Propiedades y formas de las Funciones Reales de Variable Real

I. E. S. Siete Colinas (Ceuta)
Departamento de Matemáticas
Matemáticas
de
2º de Bachillerato
Propiedades y formas
de las
Funciones Reales
de
Variable Real
Por Javier Carroquino CaZas
Catedrático de matemáticas
del
I.E.S. Siete Colinas
Ceuta 2004
Propiedades y formas
de las
Funciones Reales
de
Variable Real
Javier Carroquino Cañas
Matemáticas de 2º de bachillerato
–•–
Ciencias de la Naturaleza y la Salud
Tecnología
Propiedades y formas
de las
Funciones Reales
de
Variable Real
Por
Javier Carroquino Cañas
Catedrático de matemáticas
I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)
Departamento de Matemáticas
Ceuta 2004
© Javier Carroquino Cañas
I.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas)
Propiedades y formas de las Funciones Reales de Variable Real
Depósito Legal : CE&110&2004
ISBN : 84&6888&9056&1
Número de Registro : 04&74741
Ceuta 2004
Prólogo
E
l estudio de una función real de variable real
conlleva la necesidad de buscar y descubrir ciertas
propiedades que esa función puede o no cumplir, tanto en
uno o más puntos, en un intervalo, en un conjunto o en
todo su dominio.
Esas propiedades se verán reflejadas en la forma
que tomará la gráfica de la función y nos permitirá
conocer con profundidad la relación existente entre las
variables independiente (x) y dependiente (y), como por
ejemplo: “si la variable x crece, ¿la variable y crece o
decrece? Otro ejemplo : ¿En qué valor x la función
alcanza el máximo valor?
En este tema definiremos y describiremos algunas
propiedades y formas que una función puede tener y
aprenderemos, en algunos casos, a averiguar si una
función dada las cumple o no. No obstante hemos de
decir que en algunos casos es más útil aplicar las
propiedades de las derivadas para descubrir si una
función tiene o no esas propiedades, algo que veremos en
temas sucesivos.
Matemáticas de 2º de bachillerato
I
Propiedades y formas de las funciones
Índice
Página
1.Función par. Función simétrica respecto al eje de ordenadas...
Ejemplo 1 ................................................
Ejemplo 2 ................................................
Ejemplo 3 ................................................
Ejemplo 4 ................................................
Ejemplo 5 ................................................
2.Función impar. Función simétrica respecto al origen .........
Ejemplo 6.................................................
Ejemplo 7.................................................
Ejemplo 8 ................................................
3.Función creciente en un punto ...............................
Ejemplo 9 ................................................
Ejemplo 10 ...............................................
4.Función creciente en un intervalo ............................
Ejemplo 11................................................
5.Función creciente en todo su dominio ........................
Ejemplo 12 ...............................................
6.Función decreciente en un punto .............................
Ejemplo 13 ...............................................
7.Función decreciente en un intervalo ..........................
Ejemplo 14................................................
8.Función decreciente en todo su dominio .......................
Ejemplo 15 ...............................................
9.Cota superior de una función .................................
Ejemplo 16 ................................................
10.Extremo superior o supremo de una función ...................
Ejemplo 17 ...............................................
11.Máximo de una función .......................................
Ejemplo 18 ...............................................
Ejemplo 19 ................................................
Ejemplo 20 ................................................
12.Función acotada superiormente ...............................
Ejemplo 21 ................................................
13.Cota inferior de una función ................................
Ejemplo 22 ...............................................
14.Extremo inferior o ínfimo de una función ....................
Ejemplo 23 ................................................
15.Mínimo de una función .......................................
Ejemplo 24 ................................................
Ejemplo 25 ................................................
16.Función acotada inferiormente ...............................
Ejemplo 26 ................................................
17.Función acotada .............................................
Ejemplo 27 ................................................
18.Concavidad-convexidad de una función ........................
18.1.Func. cónc. hacia arriba o conv. hacia abajo en un punto ..
Ejemplo 28 ..........................................
Ejemplo 29 ..........................................
1
2
3
4
5
5
6
7
8
8
9
11
12
13
15
15
16
17
19
20
22
22
23
24
24
26
26
26
27
27
27
28
28
29
29
30
31
31
31
32
32
32
33
33
34
34
35
35
18.2.Func. cónc. hacia arriba o conv. hacia abajo en un intervalo 35
Matemáticas de 2º de bachillerato
II
Propiedades y formas de las funciones
Página
18.3.Func. cónc. hacia arriba o conv. hacia abajo en su dominio.
36
Ejemplo 30 .......................................... 37
Ejemplo 31 .......................................... 37
Ejemplo 32 .......................................... 37
18.4.Func. cónc. hacia abajo o conv. hacia arriba en un punto .. 38
Ejemplo 33 .......................................... 39
18.5.Func. cónc. hacia abajo o conv. hacia arriba en un intervalo 39
18.6.Func. cónc. hacia abajo o conv. hacia arriba en su dominio. 40
Ejemplo 34 .......................................... 40
Ejemplo 35 .......................................... 41
19.Punto de inflexión de una función ........................... 41
Ejemplo 36 ............................................... 42
20.Función periódica ........................................... 42
Ejemplo 37 ............................................... 43
Ejemplo 38 ............................................... 44
Ejemplo 39 ............................................... 44
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 1
Propiedades y formas de las funciones
Propiedades y formas
de las
Funciones reales de variable real
E
l estudio de este tema conviene que se realice a continuación de los titulados
“Funciones reales de variable real” y “Representación gráfica de las funciones
reales de variable real ”, editados en el mismo formato.
En “Propiedades y formas de las funciones reales de variable real”, se estudian diversas
propiedades y características que pueden tener las funciones y como repercuten estas en su
representación gráfica, lo que nos enriquecerá en el conocimiento sobre la relación existente
entre las dos variables que intervienen en una función, esto es, la variable independiente y la
variable dependiente.
Seguiremos “hablando” de función y su gráfica, el aspecto y forma de esta en un punto
P(x,y) del plano y en un intervalo de extremos a y b del eje de abcisas. Veremos los conceptos
de función par e impar, función creciente y decreciente, cotas superiores e inferiores de una
función, función periódica, etc. Todo ello con el objetivo aprender a conseguir un estudio
exhaustivo de cualquier función, aunque en temas sucesivos utilizaremos los conceptos de
“límites de funciones” y “derivadas”, para un estudio más completo.
1.Función par. Función simétrica respecto al eje de ordenadas.‘
‘

