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Introducción a la Investigación de Operaciones
Joel E. Cosme Salcedo – grupodms@gmail.com
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10.
11.
12.
Introducción
Objetivos
Investigación de operaciones
Historia
Definiciones básicas
Modelos de la investigación de operaciones
Etapas de la investigación de operaciones
Formulación del Modelo
Validación del Modelo
Solución Óptima
Conclusiones
Bibliografía
INTRODUCCION
Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades de la forma más eficaz,
pues los recursos cada vez son más escasos y crecen las complejidades de los sistemas
generando problemas para decisiones óptimas.
En el siglo pasado las Organizaciones del mundo solo estaban constituidas por un
número reducido de personas y eran dirigidos por una sola persona. Todo este panorama
cambia radicalmente con la Primera Revolución Industrial. Como se sabe, ésta trajo consigo
la energía, las maquinarias y los equipos que revolucionaron las industrias mecanizando la
producción. Consecuentemente con ello vino la división o especialización del trabajo trayendo
con ello las nuevas responsabilidades de finanzas, producción, mercado e investigación y
desarrollo por parte de especialistas y científicos.
Investigación de Operaciones se le atribuye más a los servicios militares prestados a
principios de la II Guerra Mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente
de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades
dentro de cada operación, en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones
militares americana y Británicas hicieron un llamado a un gran número de científicos para que
aplicaran el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos.
Estos equipos de científicos fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos
efectivos que contribuyeron a numerosos triunfos.
OBJETIVOS
La Investigación de Operaciones se ocupa de la resolución de problemas relacionados con
la conducción y coordinación de las operaciones o actividades dentro de una organización. Su
ámbito de aplicación es muy amplio, aplicándose a problemas de fabricación, transporte,
construcción, telecomunicaciones, planificación y gestión financiera, ciencias de la salud, servicios
públicos, etc. En general, puede aplicarse en todos los problemas relacionados con la gestión, la
planificación y el diseño.
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La Investigación de Operaciones incluye un conjunto muy amplio de técnicas orientadas a
proporcionar una ayuda cuantitativa a la toma de decisiones. El método empleado es el método
científico, y las técnicas que se utilizan son, en buena medida, técnicas matemáticas.
El objetivo de esta asignatura es que el estudiante asimile los principios que guían la
resolución de problemas mediante la aplicación de las técnicas de Investigación de Operaciones.
En concreto:

La construcción de modelos de decisión basados en descripciones
matemáticas, con el objetivo de tomar decisiones en situaciones de complejidad o
incertidumbre.

La resolución, mediante análisis matemático o simulación, de los modelos
de decisión, obteniendo los valores óptimos de las variables de decisión que intervienen en
el modelo.

La realización de estudios de sensibilidad de la solución o soluciones
propuestas, para evaluar su robustez frente a cambios en las condiciones de los
parámetros del modelo.

Obtener una visión general sobre el concepto de sistema e identificar sus
partes componentes en un sistema productivo

Atender a las expectativas que presenta el medio productivo mundial para
poder ser componente clave dentro de su desarrollo.

Desarrollar capacidades necesarias para el diseño de modelos particulares
para resolver problemas en situaciones específicas.

Comprender la importancia de la Investigación de Operaciones como
metodología de optimización dentro de cualquier tipo de organización.

Conocer y utilizar herramientas computacionales, soporte para la aplicación
de los modelos.
INVESTIGACION DE OPERACIONES
A.
HISTORIA
A partir de la Revolución Industrial el mundo ha tenido un notable crecimiento en la
magnitud y complejidad de las organizaciones. Los pequeños talleres de la Antigüedad
se han desarrollado hasta llegar a las corporaciones con capitales de miles de millones de
dólares de la actualidad. Podemos seguir la huella de las raíces de la investigación de
operaciones muchos años atrás, cuando se hicieron los primeros intentos para utilizar un punto
de vista científico en la administración de las organizaciones. Sin embargo, generalmente
se atribuye el inicio de la actividad humana llamada investigación de operaciones a los
servicios militares al principio de la segunda guerra mundial. Debido al tiempo de guerra, se
presentó la urgente necesidad de asignar recursos escasos a las diversas operaciones
militares y a las actividades de cada operación, de una manera efectiva. Como
consecuencia, la administración militar británica y después la de los estados unidos
destinaron a un gran número de científicos a quienes se les pidió que investigaran las
operaciones militares tanto tácticas como estratégicas, éstos equipos de científicos fueron los
pioneros de la investigación de operaciones y de hecho, se afirma que gracias a ellos se
ganaron las batallas de Inglaterra y la del atlántico del norte, la campaña de las islas en el
pacífico y así sucesivamente.
Empujada por el éxito de la investigación de operaciones en el área militar,
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gradualmente la industria se interesó en este nuevo campo, la explosión industrial que siguió a
la guerra continuó su curso, los problemas causados por la complejidad y especialización
crecientes en las organizaciones volvieron a ocupar el primer plano de interés, y los
consultores de negocios que habían formado parte de los equipo s de investigación se
dieron cuenta que básicamente éstos eran los mismos problemas pero en un contexto
diferente, que habían encarado los militares, de esta manera, la investigación de
operaciones empezó a aplicarse en las finanzas, la economía, la industria, los negocios y
los gobiernos. En 1951 ya había dominado la Gran Bretaña y estaba en proceso de hacerlo en
Los Estados Unidos de América. Actualmente es una de las herramientas más eficaces de la
administración científica de las organizaciones, a nivel universal, dentro del contexto de la
globalización .
Se les debe a los británicos por haber iniciado la Investigación de Operaciones y a los
americanos por el rápido crecimiento de esta disciplina, también sin dejar de lado a George
Datzig y sus antecesores Minkowsky, Farkas y Kantorovich, etc.
B.
TOMA DE DECISIONES
El análisis de decisión proporciona una metodología racional para tomar decisiones cuando
el futuro es incierto. Permite que un gerente haga una elección óptima entre varias alternativas,
tomando en cuenta el valor de adquirir datos experimentales con el fin de reducir la
“incertidumbre”.
Observaremos un marco de referencia para tomar decisiones cuando:
1.
2.
No es factible la experimentación.
La experimentación es posible.
El criterio de optimidad que se usa para seleccionar entre varias alternativas será la
minimización del costo esperado. Entre los problemas que deben considerarse están los
siguientes:

¿Cuál es la decisión que minimiza el costo esperado, dado el resultado de
un experimento? (si en efecto se lleva a cabo un experimento). Siguiendo la política
óptima.

¿cuál es el costo esperado? Si se lleva a cabo un experimento ¿valdrá la
pena?;
es decir, ¿La disminución en el costo esperado será mayor que el costo del
experimento? Por último.

¿Cuál es la cantidad máxima de dinero que podría gastarse con el fin de
eliminar toda la “incertidumbre”?
C.
DEFINICIONES BASICAS
No se puede describir la IO en unas cuantas palabras, ya que es bastante complejo
debido a los cambios que sufre, pues tenemos las definiciones de :

ORSA (The Operations Research Society of America) : “La IO concierne
con la decisión científica de como diseñar y operar el mejor sistema hombre – maquina,
usualmente bajo condiciones de asignar recursos”
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
Sociedad de Investigación de Operaciones de Gran Bretaña: “La IO es
la aplicación del método científico a los problemas complejos de la dirección y
administración de grandes sistemas de hombres, maquinas, materiales y dinero en la
industria, negocios, gobierno y defensa”

El Warton School (University of Pennsylvania): “La IO consiste en una
aplicación del método científico, frecuentemente auxiliado por modelos y técnicas
matemáticas para la solución de problemas sociales, de negocios y de decisión
gubernamental”
D.
MODELOS DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES
1.
I.
Programación matemática

Programación lineal

Programación entera

Programación dinámica

Programación no lineal

Programación multiobjetivo
II.
Modelos de transporte
III.
Modelos de redes
2.
E.
Determinísticos
Probabilísticos
I.
Programación estocástica
II.
Gestión de inventarios
III.
Fenómenos de espera (colas)
IV.
Teoría de juegos
V.
Simulación
ETAPAS DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES
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1.
Formulación del Modelo :
Una vez que nos aseguramos que la definición del problema ha sido construida de
manera específica y correcta, continuamos con la formulación del modelo. El modelo,
usualmente matemático, debe ser formulado de tal manera que exprese la esencia del
problema:
El modelo matemático está basado en ecuaciones y desigualdades establecidas en
términos de variables, las cuales expresan la esencia del problema a resolver; las cuales
son definidas en función del modelo del problema.
Después de localizar las variables en función del problema, se procede a
determinar matemáticamente las dos partes que constituyen el modelo:

La medida de efectividad que permite conocer el nivel de
logro de los objetivos y generalmente es una función llamada función
objetivo.

Las limitantes del problema, llamadas restricciones, que son
un conjunto de igualdades o desigualdades que constituyen las barreras y
obstáculos para la consecución del objetivo.
2.
Validación del Modelo
Un modelo matemático es una idealización abstracta de un problema, lo cual
mayormente nos lleva a aproximaciones y suposiciones. Por lo que debemos cuidar que el
modelo siempre sea una representación valida del problema.
La valides de un modelo requiere que exista una alta correlación entre las
predicciones del modelo y la realidad; para lograr esto es importante hacer un número
considerable de pruebas al modelo y caso de ser necesario, las
pertinentes
modificaciones. Aun cuando la validación del modelo se incluyera al final de este
documento, la mayor parte de la validación del modelo se hace durante la etapa de la
construcción del modelo.
3.
Solución Optima
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Una vez que el modelo fue probado y se le han aplicado las debidas correcciones,
está listo para comenzar a arrojar soluciones validas. Pero el verdadero objetivo y finalidad
de la Investigación de Operaciones es encontrar la mejor solución para un determinado
problema, en el caso de un problema de carácter económico seria: la función objetivo es
obtener el máximo rendimiento al menor costo.
CONCLUSIONES
La IO es el procedimiento científico que está auxiliado por modelos y técnicas
matemáticas, servible para diseñar y operar a los problemas complejos de la dirección y
administración de grandes sistemas que forman una organización compleja en las cuales las
decisiones son muy importantes y difíciles de elegir, ya que la eficacia de una decisión
sobreguardará la supervivencia y desarrollo de ésta, al contrario estaría en camino hacia el
fracaso.
BIBLIOGRAFIA
[1]
Ing. Víctor Calle Vivanco – Investigación Operativa (Curso A Distancia de la
Universidad Peruana los Andes) – Primera Edición – 2005.
[2]
Raffo lecca – Investigación de Operaciones – Primera Edición – Lima-Perú
[3]
www.itson.mx/dii/elagarda/apagina2001/PM/uno.html#introduccionSghgwdh
[4]
http://www.investigacion-operaciones.com
– 1997
ygsd
Autor:
Joel E. Cosme Salcedo
grupodms@gmail.com
Universidad Peruana Los Andes
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Investigación de Operaciones
Maria J
yulyth@hotmail.com
1. Definición y Significado de Investigación de Operaciones
2. Características de la Investigación de Operaciones
3. Etapas de la Investigación de Operaciones
Es una rama de las Matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos,
estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones.
Frecuentemente, trata el estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u
optimizar) el funcionamiento del mismo. La investigación de operaciones permite el análisis de la
toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se pueden
maximizar o minimizar los recursos.
Es una ciencia que modela problemas complejos haciendo uso de las matemáticas y la
lógica. La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en
cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se pueden maximizar o minimizar los
recursos.
El método más popular es el símplex (George Dantzig, 1947) dentro de la rama de
programación lineal. El algoritmo símplex ha sido elegido como el mejor de los diez de mayor
influencia en el desarrollo y la práctica de la ciencia y la ingeniería en el siglo XXII.
De esta definición se pueden destacar los siguientes conceptos:
1. Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas
de estas interacciones pueden ser controladas y otras no.
2. En un sistema la información es una parte fundamental, ya que entre las componentes
fluye información que ocasiona la interacción entre ellas. También dentro de la estructura de los
sistemas se encuentran recursos que generan interacciones.
Los objetivos de la organización se refieren a la eficacia y eficiencia con que las
componentes pueden controlarse, el control es un mecanismo de autocorrección del sistema que
permite evaluar los resultados en términos de los objetivos establecidos.
3. La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan
en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su
análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del
conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común.
4. La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través
modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo. La definición
de la sociedad de investigación de operaciones de la Gran Bretaña es la siguiente:
La investigación de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los complejos
problemas que surgen en la dirección y en la administración de grandes sistemas de hombres,
máquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en el gobierno y en la defensa.
Su actitud diferencial consiste en desarrollar un modelo científico del sistema tal, que
incorpore valoraciones de factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y
comparen los resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propósito es el de
ayudar a la gerencia a determinar científicamente sus políticas y acciones.
Definición y Significado de Investigación de Operaciones.

La Investigación de Operaciones aspira a determinar el mejor curso de
acción, o curso óptimo, de un problema de decisión con la restricción de recursos
limitados.
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
Como técnica para la resolución de problemas, investigación de operaciones
debe visualizarse como una ciencia y como un arte.
Como Ciencia radica en ofrecer técnicas y algoritmos matemáticos para resolver
problemas de decisión adecuada.
Como Arte debido al éxito que se alcanza en todas las fases anteriores y posteriores a la
solución de un modelo matemático, depende de la forma apreciable de la creatividad y la habilidad
personal de los analistas encargados de tomar las decisiones.
En un equipo de Investigación de Operaciones es importante la habilidad adecuada en los
aspectos científicos y artísticos de Investigación de Operaciones. Si se destaca un aspecto y no el
otro probablemente se impedirá la utilización efectiva de la Investigación de Operaciones en la
práctica.

La Investigación de Operaciones en la Ingeniería de Sistemas se emplea
principalmente en los aspectos de coordinación de operaciones y actividades de la
organización o sistema que se analice, mediante el empleo de modelos que describan las
interacciones entre los componentes del sistema y de éste con este con su medio
ambiente

En la Investigación de Operaciones la parte de “Investigación” se refiere a
que aquí se usa un enfoque similar a la manera en la que se lleva a cabo la investigación
en los campos científicos establecidos. La parte de “Operaciones” es por que en ella se
resuelven problemas que se refieren a la conducción de operaciones dentro de una
organización.
Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas, cuando se
hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una
empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi siempre
se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial.
Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos
a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más
efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un
gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a otros problemas
estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran investigación sobre operaciones
(militares).
Estos equipos de científicos fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de
métodos efectivos para el uso del nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate
aéreo inglés. A través de sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones
antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel importante en la victoria de la batalla
del Atlántico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran ayuda en a isla de campaña en el pacífico.
Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las actividades bélicas
generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como la explosión industrial
seguía su curso, los problemas causados por el aumento en la complejidad y especialización
dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a primer plano. Comenzó a ser evidente para un
gran número de personas, incluyendo a los consultores industriales que habían trabajado con o
para los equipos de IO durante la guerra, que estos problemas eran básicamente los mismos que
los enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente. Cuando comenzó la década de 1950,
estos individuos habían introducido el uso de la investigación de operaciones en la industria, los
negocios y el gobierno. Desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez.
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Características de la Investigación de Operaciones.

La Investigación de Operaciones usa el método científico para investigar el
problema en cuestión. En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y
la formulación del problema incluyendo la recolección de datos pertinentes.

La Investigación de Operaciones adopta un punto de vista organizacional.
De esta manera intenta resolver los conflictos de interés entre los componentes de la
organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización completa.

La Investigación de Operaciones intenta encontrar una mejor solución
(llamada solución óptima), para el problema bajo consideración. En lugar de contentarse
con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible.

