticas de un edificio se desea contratar obreros que pinten una
habitación. Al analizar cómo varía el tiempo según el número de pintores contratados, se tendrá:
 (# de pintores) IP (# días)
Se Observa: (# de pintores) IP (# días)
Se Observa:
(# de pintores) (# días) = 1 . 60 = 2 . 30 = 6 . 10 = 30 . 2 =
60
Constante
En general:
Se dice que “A” y “B” son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir el valor de A, el
respectivo valor de “B” disminuye o aumenta en la mismas proporción respectivamente.
La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean IP es que el producto de cada par
de sus valores correspondientes sea una constante.
. A I.P.B  (valor de A)(valor de B) = cte .
Interpretación Geométrica
CICLO 2013-I
UCV-CH
IMPORTANTE:
I) LA GRÁFICA
DE DOS MAGNITUDES
EQUILÁTERA.
II) EN
IP
ES UNA RAMA DE HIPÉRBOLA
CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA EL PRODUCTO DE CADA PAR DE
VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE.
III) LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA SERÁ:
. Fx   m .
M : CONSTANTE
x
área del rec tan gulo


bajo la curva

IV) SI TENEMOS QUE “A” I.P “B”
MAGNITUD A
MAGNITUD B
VALORES CORRESPONDIENTES
a1
a2
a3
.......
an
b1
B2
……
bn
SE VERIFICA:
a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = an . bn = k
Aplicaciones comunes:

(N° de obreros) DP

(N° de obreros) IP
(eficiencia)

(N° de obreros) IP
(N° de días)

(N° de obreros) IP
(horas diarias)

(velocidades)
(Tiempo)

(N° de obreros) D P

(N° de dientes)
(obra)
IP
IP
(Dificultad)
(N° de vueltas)
Aplicación
4.
La magnitud A es I.P a
es igual a 4
A) 16
D) 12
5.
6.
B) 36
E) 18
B además cuando A es igual a 6 entonces B es igual a 16. Hallar b cuando A
C) 24
Un grupo de vacas tienen alimento para 15 días, pero si hubiesen 2 vacas más, los alimentos sólo
durarían 12 días. ¿Cuántas vacas tiene?
A) 8
B) 10
C) 6
D) 12
E) 15
Según el gráfico A es IP a B. Hallar a + b
CICLO 2013-I
UCV-CH
A) 48
D) 94
B) 112
E) 80
C) 56
REGLA DE TRES
Es un procedimiento aritmético que consiste en hallar un valor desconocido de una magnitud, mediante
la comparación de dos o más magnitudes; las que guardan una relación de proporcionalidad.
REGLA DE TRES SIMPLE
Resulta de comprar dos magnitudes, así tenemos:
Regla de Tres Simple Directamente proporcional
Si tenemos las magnitudes A y B que son directamente proporcionales y x es un valor desconocido
de la magnitud B.
. x  b1 .
a2
.
a1
Ejemplo :
1.
Una cuadrilla de obreros hace una obra si la obra se cuadriplica. ¿Qué sucede con la cuadrilla?
Resolución:
4
4
x h. x h.
x =4 h
1
1
x=4h
Aplicación
1.
Para cosechar un campo cuadrado de 18m. de lado se necesitan 12 días. ¿Cuántos días se necesitan para
cosechar otro campo cuadrado de 27m. de lado?
a) 18
b) 20
c) 22
d) 27
e) 30
2.
Un recipiente lleno de esencia de perfume cuesta S/.12; pero cuando se retira 6 litros, sólo
cuesta S/.10. ¿Cuántos litros contenía el recipiente lleno?
3.
Un burro atado a una cuerda de 3 metros de longitud tarda 5 días en comer todo el pasto que está a su
alcance. cierto día, su dueño lo amarra a una cuerda más grande y se demora 20 días en comer todo el
pasto que está a su alcance. Hallar la longitud de la nueva cuerda.
a) 4m.
b) 5m.
c) 6m.
d) 12m.
e) 18m.
a) 144
CICLO 2013-I
b) 288
c) 18
d) 36
e) 72
UCV-CH
Regla de Tres Simple Inversamente Proporcional
Si tenemos las magnitudes A y B que son inversamente proporcional y x es un valor desconocido
de la magnitud B.
. x  b1 .
a1
.
a2
EJEMPLO:
1.
Un grupo de 30 obreros hacen una obra en 20 días. ¿Cuántos días tardarán en terminar 15 obreros?
Resolución:
x  20 .
30
15
x = 40 días
Aplicación
1.
a) 3
En un circo existen 24 leones para los cuales se tiene raciones para 21 días. ¿Cuántos leones tendrá
que vender el circo si quiere que las raciones duren 28 días?
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
2.
Ángel es el doble de rápido que Benito y la tercera parte que Carlos. Si ángel hace una obra en 45 días, ¿En
cuántos días harán la obra los 3 juntos?
a) 10
b) 12
c) 15
d) 20
e) 25
3.
Un comerciante compro 33 kg de hierba a razón de $ 6.2 el kg. ¿Cuántos kg de hierba de $ 6.6
podría haber comprado con esa misma suma de dinero?
a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34
REGLA DE TRES COMPUESTA
Resulta de comprar más de 2 magnitudes, donde la magnitud que tiene el valor desconocido se
compara con las demás. Así podemos tener:

