UPM-DISAM Grupo Visión ISA - UMH Visión 3D Introducción a la Geometría Proyectiva José María Sebastián – Luis Miguel Jiménez 1 Tabla de Contenidos Introducción: ¿Qué es la Geometría Proyectiva? Espacio Proyectivo Pn Recta Proyectiva P1 Plano Proyectivo P2 Homografías entre Planos Proyectivos INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 2 1 Qué es la Geometría Proyectiva Geometría Euclídea: Invarianza de longitudes y áreas. Se define el círculo. Transformaciones: rotación, traslación. Coordenadas cartesianas Geometría Afín: Invarianza del paralelismo, relación de distancias. Se define el paralelogramo, las parábolas, elipses e hipérbolas. Coordenadas cartesianas oblicuas. Geometría Proyectiva: Invarianza de la relación doble o “cross-ratio”. Se define la cónica, cuádricas. Coordenadas proyectivas u homogéneas INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 3 Qué es la Geometría Proyectiva A C B D Transformación Euclídea Afín AD = cte AB = cte AD AC Proyectiva INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D AD = cte BC BD Geometría Proyectiva I 4 2 Qué es la Geometría Proyectiva Qué aporta la Geometría Proyectiva a la Visión Artificial El proceso de proyección central (modelo pinhole) es básicamente proyectivo: no es ni euclídeo (no conserva las distancias ) ni afín (no conserva la noción de paralelismo) El reconocimiento de formas del ser humano se basa en parte también en características proyectivas invariantes. Suministra un modelo lineal (si no hay distorsiones) del proceso de captación de imágenes. Permite estructurar la información según su robustez. Homogenización de elementos. Dualidad entre puntos y rectas en un plano Transformación entre planos proyectivos Correlación entre puntos y rectas cuando se manejas distintos planos proyectivos INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 5 Qué es la Geometría Proyectiva Homogenización de elementos. Dualidad entre puntos y rectas en un plano Geometría Euclídea: Rectas en un plano: ⌧Hay una única recta que pasa por dos puntos dados ⌧Una una única que recta que pasa por un punto dado y tiene una dirección absoluta dada ⌧Dos rectas que no coinciden, o tienen un único punto de intersección o tienen la misma dirección absoluta Geometría Proyectiva: se sustituye dirección absoluta por puntos en el infinito, y todos los puntos en el infinito por la recta en el infinito: ⌧Hay una única recta entre dos puntos distintos ⌧Hay un único punto entre dos rectas distintas INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 6 3 Qué es la Geometría Proyectiva •No conserva la distancias •No conserva las rectas paralelas •No conserva los ángulos INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 8 Qué es la Geometría Proyectiva • Centro de Proyección Fuente Luminosa Perspectiva Sombra La composición de dos transformaciones de perspectiva no es una transformación de perspectiva INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 10 4 Qué es la Geometría Proyectiva Primera Pieza Segunda Pieza INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 13 Qué es la Geometría Proyectiva Euclideo Similaridad Afín Proyectivo X X X X X X X X X X Transformaciones: Rotación, traslación Escalado isotrópico