En la Investigación de Operaciones es necesario emplear el enfoque de
equipo. Este equipo debe incluir personal con antecedentes firmes en matemáticas,
estadísticas y teoría de probabilidades, economía, administración de empresas ciencias de
la computación, ingeniería, etc. El equipo también necesita tener la experiencia y las
habilidades para permitir la consideración adecuada de todas las ramificaciones del
problema.

La Investigación de Operaciones ha desarrollado una serie de técnicas y
modelos muy útiles a la Ingeniería de Sistemas. Entre ellos tenemos: la Programación No
Lineal, Teoría de Colas, Programación Entera, Programación Dinámica, entre otras.

La Investigación de Operaciones tiende a representar el problema
cuantitativamente para poder analizarlo y evaluar un criterio común.
Etapas de la Investigación de Operaciones.
Las etapas de un estudio de Investigación de Operaciones son las siguientes:
- Definición del problema de interés y recolección de los datos relevantes.
- Formulación de un modelo matemático que represente el problema.
- Desarrollo de un procedimiento basado en computadora para derivar una solución al
problema a partir del modelo.
- Prueba del modelo y mejoramiento según sea necesario.
- Preparación para la aplicación del modelo prescrito por la administración.
- Puesta en marcha.
Programación lineal
Procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema
indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo,
también lineal.
La programación lineal consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal,
que denominaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas
a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales
Historia de la programación lineal
El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a
Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación
lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la segunda guerra mundial
para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las
pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo
usaron en su planificación diaria.
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Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en
1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid
Kantorovich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y
ganó el premio Nobel en economía en 1975. Leonid Khachiyan en 1979 fue el primero en
demostrar que el problema de la programación lineal se solucionaba en tiempo polinomial, sin
embargo, el mejor avance en los principios teóricos y prácticos en el campo se produjo en 1984,
cuando Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver
problemas de programación lineal.
El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70
puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de
computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor
asignación es inmensa; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en
el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el
planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex.
La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones
óptimas que deberán ser revisadas.
Variables
Las variables son números reales mayores o iguales a cero.
En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un número entero, el
procedimiento de resolución se denomina Programación entera.
Restricciones
Las restricciones pueden ser de la forma:
Tipo 1:
Tipo 2:
Tipo 3:
Donde:

A = valor conocido a ser respetado estrictamente;

B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;

C = valor conocido que no debe ser superado;

j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones);

a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos;

X = Incógnitas, de 1 a N;

i = número de la incógnita, variable de 1 a N.
En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M;
ó, N < M.
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Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y
puede no tener sentido una optimización.
Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema
Autor:
Maria J
yulyth@hotmail.com
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Investigación de operaciones
Darwin E. Montero
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Introducción
Orígenes de la Investigación de Operaciones
Definición y Significado de Investigación de Operaciones
Características de la Investigación de Operaciones
Definición de Modelos
Definición del problema y recolección de datos
Formulación de un modelo matemático
Obtención de una solución a partir del modelo
Prueba del modelo
Preparación para la aplicación del modelo
Implantación
Definición de Sistemas de Producción
Tipos de Modelos de los Sistemas de Producción
Introducción
Los cambios revolucionarios originaron gran aumento en la división de trabajo y la
separación de las responsabilidades administrativas en las organizaciones. Sin embargo esta
revolución creo nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos
problemas es la tendencia de muchos de los componentes a convertirse en imperios relativamente
autónomos, con sus propias metas y sistemas de valores. Este tipo de problemas, y la necesidad
de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el surgimiento de la Investigación de
Operaciones.
La Investigación de Operaciones aspira determinar la mejor solución (optima) para un
problema de decisión con la restricción de recursos limitados.
En la Investigación de Operaciones utilizaremos herramientas que nos permiten tomar una
decisión a la hora de resolver un problema tal es el caso de los modelos e Investigación de
Operaciones que se emplean según sea la necesidad.
Para llevar a cabo el estudio de Investigación de Operaciones es necesario cumplir con
una serie de etapas o fases. Las principales etapas o fases de las que hablamos son las
siguientes:
Solución del modelo.
Orígenes de la Investigación de Operaciones
El inicio de la Investigación de Operaciones se remonta a la época de la Segunda Guerra
Mundial en donde surgió la necesidad urgente de asignar recursos escasos a las diferentes
operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma mas efectiva, es
por esto, que las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran
número de científicos para que aplicaran el método científico a los problemas estratégicos y
tácticos, a dichos científicos se les pidió que hicieran investigaciones sobre las operaciones
militares. Todo el esfuerzo de este equipo de científicos (que fueron el primer equipo de
Investigación de Operaciones) logró el triunfo de muchas batallas.
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Luego de terminar la guerra, el éxito de la Investigación de Operaciones en las actividades
bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar.
Desde la década de 1950, se había introducido el uso de la Investigación de Operaciones
en la industria, los negocios y el gobierno, desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con
rapidez.
Un factor importante de la implantación de la Investigación de Operaciones en este periodo
es el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. Muchos de los científicos que
participaron en la guerra, se encontraron a buscar resultados sustanciales en este campo; un
ejemplo sobresaliente es el método Simplex para resolución de problemas de Programación
Lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas utilizadas en la
Investigación de Operaciones como la Programación Lineal, la Programación Dinámica, Líneas de
Espera y Teoría de Inventarios fueron desarrollados al final de los años 50.
Un segundo factor importante para el desarrollo de este campo fue el advenimiento de la
revolución de las computadoras. Para manejar los complejos problemas relacionados con esta
disciplina, generalmente se requiere un gran número de cálculos que llevarlos a cabo a mano es
casi imposible. Por lo tanto el desarrollo de la computadora digital, fue una gran ayuda para la
Investigación de Operaciones.
En la década de los 80 con la invención de computadoras personales cada vez más
rápidas y acompañadas de buenos paquetes de Software para resolver problemas de
Investigación de Operaciones esto puso la técnica al alcance de muchas personas. Hoy en día se
usa toda una gama de computadoras, desde las computadoras de grandes escalas como las
computadoras personales para la Investigación de Operaciones.
Definición y Significado de Investigación de Operaciones

La Investigación de Operaciones aspira a determinar el mejor curso de
acción, o curso óptimo, de un problema de decisión con la restricción de recursos
limitados.

Como técnica para la resolución de problemas, investigación de operaciones
debe visualizarse como una ciencia y como un arte.
Como Ciencia radica en ofrecer técnicas y algoritmos matemáticos para resolver
problemas de decisión adecuada.
Como Arte debido al éxito que se alcanza en todas las fases anteriores y posteriores a la
solución de un modelo matemático, depende de la forma apreciable de la creatividad y la habilidad
personal de los analistas encargados de tomar las decisiones.
En un equipo de Investigación de Operaciones es importante la habilidad adecuada en los
aspectos científicos y artísticos de Investigación de Operaciones. Si se destaca un aspecto y no el
otro probablemente se impedirá la utilización efectiva de la Investigación de Operaciones en la
práctica.

La Investigación de Operaciones en la Ingeniería de Sistemas se emplea
principalmente en los aspectos de coordinación de operaciones y actividades de la
organización o sistema que se analice, mediante el empleo de modelos que describan las
interacciones entre los componentes del sistema y de éste con este con su medio
ambiente

En la Investigación de Operaciones la parte de “Investigación” se refiere a
que aquí se usa un enfoque similar a la manera en la que se lleva a cabo la investigación
en los campos científicos establecidos. La parte de “Operaciones” es por que en ella se
resuelven problemas que se refieren a la conducción de operaciones dentro de una
organización.
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Características de la Investigación de Operaciones

La Investigación de Operaciones usa el método científico para investigar el
problema en cuestión. En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y
la formulación del problema incluyendo la recolección de datos pertinentes.

La Investigación de Operaciones adopta un punto de vista organizacional.
De esta manera intenta resolver los conflictos de interés entre los componentes de la
organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización completa.

La Investigación de Operaciones intenta encontrar una mejor solución
(llamada solución optima), para el problema bajo consideración. En lugar de contentarse
con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible.

En la Investigación de Operaciones es necesario emplear el enfoque de
equipo. Este equipo debe incluir personal con antecedentes firmes en matemáticas,
estadísticas y teoría de probabilidades, economía, administración de empresas ciencias de
la computación, ingeniería, etc. El equipo también necesita tener la experiencia y las
habilidades para permitir la consideración adecuada de todas las ramificaciones del
problema.

La Investigación de Operaciones ha desarrollado una serie de técnicas y
modelos muy útiles a la Ingeniería de Sistemas. Entre ellos tenemos: la Programación No
Lineal, Teoría de Colas, Programación Entera, Programación Dinámica, entre otras.

La Investigación de Operaciones tiende a representar el problema
cuantitativamente para poder analizarlo y evaluar un criterio común.
Definición de Modelos

Un modelo de decisión debe considerarse como un vehículo para resumir un
problema de decisión en forma tal que haga posible la identificación y evaluación
sistemática de todas las alternativas de decisión del problema. Después se llega a una
decisión seleccionando la alternativa que se juzgue sea la mejor entre todas las opciones
disponibles.

Un modelo es una abstracción selectiva de la realidad.

El modelo se define como una función objetivo y restricciones que se
expresan en términos de las variables (alternativas) de decisión del problema.

Una solución a un modelo, no obstante, de ser exacta, no será útil a menos
que el modelo mismo ofrezca una representación adecuada de la situación de decisión
verdadera.