Sea y = f (x) una función real de variable real.
Sea Df dú el dominio de esa función.
Vamos a definir el concepto de función par :
 (∗ ) − x ∈D f
& par ⇔ ∀x ∈ D f es 
f ( x ) es una funcion
 (∗∗ ) f ( − x ) = f ( x )
Es decir:
“Una función es par si ocurre que cuando un número pertenece a su dominio, el opuesto
de ese número también pertenece al dominio y además la imagen de ambos son iguales.”
”
”
”
”
”
”
Es especialmente interesante la interpretación gráfica de este concepto. Veamos:
Supongamos que y = f (x) es una función par.
Sea Df su dominio.
Si a0Df , también ocurre que &a0Df por ser y = f (x) una función par.
Además, por el mismo motivo, f (&a) = f (a) = b
Según el punto anterior, podemos asegurar que (a , b)0Df y (&a , b)0Df
La interpretación gráfica del punto anterior es que si el punto P(a , b) pertenece a la
gráfica de la función, entonces el punto Q(&a , b) también pertenece a la gráfica de f (x).
El punto anterior nos viene a decir que en la representación gráfica de la función f (x),
el eje de ordenadas actuaría como un “espejo”, es decir, la gráfica es simétrica con
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 2
Propiedades y formas de las funciones
respecto al eje de ordenadas.
Veamos:
A la derecha tenemos lo que
podría ser la gráfica de una
función par.
Observa como el eje de ordenadas
actúa como un espejo en el que se
refleja la gráfica, es decir, si un
punto P(a,b) está en ella,
entonces el punto simétrico
respecto al eje de ordenadas, es
decir Q(-a,b), también está en la
gráfica.
Ejemplo 1 .Sea la función y = f (x) = 3x2 &8.
Queremos saber si es una función par y dibujar su gráfica.
Veamos:
 (∗ ) − x ∈ D f
& par ⇔ ∀ x ∈ D f es 
f ( x ) = 3x 2 − 8 es funcion
 (∗∗ ) f ( − x ) = f ( x )
El dominio de f (x) = 3x2 & 8 (función polinómica de grado 2) es ú. Es decir, Df = ú.
Veamos si se cumple (() : Como Df = ú, si x0Df , entonces &x0Df
Por tanto, se cumple (().
]
Veamos si se cumple ((() : f (&x) = 3(&x)2 & 8 = 3x2 &8 = f (x)
Por tanto, se cumple ((().
Conclusión:
y = f (x) = 3x2 &8 es una función par.
Ahora vamos a dibujar su gráfica (es una parábola) para comprobar si es simétrica
respecto de eje de ordenadas.
]
]
x
y =3x2&8
Puntos
0
&8
(0,&8) V
1
&5
(1,&5)
&1
&5
(&1,&5)
2
4
( 2,4 )
&2
4
(&2,4 )
3
19
( 3,19 )
&3
19
( &3,19 )
En la gráfica puede observarse como se trata de una
función simétrica con respecto al eje de ordenadas.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 3
Propiedades y formas de las funciones
Ejemplo 2 .-
y = g ( x ) = x12 es par.
Queremos saber si la función
Veamos:
g( x) =
 (∗ ) − x ∈ Dg
1
& par ⇔ ∀ x ∈ Dg es 
es funcion
x
 (∗∗ ) g ( − x ) = g ( x )
Hallemos el dominio de la función g (x) :
Š
Es evidente que œx0ú con x …0 se verifica que
g( x) =
1
x2
existe.
Por tanto: Dg = ú&{0} = (&4 , 0)c(0 ,+4)
Veamos si se cumple (() :
Como al dominio de g pertenece todo número real excepto el 0, podemos asegurar que:
œx 0Dg se verifica que &x 0Dg
Por tanto se verifica (()
Veamos si se cumple ((() :
Š
Š
∀x ∈ Dg es g ( − x ) =
Por tanto:
La función
1
1
=
= g ( x)
(− x) 2 x 2
y = g ( x ) = x12 es par.
Dibujemos su gráfica:
x•0
x
y=
0
ò
0
ò
1
1
0´5
4
&1
1
&0´5
4
2
0´25
0´1
100
&2
0´25
&0´1
100
4
0´0625
0´01
10000
&4
0´0625
&0´01
10000
100
0´0001
0´001
1000000
&100
0´0001
&0´001
1000000
!
!
!
!
+4
0+
0+
+4
&4
0+
0&
+4
1
x2
y=
1
x2
En la gráfica puede apreciarse su simetría respecto
del eje de ordenadas. También apreciamos que el
eje de ordenadas es una asíntota vertical (por
ambos lados) y el de abcisas es una asíntota
horizontal (también por ambos lados).
Matemáticas de 2º de bachillerato
Ejemplo 3 .Sea la función
Página 4
h ( x) =
−2
x
Propiedades y formas de las funciones
. Hagamos lo siguiente por este orden:
a)
Dibujar su gráfica.
b)
A la vista de la gráfica : ¿Es una función par?
c)
Demostrar si es o no una función par.
Veamos:
a)
Para hacer la gráfica, construyamos una tabla de valores:
x
y=
0
ò
No corta a OY
1
&2
(1,&2)
&1
&2
(&1,&2)
2
&1
(2,&1)
&2
&1
(&2,&1)
4
&0´5
(4,&0´5)
&4
&0´5
(4,&0´5)
!
!
!
+4
0&
(+ 4,0&)
&4
0&
(& 4,0&)
x•0
y=
−2
x
−2
x
Puntos
Puntos
0´1
&20
(0´1,&20)
&0´1
&20
(&0´1,&20)
0´01
&200
(0´01,&200)
&0´01
&200
(&0´01,&200)
!
!
!
0+
&4
(0+,&4)
0&
&4
(0&,&4)
b)
En el dibujo podemos apreciar que la gráfica
de la función es simétrica respecto del eje de
ordenadas, lo cual nos indica de un modo
visual que se trata de una función par
(aunque esto no sirve como demostración).
c)
Demostremos si es o no función par:
h( x ) =
h ( x) =
−2
x
 (∗ ) − x ∈ Dh
es par ⇔ ∀x ∈ Dh es 
 (∗∗ ) h( − x ) = h( x )
Observamos que :
 si x = 0 → h( x ) ∉ R 

 ⇒ Dh = R − { 0 } = ( −∞ , 0) ∪ (0 , + ∞ )
 si x ≠ 0 → h( x ) ∈R 
Lo anterior nos indica que si x0Dh entonces &x0Dh
Por tanto, se cumple (().
Veamos si se cumple ((() :
h (− x) =
Conclusión:
−2
x
− 2 −2
=
= h ( x)
−x
x
es una función par.
ya que − x = x
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 5
Propiedades y formas de las funciones
Ejemplo 4 .Demostremos si la función y = r ( x ) = + x es o no una función par.
Veamos:
 (∗ ) − x ∈ Dr
& par ⇔ ∀x ∈ Dr es 
r ( x ) = + x es funcion
 (∗∗ ) r ( − x ) = r ( x )
Primero hallemos el dominio de r (x) :
x ∈ R tiene imagen ⇔ r ( x ) = +
Por tanto :
positivo o cero ⇔ x ≥ 0
Dr = { x ∈ R x ≥ 0 } = [0, + ∞ )
Según lo anterior, si x es un número positivo (x>0), su opuesto &x será negativo (&x<0), es
decir, x0Dr y sin embargo &xóDr. Por tanto, no se cumple (()
Conclusión: La función y = r ( x ) = + x no es par.
Ejemplo 5 .Sea la función y = s ( x ) =
Veamos:
ex
. Queremos saber si es función par.
x
 (∗ ) − x ∈ Ds
ex
& par ⇔ ∀ x ∈ Ds es 
s( x ) =
es funcion
x
(∗∗ ) s( − x ) = s( x )
Veamos si se verifica (():
&
x ∉ Ds ⇔ x = 0. Notese
que s(0) =
e0 1
= ∉ R . Por tan to Ds = R − { 0 } = ( −∞ ,0) ∪ (0,+∞ )
0 0
Observamos que si x0Ds entonces &x0Ds . Por tanto, se verifica (().
Veamos si se verifica ((():
1
x
e− x
1
s ( − x) =
= e =
− x − x −x ⋅ ex
ex
s( x ) =
x


