Control Automático Compensadores en el dominio de la p de atraso frecuencia: Compensador Contenido Introducción Estrategia g Conceptos Corrección del error de estado estacionario Corrección del ancho de banda Corrección del margen de fase Ejemplos y ejercicios Introducción Se utilizan las gráficas de magnitud y de fase en función de la frecuencia (Bode) Este método es conveniente cuando tales gráficas g son la única fuente disponible de información sobre el comportamiento del sistema El diseño de sistemas de control utilizando las técnicas de Bode implica determinar y redeterminar los diagramas de magnitud y de fase hasta satisfacer las especificaciones del sistema sistema. El método implica obtener valores a partir de gráficas, con los errores inherentes a este proceso; por lo l que sus resultados lt d son siempre i aproximados i d y los requisitos laxos Estrategia Ya que existe interacción entre los diferentes compensadores, procederemos a escoger una secuencia de cálculo que minimice tal interacción Se corregirá primero el error de estado estacionario procurando q p que la influencia negativa g de esta etapa p se mantenga lejos de las frecuencias de interés para el margen de fase Se corregirán luego las características dinámicas con un compensador cuya ganancia a baja frecuencia sea unitaria (0dB) para que no afecte el error de estado estacionario previamente compensado Conceptos Margen de fase = 45° El sistema es estable en LC Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 45 deg (at 11.8 rad/sec) 40 Magnitud (dB) 20 System: untitled1 q y ((rad/sec): ) 17.9 Frequency Magnitude (dB): -6.03 System: untitled1 Frequency (rad/sec): 0.012 0 012 Magnitude (dB): 25.3 0 -20 -40 -60 -80 0 -45 Fa ase (deg) Estabilidad: E bilid d Si lla frecuencia de cruce de la ganancia es menor que la frecuencia de cruce de la fase (esto es, cg < cf), entonces el sistema en lazo cerrado será estable. Esto equivale a que los márgenes de ganancia y de fase sean positivos. -90 -135 MF=45° -180 -2 10 -1 10 0 10 1 10 Frecuencia [rad/s] (rad/sec) 2 10 3 10 Conceptos (2) Ancho de banda: Se define como la frecuencia a la cual 40 la respuesta de magnitud de 20 lazo cerrado es igual a 3dB 3dB. 0 Si usamos una aproximación -6 -20 a un sistema de segundo -40 orden,, el ancho de banda BW de lazo cerrado es igual -60 a la frecuencia en la cual la -80 respuesta de magnitud de 0 lazo a o abierto ab e to se encuentra e cue a entre -6 y -7.5dB; asumiendo -45 que la fase de lazo abierto se encuentra entre -135º y -225º -90 Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 45 deg (at 11.8 rad/sec) Magnitud (dB) Fa ase (deg) A h d Ancho de b banda d = 17 17.9 9 rad/s d/ System: untitled1 q y ((rad/sec): ) 17.9 Frequency Magnitude (dB): -6.03 System: untitled1 Frequency (rad/sec): 0.012 0 012 Magnitude (dB): 25.3 -135 Tiempo de subida: tr 1.8/BW 1 8/BW = 1.8/17.9 1 8/17 9 = 0 0.1s 1s MF=45° -180 -2 10 -1 10 0 10 1 10 Frecuencia [rad/s] (rad/sec) 2 17.9 10 3 10 Conceptos (3) Error de E d estado d estacionario: El valor en25.3 dB de los coeficientes de error (Kp, Kv y Ka, dependiendo del tipo de sistema)) se obtienen leyendo la intersección de la recta en = 1 con la asíntota de la curva de magnitud a = 0. Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 45 deg (at 11.8 rad/sec) 40 Magnitud (dB) 20 System: untitled1 q y ((rad/sec): ) 17.9 Frequency Magnitude (dB): -6.03 System: untitled1 Frequency (rad/sec): 0.012 0 012 Magnitude (dB): 25.3 0 -20 -40 -60 -80 0 KpdB = 25.3 dB Kp = 18.41 ess =1/(1+Kp) ess=1/(1+18.41) 1/(1 18 41) = 5 5.15% 15% Fa ase (deg) -45 -90 -135 MF=45° -180 -2 10 -1 10 0 10 1 10 Frecuencia [rad/s] (rad/sec) 2 10 3 10 Conceptos (4) Tiempo de subida: Es el tiempo entre el 10% y el 90% del valor final de la respuesta 1.2 System: untitled1 Final Value: 0.948 1 ess 0.8 System: untitled1 Rise Time (sec): 0.105 Amplitud tr 1.8/BW 1 8/BW tr 1.8/17.9 = 0.1s Res pue s ta ante e s calón 1.4 0.6 Error de estado estacionario: ess =1/(1+Kp) ess=1/(1+18.41) ess = 5.15% 5 15% 0.4 0.2 0 0 0.2 tr 0.4 0.6 Tie m po [s ] (se c) 0.8 1 1.2 Relación entre el dominio del tiempo y el de la frecuencia Convertimos las especificaciones en el dominio del tiempo a especificaciones de y n de un sistema prototipo de orden dos dos. La especificación de amortiguamiento relativo , se convierte a margen de fase fase. La especificación de frecuencia natural n, se convierte co e te a ancho a c o de ba banda. da Dependiendo del tipo de sistema, la especificación de error de estado estacionario se convierte a un valor de coeficiente de error (KP, KV o Ka) adecuado. Resumen de fórmulas 1 .8 n tr ; t S 2% 4 n MF , MF 60 n BW 100 2 ln M 2 ln M 1 Tipo de sistema 0 1 2 Coeficiente KP KV Ka eSS A A eSS eSS 1 KP KV A eSS Ka Corrección del error de estado estacionario Una U vez d determinada t i d lla ganancia i d de b baja j ffrecuencia i necesaria para corregir el error de estado estacionario,, se tiene la posibilidad p de aplicarla p de tres formas: Ganancia estática Compensador de atraso Usualmente disminuye el margen de fase y aumenta el ancho de banda. También amplifica el ruido de alta frecuencia. Se comporta como un filtro pasa-bajas. Su influencia negativa en el margen de fase y ancho de banda puede minimizarse Compensador de atraso + ganancia estática Corrección del error de estado estacionario con K estática Generalmente G l t es usada d cuando d se d desea corregir i ell error de estado estacionario y además aumentar el ancho de banda; o no se pueden medir el ancho de banda y el margen de fase (no tenemos cruce ganancia a 0dB) Como la ganancia afecta todas las frecuencias, la gráfica de magnitud g sube (p (para g ganancias mayores y q que la unidad)) o baja, sin afectar su forma o la fase. Se debe de tomar en cuenta que aumentar la ganancia estática usualmente disminuye el margen de fase; así que debemos eventualmente aplicar una corrección a éste. Se aplica la ganancia K sumando su valor en dB (20*log10 K [dB]) a la escala de magnitud magnitud. Por ejemplo, ejemplo si K se aumenta en 10, a la escala de magnitud debe sumársele +20dB. Obtenemos nuevos valores para el ancho de banda y el margen de fase Corrección del eSS con un compensador de atraso Generalmente se usa cuando no deseamos afectar el ancho de banda o el margen de fase Ubicamos el cero del compensador y lluego ego calc calculamos lamos el polo a través de la relación K = z/p, donde K es la ganancia deseada de esta etapa. g p Para disminuir su influencia negativa el cero se ubica, dependiendo del tipo de sistema: Tipo 0: En un valor menor a la frecuencia en la cual la fase alcanza -45°. Tipo 1 y superior: En un valor muy cercano a frecuencia cero, formando un dipolo con el polo. Fórmulas del compensador de atraso 1 ) ( s z0 ) aT ; a 1, z - 1/aT, p - 1/T K LAG ( s ) 0 0 ( s p0 ) ( s 1 ) T 1 1 jaT K LAG ( j ) ; a 1 a 1 j T (s El compensador de atraso tiene ganancia alta a bajas frecuencias. La ganancia L i es unitaria it i en