El modelo de decisión debe contener tres elementos:
Tipos de Modelos de Investigación de Operaciones.
(a) Modelo Matemático: Se emplea cuando la función objetivo y las restricciones del
modelo se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables
de decisión.
(b) Modelo de Simulación: Los modelos de simulación difieren de los matemáticos en que
las relaciones entre la entrada y la salida no se indican en forma explícita. En cambio, un modelo
de simulación divide el sistema representado en módulos básicos o elementales que después se
enlazan entre si vía relaciones lógicas bien definidas. Por lo tanto, las operaciones de cálculos
pasaran de un módulo a otro hasta que se obtenga un resultado de salida.
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Los modelos de simulación cuando se comparan con modelos matemáticos; ofrecen mayor
flexibilidad al representar sistemas complejos, pero esta flexibilidad no esta libre de
inconvenientes. La elaboración de este modelo suele ser costoso en tiempo y recursos. Por otra
parte, los modelos matemáticos óptimos suelen poder manejarse en términos de cálculos.
Modelos de Investigación de Operaciones de la ciencia de la administración: Los
científicos de la administración trabajan con modelos cuantitativos de decisiones.
Modelos Formales: Se usan para resolver problemas cuantitativos de decisión en el
mundo real. Algunos modelos en la ciencia de la administración son llamados modelos
deterministicos. Esto significa que todos los datos relevantes (es decir, los datos que los modelos
utilizarán o evaluarán) se dan por conocidos. En los modelos probabilísticos (o estocásticos),
alguno de los datos importantes se consideran inciertos, aunque debe especificarse la
probabilidad de tales datos.
En la siguiente tabla se muestran los modelos de decisión según su clase de incertidumbre
y su uso en las corporaciones. (D, determinista; P, probabilista; A, alto; B, bajo)
Clase
Incertidumbre
Tipo de Modelo
Programación Lineal
de
Frecuencia de uso
en corporaciones
D
A
D,P
A
Inventarios, producción
y programación
D,P
A
Econometría,
pronóstico y simulación
D,P
A
D
B
Programación
Dinámica
D,P
B
Programación
Estocástica
P
B
D
B
Teoría de Juegos
P
B
Control Optimo
D,P
B
Líneas de Espera
P
B
D
B
Redes
PERT/CPM)
(Incluye
Programación Entera
Programación
Lineal
Ecuaciones
Diferenciales
No
Modelo de Hoja de Cálculo Electrónica: La hoja de cálculo electrónica facilita hacer y
contestar preguntas de “que si” en un problema real. Hasta ese grado la hoja de cálculo
electrónica tiene una representación selectiva del problema y desde este punto de vista la hoja de
cálculo electrónica es un modelo.
15
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En realidad es una herramienta más que un procedimiento de solución.
Etapas de la Investigación de Operaciones.
Las etapas de un estudio de Investigación de Operaciones son las siguientes:
s datos relevantes.
problema a partir del modelo.
necesario.
Definición del problema y recolección de datos
La primera actividad que se debe realizar es el estudio del sistema relevante y el desarrollo
de un resumen bien definido del problema que se va a analizar. Esto incluye determinar los
objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del área
bajo estudio con otras áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los
límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya
que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio.
Determinar los objetivos apropiados viene a ser un aspecto muy importante en la
formulación del problema. Para hacerlo, es necesario primero identificar a la persona o personas
de la administración que de hecho tomarán las decisiones concernientes al sistema bajo estudio, y
después escudriñar los pensamientos de estos individuos respecto a los objetivos pertinentes.
(Incluir al tomador de decisiones desde el principio es esencial para obtener su apoyo al realizar el
estudio.)
Es común que los equipos de Investigación de Operaciones pasen mucho tiempo
recolectando los datos relevantes sobre el problema. Se necesitan muchos datos como para
lograr un entendimiento exacto del problema como para proporcionar el insumo adecuado para el
modelo matemático que se formulará en la siguiente etapa del estudio.
Tomará un tiempo considerable al equipo de Investigación de Operaciones recabar la
ayuda de otros de otros individuos clave de la organización para recolectar todos los datos
importantes. Muchas veces, el equipo de Investigación de Operaciones pasará mucho tiempo
intentando mejorar la precisión de los datos y al final tendrá que trabajar con lo que pudo obtener.
Aplicación: El Departamento de Salud de New Haven, Connecticut utilizó un equipo de
Investigación de Operaciones para diseñar un programa efectivo de intercambio de agujas para
combatir el contagio del virus que causa el SIDA (HIV), y tuvo éxito en la reducción del 33% de la
tasa de infección entre los clientes del programa. La parte central de este estudio fue un innovador
programa de recolección de datos para obtener los insumos necesarios para los modelos
matemáticos de transmisión del SIDA. Este programa barco un rastreo completo de cada aguja (y
cada jeringa), con la identificación, localización y fecha de cada persona que recibía una aguja y
cada persona que la regresaba durante un intercambio, junto con la prueba de si la condición de la
aguja era HIV - positivo o HIV - negativo.
Formulación de un modelo matemático
Una vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste en
reformularlo de manera conveniente para su análisis. La forma convencional en que la
investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente
la esencia del problema. El modelo matemático puede expresarse entonces como el problema de
elegir los valores de las variables de decisión de manera que se maximice la función objetivo,
16
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sujeta a las restricciones dadas. Un modelo de este tipo, y algunas variaciones menores sobre él,
tipifican los modelos analizados en investigación de operaciones.
Un paso crucial en la formulación de un modelo de Investigación de Operaciones es la
construcción de la función objetivo. Esto requiere desarrollar una medida cuantitativa de la
efectividad relativa a cada objetivo del tomador de decisiones identificado cuando se estaba
definiendo el problema. Si en el estudio se contemplan mas de un objetivo, es necesario
transformar y combinar las medidas respectivas en una medida compuesta de efectividad llamada
medida global de efectividad. A veces esta medida compuesta puede ser algo tangible (por
ejemplo, ganancias) y corresponder a una meta mas alta de la organización, o puede ser
abstracta (como “utilidad”). En este último caso la tarea para desarrollar esta medida puede ser
compleja y requerir una comparación cuidadosa de los objetivos y su importancia relativa.
Aplicación: La Oficina responsable del control del agua y los servicios públicos del
Gobierno de Holanda, el Rijkswaterstatt, concesionó un importante estudio de Investigación de
Operaciones para guiarlo en el desarrollo de una importante política de administración del agua.
La nueva política ahorro cientos de millones de dólares en gastos de inversión y redujo el daño
agrícola en alrededor de 15 millones de dólares anuales, al mismo tiempo que disminuyo la
contaminación térmica y debida a las algas. En lugar de formular un modelo matemático, este
estudio de Investigación de Operaciones desarrolló un sistema integrado y comprensible de ¡50
modelos! Mas aún, para alguno de los modelos, se desarrollan versiones sencillas y complejas. La
versión sencilla se usó para adquirir una visión básica incluyendo el análisis de trueques. La
versión compleja se usó después en las corridas finales del análisis o cuando se deseaba mayor
exactitud o más detalles en los resultados. El estudio completo de Investigación de Operaciones
involucró directamente a mas de 125 personas - año de esfuerzo (mas de un tercio de ellas en la
recolección de datos), creó varias docenas de programas de computación y estructuró una
enorme cantidad de datos.
Obtención de una solución a partir del modelo
Una vez formulado el modelo matemático para el problema bajo estudio, la siguiente etapa
para un estudio de Investigación de Operaciones consiste en desarrollar un procedimiento (por lo
general basado en computadora) para derivar una solución al problema a partir de este modelo.
Esta es una etapa relativamente sencilla, en la que se aplican uno de los algoritmos de
investigación de operaciones en una computadora.
Un tema común en Investigación de Operaciones es la búsqueda de una solución óptima,
es decir, la mejor. Se han desarrollado muchos procedimientos para encontrarla en cierto tipo de
problemas, pero es necesario reconocer que estas soluciones son óptimas sólo respecto al
modelo que se está utilizando.
La meta de un estudio de Investigación de Operaciones debe ser llevada a cabo el estudio
de manera óptima, independientemente de si implica o no encontrar una solución óptima para el
modelo. Al reconocer este concepto, los equipos de Investigación de Operaciones en ocasiones
utilizan sólo procedimientos heurísticos (es decir, procedimientos de diseño intuitivo que no
garantizan una solución óptima) para encontrar una buena solución subóptima. Esto ocurre con
mas frecuencia en los casos en que el tiempo o el costo que se requiere para encontrar una
solución óptima para un modelo adecuado del problema son muy grandes.
Si la solución se implanta sobre la marcha, cualquier cambio en el valor de un parámetro
sensible advierte de inmediato la necesidad de cambiar la solución.
El análisis posóptimo también incluye la obtención de un conjunto de soluciones que
comprende una serie de aproximaciones, cada vez mejores, al curso de acción ideal. Así, las
debilidades aparentes de la solución inicial se usan para sugerir mejoras al modelo, a sus datos
de entrada y quizá al procedimiento de solución. Se obtiene entonces una nueva solución, y el
ciclo se repite. Este proceso sigue hasta que las mejoras a soluciones sucesivas sean demasiado
pequeñas para justificar su solución.
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Aplicación: Considere el nuevo estudio de Investigación de Operaciones para el
Rijkswaterstatt sobre la política de administración de agua en Holanda, que se introdujo en el
concepto anterior. Este estudio no concluyó con la recomendación de una sola solución. Mas bien,
se identificaron, analizaron y compararon varias alternativas atractivas. La elección final se dejo al
proceso político de gobierno de Holanda que culmino con la aprobación del Parlamento. El
análisis de sensibilidad jugó un papel importante en este estudio. Por ejemplo, ciertos parámetros
de los modelos representaron estándares ecológicos. El análisis de sensibilidad incluyó la
evaluación del impacto en los problemas de agua si los valores de estos parámetros se cambiaran
de los estándares ecológicos a otros valores razonables. Se usó también para evaluar el impacto
de cambios en las suposiciones de los modelos, por ejemplo, la suposición sobre el efecto de
tratados internacionales futuros sobre la contaminación que pudiera llegar. También se analizaron
varios escenarios (como años secos o húmedos extremosos), asignando las probabilidades
adecuadas.
Prueba del modelo
El desarrollo de un modelo matemático grande es análogo en algunos aspectos al
desarrollo de un programa de computadora grande. Cuando se completa la primera versión, es
inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe probarse de manera exhaustiva para
tratar de encontrar y corregir tantos problemas como sea posible.
Este proceso de prueba y mejoramiento de un modelo para incrementar su validez se
conoce como validación del modelo.
Un enfoque mas sistemático para la prueba del modelo es emplear una prueba
retrospectiva. Cuando es apacible, esta prueba utiliza datos históricos y reconstruye el pasado
para determinar si el modelo y la solución resultante hubieran tenido un buen desempeño, de
haberse usado. Al emplear alternativas de solución y estimar sus desempeños históricos
hipotéticos, se pueden reunir evidencias en cuanto a lo bien que el modelo predice los efectos
relativos de los diferentes cursos de acción.
Aplicación: En un estudio de Investigación de Operaciones para IBM se realizo con el fin
de integrar su red nacional de inventarios de refacciones para mejorar el servicio a los clientes, al
mismo tiempo que reducir el valor de los inventarios de IBM en mas de 250 millones de dólares y
ahorrar otros 20 millones de dólares anuales a través del mejoramiento de la eficiencia
operacional. Un aspecto en particular interesante de la etapa de validación del modelo en este
estudio fue la manera en que se incorporaron el proceso de prueba los usuarios futuros del
sistema de inventarios. Debido a que estos usuarios futuros (los administradores de IBM en las
áreas funcionales responsables de la implantación del sistema de inventarios) dudaban del
sistema que se estaba desarrollando, se asignaron representantes a un equipo de usuarios que
tendría la función de asesorar al equipo de Investigación de Operaciones. Una vez desarrollada la
versión preliminar del nuevo sistema (basada en el sistema de inventarios de multiniveles) se lleva
acabo una prueba preliminar de implantación. La extensa retroalimentación por parte del equipo
de usuarios llevo a mejoras importantes en el sistema propuesto.
Preparación para la aplicación del modelo
El siguiente paso es instalar un sistema bien documentado para aplicar el modelo según lo
establecido por la administración.
Este sistema casi siempre esta diseñado para computadora. De hecho, con frecuencia se
necesita un número considerable de programas integrados. La base de datos y los sistemas de
información administrativos pueden proporcionar entrada actualizada para el modelo cada vez que
se use, en cuyo caso se necesitan programas de interfaz (de interacción con el usuario). Después
de aplicar un procedimiento de solución (otro programa) al modelo, puede ser que los programas
adicionales maneje la implantación de los resultados de manera automática. En otros casos se
instala un sistema interactivo de computadora llamado sistema de soporte de decisiones, para
ayudar a la gerencia a usar datos y modelos para apoyar (no para sustituir) su toma de decisiones
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cuando lo necesiten. Otro programa puede generar informes gerenciales (en el lenguaje
administrativo) que interpretan la salida del modelo y sus implicaciones en la práctica.
Aplicación: Un sistema de computo grande para aplicar un modelo a las operaciones de
control de una red nacional. Este sistema, llamado SYSNET, fue desarrollado como resultado de
un estudio de Investigación de Operaciones realizado para la Yellow Freight System, Inc. Esta
compañía maneja anualmente mas 15 millones de envíos de mensajería a través de una red de
630 terminales en todo estados Unidos. SYSNET se usa tanto para optimizar tanto para optimizar
las rutas de los envíos como el diseño de la red . Debido al que sistema requiere mucha
información sobre los flujos y pronósticos de carga, los costos de transporte y manejo, etc.; una
parte importante del estudio de Investigación de Operaciones esta dedicada a la integración de
SYSNET al sistema de información administrativo de la corporación. Esta integración permitió la
integración periódica de la entrada al modelo. La implantación de SYSNET dio como resultado el
ahorro anual de alrededor de 17.3 millones de dólares además de un mejor servicio a los clientes.
Implantación
Una vez desarrollado un sistema para aplicar un modelo, la última etapa de un estudio de
Investigación de Operaciones es implementarlo siguiendo lo establecido por la administración.
La etapa de implantación incluye varios pasos. Primero, el equipo de Investigación de
Operaciones da una cuidadosa explicación a la gerencia operativa sobre el nuevo sistema que se
va a adoptar y su relación con la realidad operativa. Enseguida, estos dos grupos comparten la
responsabilidad de desarrollar los procedimientos requeridos para poner este sistema en
operación. La gerencia operativa se encarga después de dar una capacitación detallada al
personal que participa, y se inicia entonces el nuevo curso de acción. Si tiene éxito, el nuevo
sistema se podrá emplear durante algunos años. Con esto en mente, el equipo de Investigación
de Operaciones supervisa la experiencia inicial con la acción tomada para identificar cualquier
modificación que tenga que hacerse en el futuro.
Aplicación: Este ultimo punto sobre la documentación de un estudio Investigación de
Operaciones se ilustra con el caso de la política nacional de administración del agua de
Rijkswaterstatt en Holanda. La administración deseaba documentación más extensa que lo
normal, tanto para apoyar la nueva política como para utilizarla en la capacitación de nuevos
analistas o al realizar nuevos estudios. Completar esta documentación requirió varios años y
¡quedo contenida en 4000 páginas a espacio sencillo encuadernadas en 21 volúmenes!
Definición de Sistemas de Producción
La producción es el acto intencional de producir algo útil. La definición de producción se
modifica para incluir el concepto de sistema, diciendo que u sistema de producción es el proceso
especifico por medio del cual los elementos se transforman en productos útiles. Un proceso es un
procedimiento organizado para lograr la conversión de insumos en resultados.
Cualquier sistema es una colección de componentes interactuantes. Cada componente
podría ser un sistema en si mismo en un orden descendente de sencillez. Los sistemas se
distinguen por sus objetivos; el objetivo de un sistema podría ser producir un componente que se
va a ensamblar con otros componentes para alcanzar el objetivo que es un sistema mayor. Se
requieren técnicas mas elaboradas para tratar con sistemas más complejos. Es una carrera de
relevos entre el desarrollo de sistemas cada vez más complejos y el desarrollo de métodos más
eficientes de dirección para controlarlos.
Tipos de Modelos de los Sistemas de Producción
El modelo físico: Los modelos, por semejanza, derivan su utilidad de un cambio en la
escala. Los patrones microscópicos pueden amplificarse para su investigación, y las enormes
estructuras pueden hacerse a una escala más pequeña, hasta una magnitud que sea manipulable.
Necesariamente, algunos detalles se pierden en los modelos. En las replicas físicas, esta pérdida
puede ser una ventaja, cuando la consideración clave, es un factor, tal como la distancia, pero
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puede ser inútil un estudio si la influencia predominante se desvirtúa en la construcción del
modelo.
El modelo esquemático: Los modelos de dos dimensiones son la delicia de quienes
disfrutan de las gráficas. Los aspectos gráficos son útiles para propósitos de demostración.
Algunos ejemplos que se encuentran comúnmente incluyen los diagramas de la organización,
diagramas de flujo del proceso y gráficas de barras. Los símbolos sobre tales diagramas pueden
arreglarse fácilmente para investigar el efecto de la reorganización.
El modelo matemático: Las expresiones cuantitativas, es decir, los modelos más
abstractos, generalmente son los mas útiles. Cuando un modelo matemático puede construirse
para representar en forma exacta la situación de un problema, suministra una poderosa arma para
el estudio; es fácil de manipular, el efecto de las variables interactuantes se aprecia claramente y,
sobre todo, es un modelo preciso. Por lo general, cualquier definición debida al empleo de los
modelos matemáticos se origina por algún error cometido en las suposiciones básicas y en las
premisas sobre las cuales están basados.
Autor:
Ing. Darwin E. Montero
gddarwin@gmail.com
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Modelación de Investigación de Operaciones.
Aplicaciones de la Programación Lineal
Rafael Freites - rafaelfreites@hotmail.com
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Introducción
Modelación y formulación
Principales tipos de restricciones
Construcción de modelos de programación lineal de algunos problemas sencillos
El problema del transporte
Problema del personal necesario
Problemas de los patrones de corte
Problema de mezcla de productos con función objetivo separable
Problema del transbordo
Programación entera
Introducción
Se pretende que el estudio detenido del material de este capitulo, le aporte al estudiante
una visión amplia de las posibles aplicaciones de la Programación Lineal y de la metodología
para construir un buen modelo lineal de los problemas que deba resolver en su ejercicio
profesional.
Modelación y formulación
La modelación
Es el proceso completo de abstracción del sistema real al modelo cuantitativo y tiene como
resultado un modelo matemático del sistema real bajo estudio. Incluye actividades como la
definición del sistema y la determinación de sus fronteras, la identificación de las actividades más
importantes para el logro del objetivo, es decir la conceptualización del sistema simplificado y
finalmente la elaboración del modelo.
Es quizás la parte más importante de la Investigación de Operaciones y se le considera