 ⇒ s ( − x ) ≠ s( x )


Conclusión: La función y = s (x) no es una función par.
Nótese que si y = f (x) es una función par y ocurre que (x, f (x))0Df entonces (&x, f (x))0Df
Por ejemplo, si sabemos que el par ordenado (5,12) pertenece al grafo, podemos asegurar que
el par (&5,12) también pertenece.
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Propiedades y formas de las funciones
2.Función impar. Función simétrica respecto al origen.‘
‘

Sea y = f (x) una función real de variable real.
Sea Df dú el dominio de esa función.
Vamos a definir el concepto de función impar :
 (∗ ) − x ∈D f
& impar ⇔ ∀x ∈ D f es 
f ( x ) es una funcion
 (∗∗ ) f ( − x ) = − f ( x )
Es decir:
“Una función es impar si ocurre que cuando un número pertenece a su dominio, el
opuesto de ese número también pertenece al dominio y además las imágenes de ambos
números son opuestas.”
Es especialmente interesante la interpretación gráfica de este concepto. Veamos:
”
Supongamos que y = f (x) es una función impar.
”
Sea Df su dominio.
”
Si a0Df , también ocurre que &a0Df por ser y = f (x) una función impar.
Además, por el mismo motivo, f (&a) = &f (a)
”
Según el punto anterior, podemos asegurar que , si f (a) = b, entonces:
(a , b)0Gf y (&a , &b)0Gf , siendo Gf el grafo de f
”
La interpretación gráfica de lo último es que si el punto P(a , b) pertenece a la gráfica
de la función, entonces el punto Q(&a , &b) también pertenece a la gráfica.
”
El punto anterior nos viene a decir que en la representación gráfica de la función f (x),
el origen de coordenadas actuaría como un punto de simetría, es decir, la gráfica es
simétrica con respecto al origen de coordenadas.
Veamos:
La gráfica nos indica que los puntos P(a,b) y Q(&a,&b), que son simétricos respecto del
origen O, pertenecen a la gráfica de la función, es decir, los
puntos de la gráfica son simétricos respecto del punto origen de
coordenadas.
Nótese que la distancia desde O hasta P es igual que la
distancia desde O hasta Q.
Nótese también que si una parte de la gráfica de la
función está en el cuadrante I, “la otra parte” estaría en
el cuadrante III y sería el reflejo de la primera.
También puede darse el caso en que la gráfica esté en
los cuadrantes II y IV.
Por ejemplo:
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 7
Propiedades y formas de las funciones
En las gráficas anteriores tenemos dos casos posibles de funciones impares. En la figura
de la izquierda (en la que hemos graduado los ejes), la gráfica de la función se sitúa en los
cuadrantes I y III, mientras que en la de la derecha la gráfica de la función está en los cuadrantes
II y IV. En ambos casos puede apreciarse la simetría respecto del origen de coordenadas, esto
es, si un punto P(a,b) está en la gráfica, entonces el punto Q(&a ,&b) también lo está.
Lo anterior nos viene a decir, con respecto al grafo de una función impar que:
& impar , entonces:
Si y = f ( x ) es funcion
si (a , b) ∈ G f , se verifica que ( − a ,−b) ∈ G f
Ejemplo 6 .Sea la función y = f ( x ) =
Veamos:
f ( x) =
1
. Queremos saber si es una función impar y dibujar su gráfica.
x
 (∗ ) − x ∈ D f
1
& impar ⇔ ∀x ∈ D f se verica que 
es funcion
x
 (∗∗ ) f ( − x ) = − f ( x )
Determinemos el dominio de la función:
M
f ( x) =
1
x
no existe ⇔ x = 0.
Por tanto, D f = R − { 0 } = ( −∞ ,0) ∪ (0,+∞ )
Veamos si se verifica la condición (() :
Es evidente que œx0(&4,0)c(0,+4) se verifica que &x0(&4,0)c(0,+4).
Por tanto, se verifica la condición (().
Veamos si se verifica la condición ((() :
M
M
1
1
& (∗∗ )
= − = − f ( x ). Es decir , se cumple la condicion
−x
x
1
Conclusión: La función y = f ( x ) =
es impar.
x
f ( − x) =
Dibujemos su gráfica:
M
x
y=
1
1
(1,1)
&1
&1
(&1,&1)
2
0´5
(2,0´5)
&2
&0´5
(&2,&0´5)
4
0´25
(4,0´25)
&4
&0´25
(&4,&0´25)
1
x
Puntos
Nótese que
f (0+) =+4 ; f (0&) =&4 ; f (+4) = 0+ y f (&4) = 0&
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 8
Propiedades y formas de las funciones
Ejemplo 7 .Queremos demostrar si la función y = g (x) = &x es impar.
Veamos:
 (∗ ) − x ∈ Dg
& impar ⇔ ∀x ∈ Dg es 
g ( x ) = − x es funcion
 (∗∗ ) g ( − x ) = − g ( x )
Veamos el dominio: œx0ú , se verifica que g(x) = &x 0ú
Por tanto: Dg = ú= (&4 , + 4)
a
Veamos si se verifica la condición (() : œx0Dg = ú se verifica que &x0Dg = ú.
Por tanto, se cumple la condición (().
a
Veamos si se verifica la condición ((() : g (&x) = &(&x) = & g (x)
Por tanto, se cumple la condición ((().
Conclusión: La función y = g (x) = &x es impar.
El grafo de esta función está formado por todos los puntos de la forma (x,&x), es decir:
Gg = { (x , &x)0ú×ú * x 0ú }dú×ú
Por ejemplo: (&1,1) ; (&2,2) ; (1,&1) ; (2,&2) ; (0´37,&0´37) ; (3´245,&3´245) etc.
son puntos del grafo de esa función.
a
Ejemplo 8 .Sea la función y = h (x) = x3.
Queremos averiguar si es función impar y dibujar la gráfica.
Veamos:
 (∗ ) − x ∈ Dh
& impar ⇔ ∀x ∈ Dh se verifica que 
h( x ) = x 3 es funcion
 (∗∗ ) h( − x ) = − h( x )
d
Hallemos el dominio de la función: Es evidente que œx0ú , h(x) = x3 0ú
Por tanto: Dh = ú = (&4 , +4)
d
Veamos si se cumple la condición ((): œx0Dh = ú , se verifica que &x0Dh = ú
Por tanto, se verifica la condición (().
d
Veamos si se verifica la condición (((): h(&x) = (&x)3 = &x3 = &h(x)
Por tanto, se verifica la condición ((().
Conclusión: y = h (x) = x3 es una función impar.
Para dibujar su gráfica, construimos una tabla de valores:
x
y = x3
Puntos
0
0
(0,0)
1
1
(1,1)
&1
&1
(&1,&1)
2
8
(2,8)
&2
&8
(&2,&8)
+4
+4
Rama Parabolic
&4
&4
Rama Parabolic
En la gráfica la escala en ambos ejes es distinta, es
decir, la unidad en cada eje tiene distinto tamaño.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 9
Propiedades y formas de las funciones
3.Función creciente en un punto.Z
Z
Sea y = f (x) una función real de variable real.
Sea Df su dominio y sea a un número de ese dominio, es decir, a0Df
La interpretación gráfica de esto es que el par (a, f (a)) pertenece al grafo de f y que
el punto P(a, f (a)) pertenece a la gráfica de f. Es decir:
Vamos a definir el concepto de función creciente en el punto a :
Se dice que la función y = f (x) es creciente en el punto a si existe un entorno de centro a y
radio g tal que si x está en la mitad izquierda del ese entorno, su imagen es menor o igual
que la de a y si x está en la mitad derecha de ese entorno, su imagen es mayor o igual
que la de a.
Vamos a expresar la definición anterior matemáticamente:
y = f ( x ) es creciente en a ⇔ ∃ Eε (a ) = (a − ε , a + ε )
si x verifica que a − ε < x < a entonces f ( x ) ≤ f (a )
si x verifica que a < x < a + ε entonces f (a ) ≤ f ( x )
Recuérdese que “entorno de centro a y radio g” se define de la siguiente forma:
“Entorno de centro a0ú y radio g>0 (número positivo) es el conjunto de todos los números
reales comprendidos entre a&g y a+g (sin incluir a estos)”.
Matemáticamente:
Eε (a ) = { x ∈ R a − ε < x < a + ε } = (a − ε , a + ε ) ← Intervalo
Expliquemos la definición de función creciente en un punto, de un modo gráfico:
L
y = f (x) es creciente en el punto a sí y sólo si:
L
Existe un entorno de centro a y radio g :
L
Tal que
Si a&g< x < a entonces f (x)#f (a)
Si a < x < a+g entonces f (a) #f (x)
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 10
Propiedades y formas de las funciones
La interpretación gráfica de una función y = f (x) que es creciente en el punto x = a es
que la gráfica de esa función “atraviesa” la recta vertical “situada” en x = a “pasando” del
“lado izquierdo” al “lado derecho” “subiendo”.
Es decir:
Observa la gráfica de la izquierda e intenta
comprender la coherencia de esta con la
definición de que y = f (x) es creciente en el
punto x = a.
Nótese que la “franja” delimitada por el
entrono Eg = (a&g, a+g) es “atravesada” por
la función de izquierda a derecha “subiendo”.
Fuera de esa “franja”, es posible que la
función cambie de tendencia, es decir, “baje”
El tamaño del entorno no tiene ninguna
importancia, puede ser grande, pequeño,
infinitamente pequeño, etc.
La forma de la gráfica de la función creciente en un punto x = a puede ser muy distinta. Veamos:
En el dibujo de la izquierda tenemos unos “trozos”
de las gráfica de cuatro funciones imaginarias.
Todas ellas son crecientes en el punto a0ú.
Hagamos las siguientes observaciones:
(
(
(
La función y = f (x) atraviesa la recta
vertical en x = a de forma horizontal,
es decir, ni sube ni baja. (Obsérvese
que cumple la definición).
La función y = g (x) es una recta (al
menos en un entorno de centro a) que
tiene pendiente positiva.
Las otras dos gráficas son curvas.
Otra forma de expresar que una función y = f (x) es creciente en un punto x = a, es la siguiente:
 f (a − ) ≤ f (a )
y = f ( x ) es creciente en a ∈ R ⇔ 
+
 f (a ) ≤ f (a )
Aunque la expresión anterior no es una definición rigurosa de función creciente en a, si es
bastante intuitiva y útil para resolver ejercicios. Nos dice lo siguiente:
“La función y = f (x) es creciente en el punto x = a sí y sólo sí para valores de x infinitamente
próximos a a por su izquierda, sus imágenes son menores o iguales que la imagen de a y para
valores de x infinitamente próximos a a por su derecha, las imágenes de esos valores son
mayores o iguales que la de a”.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 11
Propiedades y formas de las funciones
Hemos definido el concepto de función creciente en un punto. Ahora vamos a modificar
ligeramente esta definición y tenemos la de “función estrictamente creciente en un punto”.
Se dice que la función y = f (x) es estrictamente creciente en el punto a si existe un
entorno de centro a y radio g tal que si x está en la mitad izquierda del ese entorno, su
imagen es menor que la de a y si x está en la mitad derecha de ese entorno, su imagen es
mayor que la de a.
Matemáticamente sería:
y = f ( x ) es estric. crec. en a ⇔ ∃ Eε (a ) = (a − ε , a + ε )
si x verifica que a − ε < x < a entonces f ( x ) < f (a )
si x verifica que a < x < a + ε entonces f (a ) < f ( x )
El gráfico de la izquierda nos aclara la diferencia
entre función creciente y estrictamente creciente
en un punto x = a.
)
)
)
Las cuatro funciones representadas
son crecientes en x = a , pero las
funciones y = g (x), y = h(x) e y = r(x)
son, además, estrictamente crecientes.
Observa que la función y = f (x)
cumple la definición de función
creciente en x = a, pero no cumple la
de función estrictamente creciente.
Nótese que f (a&) = f (a) = f (a+)
g (a&) < g (a) < g (a+)
h (a&) < h (a) < h (a+)
r (a&) < r (a) < r (a+)
Un caso de una función creciente en el punto a, pero no estrictamente creciente, podría tener la
siguiente gráfica:
Observa que en este caso no es posible encontrar un
entorno Eg (a) = (a&g , a+g) tal que:
Si a&g < x < a entonces f (x) < f (a)
Si a < x < a + g entonces f (a) < f (x)
Sin embargo, sí es posible encontrar un entorno de centro
Eg (a) = (a&g , a+g) tal que:
Si a&g < x < a entonces f (x) # f (a)
Si a < x < a + g entonces f (a) # f (x)
Es decir, la función es creciente en a, pero no estrictamente creciente.
Ejemplo 9 .Dada la función y = f (x) = x5 , demostrar que es estrictamente creciente en x = 0.
Veamos:
Matemáticas de 2º de bachillerato
¯
¯
¯
Página 12
Propiedades y formas de las funciones
El dominio de esta función es ú, es decir, Df = ú = (&4 , +4)
Para x = 0 es f (0) = 05 = 0.
Podemos imaginar un entorno de centro 0 y radio g, E g = (0&g , 0+g) = (&g , +g) tal que
0& y 0% estén en ese entorno.
 f (0 − ) = (0 − )5 = 0 − < 0 = f (0)