Escalado en ejes Trasformaciones perspectiva Invariantes: Distancia Ángulos, ratios de distancias Paralelismo, centro de masa Incidencia, cross-ratio X X X X X X X X X X INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 14 5 Tabla de Contenidos Introducción Espacio Proyectivo Pn Recta Proyectiva P1 Plano Proyectivo P2 Homografías entre Planos Proyectivos INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 15 Espacio Proyectivo Pn ~ x ∈ P n si ~ x = [ x1 , L , x n +1 ]T con algún x i ≠ 0 ~ x , ~y ∈ P n ; ~ x ≅ ~y si existe λ ≠ 0 tal que xi = λ y i Colineación : Transformación proyectiva entre objetos (del mismo tipo) en un espacio proyectivo ~ Se representa por matrices A( n +1)×( n +1) (normalmente invertibles) ~ ρ~y = A~x ~ Conjunto de las A ⇒ Grupo proyectivo. INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 16 6 Espacio Proyectivo Pn Base Proyectiva : Conjunto de ( n + 2) puntos tal que ( n + 1) sean linealmente independie ntes. por ejemplo : ⎡1⎤ ⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎢⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ e~1 = ⎢0⎥ e~2 = ⎢1 ⎥ K e~n +1 = ⎢0⎥ ~ en + 2 = ⎢1⎥ ⎢M ⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢M⎥ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ si se tiene ~ x1 L ~ xn + 2 puntos tal que hay ( n + 1) l.i. existe ~ ~~ una A tal que A e = λ ~ x i = 1, K , n + 2 i i i INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 17 Tabla de Contenidos Introducción Espacio Proyectivo Pn Recta Proyectiva P1 Plano Proyectivo P2 Homografías entre Planos Proyectivos INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 18 7 Recta Proyectiva P1 T x ∈ P1 ⇒ ~ x = [x1 , x2 ] Punto pertenecie nte recta proyectiva ~ * Si x2 ≠ 0 se puede poner como ⎡x ~ x = x2 ⎢ 1 ⎣ x2 ⎤ ,1⎥ ⎦ x1 T * Si se representa X 1 = x1 =α x2 ~ x X es la coordenada de la recta afín. α es el parámetro proyectivo . 1 x2 * De esta forma cada punto representa una dirección. * Faltaría por considerar el punto [x1 ,0] que no pertenece T a la recta afín. Es el punto en el infinito. INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 19 Recta Proyectiva P1 " Cross - Ratio" o Razón doble de cuatro puntos : ~ ~ C r a~ , b ; c~ , d si se denomina por α a , α b , α c , α d los { } parametros proyectivo s de cada punto { x2 a~ ′ ~ l ~ b′ a~ ~ b ~ d ~ x Es invariante ante cualquier colinealidad. c~ ′ c~ } ~ ~ α −αc αb −αc C r a~ , b ; c~ , d = a : αa −αd αb −αd ~ l′ ~ d′ x1 ~ ⎡r s⎤ A=⎢ ⎥ ⎣u v ⎦ INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 20 8 Recta Proyectiva P1 •El “Cross-Ratio” o razón doble de cuatro puntos depende del orden en que se tomen los puntos: Así si: { } ~ ~ α −αc αb −αc C r a~ , b ; c~ , d = a : =τ αa −αd αb −αd Se pueden obtener : τ , 1 τ ,1−τ , 1 τ −1 τ , , 1−τ τ τ −1 INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 21 Tabla de Contenidos Introducción Espacio Proyectivo Pn Recta Proyectiva P1 Plano Proyectivo P2 Homografías entre Planos Proyectivos INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 22 9 Plano Proyectivo P2 T ~ x ∈ P2 ⇒ ~ x = [x1 , x 2 , x 3 ] ~ ~ T * Recta l ∈ P 2 ⇒ l = [l1 , l 2 , l 3 ] ~T ~ * Recta que pasa por un punto l ⋅x = 0 * Punto * Dualida entre puntos y rectas - Conjunto de