como una mezcla de arte y de ciencia. La modelación no puede enseñarse, sino motivarse, se
aprende con la práctica y con la experimentación.
Puede dividirse en dos fases: Subjetiva y la objetiva. La parte subjetiva consiste en la
definición del sistema supuesto o simplificado. Mientras que la objetiva es la construcción del
modelo a partir del sistema simplificado.
La formulación
Es la componente objetiva de la modelación y consiste en convertir el sistema simplificado
en un modelo cuantitativo que lo describa. En esta sección ahondaremos un poco en la actividad
de formulación, para lo cual supondremos que ya se realizó la étapa previa que nos permitió
definir el sistema simplificado.
Debe tenerse en cuenta que en la vida profesional el estudiante si se vera afrontado a la
necesidad de derivar sus propios sistemas supuestos, a partir de los problemas reales que se le
presenten. El éxito obtenido dependerá de factores tales como su capacitación general, su
habilidad y experiencia en la modelación y la comprensión que tenga del área particular del
problema a modelar.
Una buena metodología para construir modelos matemáticos de los problemas, a partir del
problema simplificado (problema supuesto), parece ser la siguiente:
1.
Leer atentamente el enunciado de la situación con el fin de comprender sus
principales características. Como resultado de la lectura estaremos en capacidad de
realizar los dos pasos siguientes.
21
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2.
Organizar en cuadros o tablas toda la información cuantitativa que
suministra el enunciado del problema.
De esta manera será más fácil identificar, interpretar y utilizar la información.
Debe prestarse especial atención a las unidades de todos los datos utilizados.
3.
Dibujar un esquema de la situación.
Este nos permitirá visualizar y comprender mejor las características del problema.
En especial el diagrama es útil para llevar a cabo los tres pasos siguientes.
4.
Identificar los elementos del problema.
Los elementos son las entradas (recursos), las salidas (productos) y las actividades
(variables de decisión) del proceso al cual se reduce el problema. La grafica o esquema
del paso tres, es de gran ayuda en esta tarea.
Las actividades son las que convierten una o más entradas en una o más salidas.
La esencia del problema de P.L. es la determinación del sub conjunto de actividades que
deben llevarse a cabo para optimizar el logro del objetivo.
5.
Expresar el objetivo relacionado con el problema, indicando las unidades en
las cuales se medirá.
Recordemos que en los problemas de programación lineal el objetivo será
maximizar o minimizar alguna medida de eficiencia, que puede ser un costo, un tiempo,
una probabilidad, un número de personas o de elementos, etc. En todos los casos se
deben dar explícitamente las unidades de medición.
6.
Definir las variables de decisión.
A cada una de las actividades que pueden realizarse se le asocia una variable que
indicara el nivel o medida de su ejecución. Por ejemplo, si una actividad es fabricar el
producto P3, entonces al asociarle v. gr. la variable de decisión X3, definiremos esta como
el número de productos P3 que se deben fabricar.
En algunos problemas las variables de decisión se pueden tomar en más de una
forma posible. Una buena guía para determinar la más conveniente es buscar que las
variables correspondan a aquellas actividades que permiten medir el grado de logro de la
función objetivo.
7.
Formular la función del objetivo y las funciones de las restricciones del
modelo matemático.
Teniendo una correcta comprensión del objetivo y definidas las variables que
cuantifican las actividades que conforman el proceso, podemos escribir una función
matemática que mida el logro del objetivo. Es la expresión que nos permitirá conocer la
eficiencia de la decisión que se tome.
8.
Formular las funciones de las restricciones
De la misma manera deben escribirse funciones para expresar las diferentes
limitantes que se presentan en el proceso, ya sea en lo referente a valores permitidos para
las variables, disponibilidad de recursos, producción total máxima o mínima y muchas
otras.
Principales tipos de restricciones
Aunque para la infinidad de problemas que pueden modelarse para ser resueltos mediante
la Programación Lineal se presentan muy diferentes restricciones, podemos decir que las
limitantes de un modelo de P.L. se agrupan en seis tipos principales, que son:
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Restricciones de capacidad: Relacionadas con los recursos de infraestructura del
sistema, como son las horas de mano de obra, de máquina, el espacio, etc.
Restricciones de entradas: Limitan el valor de las variables debido a la disponibilidad de
recursos como: materia prima, dinero, etc.
Restricciones de mercado: Son reflejo de los valores máximos o mínimos en las ventas o
en el uso del producto o en el nivel de la actividad a realizar.
Restricciones de composición: Son expresiones de las mezclas de los ingredientes, que
definen usualmente la calidad de los productos o resultados.
Restricciones de balance de materiales: Expresan las salidas de un proceso en función
de las entradas, tomando en cuenta generalmente cierto porcentaje de merma o desperdicio en el
proceso.
Restricciones internas: Son las que se escriben para definir el valor de una variable que
surge en la formulación del problema, no siendo variable de decisión, sino una variable auxiliar
creada para hacer más expedita la construcción del modelo.
Restricciones por políticas administrativas: No hacen parte de la tecnología del
problema, sino que obedecen a decisiones administrativas, como por ejemplo no invertir más de
cierta cantidad de dinero en alguna opción.
Nuevamente se recalca la importancia de tener muy claras las unidades de los datos que
se usarán. Esta consideración nos permitirá controlar la homogeneidad en las unidades de los
términos de la función del objetivo y en las de las funciones de las restricciones.
En especial debe constatarse que las unidades resultantes al evaluar la expresión del lado
izquierdo de una restricción, coincidan con las unidades del lado derecho de la misma.
Obviamente cuando un modelo tiene varias restricciones de un mismo tipo, basta con verificar la
consistencia en una de ellas.
Construcción de modelos de programación lineal de algunos problemas sencillos
Como se dijo la programación lineal es una técnica ampliamente utilizada para la
búsqueda de la solución óptima a problemas de innumerables disciplinas en muchos campos de la
actividad humana.
En este capítulo se presentan algunas aplicaciones sencillas. En
el siguiente
estudiaremos otras aplicaciones que exigen un poco más de análisis y de conocimiento del área
respectiva.
APLICACIONES EN PRODUCCIÓN
Mezcla de producción:
El problema consiste entonces en determinar la cantidad Xj a producir de cada uno de los
artículos que compiten por el uso de los recursos, de tal forma que se obtenga un máximo de
producción o un máximo de beneficio, o un mínimo de costo u otro objetivo especial, en un
periodo determinado de producción
Ilustremos este tipo de problemas con dos ejemplos sencillos:
Ejemplo N° 1
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La compañía desea conocer cuantas unidades de cada tipo de artículo debe producir en el
periodo con el fin de maximizar la utilidad total por venta de los artículos. Se supone que todos los
artículos producidos se venden y que la utilidad unitaria permanece constante, sin importar la
cantidad vendida.
Construcción del modelo:
Siguiendo la metodología propuesta en este capitulo, una vez comprendida la situación
que se describe, vamos a organizar los datos en una tabla; con lo cual será más fácil su utilización
para construir el modelo.
Un bosquejo de la situación puede ser el que se muestra en la siguiente gráfica, en la
cual se observa que los elementos claves del problema son las tres materias primas y los dos
tipos de artículos, mientras que el objetivo es maximizar la utilidad. De esta manera aparece claro
que el objetivo se medirá en pesos / periodo.
De igual forma salta a la vista que las actividades alternativas son, como lo dice el
enunciado, producir artículos tipo 1 y producir artículos tipo 2. Téngase en cuenta que las
actividades no son excluyentes sino que pueden darse simultáneamente a determinados niveles;
desde llevarse a cabo una sola de ellas, hasta ejecutarse ambas en cierta combinación. Todo ello
depende de la relación entre su contribución al objetivo y a su consumo de las materias primas.
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Debemos usar unas variables para cuantificar el nivel o grado al cual llevaremos a cabo
cada actividad.
Por ello definimos las variables así:
X1 : cantidad de artículos tipo 1 a fabricar en el período.
X2 : cantidad de artículos tipo 2 a fabricar en el período.
Una vez definidas las variables de decisión y comprendido el objetivo del problema, el
modelo se plantea así:
Función del objetivo
Utilidad total = 400X1+ 300X2
$/periodo
Limitantes o restricciones en el logro del objetivo
La cantidad utilizada de cada materia prima debe ser menor o igual que la cantidad
disponible.
Los valores de todas las variables deben ser mayores o iguales a cero
(Condición de no negatividad de las variables)
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X1 ≥ 0, X2 ≥ 0
Por lo cual el modelo tendrá la siguiente forma final:
Minimizar
Utilidad total = 400X1+ 300X2
Sujeta a:
Con
X1, X2 ≥ 0
Mas con el propósito de ilustrar la manera de verificar la compatibilidad de unidades, que
con el de constatar la veracidad del modelo, pues este es muy elemental, vamos a analizar un
análisis bidimensional de las funciones.
En la función objetivo:
400 ( $ / unidad de P1) * X1 ( unidades de P1 / período)
+ 300 ( $ / unidad de P2) * X2 ( unidades de P2 / período)
= ( $ / período)
Se verifica que son las mismas unidades de la función objetivo.
En las restricciones analicemos únicamente para el consumo de la materia prima A, pues
para las otras es similar.
1(libra de A/unidad de P1) * X1 (unidades de P1/periodo)
+ 1(libra de A/unidad de P2) * X2 (unidades de P2/periodo) = (libras de A/periodo)
Que coinciden con las unidades del miembro derecho de la primera desigualdad.
(150 lb. de A/periodo)
Adviértase que la condición de no negatividad de las variables, tiene sentido lógico en este
modelo, ya que no se puede fabricar una cantidad negativa de alguno de los tipos del artículo.
Luego evaluaremos problemas en los cuales se puede presentar el caso de que una o mas
variables puedan tomar valores entre menos infinito y más infinito o incluso que algunas variables
deban tomar valores negativos o cero. En estos casos debemos efectuar los ajustes necesarios
en el modelo para que todas las variables estén condicionadas a ser no negativas, ya que esta es
una condición del algoritmo utilizado para la solución de los modelos de P.L.
Por este motivo a la condición de no negatividad de las variables se le llama en muchos
casos condición técnica (de no negatividad).
Debemos interpretar también, la parte del enunciado referente a que la empresa supone
que vende todos los artículos producidos y que la utilidad permanece constante. La primera parte
nos indica que no hay límites en cuanto al número de artículos de cada tipo a producir, excepto los
inherentes a la disponibilidad de los recursos productivos.
La segunda parte nos permite considerar la proporcionalidad entre la cantidad de artículos
y la utilidad total por ventas de cada tipo de artículo.
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En algunas situaciones de mercado ocurre que hay límites en las ventas máximas o
mínimas de un determinado tipo de artículo, lo cual debe reflejarse en el modelo como una
restricción en el valor de la variable correspondiente a la actividad.
Por ejemplo si conocemos que la demanda máxima del artículo 1 es de 30 unidades,
debemos incluir en problema la condición de que no se produzcan más de 30 unidades de este
articulo, ya que la producción adicional no tendría comprador, generando entonces un inventario
en lugar de contribuir a la utilidad total. Igualmente si tenemos una demanda comprometida de 15
unidades del artículo 2, la cual deseamos satisfacer, debemos agregar al modelo una restricción
expresando que el número de unidades del articulo 2 debe ser al menos 15.
Con la dos consideraciones anteriores, el modelo debe tener estas otras dos restricciones
X1 ≤ 30
X2 ≥ 15
Por otro lado en algunas condiciones de mercado el precio unitario de venta de los
artículos se “quiebra”, o sea se disminuye en alguna cantidad cuando el número de artículos
excede cierto valor. Por ejemplo si X3 es la cantidad comprada de un articulo cuyo precio unitario
es de $10 cuando 0≤ X3 ≤ 100; pero que rebaja a $7 cuando 101≤ X3 ≤ 250 y rebaja de nuevo a
$ 6 cuando X3 ≥ 251; en este caso no se cumple la condición de proporcionalidad en la función
del objetivo ya que no tenemos un coeficiente único para multiplicar por la cantidad comprada
para obtener el costo de compra de las X3 unidades. El coeficiente depende del intervalo en el
cual se encuentre el valor de X3. En algunos casos podemos efectuar promedios de los valores
de los parámetros pertinentes y en otros se puede plantear el modelo de la forma de
programación lineal separable, como lo aprenderemos en un ejemplo posterior.
Ejemplo N° 2.
El costo del material para una unidad del artículo 1 es $50, para una unidad del artículo 2
es de $80 y para una unidad del artículo 3 es de $140.
Los precios de venta para los artículos son respectivamente de $400, $420 y $500, la
unidad.
Los tiempos de proceso requeridos por una unidad de cada tipo de material, se dan en la
siguiente tabla:
Minutos de operación por unidad
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La compañía necesita conocer cuantas unidades de cada tipo de artículo debe fabricar en
una hora, para obtener la máxima utilidad.
Construcción del modelo:
Inicialmente podemos elaborar unas tablas con los datos del problema, así:
El esquema del proceso puede ser el siguiente:
Los elementos son la materia prima, las tres operaciones de proceso y los tres artículos.
Determinar los elementos del problema es de gran ayuda para la elaboración de la función
objetivo y las funciones de las tres restricciones.
El objetivo será maximizar la utilidad resultante de la producción en una hora. Esta utilidad
será la diferencia entre el ingreso por ventas y los gastos por materia prima y operaciones en las
máquinas.
Calculemos las utilidades netas, así:
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Las variables a utilizar se definen como:
Las restricciones se refieren a que una máquina no puede utilizarse durante una hora por
un tiempo total mayor que la hora. Es decir, el tiempo que una máquina dedique a la producción
del artículo 1, más el que dedique al artículo 2 más el dedicado al artículo 3, no puede exceder a
una hora de capacidad, pues ese es el período de tiempo que se tomó como referencia.
Programación de la producción
Este es una de las áreas de la Programación Lineal más rica en aplicaciones. Un
problema de programación de la producción puede verse como un problema de mezcla de
producción para varios periodos hacia el futuro. Se quieren determinar los niveles de producción
que permitirán a la compañía obtener el mínimo costo (o la máxima ganancia), cumpliendo con los
requerimientos de las limitaciones en mano de obra, maquinaria, materiales, espacio de
almacenamiento, requisito de demandas, etc.
Los problemas de Programación de Producción tienen naturaleza recurrente, es decir que
se presentan un periodo tras otro, sólo que con algunas variaciones en ciertos datos, como por
ejemplo en las demandas, o en las disponibilidades de algunos recursos. Por este motivo los
modelos de P.L. se usan extensivamente en este campo, pues una vez que un modelo fue
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resuelto para un periodo determinado, basta con repetir su solución para los datos del nuevo
periodo, para obtener recomendaciones acerca del programa óptimo de producción.
Ilustremos este tipo de aplicaciones mediante al siguiente ejemplo sencillo:
Ejemplo N° 3
Un fabricante debe cumplir los siguientes compromisos, en el primer trimestre:
La capacidad mensual de producción de su planta es de 20.000 unidades. El costo
unitario de producción varia cada mes, así: Enero $20, Febrero $9 y Marzo $12. La compañía
estima en $3 el costo de almacenamiento de cada unidad que posea en la bodega él último día
del mes. La capacidad de la bodega de que dispone es de 22.000 unidades.
La empresa tiene en el inventario 50 unidades y desea tener 70 al final. El problema a
resolver consiste en la determinar del programa de producción mensual que minimiza los costos
totales en el trimestre.
Se supone que la producción se realiza durante todo el mes y el despacho se efectúa él
último día de mes.
Construcción del modelo
La grafica que describe el problema puede ser:
Deseamos determinar el programa de producción para obtener el mínimo costo en el
trimestre. Para ello definimos las variables así:
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Los problemas de este tipo también pueden modelarse de otra manera como lo sugiere el
siguiente grafico:
Acá las variables se definen como:
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En esta formulación no incluimos la posibilidad de contar con inventario inicial ni con
inventario final, lo cual se deja como ejercicio al estudiante.
Por ejemplo, cuál sería el programa de producción si se tienen 5.000 unidades de
inventario inicial y se desean 10.000 de inventario final.
Los problemas de programación de la producción también pueden resolverse en forma
relativamente sencilla disponiendo los datos en una tabla, en la cual se anotan los costos de cada
acción alternativa y se procede a obtener una solución aprovechando la estructura característica
del proceso. El final del capitulo se resolverá este mismo problema mediante la tabla mencionada.
Composición o mezcla
.
Los problemas de mezcla ocurren en las industrias alimenticias, petroleras, siderurgicas,
en la industria química en general, y muchas otras en las cuales se deben mezclar sustancias.
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Veamos el siguiente ejemplo sencillo conocido como el problema de la dieta.
Ejemplo N° 4
Un granjero sabe que debe suministrar diariamente a cada una de sus vacas, un mínimo
de 27, 21 y 30 unidades de los elementos nutricionales A, B, C , respectivamente. Para
prepararles la comida puede comprar dos clases de alimentos. Una libra del alimento 1 contiene
3, 1, y 1 unidades del nutriente A, B, C , respectivamente, y cuesta $40. Por otra parte, una libra
del alimento 2 contiene respectivamente 1, 1 y 2 unidades de los nutrientes y cuesta $20.
El granjero desea conocer cuántas libras de cada alimento necesita utilizar para nutrir a
cada una de sus vacas, de tal forma que minimice los costos. Suponga que no hay limite en
cuanto al peso total de la comida (mezcla) resultante.
Construcción del modelo
Para iniciar, podemos elaborar una tabla con los datos del problema:
Un esquema de la situación, puede ser:
Sean
XAi : libras del alimento i que dedicaremos a la preparación de la dieta
para una vaca i  1,2 .
El objetivo es minimizar los costos. El modelo queda:
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Minimizar: Costo  Z  40AX1  20XA2
Sujeto a:
Composición de la dieta
Nutriente A
3 XA1  1XA2  27 (unidades de A /vaca)
Nutriente B
1XB1  1XB 2  21
Nutriente C
1XC1  2 XC 2  30 (unidades de C /vaca)
(unidades de B /vaca)
Se deja al estudiante la comprobación de la consistencia de las unidades.
Veamos otro ejemplo que ilustra el caso de composición o mezcla de ingredientes.
Ejemplo N° 5
Una compañía petrolera produce dos tipos de gasolina, la corriente y la extra. La corriente
se vende a $3000 galón y la extra a $3600. Las gasolinas se fabrican a partir de dos crudos,
cuyos análisis de componentes aparecen a continuación:
La gasolina corriente debe contener
contener mínimo 50% de A .
máximo 60% de B , mientras que la extra debe
El oleoducto de la compañía puede suministrar un máximo de 2 millones de galones crudo
1, y 3 millones de crudo 2, al día.
La compañía espera vender a lo máximo 5 millones de galones de gasolina corriente y 1
millón de gasolina extra, cada día.
¿Cómo debe proceder la empresa para obtener la máxima ganancia diaria?
Construcción del modelo
Elaboraremos una tabla con los datos importantes acerca de las gasolinas, así:
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Un esquema de la situación puede ser:
Las variables se definen así:
Sean Xij : el número de galones de crudo i que se dedican a producir la gasolina
ji  1,2 ; j  (C  corriente, E  extra).
Debemos suponer que al mezclar por ejemplo X 11 galones de crudo 1 y X 21 galones de
crudo 2, resultaran X 11  X 21 galones de gasolina 1, pues no hay pérdidas en la operación.
Considerando que el objetivo es maximizar las utilidades por venta de las gasolinas, y que
estas deben cumplir unos requisitos de composición, además de tener limites en la producción,
debido a la demanda y limites en la disponibilidad de crudos, el modelo del problema será:
Maximizar:
Z  3000 X 11 X 21  3600 X 12  X 22  150 X 11 X 12  120 X 21 X 22
Sujeto a:
Composición de gasolinas