Tenemos que 
5
 f (0 + ) = (0 + ) = 0 + > 0 = f (0)
Es decir, en ese entorno, los números que están en la mitad izquierda (números menores
que 0) tienen imagen negativa (menor que f (0) = 0 ) y los números que están en la mitad
derecha (números mayores que 0) tienen imagen positiva (mayor que f (0) = 0 ).
Conclusión: La función y = f (x) = x5 es estrictamente creciente en x = 0.
Por ser estrictamente creciente, también es creciente.
Dibujemos su gráfica:
Observando la gráfica de la
izquierda, destacamos lo siguiente:
g
La gráfica atraviesa la
recta vertical en x = 0 (eje
de ordenadas) de izquierda
a derecha “subiendo”.
g
En este caso apreciamos
que cualquier entorno de
centro 0 es válido para
aplicar la definición.
g
El punto anterior se aprecia
al ver que si x<0 es f (x)<0
y si x>0 es f (x)>0.
Ejemplo 10 .Sea la función y = g (x) = (x&3)2 + 1. Demostrar si es o no estrictamente creciente en 3.
Veamos:
Observamos que todo número tiene imagen, es decir, Dg = ú = (&4 , +4).
Para x = 3 tenemos g (3) = (3&3)2 + 1 = 0 + 1 = 1
Veamos que ocurre en las “proximidades laterales” de x = 3 :
2
 x = 3− 
→ g (3− ) = 3− − 3 + 1= (0 − ) 2 + 1= 0 + + 1= 1+ > 1= g (3)


