Suponga que sólo existen tres lecherı́as en el mercado Leche Lola, Leche Los Puentes, y Leche ParmaLac. Suponga que de un mes a otro Lola retiene el 80 % de sus clientes, atrae 20 % de los clientes de Los Puentes, y atrae 10 % de los clientes de ParmaLac, Los puentes retiene 70 % de sus clientes, atrae 10 % de los clientes de Lola, y atrae 30 % de los clientes de ParmaLac, y ParmaLac retiene 60 % de sus clientes, atrae el 10 % de los clientes de Lola, y atrae el 10 % de los clientes de Los puentes. Suponga el tamaño de la población no cambia y se mantiene fijo en 1000000 de consumidores. Determine si existe los porcentajes a largo plazo de la distribución de clientes de Lola, Los puentes, y ParmaLac. Solución La matriz de transición queda: .80 .20 .10 A = .10 .70 .30 .10 .10 .60 El polinomio caracterı́stico de A es: pA (t) = −(t3 − 2.1 t2 + 1.40 t − .300) Usando los cálculos reportados en las figuras ?? y ??, los valores propios son: λ1 = 1.00, λ2 = 0.60, λ3 = 0.50 y los vectores propios correspondientes son: 0 v1 = (−.744845, −.579324, −.331042) 0 v2 = (−.707107, +.707107, 0.) 0 v3 = (+.408248, −.816497, +.408248) Por tanto −0.744845 −0.707107 +0.408248 P = −0.579324 +0.707107 −0.816497 −0.331042 0. +0.408248 1.0 0 0 D = 0 .60 0 0 0 .50 Por tanto, 1 ∞ k A = lı́m A = P 0 k→∞ 0 .45 A∞ = lı́m Ak = .35 k→∞ .20 0 0 P−1 0 .45 .45 .35 .35 0 0 0 .20 .20 Por tanto la ditribución del mercado de leche a largo plazo sin importar la distribución actual es: 45 % 35 % 20 % Figura 1: Lecherı́as, cálculo de vectores propios de A. Figura 2: Lecherı́as, matriz lı́mite de A.