Ejemplos Problemas - Matesup

Matemática 1
Unidad 2
Ejemplos D-Venn y problemas
Ejemplos - Conjuntos y problemas
Ejemplo 1
Una encuesta a 500 personas reveló la siguiente informacion acerca del consumo de dos productos A y B :
344 personas consumı́an A; 206 personas consumı́an A y B; 44 personas no consumı́an ni A ni B.
1. Definir los conjuntos involucrados en el problema y representarlos en un d. de Venn.
2. ¿Cuántas personas consumı́an sólo A?
3. ¿Cuántas personas consumı́an B?
4. ¿Cuántas personas consumı́an B pero no A?
5. ¿Cuántas personas consumı́an por lo menos uno de los dos productos?.
Solución:
1. U = {personas encuestadas}, A = {x ∈ U/x consume A}, B = {x ∈ U/x consume B}.
n(A) = 344
=⇒ x = 344 − 206 = 138
n(A ∩ B) = 206
n(U ) = 500 =⇒ y = 500 − (344 + 44) =⇒ y = 112
2)
c)
138 personas consumı́an sólo A.
112 personas consumı́an B pero no A.
b) 318 personas consumı́an B.
d) 456 personas consumı́an por lo menos uno de los dos
productos.
Ejemplo 2
En una encuesta sobre los medios de transporte urbano más comunes, a cada persona se le pregunta si el taxi,
el bus o el auto privado es el medio más usado para ir al trabajo.
El resultado de la encuesta es el siguiente: 30 personas opinan a favor del taxi, 35 personas opinan a favor del
bus, 100 opinaron a favor del auto privado, 15 personas opinaron a favor del taxi y el bus, 15 a favor del taxi y
el auto privado, 20 a favor del bus y el auto privado y 5 personas opinaron a favor de los tres medios.
Suponiendo que todas las personas encuestadas opinaron a favor de alguno de estos medios, ¿cuántas personas
respondieron la encuesta?
Solución
Sean T el conjunto de las personas que respondieron a favor del taxi, B a favor del bus, y A el conjunto de los
que respondieron a favor del auto privado.
Los datos del problema se pueden organizar en la siguiente tabla:
Conjunto T
Cantidad 30
B
A T ∩B
35 100
15
T ∩A B∩A T ∩B∩A
15
20
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Diagrama de Venn:
Inst. de Matemática y Fı́sica
Universidad de Talca
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Matemática 1
Unidad 2
Ejemplos D-Venn y problemas
Respuesta: Sumando se obtiene la cantidad de personas que repondieron la encuesta.
Ejemplo 3
El jefe de sección de una compañı́a de electricidad encarga a sus empleados cortar árboles, escalar postes y unir
cables. Recientemente presentó el siguiente informe:
La sección cuenta con 100 empleados, de los cuales 45 pueden cortar árboles, 50 pueden escalar postes, 57
pueden unir cables; 28 pueden cortar árboles y escalar postes, 87 pueden escalar postes o unir cables, 25 pueden
cortar árboles y unir cables, y 11 pueden realizar los tres trabajos.
1.
2.
3.
4.
Definir los conjuntos y representarlos en un diagrama de Venn junto con la información.
Determinar el número de empleados que puede sólamente unir cables.
¿Cuántos empleados pueden realizar al menos dos de las funciones?
¿Existen empleados en la sección que no pueden realizar ninguna de las funciones señaladas?
Solución.
1.
U = { empleados de la sección }. n(U ) = 100.
Sean T el conjunto de los empleados que pueden cortar árboles, P el conjunto de los que pueden escalar
postes y W el conjunto de los que pueden unir cables.
Luego:
n(T ) = 45; n(P ) = 50; n(W ) = 57; n(T ∩ P ) = 28
n(P ∪ W ) = 87; n(T ∩ W ) = 25; n(T ∩ P ∩ W ) = 11
En el diagrama se puede completar primero la región T ∩P ∩W con el número 11, ya que n(T ∩P ∩W ) = 11,
y con los datos, se puede continuar con algunas regiones de manera inmediata:

x + y + 17 + 11 = 50 =⇒ x + y = 22 
=⇒ z = 23

x + y + z = 45
n(P ∪ W ) = 87 =⇒ 42 + x + y + z = 87 =⇒ x = 13
Como n(U ) = 100 se obtiene m = 10. Luego:
2.
3.
4.
y + z + 14 + 11 = 57
z = 23
=⇒ y = 9
23 empleados pueden solamente unir cables.
17 + 14 + 9 + 11 = 51 empleados pueden realizar dos o tres de las funciones.
10 empleados de la sección no pueden realizar ninguna de las funciones mencionadas.
Inst. de Matemática y Fı́sica
Universidad de Talca
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