2
→ g (3+ ) = 3+ − 3 + 1= (0 + ) 2 + 1= 0 + + 1= 1+ > 1= g (3)
 x = 3+ 
(
(
Es decir, para los números
infinitamente próximos a x = 3
(tanto por su izquierda como por su
derecha), las imágenes son
mayores que la imagen de 3.
Conclusión :
La función y = g (x) = (x&3)2 + 1
no es estrictamente creciente, ni
creciente en 3.
)
)
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 13
Propiedades y formas de las funciones
4.Función creciente en un intervalo .º
Sea y = f (x) una función y sea Df dú su dominio.
º
Sea A un intervalo de su dominio. Es decir, A dDf .
Vamos a definir el concepto “ f (x) creciente en A”
)
Una forma de definirlo:
“La función y = f (x) es creciente en el intervalo A si lo es en todos los puntos de A”
Matemáticamente:
f ( x ) creciente en A ⊂ D f ⇔ ∀ a ∈ A, f ( x ) creciente en a
)
Otra forma de definirlo:
“La función y = f (x) es creciente en el intervalo A si dados dos números
cualesquiera a y b de ese intervalo, tales que a < b, entonces f (a)#f (b)”.
Es decir, y = f (x) es creciente en A si dados dos números de A, el que está a la izquierda
(a) tiene una imagen (f (a)) menor o igual que la imagen (f (b)) del que está a la derecha
(b).
Matemáticamente será:
f ( x ) es creciente en A ⊂ D
1444442444443f
c
6444444474444444
8
∀a ,b ∈ A a < b , entonces f (a ) ≤ f (b)
Š
Gráficamente se interpreta del siguiente modo:
En la figura de la derecha tenemos:

A = [α,β] intervalo cerrado.

Cualesquiera que sean los números
a y b del intervalo A , tales que sea
a < b, entonces se verifica que
f (a) # f (b). En este caso concreto
es f (a) < f (b).

Nótese como la gráfica de la función
atraviesa la franja existente entre la
rectas x = α y x = β ”subiendo” de
izquierda a derecha.

Nótese como en cualquier punto del
intervalo A la función y = f (x) es
creciente.

En este caso la función es estrictamente creciente en todos los puntos del
intervalo A, es decir, es estrictamente creciente en todo el intervalo A.
La definición de función estrictamente creciente en un intervalo A es la siguiente:
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 14
Propiedades y formas de las funciones
“La función y = f (x) es estrictamente creciente en el intervalo A si lo es en todos
los puntos de A”.
Matemáticamente:
f ( x ) estr . crec. en A ⊂ D f ⇔ ∀a ∈ A, f ( x ) estr . crec. en a
Otra forma de definirlo:
“La función y = f (x) es estrictamente creciente en el intervalo A si dados dos
números cualesquiera a y b de ese intervalo, tales que a < b, entonces f (a)<f (b)”.
Es decir, y = f (x) es estrictamente creciente en A si dados dos números de A, el que está
a la izquierda (a) tiene una imagen (f (a)) menor que la imagen (f (b)) del que está a la
derecha (b).
Matemáticamente será:
f ( x ) es estrictamente creciente en A ⊂ D
1444444442444444443f
c
6444444474444444
8
∀a , b ∈ A a < b , entonces f (a ) < f (b)
Vamos a distinguir de un modo gráfico la diferencia existente entre función creciente y
estrictamente creciente en un intervalo:
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 15
Propiedades y formas de las funciones
En la página anterior tenemos cuatro gráficas de funciones trazadas en un intervalo de
extremos α y β.
La función y = f (x) es estrictamente creciente en todo el intervalo [α , β].
Las funciones y = g (x) , y = h (x) e y = r (x) son crecientes en el intervalo [α , β], pero
no son estrictamente crecientes.
La función y = g (x) es constante en todo el intervalo (aunque sea constante, cumple la
definición de ser creciente). Se entiende así que una función constante es creciente, aunque no
estrictamente.
Ejemplo 11 .Demuestra que y = f ( x ) =
1
que es estrictamente creciente en el intervalo A = (& 4 , 0).
x2
Veamos:
Si construimos la gráfica de esa función tendremos:
Gráfica de la función y = f ( x ) =
1
x2
Obsérvese como todo número real,
excepto el cero tiene imagen.
Q En la gráfica, a simple vista se
aprecia que la función es estrictamente
creciente en todo el intervalo (& 4,0),
ya que la curva “viaja” por todo el
intervalo de izquierda a derecha
subiendo.
Q Vamos a demostrarlo
matemáticamente:
,Sean &a y &b dos números negativos,
es decir, &a,&b0 (& 4,0) tales que
&a<&b.
, Es evidente que a y b son positivos.
Además a > b.
, Es evidente que (&a)2= a2 >b2 =(&b)2
, Entonces:
f (− a) =
1
1
1
1
=
<
=
= f ( − b)
( − a ) 2 a 2 b 2 ( − b) 2
Por tanto, hemos demostrado que ∀ α , β ∈ (− ∞ ,0) tales que α < β , es f (α ) < f ( β )
(Nótese que hemos llamado α =&a y β = &b ).
1
Conclusión: La función y = f ( x ) = 2 es estrictamente creciente en el intervalo A = (& 4 , 0)
x
5.Función creciente en todo su dominio .Una función y = f (x) es creciente en todo su dominio si es creciente en cada uno de los
puntos del dominio.
Es decir: f ( x ) creciente en D f ⇔ ∀ a ∈ D f , es f ( x ) creciente en a
Otra forma de definir este concepto es similar al empleado en el caso de función creciente
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 16
Propiedades y formas de las funciones
en un intervalo. Veamos:
f ( x ) creciente en D f ⇔ ∀ a , b ∈ D f
a < b, entonces f (a ) ≤ f (b)
Es decir, si comparamos las imágenes de dos números del dominio, el número menor
tiene una imagen menor o igual que la del número mayor.
La interpretación gráfica de este concepto es que si visualizamos la gráfica de la función
y la “seguimos” de “izquierda” a “derecha”, siempre la “veremos” “subiendo”.
Para el caso de función estrictamente creciente será:
f ( x ) creciente en D f ⇔ ∀ a , b ∈ D f
a < b, entonces f (a ) < f (b)
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 12 .–
–
Consideremos la función exponencial y = f (x) = ex (recuerda que e = 2´71828182....)
¿Es creciente en todo su dominio? Vamos a verlo:
Cualquier número real x tiene imagen, ya que f (x) = ex es un número real para todo x.
Por tanto, Df = ú.
Veamos si es creciente en todo su dominio:
Supongamos a,b 0ú tales que a<b. ¿Podemos asegurar que f (a)#f (b) ?
La imagen de x = 0 es : f (0) = e0 = 1
Supongamos que a>0 y b>0. Entonces, es evidente que 1< f (a) = ea < eb = f (b).
Supongamos que a<0 y b<0. Veamos qué ocurre en este caso:
1
f (a ) = e a =
−a
<
1
−b
= e b = f (b)
e
e
&
Notese
que − a > − b ( positivos)
Supongamos que a<0 y b>0. En este caso :
f (a ) = e a =
1
e
f (b) = e b > 1
–
–
‹
−a
=
1