B
en la corriente:
0.40X 11 0.70X 21  0.60 X 11 X 21 (gal de B en gas.
corriente).

A en la extra:
0.60X 12  0.30X 22  0.50 X 12  X 22 (gal de A en gas.
corriente).
Disponibilidad de crudos:
X 11  X 12  2 *10 6
(galón de crudo 1)
X 21  X 22  3 *10 6
(galón de crudo 2)
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Ventas máximas (producción máxima)
X 11  X 21  5 *10 6
(galón de corriente)
X 12  X 22  1 *10 6
(galón de extra)
Para terminar la discusión del ejercicio, deduzcamos las unidades de la restricción de
composición de la gasolina corriente:
0.40 galón de B /galón de crudo 1 * X 11 galón de crudo 1
+ 0.70 galón de B /galón de crudo 2 * X 21 galón de crudo 2 = galones de B
Unidades idénticas a las que se obtienen en el lado derecho, así:
0.60 galones de B/galones totales de gas corriente *( X11 galones de crudo 1+ X21
galones de crudo 2) = 0.60 galones de B/galones totales de gasolina corriente*(galones totales
de gasolina corriente) = galones de B
El estudiante debe notar que en la solución del problema no hemos considerado la
posibilidad de que el proceso permita separar los componentes de cada crudo, para con ellos
elaborar las gasolinas. ¿Será posible realizar esto?
Se deja como ejercicio la formulación bajo este enfoque.
Aplicaciones en las finanzas
Este tipo de problemas surge cuando un ejecutivo del área financiera dispone de un
capital C y tiene que elegir entre m diferentes alternativas de inversión, cada una de las cuales
tiene una rentabilidad y un riego determinados. El objetivo de este tipo de problemas es
naturalmente la maximización del rendimiento o la minimización del riesgo financiero.
Las restricciones provienen comúnmente de aspectos como : capital disponible, leyes
financieras, políticas de la compañía, riesgo máximo permitido, etc.
Muchas situaciones de decisión financiera se han formulado y resuelto usando diferentes
técnicas de la programación matemática, pero si un problema puede formularse como un modelo
de P.L., su solución se obtiene de una manera más eficiente.
A continuación discutiremos un problema simplificado que ilustra este tipo de decisiones.
Ejemplo N° 6
Un inversionista dispone de $30.000.000 y desea invertirlos de tal manera que maximice
la ganancia en el periodo de tres años.
Tiene las siguientes posibilidades de inversión:
Acciones:
Disponible al inicio de cada año, durante los tres próximos años. Cada peso
invertido en Acciones, retorna 1.20 al siguiente año, a tiempo para reinvertir el dinero
nuevamente. Puede invertir máximo $12.000.000 cada vez.
Bonos:
Disponible a principio del primer año. Cada peso invertido le retorna 1.50 al
cabo de dos años, a tiempo para reinvertirlos. Puede invertir un máximo de $20.000.000 en esta
alternativa.
Certificados de depósito a dos años: Disponible al principio del segundo año. Cada peso
invertido le retorna 1.60 dos años después. Puede invertir un máximo de $15.000.000
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Dólares: Disponible al inicio del tercer año. Cada peso invertido le retorna 1.40, un año
después. Puede invertir un máximo de $10.000.000
Si por las limitaciones en la cantidad invertida en las alternativas, en determinado año no
se invierte todo el dinero disponible, el sobrante se deja en una cuenta de ahorros, que indica
una rentabilidad del 12% anual.
Construcción del modelo:
Lo primero que podemos hacer es un esquema de las posibilidades de inversión, para el
horizonte de tiempo a considerar. Como lo indica el enunciado, se desea estudiar un periodo de
tres años.
30.000.000
XA1
XA2
Año 1
S1
XA3
Año 2
Año 3
S3
S2
XB1
XD3
XC2
En la gráfica se muestran las variables asignadas a cada actividad. Esta es una forma
valida y muy ilustrativa de definir las variables que se usan:
De esta manera, las variables se definieron como:
Xij: cantidad invertida en la alternativa i al principio del año j; i  A, B, C, D; j  1,2,3 .
El objetivo es obtener la máxima ganancia al término del tercer año, y también puede
entenderse como obtener el máximo retorno total al término del mismo periodo.
Al inicio de cada año, en el momento de efectuar las inversiones, hay dos tipos de
limitantes. La primera consistente en que no se puede invertir más de la cantidad disponible
para ello y la segunda, derivada de la decisión administrativa de limitar las cantidades que se
pueden invertir en algunas alternativas.
Considerando el análisis anterior, el modelo de P.L., es:
Maximizar: utilidad  Z  0.2 XA3  0.4 XD 3  0.6 XC 2  0.12 S 3
Sujeta a:
Capacidad de inversión en cada año:
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Año 1: XA1  XB1  S1  30.000 .000
Año 2: XA 2  XC 2  S 2  1.2 XA1  1.12 S1
Año 3: XA3  XD 3  S 3  1.2 XA 2  1.5 XB1  1.12 S 2
Inversión máxima en cada alternativa:
XA1  12,
XA2  12 , XA3  12
XB1  20
XC 2  15
XD3  10
con Xij  0
Como se anotó antes, la función del objetivo pudo expresarse como:
Z  1.2 XA3  1.4 XD 3  1.6 XC 2  1.12 S 3
Con lo cual el modelo tendrá una solución idéntica a lo que se obtendría con la función
objetiva propuesta. (Verifíquese solucionando ambos modelos).
El problema del transporte
Es una de las más conocidas aplicaciones de la Programación Lineal. Se presenta
cuando por ejemplo necesitamos tomar decisiones con respecto a las mejores rutas de
distribución de artículos desde m centros productivos hasta n bodegas o almacenes.
El siguiente ejemplo nos ayudara a comprender las características de este tipo de
situación.
Ejemplo N° 7
Una compañía embotelladora tiene plantas ubicadas en Medellín, Bogotá y Cartagena.
La capacidad de cada una de las plantas es:
La empresa surte a cuatro distribuidoras localizadas en diferentes zonas del país. La
demanda esperada de cada uno de los distribuidores es la siguiente:
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El costo de transportar una caja de cada planta a cada distribuidor es:
¿Cómo deben programarse los envíos desde las plantas hasta los distribuidores para
tener el mínimo costo total?
Construcción del modelo:
La situación puede esquematizarse como se muestra abajo, lo cual nos sugiere definir
las variables como:
Xij: cantidad de cajas enviadas de la planta i hasta la bodega j;
Conociendo las capacidades, las demandas esperadas y los costos, el modelo puede
escribirse como:
Minimizar costo:
 100XMCA  120XMCU  150XMI  210XMR
 200XBCA  150XBCU  200XBI  180XBR
 300XCCA  200XCCU  150XCI  130XCR
Sujeta a:
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Capacidad de las plantas
Medellín:
XMCA  XMCU  XMI  XMR  100 .000
Bogotá:
XBCA  XBCU  XBI  XBR  120 .000
Cartagena:
XCCA  XCCU  XCI  XCR  100 .000
Demandas de los distribuidores:
1
XMCA  XBCA  XCCA
2
XMCU  XBCU  XCCU
3
XMI  XBI  XCI
4
XMR  XBR  XCR
 50.000
 70.000
 62.000
 120.000
con Xij  0.
Como el objetivo es minimizar el costo total de los envíos, es de esperarse que a cada
distribuidor se le envie justamente lo que necesita, motivo por el cual todas las restricciones de
demanda se cumplirán como si fueran igualdades. Por ello si las expresaremos como
igualdades, la solución del modelo seria la misma.
Por otro lado debe tenerse en cuenta que cuando la demanda total es inferior a la oferta
total, un problema de transporte tendría una solución en la cual se satisfacen todas las
demandas sobrando capacidad en las plantas, pero cuando la demanda total es superior a la
oferta total, el problema no tendría solución.
Para que este último caso tenga solución, se debe agregar al modelo una planta ficticia
con capacidad igual a la que haga falta para igualar la demanda total. Esta operación se conoce
como balanceo y será discutida más en detalle cuando estudiemos el algoritmo especial para
resolver el problema transporte.
Problema del personal necesario
Ejercicio N° 8
El administrador de un peaje determinó que el número de empleados que necesita se
distribuyen durante el día así:
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Cada empleado trabaja 8 horas diarias consecutivas. El administrador desea conocer el
número mínimo de empleados que debe tener para cumplir con las necesidades de personal
durante el día.
Construcción del modelo
La situación puede visualizarse gráficamente, de la siguiente manera:
El problema del administrador del peaje consiste en determinar el número de empleados
que deben iniciar trabajo en cada uno de los turnos, de tal forma que se cumplan los requisitos de
personal en ellos, contando con el mínimo posible de empleados.
Las variables se pueden definir como:
Xi: cantidad de personas que inician un trabajo a la hora ii  2,6,10.22
Cada empleado labora 8 horas consecutivas, entonces presta sus servicios en dos de los
turnos en que se dividió el día para el estudio.
El modelo de programación lineal es:
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Minimizar: Z  X 2  X 6  X 12  X 14  X 18  X 22
Sujeta a:
Personal necesario en cada intervalo
X2 X6 8
de 6 - 10
X 6  X 10  6
de 10 - 14
X 10  X 14  8
de 14 - 18
X 14  X 18  7
de 18 - 22
X 18  X 22  5
de 22 - 2
X 22  X 2  3
de 2 - 6
con X i  0,
i
Debe aclararse que en las restricciones se pudo escribir relación de igualdad en lugar de
la relación mayor o igual, pues el enunciado así lo sugiere. Se optó por considerar las
desigualdades como mayor o igual, para dar más libertad en la solución del problema, ya que
colocando igualdades se limita la solución a dar valores que cumplan estrictamente las
igualdades, lo cual en algunos problemas (éste es uno) implica inexistencia de solución. En
cambio al colocar desigualdades mayor o igual, se permite que las variables tomen valores de tal
forma que se cumplan las desigualdades y como el objetivo es minimizar, es de esperarse que
las variables tomarán los mínimos valores posibles, dando igualdades en todas las restricciones
en que se pueda.
Se deja como ejercicio al estudiante la solución de los dos modelos, para que verifique los
comentarios anteriores.
Problemas de los patrones de corte
Ejemplo N° 10
Una empresa produce papel en rollos de 90 cm. de ancho y 100 m. de largo, pero muchas
veces recibe pedidos para despachar rollos de dimensiones menores. En este momento necesita
cumplir con la siguiente orden de producción:
La compañía desea determinar la forma de cortar los rollos estándar, de tal manera que se
produzca el mínimo sobrante de papel.
Elabore el modelo matemático de P.L. para este problema.
Construcción del modelo:
Obviamente la solución a este problema implicara que sea necesario despachar dos o más
rollos para obtener la longitud pedida de cada uno de los anchos, ya que el rollo estándar solo
mide 100 m. de largo. También aceptemos que el papel sobrante es todo rollo inferior a 25 cm.
Para entender mejor la lógica de solución del problema, determinemos todas las formas en
que se puede cortar un rollo de ancho de 90 cm., para obtener anchos de 75, 35 y 25 cm.
Si tomamos como referencia un metro del rollo de ancho estándar, las posibles formas de
corte son:
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Observemos que hay cuatro modalidades de corte, en cada una de las cuales se obtiene
un número de franjas de los anchos necesarios, con un desperdicio determinado.
Las actividades alternativas a desarrollar son las cuatro modalidades de corte, cada una
con su sobrante asociado por cada metro.
Las características de los cuatro cortes posibles, se resumen en la siguiente tabla, en
donde como se dijo los datos son para cada metro de ancho de 90 cm. que se corte en cada
modalidad.
Podemos definir las variables del modelo como:
Xi: número de metros del rollo estándar cortados en la modalidad i.
Sj: número de metros del ancho j, cortados en exceso sobre lo pedido (j= 1, 2, 3).
Con lo cual al modelo puede plantarse así:
Minimizar: Sobrante: 0.15X1 + 0.20X2 + 0.05X3 + 0.15X4
Sujeta a:
Cantidad necesaria de cada ancho
1X1
> 200
2X2 + 1X3
> 500
2X3+3X4
> 300
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con Xi > 0, i, Sj > 0, j
Si escribiéramos las restricciones como igualdades, puede presentarse el caso de que el
problema no tenga solución factible, al ser imposible encontrar modalidades de corte que
produzcan exactamente las cantidades pedidas de cada ancho.
Una alternativa para no usar las relaciones mayor o igual y en cambio utilizar relaciones
de igualdad, es introducir al lado izquierdo de las restricciones las variables Sj para indicar el
número de metros de ancho j, cortado en exceso sobre lo pedido.
Se pide al estudiante que escriba el modelo adecuado para representar la situación que se
acaba de mencionar.
Ejemplo N° 11
Una empresa se dedica al transporte aéreo de cargas y cuenta para ello con un avión que
tiene tres compartimientos: frontal, central y trasero. Las capacidades en peso y espacio para
cada compartimiento son:
Por motivos técnicos, debe tenerse igual proporción de peso ocupado a capacidad en peso
en cada compartimiento.
La empresa recibió el encargo de transportar la carga de cuatro clientes pudiendo aceptar
cualquier fracción de ellos.
La información de peso, volumen y utilidades de las cargas es:
¿ Cómo debe programar la ocupación del avión para obtener la máxima ganancia?
Construcción del modelo:
Un problema de este tipo es en realidad, similar a un problema de capacidades de peso y
volumen de los compartimientos.
Antes de construir el modelo, debemos calcular el volumen por tonelada de cada carga.
Los resultados se registran en la siguiente tabla:
Las variables de decisión serán:
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Xij; toneladas de la carga i a transportar en el compartimiento j
( i= 1, 2, 3, 4); ( j= F, C, T )
El modelo de P.L. puede ser el siguiente:
Maximizar:
T
T
T
T
jF
jF
jF
jF
Z  250.000  X 1 j  400.000  X 2 j 300.000  X 3 j 500.000  X 4 j
Utilidad =
Sujeta a:
Capacidades de peso en los compartimientos
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Proporción de peso en los compartimientos
Problema de mezcla de productos con función objetivo separable
Ejemplo N° 12
Una compañía produce tres artículos A, B, C. Cada unidad de A, requiere una hora de
maquinaria, ocho horas de mano de obra y cuatro libras de materia.
Cada unidad de B, necesita tres horas de maquinaria, tres horas de mano de obra y tres
libras de materia.
Cada unidad de C, requiere dos horas de maquinaria, cuatro horas de mano de obra y dos
libras de materia.
La empresa dispone de 300 libras de materia prima, 800 horas de mano de obra y 80
horas de maquinaria, para el próximo periodo.
El precio de venta y por ende las utilidades de los artículos, van rebajando a medida que
aumenta la cantidad vendida, como se indica en la siguiente tabla:
¿Cuál será el programa de producción y ventas que maximiza la utilidad total)
Construcción del modelo:
Inicialmente elaboramos una tabla con los datos de consumo de los recursos de la
empresa:
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No es difícil detectar que las actividades alternativas que pueden realizarse son la
fabricación de cada uno de los artículos. Por ello definimos las variables como:
Xi: número de unidades del articulo i que deben fabricarse en el periodo.
La definición anterior es la típica cuando tenemos varias actividades que compiten por
varios recursos. El paso siguiente será la elaboración de la función del objetivo y de las
restricciones. Pero encontramos que la definición de las variables no nos permite escribir una
función objetivo válida.
En la función del objetivo hallaremos el inconveniente de que tenemos cuatro coeficientes
objetivo diferentes para el articulo A, tres para el artículo B y dos para el artículo C.
¿Cuál de ellos colocar en la función objetivo?
La situación anterior refleja la no proporcionalidad de la utilidad y la cantidad producida.
Por lo tanto ese problema no cumple una de las condiciones básicas para plantearse directamente
como un modelo de Programación Lineal.
Para adecuar el problema a la forma en que pueda formularse como modelo de P.L., es
posible a veces calcular una utilidad promedia para cada artículo y colocar este valor como
coeficiente objetivo. Claro que en ese caso estaremos aceptando que la solución hallada será
apenas aproximada, debido a la simplificación de los valores reales.
Pero afortunadamente para este tipo de problemas en donde el objetivo es maximizar y los
coeficientes van disminuyendo al aumentar la variable, es posible construir una función objetivo en
la cual se definan las variables para reflejar los intervalos que considera el problema.
Para mejor entendimiento construyamos una gráfica con los intervalos de la variable X1.
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Como se dijo las unidades comprendidas en el intervalo 0-40 dan utilidades de $10, las
comprendidas en el intervalo 41-100 dan utilidad unitaria de $9, etc.
Para reflejar este hecho en la función objetivo, vamos a definir las variables así:
Xij: cantidad de unidades vendidas del articulo i, que pertenecen al intervalo j
(i=1, 2, 3; j=1, 2, 3, 4)
Xi: cantidad total de unidades del articulo i vendidos.
De esta manera el modelo de P.L., queda:
Maximizar: utilidad:
Sujeta a:
Limites de las cantidades que pertenecen a cada intervalo.