. x  d1 .
a2 b1 c2 e1
.
.
.
a1 b2 c1 e2
.
EJEMPLO:
1. Una cuadrilla de 30 dólares hacen una obra de 20m 2 en 20 días trabajando 6h/d. ¿Cuántos obreros
se aumentarán, si se hace una obra de 600m2 en 15 días trabajando 4h/d?
CICLO 2013-I
UCV-CH
20 6 600
.
.
15 4 200
 x + 30 = 30 .
 x + 30 = 180  x = 150
Aplicación
1.
Si 14 obreros en 5 días han hecho 40 𝑚2 de una obra. ¿En cuántos días 70 obreros harán
120 𝑚2 de obra?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 8
2.
En 12 días, 8 obreros han hecho las partes de una obra. Se retiran 6 obreros.
3
¿Cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la obra?
a) 36 días
b) 12 días
c) 48 días
2
d) 24 días
3.
e) 15 días
Se sabe que 5 artesanos tejen 12 chompas en 15 días. Si se desean tejer 60 chompas en 25 días.
¿Cuántos artesanos doblemente eficientes se deben contratar adicionalmente?
a) 5
b) 7
c) 4
d) 1
e) 12
TANTO POR CUANTO:
El a por b de una cantidad N; es otra cantidad de la misma especie; tal que sea a la primera como a es b.
x a

N b

a
X  (N)
b
Ejemplos:
Si tenemos:

1 por 10 significa 1 por cada 10 el cual es: 1/10

3 por 7 significa 3 por cada 7 el cual es: 3/7
Ahora si le sacamos o lo aplicamos el tanto por cuanto a una cantidad:
a por b de
N
a
(N)
b
 Tanto Por ciento:
Es una o varias centésimas partes de una cantidad cualquiera.
Formula General: X % N = P
Donde:
X = Tanto por ciento.
N = Unidad referencial.
P = Porcentaje.
Ejemplos:
50
 60  30
100
2) El 80% de 25m es = 20m
3) El 10% de 100 = 10
1) El 50% de S/. 60 es:
CICLO 2013-I
UCV-CH
Ojo: Siempre se cumple que:
1º. N = 100%. N
2º. a % N  b % N = ( a  b) % N
a
b
c
x
x
N
100 100 100
axb
4º. a % del b % de N es:
 %N
100
3º. a % del b % de N es:
Ejemplo: 20% del 40% de N.
Es igual a:

20 x 40
%N  8%N
100
Toda cantidad referencial, respecto a la cual se va a calcular un porcentaje; se considera como el
(100%)
Aplicación
1.
2.
3.
4.
El 4 por 3 del 5 por 12 de 189 es:
a) 101
b) 99
c) 111
d) 81
e) 105
En una reunión hay 30 mujeres y 45 hombres ¿Qué porcentaje del total son hombres?
a) 40%
b) 60%
c) 44%
d) 66%
e) 56%
9 es 15% de:
a) 4,5
b) 54
c) 60
d) 90
e) 135
¿Qué porcentaje del doble del 60% de un número, es el 30% del 20% de los 2/5 del mismo
número?
a) 2%
b) 10%
c) 20%
d) 24%
e) 15%
5.
En una reunión el 40% de personas son mayores de edad. Si se retiran la mitad de éstos, ¿Cuál
es el nuevo porcentaje de menores de edad?
a) 75%
b) 70%
c) 34%
d) 28%
e) 60%
6.
Una finca tiene 480 hectáreas. El 35% de su mitad está sembrado de caña y el resto de la finca
con frutas menores. ¿Cuántas hectáreas están sembradas con frutas menores?
a) 396
b) 398
c) 390
d) 300
e) 400
7.
En la familia reyes el 30% de los varones adultos es igual al 60% de las damas adultas, y el 15%
de ellas es igual al 20% de los niños. ¿Qué porcentaje del total representan los niños?
a) 20%
b) 15%
c) 30%
d) 40%
e) 25%
CICLO 2013-I
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DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS:
Ejemplo 1
¿A que descuento único equivale dos descuentos sucesivos del 10% y 30% de una cantidad?
Resolución:
Sea “N” la cantidad inicial:
N
(90% N)
- 10%
70%(90% N) = 63% N(Queda)
-30%
Descuento = 100% - 63% 37%
Otra forma:
(–)
(–)
10% y 30% de N
 90%. 70%N = 63%N
 Du = 100% - 63% = 37%
Ejemplo 2
¿A que aumento único equivalen tres aumentos sucesivos del 10%; 20% y 50% de una cantidad?
Resolución:
(+) (+) (+)
10%; 20% y 50%

110 120
.150% = 198%
.
100 100
 Aumento único = 198% - 100% = 98%
Aplicación
1.
¿A qué descuento único equivale los descuentos sucesivos del 10% y 20%?
a) 30%
b) 20%
c) 32%
d) 28%
e) 2%
2.
¿A qué descuento único equivale el descuento sucesivo del 20%, 30% y 50%?
a) 28%
b) 100%
c) 0%
d) 72%
e) 1%
3.
¿A qué aumento único equivale los aumentos sucesivos de 10% y 20%?
a) 30%
b) 28%
c) 32%
d) 40%
e) 20%
4.
Si 𝑥 aumenta en 20%. ¿en qué % aumenta 𝑥 2 ?
a) 36%
b) 40%
c) 44%
d) 21%
e) N.A.
ASUNTOS COMERCIALES
Para las transacciones comerciales los términos que se utiliza son los siguientes:
 Pv  Precio de venta
 G  Ganancia
 Pc  Precio de costo
 P  Perdida
 GB  Ganancia Bruta
 GN  Ganancia Neta
CICLO 2013-I
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
PL = PF = PM  Precio de lista, Precio fijado;
Precio de mercado.
Ahora veamos las distintos casos que ocurren en una transacción comercial:
1.
Cuando Existe Ganancia
Obs.:
Pv  Pc  Ganancia
Pv  Pc  GB
2.
Cuando se Originan Gastos
GB  GN  Gastos Adicionales
3.
Cuando Existen Perdida
Pv  Pc  Perdida
Importante:
1. Todo porcentaje de ganancia o perdida que no refiera a la unidad de venta o alguna otra unidad; se
asumirá que es sobre el precio de costo.
2. Todo descuento se hace sobre el precio de oferta o precio de lista; a no ser que el problema refiera
a otra unidad.
Ejemplo: Se vende una artefacto en $ 660, ganado el 20%, ¿Cuál es la ganancia?
Solución: Sabemos que cuando hay ganancia ocurre lo siguiente con la venta.
PV = PC + G
660 = PC + 20%PC ⇒ 660 =
120
100
. PC
⇒ PC: Precio de costo = 550
∴ La ganancia G = 660 − 550 = S/.110
1.
Aplicación
Se vende un artículo en S/.80 ganando el 25%. ¿Cuál fue el precio de costo?
a) S/.100
b) S/.80
c) S/.64
d) S/.60
e) S/.50
2.
¿Cuál fue el precio fijado de un artículo que se vendió en S/.180 habiéndose hecho un descuento del
20%?
a) S/.200
b) S/.225
c) S/.250
d) S/.300
e) S/.400
3.
Se vende un televisor por S/.6000 ganando el 20% del precio de venta más el 20% del precio de costo.
Hallar el precio de costo del televisor.
a) S/.1500
b) S/.2000
c) S/.3000
d) S/.4000
e) S/.4500
4.
Se vende un artículo en 150 soles con una ganancia del 25% sobre el costo. Si se ganó tanto como se
descontó. ¿Cuál fue el precio fijado para la venta al público?
a) S/.130
b) S/.238
c) S/.150
d) S/.180
e) S/.243
CICLO 2013-I
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