<1 
nº mayor que 1
 ⇒ f (a ) < f (b)


Hemos demostrado que la función y = f (x) = ex es estrictamente creciente en todo ú.
Vamos a dibujar su gráfica:
Destaquemos lo que se puede apreciar en la
gráfica a simple vista:
‹
La función tiene imagen para todo ú
‹
De izquierda a derecha la gráfica
“sube” a lo “largo” de todo ú. Esto es
una forma visual de apreciar que la
función es estrictamente creciente en
todo ú.
‹
Hay rama parabólica por la derecha y
hacia arriba, es decir, f (+4) = +4.
El eje de abcisas es asíntota horizontal por la izquierda. La gráfica de la función está
siempre por “encima” de la asíntota, es decir, f (&4) = 0+.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 17
Propiedades y formas de las funciones
6.Función decreciente en un punto.

Sea y = f (x) una función real de variable real.
Sea Df su dominio y sea a un número de ese dominio, es decir, a0Df
La interpretación gráfica de esto es que el par (a, f (a)) pertenece al grafo de f y que
el punto P(a, f (a)) pertenece a la gráfica de f. Es decir:
Vamos a definir el concepto de función decreciente en el punto a :
Se dice que la función y = f (x) es decreciente en el punto a si existe un entorno de centro a y radio
g tal que si x está en la mitad izquierda del ese entorno, su imagen es mayor o igual que la de a y
si x está en la mitad derecha de ese entorno, su imagen es menor o igual que la de a.
Vamos a expresar la definición anterior matemáticamente:
y = f ( x ) es decreciente en a ⇔ ∃ E ε (a ) = (a − ε , a + ε )
si x verifica que a − ε < x < a entonces f ( x) ≥ f (a )
si x verifica que a < x < a + ε entonces f ( a ) ≥ f ( x )
Expliquemos la definición de función creciente en un punto, de un modo gráfico:
L
y = f (x) es decreciente en el punto a sí y sólo si:
L
Existe un entorno de centro a y radio g :
L
Tal que
Si a&g< x < a entonces f (x)$f (a)
Si a < x < a+g entonces f (a) $f (x)
La interpretación gráfica del concepto de función y
= f (x) decreciente en un punto x = a es que la gráfica de la función “atraviesa” la recta vertical
trazada en x = a “pasando” de la “parte izquierda” a la “parte derecha” “bajando”.Es decir:
Nótese que la “franja” delimitada por el entrono
(a&g, a+g) es “atravesada” por la función de
izquierda a derecha “bajando”.
Fuera de ese entrono, es posible que la función
cambie de tendencia, es decir, “suba”.
El tamaño del entorno no tiene ninguna
importancia, puede ser grande, pequeño,
infinitamente pequeño, etc.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 18
Propiedades y formas de las funciones
La gráfica de una función decreciente en un punto x = a puede ser muy diversa. Veamos:
En el dibujo de la izquierda tenemos unos “trozos”
de las gráficas de cuatro funciones imaginarias.
Todas ellas son decrecientes en el punto a0ú.
Hagamos las siguientes observaciones:
(
(
(
La función y = f (x) atraviesa la recta
vertical en x = a de forma horizontal,
es decir, no sube ni baja. (Obsérvese
que cumple la definición).
La función y = g (x) es una recta (al
menos en un entorno de centro a) que
tiene pendiente negativa.
Las otras dos gráficas son curvas.
Otra forma de expresar que la función y = f (x) es decreciente en un punto x = a, es la siguiente:
 f (a − ) ≥ f (a )
y = f ( x ) es decreciente en a ∈ R ⇔ 
 f (a ) ≥ f (a + )
Aunque la expresión anterior no es una definición rigurosa de función decreciente en a, si es
bastante intuitiva y útil para resolver ejercicios. Nos dice lo siguiente:
“La función y = f (x) es decreciente en el punto x = a sí y sólo sí para valores de x
infinitamente próximos a a por su izquierda, sus imágenes son mayores o iguales que la
imagen de a y para valores de x infinitamente próximos a a por su derecha, las imágenes de
esos valores son menores o iguales que la de a”.
Hemos definido el concepto de función decreciente en un punto. Ahora vamos a modificar
ligeramente esta definición y tenemos la de “función estrictamente decreciente en un punto”.
Se dice que la función y = f (x) es estrictamente decreciente en el punto a si existe un
entorno de centro a y radio g tal que si x está en la mitad izquierda del ese entorno, su
imagen es mayor que la de a y si x está en la mitad derecha de ese entorno, su imagen es
menor que la de a.
Matemáticamente sería:
y = f ( x ) es estric. decrec. en a ⇔ ∃ E ε (a ) = (a − ε , a + ε )
si x verifica que a − ε < x < a entonces f ( x ) > f (a )
si x verifica que a < x < a + ε entonces f (a ) > f ( x )
Nótese que si una función es estrictamente decreciente en un punto a, es decreciente en él, pero
el enunciado recíproco no es cierto, es decir, puede ser decreciente en a y no estrictamente.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 19
Propiedades y formas de las funciones
El gráfico de la izquierda nos aclara la diferencia
entre función decreciente y estrictamente
decreciente en un punto x = a.
Las cuatro funciones representadas
son decrecientes en x = a , pero las
funciones y = g (x), y = h(x) e y = r(x)
lo son estrictamente.
Observa que la función y = f (x)
cumple la definición de función
decreciente en x = a, pero no cumple
la de función estrictamente
decreciente.
Nótese que f (a&) = f (a) = f (a+)
)
)
)
+
g (a ) > g (a) > g (a )
&
h (a&) > h (a) > h (a+)
r (a&) > r (a) > r (a+)
Otro caso de una función decreciente en el punto a, pero no estrictamente decreciente, podría
tener la siguiente gráfica:
Observa que en este caso no es posible encontrar un
entorno Eg (a) = (a&g , a+g) tal que (ambas):
Si a&g < x < a entonces f (x) > f (a)
Si a < x < a + g entonces f (a) > f (x)
Sin embargo, sí es posible encontrar un entorno de
centro Eg (a) = (a&g , a+g) tal que:
Si a&g < x < a entonces f (x) $ f (a)
Si a < x < a + g entonces f (a) $ f (x)
Es decir, la función es creciente en a, pero no estrictamente creciente.
Ejemplo 13 .Demostrar que la función y = f ( x ) = 0 ′ 5 x es estrictamente decreciente en x = 0.
Veamos:
Construyamos una tabla de valores para dibujar su gráfica.
Calculemos algunos de los valores de la tabla:
x
x
y =x0´5
y = 0´5 x
+
+
1
&
0
1
0
1
0´5
0
1
&1
2
+4
0+
2
0´25
&4
+4
&2
4
3
0´125
&
+
f (0 ) =
()
=
f (0 − ) =
()
=
+
1 0
2
−
1 0
2
10
2
+
0+
=
1
( 21 ) 0
+
1
= 1− < 1 = f (0)
1+
=
1
= 1+ > 1 = f (0)
1−
Obsérvese que:
f (0 − ) > f (0) > f (0 + ) , es decir , 1+ > 1 > 1−
Por tanto:
La función es estrictamente decreciente en el
punto x = 0.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 20
Propiedades y formas de las funciones
Ya estamos en condiciones de dibujar la gráfica:
Gráfica de la función exponencial y = 0´5 x
De la simple observación de la gráfica
destacamos:
v
La gráfica “baja” de izquierda
a derecha, a lo “largo” de todo
ú, lo cual nos indica que es
estrictamente decreciente en
todo ú.
v
Hay rama parabólica por la
izquierda y hacia arriba, es
decir, f (&4) = +4
v
El eje de abcisas es asíntota
horizontal por la derecha, es
decir, f (+4) = 0+.
7.Función decreciente en un intervalo.º
Sea y = f (x) una función y sea Df dú su dominio.
º
Sea A un intervalo de su dominio. Es decir, A dDf .
Vamos a definir el concepto “ f (x) decreciente en A”
)
Una forma de definirlo:
“La función y = f (x) es decreciente en el intervalo A si lo es en todos los puntos de A”
Matemáticamente:
f(x) decrec. en A ⊂ D f ⇔
)
∀ a ∈ A, f(x) decrec. en a
Otra forma de definirlo:
“La función y = f (x) es decreciente en el intervalo A si dados dos números
cualesquiera a y b de ese intervalo, tales que a < b, entonces f (a)$f (b)”.
Es decir, y = f (x) es decreciente en A si dados dos números de A, el que está a la
izquierda (a) tiene una imagen (f (a)) mayor o igual que la imagen (f (b)) del que está a
la derecha (b).
Matemáticamente será:
f ( x ) es decreciente en A ⊂ D
144444424444443f
c
64444444744444448
∀ a , b ∈ A a < b , entonces f (a ) ≥ f (b)
Š
Gráficamente se interpreta del siguiente modo:
Dibujamos la gráfica de una función que es decreciente en un intervalo A = [α,β]
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 21
Propiedades y formas de las funciones
Observa la gráfica de la derecha.