No se incluyeron X14, X23 y X32 pues estas variables no tienen límite en sus valores.
Por comodidad al escribir las restricciones de uso de los recursos, podemos expresar las
siguientes igualdades:
Luego se escriben las restricciones de disponibilidad de recursos así:
Maquinaria:
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blema del transbordo
La compañía X puede producir su principal artículo en dos departamentos diferentes.
Cada departamento puede enviar lo producido al centro de control de calidad final A o al centro de
control de calidad final B, desde los cuales se remite a cualquiera de las cuatro líneas del
empaque y envío de que dispone la empresa. El departamento 1 tiene capacidad para producir
80 unidades por hora y el departamento 2 para producir máximo 60 unidades por hora. Según las
demandas esperadas, se ha programado que las líneas de empaque atiendan al menos las
siguientes cantidades por hora: 30, 20, 40, 40 respectivamente.
La siguiente tabla muestra los tiempos (minutos) promedio que se gasta en los diferentes
movimientos de cada unidad del producto.
En el centro 1 de control de calidad, se demora 4 minutos para revisar un artículo y en el
centro 2 de control de calidad se demora 6 minutos.
¿Cómo debe organizarse el flujo de las unidades entre los departamentos productivos y las
líneas de empaque y envío, pasando por algunos de los centros de control de calidad, de tal forma
que se obtenga un mínimo tiempo total de producción?.
Problema de asignación
Cierta compañía tiene tres empleados para asignar a tres solicitudes de reparación de
licuadoras en la casa de los clientes, que deben ser atendidos mañana, por lo cual los empleados
viajan directamente de su hogar hasta el del cliente.
Como la empresa subsidia el combustible del vehículo de los operarios, desea ahorrar lo
máximo, motivo por el cual necesita conocer la forma de asignar los operarios a los clientes de
tal manera que se tenga la menor distancia total de viaje de los empleados.
La tabla siguiente muestra las distancias desde la casa de cada empleado hasta la de cada
cliente.
Programación entera
Corte de madera
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Una marquetería debe enmarcar 175 cuadros de 119x96 cm.
comprar varillas de la moldura indicada con longitud de 300 cm.
En el mercado puede
¿Cómo deben cortarse las varillas para obtener los marcos requeridos, obteniendo el
menor sobrante posible?
Solución:
Modalidades de corte
Xi: Número de varillas estándar cortadas en la modalidad i (i= 1, 2, 3)
Para 175 marcos se necesitan 350 piezas de cada longitud.
Minimizar: 62X1 + 1X2 + 30X3 longitud sobrante
s.a:
2X1 + 1X2
> 350
piezas de longitud 119
2X2 + 3X3
> 350
piezas de longitud 90
Pregunta: ¿ El valor de las Xi tiene que ser entero?
¿Cuál será la diferencia de sobrantes, si permite que el valor de los Xi sea
fraccionario?
Programación de la producción de un ensamble.
Cierta empresa produce un artículo que se forma con cuatro piezas del componente A y
tres piezas del componente B.
Las piezas se pueden fabricar en cualquiera de las tres máquinas diferentes que posee la
compañía, las cuales transforman las dos materias primas en las piezas que van al ensamble del
producto final.
La tabla siguiente muestra el número de gramos de cada materia prima que deben
utilizarse en cada máquina para realizar un ciclo de producción de las componentes. La misma
tabla muestra el número de componentes de cada tipo que se obtienen en cada ciclo de
producción de cada una de las maquinas, así como el número de gramos disponibles de las
materias primas.
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¿Cómo debe programarse
la producción para obtener la máxima cantidad de artículos?
 Suponga que una compañía tiene cuatro proyectos llamémoslos A, B, C, D, que
pueden o no llevarse a cabo, pero un proyecto no puede ejecutarse parcialmente.
Los proyectos B y D no se pueden ejecutar simultáneamente (son mutuamente
excluyentes)
La información relativa a los proyectos es:
La compañía dispone actualmente de 25.000 y al inicio del segundo año recibirá
$5.000 de otras inversiones. Además necesita disponer de 15.000 al inicio del tercer año
para cancelar unos compromisos en esa fecha.
Elabore el modelo de P.L. para determinar cuáles proyectos ejecutarse con el
propósito de maximizar el valor presente neto de las inversiones realizadas.
Autor:
Rafael Freites
rafaelfreites@hotmail.com
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Investigación de Operaciones y Simulación
Mohammed Portilla- mportillac@gmail.com
1.
2.
3.
4.
Programación Lineal - Problema General
Características de la Programación Lineal
Pautas y comentarios para la formulación de modelos
Formulación de Modelos
Evaluación y formulación de problemas de optimización de recursos empresariales
Max ó Min Z = C X
S.A:
AX≤B
XJ > 0 ; j = 1, 2, ..., n
Objetivo
Mediante una recopilación de problemas representativos de programación lineal se busca
desarrollar la capacidad inventiva para formular problemas de optimización de recursos.
Programación Lineal - Problema General
Definición:
Dado un conjunto de m desigualdades lineales ó ecuaciones lineales, con n variables, se
requiere hallar valores no negativos de éstas variables que satisfagan las restricciones y
maximicen ó minimicen alguna función lineal de las variables llamada Función Objetivo.
Matemáticamente:
Hallar XJ , J = 1, 2, . . . . . n para:
Maximizar
ó
Z = C1X1 + C2X2 + . . . . . . + CnXn
Minimizar
Con las siguientes restricciones:
≤ ó ≥ b1
a11X1 + . . . . . . + a1jXj + . . . . . . + a1nXn
.
≤ ó ≥ bi
ai1X1 + . . . . . . + aijXj + . . . . . + ainXn
.
≤ ó ≥ bm
am1X1 + . . . . . . + amjXj+ . . . . . . + amnXn
Xj =0 ; j = 1, 2, . . . . . . n
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Características de la Programación Lineal
1) Linealidad asume que no pueden haber términos así: X1X2, X3 2 a14Log X4
2) Asume las propiedades aditivas y multiplicativas.
a)
Si una unidad tipo E necesita 2 horas en la Máquina A y una unidad tipo F
necesita 2½ horas, entonces ambas necesitan 4½ horas.
b)
Si una unidad tipo E necesita 1 hora en la máquina B, entonces 10 unidades
necesitan 10 horas.
3) La función a optimizar (maximizar ó minimizar) se llama función objetivo, no
contiene ningún término constante.
4) En las m restricciones, no están incluidas las condiciones Xj =0 (condición de no
negatividad).
5) Soluciones:
a)
Cualquier conjunto de Xj que satisface las m restricciones se llama una
solución al problema.
b)
Si la solución satisface la condición de no negatividad Xj =0 , se llama una
solución factible
c)
Una solución factible que optimiza la función objetiva se llama una solución
factible óptima
Usualmente hay un número infinito de soluciones factibles al problema, de todas estas,
tiene que hallarse una óptima
Pautas y comentarios para la formulación de modelos
En la conversión de modelos verbales a modelos formales, será muy útil describir primero
con palabras un modelo que corresponda al problema dado.
Se puede proceder de la siguiente forma:
1) Exprese cada restricción en palabras; al hacer esto, ponga cuidadosa atención en si
la restricción es un requerimiento de la forma:
≥ (mayor ó igual que, al menos, por lo menos, como mínimo),
≤ (menor ó igual que, no mayor que, como máximo), ó
= (igual a, exactamente igual a).
2) Expresar el objetivo en palabras.
3) Identificar verbalmente las variables de decisión. Una guía útil es hacerse la
pregunta:
¿Qué decisión debe tomarse para optimizar la función objetivo?. La respuesta a esta
pregunta ayudará a identificar correctamente las variables de decisión.
4) Expresar la función objetivo en términos de las variables de decisión. Verificar la
consistencia de unidades. Por ejemplo, si los coeficientes de una función objetivo Cj están
dados en S./ por kilo, las variables de decisión Xj deben estar en kilos, no en toneladas ni
onzas.
5) Expresar las restricciones en términos de las variables de decisión. Comprobar que
para cada restricción las unidades del lado derecho son las mismas que las del lado izquierdo.
Las restricciones no pueden tener una desigualdad estricta, con los signos < ó >. La razón de
esto es de naturaleza matemática.
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Formulación de Modelos
Traducir problemas del mundo real a modelos matemáticos.
No leer en un problema más de lo que se da. Por ejemplo, no introduzca restricciones
adicionales o matices lógicos o datos imaginarios que en su opinión podrían hacer más realista el
modelo.
1. PROBLEMA DE PRODUCCIÓN
Un taller tiene tres (3) tipos de máquinas A, B y C; puede fabricar dos (2) productos 1 y 2,
todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden: Primero a la
máquina A, luego a la B y luego a la C. La tabla siguiente muestra:
1. Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto
2. Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana
3. La ganancia por unidad vendida de cada producto
¿Que cantidad de cada producto (1 y 2) se debe manufacturar cada semana, para obtener
la máxima ganancia?
¿Cuantas horas semanales sobran en cada departamento?
Formulación
1) Definición de las variables:
Xj = Unidades semanales a producir del articulo j-ésimo ( j=1 y 2)
2) Función objetivo:
Maximizar Z = X1 + 1.5 X2
Con las siguientes restricciones (S.A:):
3) Restricciones:
2X1 + 2X2 ≤ 16 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ A
X1 + 2X2
≤ 12 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ B
4X1 + 2X2 ≤ 28 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ C
4) Condición de no negatividad:
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Xj =0 ; j = 1 y 2
Solución óptima
x1= 4 x2=4
Z=10
Tiempo sobrante de cada máquina:
Máquina A Se usan todas las horas semanales disponibles
Máquina B Se usan todas las horas semanales disponibles
Máquina C Sobran 4 horas semanales
2. OPTIMIZACIÓN DEL CORTE DE MADERA
En una marquetería se fabrican cuadros, cuyos marcos se obtienen de cortar varillas para
bocel, cuya longitud original es de 300 cm.
El Departamento de ventas tiene pedidos para el siguiente mes de 175 cuadros de 119 x
90
cm.
En el método actual el Jefe de producción ordena que se corten 350 boceles de 119 cm. y 350
boceles de 90 cm. (Cada cuadro lleva 2 boceles de cada dimensión).
Con ésta manera de cortar la madera, la Fábrica necesita el capital para comprar 292
varillas de 300 cm. cada una y genera 14450 cm. de desperdicio.
Formule un problema de programación lineal que minimice el desperdicio, la compra de
materia prima y optimice la productividad.
Total de varillas de 300 cm. a comprar: 175 + 117 = 292 varillas
Total de centímetros de desperdicio: 10850 + 3600 = 14450 cm.
Formulación
Xj = Número de varillas a cortar de la forma j-ésima (j = 1, 2 y 3)
Formas posibles de cortar la varilla:
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Solución óptima
X1 * = 89 Cortar 89 veces de la manera 1
X2 * = 172 Cortar 172 veces de la manera 2
X3 * = 2 Cortar 2 veces de la manera 3
Z * = 5750 centímetros de desperdicio
Número de varillas a comprar: 89 + 172 + 2 = 263 varillas de 300 cm.
Cuadro comparativo de los ahorros:
Conceptos
Materia prima
Desperdicio (cm.)
Antes
292
14450
Después
263
5750
Diferencia
29
8700
3. CORRIDAS DE PRODUCCIÓN
Una empresa produce un artículo cuya unidad está compuesta por 4 unidades de
componente A que se producen por corrida de producción a partir de las materias primas 1 y 2 y
en tres departamentos.
Las Materias primas y la Producción por corrida de producción se muestra en la siguiente
tabla:
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Elabore un plan de producción para maximizar la cantidad de artículo a producir.
Formulación
XJ = Número de corridas de producción en el departamento j-ésimo (j = 1,2 y 3)
Número de componentes A: 7X1 + 6X2 + 8X3
Número de artículos completos con los componentes A: (7X1 + 6X2 + 8X3) / 4
Maximizar (7X1 + 6X2 + 8X3) / 4
S.A:
8X1 + 5X2 + 3X3 ≤ 100
Restricciones debidas a la disponibilidad
6X1 + 9X2 + 8X3 ≤ 200
de materias primas tipo 1 y 2
XJ ≥0 j = 1, 2 y 3 Enteros
Restricción de no negatividad
4. EL PROBLEMA DE LOS PAQUETES DE TUERCAS
Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tornillos mezclados.
Cada paquete pesa por lo menos 2 libras y está compuesto por tres tamaños de tornillos,
los cuales se compran en lotes de 200 libras. Los lotes de tamaños 1, 2 y 3 cuestan
respectivamente $20, $8 y $12, además:
a) El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del
paquete.
b) El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1.6 libras
c) Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos el 10% del paquete total
¿Cuál será la composición del paquete que ocasionará un costo mínimo?
Formulación
Xj= Peso en libras de los tornillos del tamaño j-ésimo (j=1,2 y 3) en el paquete
Observe que:
20/200 es lo que vale una libra de tornillos tipo 1
8/200 es lo que vale una libra de tornillos tipo 2
12/200 es lo que vale una libra de tornillos tipo 3
Minimizar Z = 20/200 X1 + 8/200 X2 + 12/200 X3
S.A:
X1 + X3 ≥ (X1 + X2 + X3)/2 Los tamaños 1 y 3 al menos la mitad del peso
X1 + X2 ≤1.6
Los tamaños 1 y 2 no deben ser mayor de 1.6 lb.
X1 ≥ 0.1 (X1 + X2 + X3)
El tamaño 1 debe ser al menos el 10% del total
X2 ≥ 0.1 (X1 + X2 + X3)
El tamaño 2 debe ser al menos el 10% del total
X3 ≥ 0.1 (X1 + X2 + X3)
El tamaño 3 debe ser al menos el 10% del total
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X1 + X2 + X3 ≥ 2
El paquete debe ser al menos de 2 libras
XJ ≥0 j = 1, 2 y 3
Condición de no negatividad
Minimizar Z = 0,1X1 + 0,04X2 + 0,06X3
S.A:
X1 - X2 + X3
≥0
≤ 1.6
X1 + X2
0,9X1 -0,1X2 - 0,1X3 ≥ 0
-0,1X1 +0,9X2 – 0,1X3
≥0
-0,1X1 –0,1X2 + 0,9X3
≥0
X1 + X2 + X3
≥2
XJ ≥0 j= 1, 2 y 3
Solución óptima
X1 = 0.2 Libras del tamaño 1
X2 = 1.0 Libras del tamaño 2
X3 = 0.8 Libras del tamaño 3
Z = $0.108 Costo mínimo del paquete
5. PROBLEMA CLÁSICO DEL TRANSPORTE
Un fabricante tiene tres centros de distribución en: Bogotá, Medellín y Cali. Estos centros
tienen disponibilidades de: 20, 40 y 40 unidades respectivamente. Sus detallistas requieren las
siguientes cantidades: Pereira 25, Tulúa 10, Anserma 20, Ibagué 30 y Armenia 15.
El costo de transporte por unidad en dólares entre cada centro de distribución y las
localidades de los detallistas se dan en la siguiente tabla:
¿Cuantas unidades debe mandar el fabricante desde cada centro de distribución a cada
detallista, de manera que los costos totales de transporte sean mínimos?
Formulación
Xij = Cantidad de unidades a enviar desde el centro de distribución i-ésimo (1=Bogotá,
2=Medellín, 3=Cali), al detallista j-ésimo (1=Pereira, 2=Tulúa, 3=Anserma, 4=Ibagué, 5=Armenia)
Minimizar Z = 55X11 + 30X12 + 40X13 + 50X14 + 40X15 + 35X21 + 30X22 + 100X23 +
45X24 + 60X25 + 40X31 + 60X32 + 95X33 + 35X34 + 30X35
S.A:
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X11 + X12 + X13 + X14 + X15
≤ 20
Restricciones debidas a la disponibilidad
X21 +X22 + X23 + X24 + X25
≤ 40
de unidades en los respectivos
X31 +X32 + X33 + X34 + X35
≤ 40
centros de distribución 1, 2 y 3
X11 + X21 + X31
≥ 25
Restricciones debidas a los requerimientos
X12 + X22 + X32
≥ 10
de unidades,
X13 + X23 + X33
≥ 20
de los detallistas respectivos 1, 2, 3, 4 y 5
X14 + X24 + X34
≥ 30
X15 + X25 + X35
≥ 15
Xij ≥0 ;
i = 1, 2 y 3 ; j = 1, 2, 3, 4 y 5
Solución óptima
X11 = 0
X 21 = 25
X 31 = 0
X12 = 0
X 22 = 10
X 32 = 0
X13 = 20
X 23 = 0
X 33 = 0
X14 = 0
X 24 = 5
X 34 = 25
X15 = 0
X 25 = 0
X 35 = 15
Z = $ 3525
6. PROBLEMA DE LOCALIZACIÓN DE PLANTA
Una empresa del sector textil, que opera en todo el país, dispone de la siguiente
configuración:
Dos plantas de fabricación en Pereira e Ibagué, con capacidades de 900 y 1.500 unidades
respectivamente.
Cuatro almacenes regionales de distribución que sirven a los clientes de sus respectivas
zonas en: Neiva, Medellín, Cali y Bogotá, con demandas de: 700, 800, 500 y 400 unidades
respectivamente.
En los próximos años, la empresa espera un crecimiento de la demanda del orden del
25%, lo cual ha llevado a la Dirección de la misma a plantearse la apertura de una nueva fábrica.
A la vista de los criterios que la empresa estima importantes para la localización de la
nueva planta, existen dos alternativas a considerar: Pasto (alternativa 1) y Villavicencio (alternativa
2). La elección recaerá en aquella que provoque los menores costos de transporte entre las
fábricas y los almacenes, dado que ambas parecen ser igualmente convenientes respecto a otros
factores.
La tabla siguiente muestra los costos de transporte unitarios entre cada origen y destino.
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Formulación
(a) Considerando establecer la nueva planta en Pasto
Xij = Unidades a enviar desde la planta i-ésima (1=Pereira, 2=Ibagué, 3=Pasto) al almacén
j-ésimo (1=Neiva, 2=Medellín, 3=Cali, 4=Bogotá)
Minimizar Z = 6X11 + 4X12 + 2X13 + 6X13 + 2X21 + 3X22 + 7X23 + 5X24 + 6X31 + 4X32
+ 4X33 + 8X34
S.A:
X11 + X12 + X13 + X14
= 900
Restricciones debidas a la disponibilidad
X21 + X22 + X23 + X24
= 1500
de unidades en
X31 + X32 + X33 + X34
= 600
las plantas 1, 2 y 3