puntos que están en una recta. - Conjunto de rectas que pasan por punto. INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 23 Plano Proyectivo P2 x x ~ x = [ x1 , x 2 , x 3 ]T ⇒ ~ x = [ 1 , 2 ,1]T = x3 x3 * Si x 3 ≠ 0 = [X 1 , X 2 ,1] T * Este conjunto de puntos define el plano afín x1 ( x 1 , x 2 ,0 ) Línea en el infinito * Falta por considerar los Plano afín puntos con x 3 = 0 ~ x 1 x3 x2 que define la recta en el infinito. INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 24 10 Plano Proyectivo P2 * Pertenenci a de un punto a una recta en el plano proyectivo ~T ~ l ⋅ x = 0 ⇒ l1 x1 + l 2 x2 + l3 x3 = 0 * Pertenenci a de un punto a una recta en el plano afín. l1 X 1 + l2 X 2 + l3 = 0 * Punto que pertenece a una recta que pasa por los puntos ~ x1 , ~ x2 ~ ~ x = α~ x1 + β ~ x2 ó x = γ~ x1 + ~ x2 ~ ~ y la recta l = ~ x1 ∧ ~ x2 ⇒ l T~ x = 0 INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 25 Plano Proyectivo P2 Producto Vectorial: ~ ~ ~ ~ ~ l = x ∧ y = [ x ]∧ y x1 ⎤ ⎡~ ~ x = ⎢⎢ ~ x 2 ⎥⎥ ⎢⎣ ~ x 3 ⎥⎦ ⎡ 0 ⎢ x ]∧ = ⎢ ~ x3 [~ ⎢− ~ ⎣ x2 x3 −~ 0 ~ x1 ~ x2 ⎤ ⎥ x1 ⎥ −~ 0 ⎥⎦ INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 26 11 Plano Proyectivo P2 * " Cross - Ratio" o razón doble de cuatro rectas que se cortan en un punto ~ ~ ~ ~ ~ ~ la , lb ; lc , ld = a~ , b ; c~ , d { } { ~ la ~ lb ~ l a~ } ~ lc ~ b ~ Es independie nte de la recta l que corte a las cuatro rectas. c~ ~ d ~ ld * Haz de rectas : Rectas que pasan por un punto fijo. Es un elemento proyectivo de dimensión uno. l = α l1 + β l 2 INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 27 Plano Proyectivo P2 * Colineació n en el plano proyectivo . Forma un grupo proyectivo ⎛ a11 ~~ ~ ⎜ ~ ρ y = A x ⇒ A = ⎜ a21 ⎜a ⎝ 31 * Subgrupo afín ~ x Si ~y ≅ A ~ ⇒ a12 a22 a32 a13 ⎞ ⎟ a23 ⎟ . a33 ⎟⎠ a 33 b 2 x 1 ⎞ ~ ⎛a B ⎟ A = ⎜⎜ 33 2 x 2 a 33 ⎟⎠ 0 1x2 ⎝ ⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛a B a 33 b 2 x 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜ x 2 ⎟ ⇒ ⎜ y 2 ⎟ = ⎜⎜ 33 2 x 2 a 33 ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ ⎝ 01x 2 ⎝ x3 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ Y1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ B2 x2 ⎜ Y 2 ⎟ = ⎜⎜ ⎜ 1 ⎟ ⎝ 01x 2 ⎝ ⎠ ⎛ X1 ⎞ ⎟ b 2 x1 ⎞ ⎜ ⎟⎟ ⎜ X 2 ⎟ ⇒ 1 ⎠⎜ ⎟ ⎝1 ⎠ ⎛ Y1 ⎞ ⎛X ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = B 2 x 2 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + b 2 x 1 ⎝ Y2 ⎠ ⎝X2⎠ INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 28 12 Plano Proyectivo P2 * Subgrupo afín : Mantiene la recta en el infinito. ⎛ a 33 B 2 x 2 ⎜⎜ ⎝ 01 x 2 ⎛ x1 ⎞ ⎛ ⎛ x ⎞ ⎞ ⎛ y1 ⎞ a 33 b 2 x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 33 B 2 x 2 ⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x ⎟ ⎟ = ⎜ y2 ⎟ ⎟⎜ x 2 ⎟ = ⎝ 2⎠ a 33 ⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ * Transformación de similitud : Además de mantener la recta ~ ~ en el infinito, mantiene los puntos absolutos (1,±i, 0)T = i , j será ⎛ Y1 ⎞ ⎛ cos θ senθ ⎞⎛ X 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = c⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ + b2 x1 ⎝ Y2 ⎠ ⎝ − senθ cos θ ⎠⎝ X 2 ⎠ rota (θ ) Escala (c) Traslada (b) * Transforma ción euclídea : Tranformac ión de similitud con c = 1 INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 29 Plano Proyectivo P2 Correspondencia Homográfica u Homografía: Correspondencia uno a uno que mantiene la razón doble entre cuatro elementos (lineal e invertible). Puede ser entre: ⌧Punto a punto ⌧Recta a recta ⌧Haz de rectas a haz de rectas ⌧Punto a recta ⌧....... INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 30 13 Plano Proyectivo P2 Correlación: Transforma rectas en puntos y viceversa ~ ~~ l =Fx Composició Composición de dos correlaciones: Colineació Colineación ~ ~~ ~ ~ l = F x ; l ′ = F′~ x′ ~ −1 ~ Si ~ x′ = F ′ l ′ ~ ~ ~ ~ ~ −1 ~ ~ ~ l = F x = F F ′ l′ = A l′ ( ) ( ) INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 31 Plano Proyectivo P2 * Ángulo entre dos ~ ~ rectas l1 , l2 ~ lai ~ i Se trazan las rectas auxiliares : ~ lai = Pasa por ~ laj = Pasa por ~ a~ , i ~ a~ , j ( { ~ ~ ~ ~ 1 log Cr l1 , l2 ; lai , laj 2i ~ x1 ~ laj ~ j ~ x2 Se cumple : α = ~ l1 l∞ }) ~ l2 a~ INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 32 14 Plano Proyectivo P2 * Cónicas : Conjunto de puntos del plano proyectivo 3 que cumplen : S ( ~ x) = ∑C i , j =1 ij ~ xi x j = 0 ; S ( ~ x) = ~ x T C~ x =0 x=~ x1 + θ ~ x2 * Intersecci ón de una cónica con una recta ~ S (~ x ) + 2θ S ( ~ x ,~ x ) + θ 2 S (~ x )=0 1 1 2 2 ∗ Tangente a una cónica S ( ~ x1 , ~ x2 ) 2 − S ( ~ x1 ) S ( ~ x2 ) = 0 Polar * Se cumple : ~ ~ ~ lpolar = C Ppolo Polo INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 33 Plano Proyectivo P2 La matriz de la có cónica posee seis variables, aunque só sólo cinco grados de libertad (factor de escala). La có cónica estará estará definida por cinco puntos. Definidos cuatro puntos de una có cónica, cualquier otro punto de la có cónica cumple: ~ b c~ a~ ~ d ~ lb ~ la ~ lc ∀x Cr { tal que s ( ~ x) = 0 ~ ~ ~ ~ l a , lb ; l c , l d = cte } ~ ld ~ x INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 34 15 Plano Proyectivo P2 El objeto dual de la có cónica es la envolvente a la có cónica: conjunto de tangentes a todos los puntos de la có cónica. Se cumple: ~ lt ~ s (~ x)= ~ xT C ~ x ~ x ; ~ ~~ lt = C x Si la cónica es no degenerada : ~ ~ ~ x = C −1 lt Sustituyen do : ~T ~ ~ ~ ~ ~T ~ ~ ~ s (~ x ) = lt C −T C C −1 lt = lt C −T lt = s lt () INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 35 Plano Proyectivo P2 La có cónica define una correlació correlación entre puntos del plano y rectas polares: ~ lt ~ x ~ ~~ lt = C x ~ P Polo ~ ~~ lPolar = C PPolo ~ l Polar La có cónica define una correlació correlación entre sus puntos y sus tangentes: INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 36 16 Plano Proyectivo P2 Una transformació transformación proyectiva convierte una có cónica en otra: ~ ~ ~ s (~ x)= ~ xT C ~ x Si ~ y = T~ x ; ~ x = T −1 ~ y ~ ~ ~ ~ s (~ y)= ~ y T T −T C T ~ y=~ yT C′ ~ y Al ser la matriz simé simétrica, mediante una transformació transformación proyectiva la ⎡λ 1 ~ ⎢ C′ = ⎢ 0 ⎢0 ⎣ matriz se puede diagonalizar. diagonalizar. 