A = [α,β] intervalo cerrado.

Cuales quieran que sean los
números reales a y b del intervalo A
, tales que a < b, entonces se
verifica que
f (a) $ f (b). En este caso concreto
es f (a) > f (b).

Nótese como la gráfica de la
función atraviesa la franja existente
entre la rectas x = α y x = β
”bajando” de izquierda a derecha.

Nótese como en cualquier punto del
intervalo A la función y = f (x) es
decreciente.

En este caso la función es estrictamente decreciente en todos los puntos del
intervalo A, es decir, es estrictamente decreciente en todo el intervalo A.
La definición de función estrictamente decreciente en un intervalo A es la siguiente:
“La función y = f (x) es estrictamente decreciente en el intervalo A si lo es en todos
los puntos de A”.
Matemáticamente:

⇔
decreciente en A ⊂ D f 
f ( x ) estrictamente
{ ∀ a ∈ A , f ( x) estrictamente decreciente en
a
Otra forma de definirlo:
“La función y = f (x) es estrictamente decreciente en el intervalo A si dados dos
números cualesquiera a y b de ese intervalo, tales que a < b, entonces f (a)>f (b)”.
Es decir, y = f (x) es estrictamente decreciente en A si dados dos números de A, el que
está a la izquierda (a) tiene una imagen (f (a)) mayor que la imagen (f (b)) del que está
a la derecha (b).
Matemáticamente será:
f ( x ) es estrictamente decreciente en A ⊂ D
144444444424444444443f
c
64444444744444448
∀ a , b ∈ A a < b , entonces f (a ) > f (b)
Vamos a distinguir de un modo gráfico la diferencia existente entre función decreciente y
estrictamente decreciente en un intervalo:
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 22
Propiedades y formas de las funciones
A la izquierda tenemos
cuatro gráficas de otras
cuatro funciones.
La función y = f(x) es
estrictamente decreciente
en todo el intervalo [α , β]
Las funciones y=g(x),
y=h(x) e y = r(x) son
decrecientes, pero no en
sentido estricto.
La función y = g (x) es
constante en todo el
intervalo [α , β]. Nótese
que es creciente y
decreciente.
Ejemplo 14 .Consideremos la función coseno definida en el intervalo cerrado de extremos 0 y π :