X11 + X21 + X31 = 700 + 175
X12 + X22 + X32 = 800 + 200
regionales
= 875 Restricciones debidas a los requerimientos
= 1000
de
unidades
X13 + X23 + X33 = 500 + 125
= 625 de distribución 1, 2, 3 y 4
X14 + X24 + X34 = 400 + 100
= 500
de
los
almacenes
Xij ≥0 ; i = 1,2 y 3 ; j = 1,2,3 y 4
Solución óptima
X 13 = 625
X 14 = 275
X 21 = 875
X 22 = 400
X 24 = 225
X 32 = 600
Z = $9375
(b) Considerando establecer la nueva planta en Villavicencio:
Xij = Unidades a enviar desde la planta i-ésima (1=Pereira, 2=Ibagué, 3=Villavicencio)
al almacén j-ésimo (1=Neiva, 2=Medellín, 3=Cali, 4=Bogotá)
Minimizar
Z = 6X11 + 4X12 + 2X13 + 6X13 + 2X21 + 3X22 + 7X23 + 5X24 + 6X31 + 3X32 + 4X33 +
2X34
S.A:
X11 + X12 + X13 + X14 = 900
Restricciones debidas a la
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X21 + X22 + X23 + X24 = 1500
disponibilidad de unidades en
X31 + X32 + X33 + X34 = 600
las plantas 1, 2 y 3
X11 + X21 + X31 = 875
Restricciones debidas a los requerimientos
X12 + X22 + X32 = 1000
de unidades de los almacenes regionales
X13 + X23 + X33 = 625
de distribución 1, 2, 3 y 4
X14 + X24 + X34 = 500
Xij ≥0 ; i = 1,2 y 3 ; j = 1,2,3 y 4
Solución óptima
X 12 = 275
X 13 = 625
X 21 = 875
X 22 = 625
X 32 = 100
X 34 = 500
Z = $7275
De los resultados obtenidos se deriva que Villavicencio es la mejor localización bajo el
criterio de minimizar los costos del transporte.
7. El problema de asignaciones
Se usan cuatro barcos cargueros para transportar bienes de un puerto a otros cuatro
puertos (numerados 1, 2, 3 y 4). Se puede usar cualquier barco para hacer cualquiera de los
cuatro viajes. Sin embargo, dadas algunas diferencias entre los barcos y las cargas, el costo total
de cargar, transporte y descargue de bienes para las distintas combinaciones de barcos y puertos
varían mucho.
Estos costos se muestran el la siguiente tabla:
El objetivo es asignar los barcos a los puertos en una correspondencia uno a uno, de
manera que se minimice el costo total de los cuatro barcos.
Xij = 0, No asigne el barco i-ésimo ( i = 1, 2, 3 y 4 ) al puerto j-ésimo ( j = 1, 2, 3 y 4 )
Xij = 1, Si asigne el barco i-ésimo ( i = 1, 2, 3 y 4 ) al puerto j-ésimo ( j = 1, 2, 3 y 4 )
Minimice
Z = 5X11 + 4X12 + 6X13 + 7X14 + 6X21 + 6X22 + 7X23 + 5X24 + 7X31 + 5X32 + 7X33 +
6X34 + 5X41 + 4X42 + 6X43 + 6X44
S.A:
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X11 + X12 + X13 + X14 = 1 Restricciones que aseguran
X21 + X22 + X23 + X24 = 1 que un solo barco
X31 + X32 + X33 + X34 = 1 es asignado a un solo puerto
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
X11 + X21 + X31 + X41 = 1 Restricciones que aseguran
X12 + X22 + X32 + X42 = 1 que un solo puerto
X13 + X23 + X33 + X43 = 1 es asignado a un solo barco
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
Xij ≥0 ; i = 1,2,3 y 4 ; j = 1,2,3 y 4
Solución óptima
X * 11 = 1
X * 12 = 0
X * 13 = 0
X * 14 = 0
X * 21 = 0
X * 22 = 0
X * 23 = 0
X * 24 = 1
X * 31 = 0
X * 32 = 1
X * 33 = 0
X * 34 = 0
X * 41 = 0
X * 42 = 0
X * 43 = 1
X * 44 = 0
Z * = 21
Barco 1 --------Puerto 1 --------Costo $ 5
Barco 2 --------Puerto 4 --------Costo $ 5
Barco 3 --------Puerto 2 --------Costo $ 5
Barco 4 --------Puerto 3 --------Costo $ 6
Costo total mínimo: $21
8. Problema de la mezcla
Una compañía de petróleos produce tres tipos de gasolina: Super, Normal y Euro. Se
obtienen por mezcla de tres calidades de crudo (A,B,C), que contienen tres componentes (1,2,3).
La participación de estos componentes en la composición de cada crudo es:
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Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son:
Los costos por barril de crudo A, B y C son: $650, $500 y $450, respectivamente.
El presupuesto diario de compra es de $50 Millones.
La disponibilidad diaria de crudos B y C se limita, respectivamente, a 3000 y 7000 barriles.
Ciertos acuerdos obligan a comprar al menos 2500 barriles de A.
Las demandas de gasolina Super y Normal son de 2000 y 2500 barriles diarios, que deben
satisfacerse. La compañía desea maximizar la producción de gasolina Euro.
Formule un modelo de programación lineal que de respuesta al problema planteado por la
compañía.
10. El problema del financiero
Un inversionista tiene la intención de hacer varias inversiones, las cuales se extenderán
por un periodo de cinco años, al final del cual necesitará de todo el capital. Las inversiones se
hacen el 1º de Enero de cada año y son:
Inversión A: Disponible el 1º de Enero de cada año y produce el 15% de interés al final de
cada año.
Inversión B: Disponible en dos años a partir de ahora (Comienzo del 3º año), y produce un
retorno del 25% al final del 3º año y lo máximo que el inversionista considerará son $40.000
Inversión C: Disponible en un año a partir de ahora (Comienzo del 2º año), y produce el
40% al final del cuarto año. Esta inversión será de $30.000 como máximo.
El inversionista tiene $100000 disponible para las inversiones.
¿Cuál debe ser el portafolio de inversión que le permita obtener la máxima cantidad de
dinero al final del año quinto?
Formulación:
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Xij = Cantidad de dinero a invertir en la alternativa i-ésima (i=A, B y C) al principio
del año j-ésimo (j = 1, 2, 3, 4 y 5 ).
Capital Inicial: $100.000
Para construir las restricciones piense, que al principio de cada año va a tener disponibles
algunas alternativas de inversión para las que no podrá invertir más de lo tenga disponible en ese
momento.
El lado izquierdo de las restricciones, representa la cantidad de dinero que el inversionista
invertirá en las alternativas disponibles al principio de cada año y el lado derecho representa la
cantidad de dinero disponible para invertir, que es la suma de: El capital inicial + La suma de todos
los intereses recibidos hasta la fecha - Los capitales que están invertidos en ese momento y que
no han retornado.
Maximizar Z = 0,15 (XA1 + XA2 + XA3 +XA4 + XA5) + 0,25XB3 + 0,4XC2
S.A:
Restricciones debidas a la cantidad de dinero disponible al principio de cada uno de los
cinco años:
XA1 ≤ 100000
XA2 + XC2 ≤ 100000 + 0,15XA1
XA3 + XB3 ≤ 100000 + 0,15(XA1 + XA2) - XC2
XA4 ≤ 100000 + 0,15(XA1 + XA2 + XA3) + 0,25XB3 - XC2
XA5 ≤ 100000 + 0,15(XA1 + XA2 + XA3 +XA4) + 0,25XB3 + 0,4XC2
XB3 ≤ 40000
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XC2 ≤ 30000
Xij ≥0 ; i = A, B y C ; j = 1, 2, 3, 4 y 5
Solución óptima
X A1 = $100000
A4 = $156087,50
X A5 = $179500,6
XA2 = $115000
XB3 = $ 40000
X A3 = $ 92250
X
X C2 = $0
Z = $206425,7
13. El problema de los manteles
En un salón de banquetes se tienen programados banquetes durante los siguientes cinco
días. Los requisitos de manteles por banquete son:
El problema del administrador es que se requieren manteles diferentes a los que se usan,
por lo que tendrá que comprar ese tipo de manteles.
El costo de cada mantel es de $40 y el costo de mandarlo a la lavandería bajo servicio
urgente para tenerlo listo a los dos días es de $10 por mantel.
¿Cuál es el modelo que le permitirá al administrador cumplir con sus requisitos y además
minimizar el costo total?
Formulación:
Xi = Número de manteles a comprar para el banquete i-ésimo (i = 1, 2, 3, 4 y 5)
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Yi = Número de manteles a mandar a lavar después del banquete i-ésimo (i = 1, 2 y 3)
Ii = Número de manteles limpios al final de cada banquete i-ésimo (i = 1, 2, 3 y 4)
Minimizar Z = 40(X1 + X2 +X3 +X4 +X5) + 10(Y1 + Y2 + Y3)
S.A:
X1 = 80 + I1
I1 +X2 = 60 + I2
Y1 + I2 + X3 = 100 + I3
Y2 + I3 + X4 = 130 + I4
Y3 + I4 + X5 = 200
Y1 =80
Y2 =60
Y3 =100
Xi ≥0 ; i = 1, 2, 3, 4 y 5
Ii ≥0 ; i = 1, 2, 3 y 4
Yi ≥0 ; i = 1, 2 y 3
Solución óptima
X 1 = 80
X 2 = 60
X 3 = 20
Y 1 = 80
Y 2 = 60
Y 3 = 100
X 4 = 70
X 5
= 100
I i = 0 ; i = 1, 2, 3, 4
Z = $15600
Autor:
Msc. Ing. Mohammed Portilla Camara
mportilla@gmail.com
mportilla@grupo-groming.com
Gerente de Operaciones
Grupo Groming Ingeniería SAC. y
CEENQUA: Certifications for Engineering of Quality
La Molina, Lima - Perú
Estudios realizados en: Ingeniería Industrial, Ingeniería de Minas e Ingeniería Informática
Universidad de Lima
Pontificia Universidad Católica del Perú
Universidad Nacional de Ingeniería
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Escuela de Negocios para Graduados - ESAN
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Aplicación del método Símplex en investigación de operaciones y simulación
Mohammed Portilla - mportillac@gmail.com
1.
Introducción
2.
Tipos de restricciones
3.
Un adelanto del análisis post-óptimo
Introducción
El método símplex cuya gran virtud es su sencillez, es un método muy práctico, ya que
solo trabaja con los coeficientes de la función objetivo y de las restricciones.
Ilustraremos su funcionamiento mediante un ejemplo, pero previamente mostraremos las
reglas de decisión para determinar la variable que entra, la que sale, la gran M, y cómo determinar
que estamos en el óptimo; Todas éstas reglas de decisión fueron deducidas del método
algebraico, solamente que aquí se han acomodado para ser usadas en el tipo de tablero símplex
que se usará.
Criterio de decisión
Gran M en la función
objetivo
Maximizar
Minimizar
- MXj
+MXj
Variable que entra
La más negativa de
La más positiva de los
los Zj - Cj
Zj - Cj
Variable que sale
La menos positiva de
La menos positiva de
los b/a ,
los b/a ,
Siendo a > 0 , de lo
Siendo a > 0 , de lo
contrario
contrario
no restringe
no restringe
variable que
a
la
entra
Cuando todos los Zj –
Solución óptima
Cj > 0
Cuando todos los Zj –
Cj < 0
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Tipos de restricciones
 Restricciones 
Se añade una variable de holgura, con costo (o ganancia) en la función objetivo igual a
0.
Ejm:
2X1 - 4X2 <= 1, queda:
2X1 - 4X2 + X3 = 1
Cj de X3 en la función objetivo será 0.
 Restricciones 
Se resta una variable de exceso, con costo (o ganancia) en la función objetivo igual a
0, y se suma una variable artificial con costo +M ó –M según sea maximización o
minimización.
Ejm:
2X1 + 3X2 >= 1, queda:
2X1 + 3X2 - X3 + X4= 1 Cj de X3 en la función objetivo será 0. y Cj de X4 (artificial) es
M
 Restricciones
=
Se le añade una variable artificial con costo +M ó –M según sea maximización o minimización.
Ejm:
2X1 + 3X2 = 8, queda:
2X1 + 3X2 + X3= 8
Cj de X3 en la función objetivo será M
Adicionalmente se presentan las siguientes notas a tener en cuenta:
 Si en el tablero simplex de la solución óptima queda al menos una variable de
superávit ó artificial dentro de las variables básicas, con un valor > 0 , el problema no tiene
solución, esto quiere decir que al menos existen dos restricciones excluyentes, por lo tanto no
existe área de soluciones factible y menos una solución , en éste caso se debe revisar la
formulación del problema.
 Si al escoger la variable que sale, ninguna de las variables básicas restringe el
crecimiento de la variable no básica escogida para entrar, el problema tiene solución
indeterminada y se debe revisar la formulación en busca de una nueva restricción que no se
tuvo en cuenta en la formulación inicial.
 Si en el tablero simplex del óptimo, al menos una de las variables no básicas tiene
coeficiente cero (0) en la función objetivo, esto es su Zj – Cj = 0, el problema tiene múltiples
soluciones y se nos está ofreciendo una de ellas.
Ejemplo 1
Siendo Xi la cantidad a producir del producto i.
Maximizar Z = X1 + X2
{Ganancia total en soles}
S.A.
5X1 + 3X2 <= 15
{Horas disponibles dep. A}
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3X1 + 5X2 <= 15
{Horas disponibles dep. B}
Xj >= 0 ; j = 1, 2
Los problemas de Maximización, con todas sus restricciones <= y con la condición de no
negatividad, se le llama Forma Estándar ó Forma Normal
Aquí debemos conseguir una solución básica factible, empleando las variables de holgura
y/o artificiales, quedando el sistema de ecuaciones así:
Maximizar Z = X1 + X2
S.A.
5X1 + 3X2 + X3
3X1 + 5X2 +
= 15
X4
= 15
Xj >= 0 ; j = 1,2,3,4
Las variables básicas son aquellas cuyos coeficientes forman la matriz unitaria.
En este caos accidentalmente son las variables de holgura X3 y X4.
A continuación construimos la siguiente tabla:
Cj
1
1
0
0
b
/a
V
b
.B.
1
0
3
X
0
4
X
X
2
X
3
X
X
>0
4
1
5
3
1
0
1
5/5=3
1
3
5
0
1
1
5/3=5
-
-
0
5
5
0
Zj - Cj
a
1
0
1
El valor de la función objetivo Z, se encuentra frente a la casilla de Zj – Cj , en éste caso
vale cero (0) y se calcula multiplicando el vector fila (en la tabla es la columna inmediatamente
anterior a la de las variables básica V.B.) que contiene los coeficientes de las variables básicas en
la función objetiva original por el vector columna de los términos independientes b
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CXB = Vector fila de los coeficientes en la función objetivo original de las variables básicas
actuales, sus valores se encuentran en la primera columna del tablero.
b = Vector columna de los términos independientes de las restricciones, que al mismo
tiempo son los valores de las variables básicas actuales, sus valores se encuentran bajo la
columna denominada b
CXB = (0,0) ; b = (15,15)’
Z = CXB * b = (0)(15) + (0)(15) = 0
El valor de los Zj – Cj se calcula multiplicado el vector fila CXB por el vector apuntador aj
dela columna de la variable j-ésima, menos el Cj, esto es:
Zj – Cj = CXB. aj – Cj ;
Los cálculos se efectúan así:
Z1 – C1 = CXB a1 – C1 = (0,0).(5,3)’ - 1 = (0)(5)+(0)(3) – 1 = -1
Z2 – C2 = CXB a2 – C2 = (0,0).(3,5)’ - 1 = (0)(3)+(0)(5) – 1 = -1
Z3 – C3 = CXB a3 – C3 = (0,0).(1,0)’ - 0 = (0)(1)+(0)(0) – 0 = 0
Z4 – C4 = CXB a4 – C4 = (0,0).(0,1)’ - 0 = (0)(0)+(0)(1) – 0 = 0
A continuación se indican la variable que sale y la variable que entra:
La variable que tiene Zj-Cj más negativo es ó X1 ó X2. Se escoge al azar X1.
En esta iteración b/a da: 15/5 = 3 y 15/3 = 5;
Lo que significa que la variable básica X3 restringe el crecimiento de la variable que entra,
X1, hasta 3 (no la deja tomar valores superiores a 3) y la variable básica X4 restringe el
crecimiento de la variable que entra X1 hasta 5 (no la deja tomar valores superiores a 5).
Por supuesto la variable básica que restringe más el crecimiento de la variable que
entra X1, es X3 , por lo tanto, es la variable básica escogida para salir.
La fila de la variable básica escogida para salir se divide por el elemento que se encuentra
en la intersección de dicha fila con la columna de la variable que entra, la fila resultante es la fila
pivote y se coloca en un nuevo tablero, desde el que se suman múltiplos de la fila pivote a las
demás filas del tablero anterior de tal forma que se eliminen de cada una de ellas la variable
escogida para entrar, en nuestro caso X1 , este procedimiento se denomina, hacer un uno (1) en
la intersección y el resto de la columna ceros (0), por lo tanto en dicha columna aparecerá un
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vector unitario, el procedimiento se repite en cada iteración, hasta que todos los Zj – Cj sean
mayores ó iguales a cero en el caso de maximizar ó menores ó iguales a cero en el caso de
minimizar.
A continuación se muestran todas las iteraciones y en cada fila los valores por los cuales
fueron multiplicadas para ser sumadas a otras filas, ello se expresa como sumar múltiplos de una
fila a otra.
Fíjese que se suman múltiplos de las restricciones a la función objetivo para eliminar las
variables básicas de ella.
Cj
V
b
.B.
1
1
1
0
X
X
3
X
4
2
0
/a
X
b
a
>0
1
1
X
3
1
/5
3
/5
1
0
5
X
6
0
6/5
1
3/5
-
Variable
0
4
1
5/8
Variable
Zj - Cj
0
2/5
/5
1
1
1
0
X
X
4
3
Cj
V
.B.
X
b
1
2
3
1
que entra X2
0
que sale X4
0
/a
X
b
a
>0
1
1
X
X
Solución
1
2
X1* = 15/8
Zj – Cj
1
1
0
/16
5
0
1
0
1
3/16
/16
5
0
/8
1
/8
1
5/8
5/8
1
5/4
X2* = 15/8
0
Z * = 15/4
La solución es única: X1 * = 15/8 ; X2 * = 15/8 ; Z* = 14/4
Ejemplo 2
Minimizar Z = 6X1 + 4X2 + 2X3
S.A.
6X1 + 2X2 + 6X3
>= 6
6X1 + 4X2
= 12
2X1 - 2X2
<= 2
Xj >= 0 ; j = 1, 2, 3
72
óptima:
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Minimizar Z = 6X1 + 4X2 + 2X3 + MX5 + MX6
S.A.
6X1 + 2X2 + 6X3 – X4 + X5
6X1 + 4X2
2X1 - 2X2
=6
+X6
= 12
+X7
=2
Xj >= 0 ; j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Las variables básicas son X5 = 6 , X6 = 12, X7 = 2
Solución Óptima:
Variables de decisión:
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X1 = 0 , X2 = 3 , X3 = 0 , Z = 12
Variables de holgura : X4 = 0 , X7 = 8
Variables artificiales: X5 = 0 , X6 = 0
Un adelanto del análisis post-óptimo
Maximizar Z = X1 + X2
{Ganancia total en soles}
S.A.
5X1 + 3X2 <= 15
{Horas disponibles dep. A}
3X1 + 5X2 <= 15
{Horas disponibles dep. B}
Xj >= 0 ; j = 1, 2
Tablero inicial:
Cj
1
1
0
0
/a
b
a
V
b
.B.
1
0
3
X
0
4
X
X
2
X
3
X
4
1
5
3
1
0
1
5/5=3
1
3
5
0
1
1
5/3=5
-
-
0
5
5
Zj – Cj
>0
X
0
1
1
Tablero óptimo:
74
0
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Costo reducido:
Unidades = (unidad monetaria)/(unidad de producto) = (u.m.)/(u.p.) = las mismas unidades
que Cj
Precio dual:
Unidades = (unidad monetaria)/(unidad de recurso) = (u.m.)/(u.r.)
Interpretación del Costo reducido:
En cuantas unidades monetarias empeora la función objetivo al producir una
unidad de un producto que no se está produciendo.
En minimización: (z / x)