altas frecuencias (las frecuencias de cruce de ganancia) 1 lim K LAG (t ) lim K LAG ( j ) t j 0 a li K LAG (t ) lim lim li K LAG ( j ) 1 t 0 j Gráficas de Bode del compensador de atraso Diagr am a de Bode 20 a=0.1 a=0.3 Magnitud (dB) 15 10 a=0.5 5 0 0 Fase ((deg) a=0.5 a=0 a 0.3 3 -30 30 a=0.1 -60 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 Fr e cue ncia nor m alizada = w *a*T (r ad/s e c) 10 1 10 2 Corrección del eSS con una combinación K + comp. atraso Se S usa cuando d se requiere i aumentar t ell ancho de banda; pero no afectar demasiado el margen de fase Se divide la ganancia total en dos partes: Una ganancia estática suficiente para ubicar el ancho de banda o margen de fase en el valor deseado El resto de la ganancia se aplica como compensador de atraso Para cada parte se usa la técnica descrita antes Ejemplo 1: Descripción D d ell sistema Dado i t 24 G ( s) H ( s) s( s 2)( s 6) H ( s) 1 cuya gráfica de bode se muestra en la siguiente figura, haga que , El error de estado estacionario debe ser menor q que o igual a /10 rad/s, cuando la entrada es una rampa con pendiente 2 rad/s R Resuelva l usando d ganancia i estática táti y compensador d de atraso. Compare los resultados Ejemplo 1: Usando K estática 6 dB 20 dB Tangente a = 0 K v1 10 K v1 Diagram a de Bode Gm = 12 dB (at 3.46 rad/s e c) , Pm = 38.1 de g (at 1.54 rad/s e c) 2 30 40db 20 2 A KV 2 ( / 10) ( / 10) 6 KV 2 20 0db KV 2 20 KC 10 KV 1 2 0 MG -10 12dB -20 -30 KC [dB ] 20 dB -20db 20db -40 -90 MF 20 El margen de fase será negativo, por lo que debe mejorarse ejo a se mucho uc o Recta a = 1 -135 Fase (deg) , Mag gnitud (dB) 10 MF 38° -180 MF’ -225 10 -1 10 0 Fre cue ncia [rad/s ] (rad/s e c) 10 1 Ejemplo 1: Usando compensador de atraso 6 dB 20 dB K v1 10 v1 KV 2 2 A ( / 10) ( / 10) 20 KV 2 20 10 2 KV 1 z K C 10 p z 0.01 10 p p 0.001 s 0.01 K lag ( s ) s 0.001 100 Com pe ns ado 80 Com pe ns ador Original 60 40 20 0 KC -20 -40 0 -45 Fase e (deg) , KV 2 2 Magnitud (dB) M K Diagram a de Bode -90 -135 -180 -225 10 -4 4 10 -3 3 10 -2 2 10 Fre cue ncia (rad/s e c) -1 1 10 0 10 1 Ejemplo 1: K + Klag(s) Diagram a de Bode 100 50 Magnitud (dB) KT = 20dB KT = K*z/p=10 K = 3.16 (10dB) z/p= 3.16 (10dB) Original Com pe ns ado 0 -50 z 3.16 p z 0.01 3.16 p -135 Fase ((deg) p 0.00316 -100 -90 s 0.01 K lag l (s) s 0.00316 -180 -225 -270 270 10 -3 10 -2 10 -1 10 Fre cue ncia (rad/s e c) 0 10 1 10 2 Ejemplo 1: Análisis de resultados Al utilizar solo ganancia estática estática, el sistema estable estable, con margen de fase positivo se vuelve inestable (MF’ = -20°) Al utilizar un compensador de atraso, correctamente ajustado, no se afecta ni el ancho de banda ni se g de fase. Las frecuencias de cruce afecta el margen de ganancia y fase permanecen invariables Escogiendo adecuadamente el dipolo, el atraso de fase introducido discurre en frecuencias muy por debajo de las frecuencias de interés para BW y MF. Utilizando una combinación de ganancia y compensador d d de atraso t se pueden d evitar it muchos h d de los efectos negativos de la ganancia estática y modificar (aumentar) el ancho de banda Referencias [1] Ogata, O t Katsuhiko. K t hik „Ingeniería I i í de d Control C t l Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª Ed Madrid. Ed., Madrid [2] Kuo, Kuo Benjamin C C.. „Sistemas Sistemas de Control Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, México. [[3]] Dorf,, Richard,, Bishop p Robert. „Sistemas de control moderno“, 10ª Ed., Prentice Hall, 2005, España