0 λ2 0 0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ λ 3 ⎥⎦ INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 37 Plano Proyectivo P2 Si la có cónica posee puntos reales, la matriz se puede expresar como: Mediante otra transformació transformación se puede obtener ⎡α 2 ~ ⎢ C′ = ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣ ⎡1 ~ C ′ = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0 Cualquier có cónica puede ser transformada proyectivamente en un cí círculo 0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ − γ 2 ⎥⎦ 0 β2 0 0 1 0 0⎤ 0 ⎥⎥ − 1⎥⎦ x12 + x 22 − 1 = 0 INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 38 17 Plano Proyectivo P2 Transformando tres puntos de la cónica a los puntos de referencia (base) Con lo que la ecuació ecuación de la có cónica será será: ⎡ 0 ~ ⎢ C′ = ⎢ 0 ⎢⎣ − 0 . 5 ⎧ x 22 − x1 x 3 = 0 ⎪ ⎨ ⎪Si x 3 ≠ 0 ⇒ ⎩ Las coordenadas de la có cónica se pueden expresar como: INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D ⇒ 0 1 0 − 0 .5 ⎤ 0 ⎥⎥ 0 ⎥⎦ x 22 = x1 x 3 2 ⎛ x2 ⎞ x ⎟⎟ = 1 = θ ⎜⎜ x3 ⎝ x3 ⎠ 2 ⎡θ 2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ = T~ ⎢ θ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ x 3 ⎥⎦ ⎣ 1 ⎦ Geometría Proyectiva I 39 Tabla de Contenidos Introducción Espacio Proyectivo Pn Recta Proyectiva P1 Plano Proyectivo P2 Homografías entre Planos Proyectivos INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 40 18 Homografías entre Planos Proyectivos Plano – Imagen El Plano Π no pasa por el centro óptico C Puntos en el plano: ~ ~ ~=P m M = [P ~ p] M ⎡X ⎤ ⎡ P11 ⎢Y ⎥ ~ ~ ⎢ ⎥ Si M = λ ∈ ∏ ⇒ m ≅ ⎢⎢ P21 ⎢0⎥ ⎢⎣ P31 ⎢⎣ 1 ⎥⎦ P12 P22 P32 P14 ⎤ ⎡ X ⎤ P24 ⎥⎥ ⎢⎢ Y ⎥⎥ P34 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ~ ~ ~=P m M = [P ~ p] M ⎡X ⎤ ⎡ P11 ⎢Y ⎥ ~ ~ ≅ ⎢P Si M = λ ⎢ ⎥ ∈ ∏ ⇒ m ⎢ 21 ⎢0⎥ ⎣⎢ P31 ⎢⎣ 1 ⎥⎦ P12 P22 P32 P14 ⎤ ⎡ X ⎤ P24 ⎥⎥ ⎢⎢ Y ⎥⎥ P34 ⎦⎥ ⎣⎢ 1 ⎦⎥ ~ ~ ~≅H M ~ m M Π ≅ H −13 x 3 m 3 x3 Π, Cálculo de H: 4 puntos del plano proyectados en la imagen ⌧ no colineales tomados de tres en tres INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 41 Homografías entre Planos Proyectivos Permite: Saber la proyección de cualquier punto contenido en el plano (fuera de los límites de la imagen) Comprobar si un punto pertenece a un plano Conocer la posición 3D en el plano a partir de la proyección en una sola cámara (2D) Rectificado: eliminar la distorsión proyectiva en visión 2D Fotogrametría: INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 42 19 Homografías entre Planos Proyectivos Plano en el infinito – Imagen ~ ~ ~=P • Punto proyectado m M = [P ~ ⎡M ⎤ Si M = ⎢ ⎥ ∈ ∏ ∞ ⎣0⎦ ~ p] M ~=PM ⇒ m ~ ⇒ M = P −1m Proyecta intersecciones de líneas paralelas en puntos de desvanecimiento INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 43 Homografías entre Planos Proyectivos Plano Imagen – Plano de Imagen El Plano Π no pasa por el centro óptico C ~ ~ −1 ~ M Π , M Π ≅ H1 m ~ −1 ~ 2 M Π = H 2 H1 m ~' ≅ H m ~ m ~≅H m 1 ~ m' ≅ H Si es el plano en el infinito ~' ≅ H m ~ , H = P ' P −1 m ∞ ∞ Aplicación: ⌧Mosaicos de escenas distantes ⌧Correspondencia de puntos en planos INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 44 20 Homografías entre Planos Proyectivos Cálculo de la Homogafía entre Puntos de un Plano: Se hallan la proyección de puntos del plano Se obtiene la matriz Hπ Se puede emplear para hallar la correspondencia de cualquier punto del plano A A E D E B D F C B F C INGENIERÍA DE SISTEMAS Y AUTOMÁTICA - UMH Visión 3D Geometría Proyectiva I 45 21