En maximización: (z / x)
Si la variable es básica ,el costo reducido es 0.

Si la variable es no básica, es >= 0. Cuando es 0 significa soluciones
alternativas.
Interpretación del Precio dual:
En cuantas unidades monetarias va a variar la función objetivo al variar en una unidad de
recurso limitante.
Cuando es >0:
(z / b)
ó
(z / b)
Cuando es <0:
(z / b)
ó
(z / b)
Una restricción es limitante cuando limita a la función objetivo. Esto sucede cuando se
cumple la igualdad de la restricción.
Si la restricción es no limitante, el precio dual es 0.
Si la restricción es limitante, puede tomar cualquier valor positivo, negativo o 0.
ANIMALES DISECADOS
Una Empresa de Animales Disecados está produciendo palomas y gavilanes disecados.
En las condiciones en que se encuentra el mercado actualmente puede vender los gavilanes y las
palomas con utilidades de $20.00 y $12.00 respectivamente.
Las pieles de los gavilanes son más duras y toman más tiempo de trabajo que las pieles de
las palomas. La máquina de pieles puede trabajar 4 pieles de gavilán por minuto ó 8 pieles para
palomas, usando la misma capacidad. La línea de relleno, puede rellenar 5 gavilanes ó 4 palomas
por minuto. Los gavilanes van a una operación final en una máquina de afilado del pico que tiene
una capacidad de 3.5 gavilanes por minuto, La jornada de trabajo en la división es de 8 horas.
a) Formule el modelo de programación lineal, que resuelva el caso.
b) Formule el problema dual del modelo formulado en (a).
c) Resolver el modelo, y hacer una interpretación administrativa de la solución.
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d) Determinar la solución óptima del problema dual leyéndola directamente de la
tabla óptima encontrada en la pregunta c.
A no ser que se especifique de otra manera, las siguientes preguntas son independientes
unas de otras y están basadas en el enunciado inicial del problema.
e) Existe la posibilidad de trabajar sobretiempos en la máquina de pieles, en la línea
de relleno, y en la máquina de afilado. ¿Cuál es la mayor utilidad que se genera por cada
sobretiempo en cada una de las secciones?.
f) El Gerente de la Empresa visita la línea de gavilanes y palomas, y observa que hay
capacidad ociosa en algunos de los procesos. El resuelve ordenar que se usen todos los
centros del proceso, en toda su capacidad instalada. ¿Qué le diría usted?.
g) Qué sucedería con la solución óptima si las utilidades por cada paloma bajan a s/.
9.00 ?.
h) Para darle un mejor acabado a los juguetes, se ha instalado una línea de laqueado;
la línea de laqueado puede rellenar 5 gavilanes por minuto o 4 palomas en el mismo tiempo,
igualmente la jornada es de 8 horas. ¿Afectaría la solución óptima?; de ser así encuentre la
nueva solución.
NOTA TEORICA:
En esta pregunta, observar si la nueva restricción es cumplida por la solución actual, si
es así sería una restricción redundante y no afecta a la solución actual, pero si la solución
actual no la cumple, entonces será necesario volver a resolver el problema considerando esta
nueva restricción.
MODELO:
X1= numero de palomas a producir en el día
X2= numero de gavilanes a producir en el dia
MAX 12X1+20X2
SUBJECT TO
0.125X1+0.25X2<=480
maquina de pieles
0.25X1+0.2X2<=480
linea de relleno
0.2857143X2<=480
afilado de pico
END
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
39680.00
VARIABLE
VALUE
X1
640.000000
X2
1600.000000
REDUCED COST
ROW SLACK OR SURPLUS
0.000000
0.000000
DUAL PRICES
2)
0.000000
69.333336
3)
0.000000
13.333333
76
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4)
22.857122
NO. ITERATIONS=
0.000000
2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE
CURRENT
ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF
INCREASE
DECREASE
X1
12.000000
13.000000
2.000000
X2
20.000000
4.000000
10.400001
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW
CURRENT
RHS
ALLOWABLE ALLOWABLE
INCREASE
DECREASE
2
480.000000
11.999989
240.000000
3
480.000000
480.000000
23.999977
4
480.000000
INFINITY
22.857122
Autor:
Ing.Mohammed Portilla Camara
mportilla@gmail.com
mportilla@grupo-groming.com
Gerente de Operaciones
Grupo Groming Ingeniería SAC. y
CEENQUA: Certifications for Engineering of Quality
La Molina, Lima - Perú
Estudios realizados en: Ingeniería Industrial, Ingeniería de Minas e Ingeniería Informática
Universidad de Lima
Pontificia Universidad Católica del Perú
Universidad Nacional de Ingeniería
Escuela de Negocios para Graduados - ESAN
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