f : 0 , π  → R

x  → f ( x ) = cos x 
[ ]
Veamos que es estrictamente decreciente en todo el intervalo [0 , π].
H
f (0) = cos 0 = 1 ; f (π) = cos π = &1
H
œx0[0 , π] , se verifica que &1 #f (x) #1
H
Sabemos que œα,β 0 [0 , π] tales que α<β , se verifica que f (α) = cos α < cos β = f (β)
(Recordar la definición de coseno de un ángulo y su interpretación gráfica en la
circunferencia goniométrica o círculo trigonométrico).
Dibujemos su gráfica:
En la gráfica de la izquierda, correspondiente a la función f (x) = cos x , definida en el intervalo
cerrado [0,π], apreciamos que:
∀ a , b ∈ [0, π ]
a < b , es f (a ) > f (b)
La gráfica “recorre” todo el intervalo [0,π], de
izquierda a derecha, “bajando”.
Nótese que la gráfica corta al eje de abcisas en el
punto (π/2 , 0)
8.Función decreciente en todo su dominio.Una función y = f (x) es decreciente en todo su dominio si es decreciente en cada uno de
los puntos del dominio.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 23
Propiedades y formas de las funciones
Es decir: f ( x ) es decrec en D ⇔ ∀ a ∈ D , f ( x ) es decrec en a
f
f
Otra forma de definir este concepto es similar al empleado en el caso de función
decreciente en un intervalo. Veamos:
f ( x ) decreciente en D f ⇔ ∀ a , b ∈ D f
a < b, entonces f (a ) ≥ f (b)
Ejemplo 15 .-
Demostrar que la función y = f (x) = e&x es estrictamente decreciente en todo su dominio.
Veamos:
ý
En primer lugar determinemos el dominio de la función:
∀ x ∈ R , f ( x) = e − x =
1
x
x ∈ R ya que e ≠ 0 ∀ x ∈ R
e
Es decir, todo número real tiene imagen. Por tanto: Df = ú = (&4 , +4)
Debemos demostrar que la función y = f (x) = e&x es estrictamente decreciente en ú.
Sean dos números cualesquiera a,b 0ú * a<b
Entonces :
Como a < b , se verifica que e a < e b
ý
1
1
a > b
e
e
1
1
Por tanto : f (a ) = e − a = a > b = e −b = f (b)
e
e
Hemos demostrado que œa,b0ú * a<b , se verifica que f (a)>f (b)
Es decir, la función verifica la definición de función estrictamente decreciente en todo ú.
Construyamos su gráfica:
Como e a < e b , se verifica que
ý
x $0
y = e&x
x<0
y = e&x
0
1
0&
1+
1
0´3678...
&1
e
2
0´1353...
&2
7´3890...
3
0´0497...
&3
20´0855...
4
0´0183...
&4
54´5981...
!
!
!
!
&4
+4
+4
ý
+
0
&x
Gráfica de la función exponencial f (x) = e
En la gráfica puede apreciarse como la función es estrictamente decreciente en todo ú,
como corta al eje de ordenadas el punto (0,1) y como el eje de abcisas es una asíntota
horizontal por la derecha, situándose la gráfica por encima de aquella. Nótese también
como existe rama parabólica por la izquierda y hacia arriba.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 24
Propiedades y formas de las funciones
9.Cota superior de una función.K
Sea y = f (x) una función real de variable real de dominio Df.
K
Sea k un número real, es decir, k0ú
Vamos a definir el concepto cota superior de una función.
“Se dice que el número real k es una cota superior de la función f (x), si la imagen de
cualquier número x del dominio de f es menor o igual que k”.
Definamos este concepto matemáticamente:
k ∈ R es cota superior de f(x) ⇔
∀ x ∈ D f es f(x) ≤ k
Gráficamente se interpreta como que la “gráfica de la función no atraviesa la recta horizontal
de ecuación y = k”, aunque sí puede que la toque en uno o más puntos.
Dicho de otra forma: “Por encima de la recta y = k no existe gráfica de la función”
Veamos:
A la izquierda tenemos la gráfica de una función
y = f (x). Observa lo siguiente:
9
k es una cota superior de f (x) porque por
encima de la recta y = k no existe
gráfica de la función, es decir, œx0ú
ocurre que f (x) # k.
9
Cualquier número mayor que k, también
es una cota superior de f (x). Es decir, si
s > k, entonces œx0ú es f (x) # s.
9
En este caso concreto, vemos que k es la
menor de todas las cotas superiores de
la función f (x).
9
En este caso concreto, el conjunto [k,+4)
es el conjunto formado por todas las
cotas superiores de f (x).
9
En este caso concreto, apreciamos en la
gráfica que hay un valor x tal que su
imagen es k, es decir, f (x) = k.
9
Puede darse el caso de una función que tenga cota superior, pero ningún x tenga por
imagen a una cota superior, es decir, òx0Df tal que f (x)= k (siendo k cota superior de f)
Ejemplo 16 .-
2x 2
Sea la función f ( x ) = 2
. Se pide :
x +1
a)
b)
Veamos:
Halla una cota superior de f (x).
Halla el conjunto formado por todas las cotas superiores de f (x).
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a)
Página 25
Propiedades y formas de las funciones
Fácilmente se observa que Df = ú
Nos hacemos la siguiente pregunta:
¿ › k0ú * œx0ú , se verifica que f (x)#k ?
Veamos:
f ( x ) ≤ k Buscamos un k
2x2
2x2
2
2
2
≤
k
⇒
x
≤
k
⋅
(
x
+
)
(
por
ser
x
+
>
)
⇒
≤ x 2 + 1 ( con k > 0 )
2
1
1
0
2
k
x +1
2
2
Tomando k = 2 tenemos que x ≤ x + 1 es cierto.
Por tanto, k = 2 es una cota sup erior.
Conclusión :
k = 2 es una cota superior de f ( x ) =
2x 2
x2 + 1
A simple vista puede apreciarse que
2x 2
& concretamente < 2 )
∀ x ∈ R es f ( x ) = 2
≤ 2 (mas
x +1
b)
¿ Hay alguna cota superior de f (x) que sea menor que 2 ?
Veamos:




2
2
2 ⋅ (− ∞ )
2 ⋅ (+ ∞ )

f (− ∞ ) =
=
= 2− < 2 
2
2
(− ∞ ) + 1 (+ ∞ ) + 1

2 ⋅ (+ ∞ ) 2
f (+ ∞ ) =
= 2− < 2
2
(+ ∞ ) + 1
la
Es decir, la recta y = 2 es una asíntota horizontal por ambos lados, de tal modo que
gráfica está por debajo de la asíntota. El concepto de asíntota horizontal y la posición de
la gráfica con respecto a ella, nos informa suficientemente que “2 es la menor de las
cotas superiores”.
Conclusión:
Conjunto de cotas superiores = [2 , +4)
Dibujemos la gráfica de la función:
Observando la gráfica, destacamos lo siguiente:

œx0ú es f (x) < 2

œk0ú * k>2 ,es una cota superior de f(x)

2 es la menor de todas las cotas
superiores de f (x).

Cualquier número menor que 2 no es
cota superior de f (x), ya que es superado
por esta.

Decrece en (&4,0] y crece en [0,+4).
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 26
Propiedades y formas de las funciones
10.Extremo superior o supremo de una función.Sea y = f (x) una función que está acotada superiormente. Esto significa que tiene alguna
cota superior k.
’
Si una función tiene alguna cota superior k, entonces tiene infinitas cotas superiores ya
que todo número mayor que k también será una cota superior.
Vamos a definir el concepto extremo superior o supremo de una función:
’
Se llama extremo superior o supremo de una función
acotada superiormente a la menor de sus cotas superiores.
Vamos a definir este concepto matemáticamente:
{
Supremo de f ( x ) = minimo k ∈ R k cota superior de f ( x )
}
Para abreviar indicaremos supremo de f (x) = sup ( f )
Es evidente que si sup ( f ) = s , entonces [s , +4) será el conjunto de todas las cotas superiores.
Si una función está acotada superiormente, entonces tiene supremo.
Ejemplo 17 .Considera la función del ejemplo 16, es decir, f ( x ) =
2x 2
.
x2 + 1
Hemos visto que está acotada superiormente.
Hemos visto que 2 y cualquier número mayor que 2 es una cota superior de esa función.
Hemos visto que [2 , +4) es el conjunto de las cotas superiores.
Hemos visto que los números menores que 2 no son cotas superiores de f (x).
Pues bien:
S
La menor de las cotas superiores es 2.
S
Extremo superior o supremo de f (x) = mínimo de [2 , +4) = 2.
11.Máximo de una función.˜
˜
˜
˜
˜
Sea y = f (x) una función acotada superiormente. Entonces tendrá supremo s.
Como s es el supremo, sabemos que œx 0Df , se verifica que f (x) # s
Pueden ocurrir una de los dos puntos siguientes:
Î
Que exista un a 0Df tal f (a) = s, es decir, hay un número cuya imagen es el
supremo de la función.
Ï
Que no existe un a 0Df tal f (a) = s, es decir, œx0Df ocurre que f (x) < s
Pues bien, cuando ocurre Î, decimos que s es el máximo de la función, es decir, al
supremo se le llama máximo. Llamaremos max ( f ) = s
Se dice que f (x) alcanza el máximo en x = a, siendo el valor del máximo f (a) = s.
El punto M(a , s) estará en la gráfica de la función y se denomina punto máximo.
Puede ocurrir que una función tenga más de un máximo. En efecto, puede ocurrir que:
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∃ a1 , a 2 , a 3 , ...., a n ∈ D f
Página 27
Propiedades y formas de las funciones
f (a1 ) = f (a 2 ) = f (a 3 ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = f (a n ) = s
Puede darse el caso de una función que tenga infinitos puntos máximos.
Ejemplo 18 .2x 2
Consideremos la función de los ejemplos 16 y 17, es decir, f ( x ) = 2
x +1
Vimos que sup ( f ) = 2 , pero òa0ú=Df * f (a) = 2.
Por tanto, no existe máximo de la función f (x) , es decir, la función f (x) no tiene máximo.
Ejemplo 19 .Sea la función polinómica de grado 2 y = f ( x ) = − x 2 + 2 x
Sabemos que se trata de una parábola cuyo vértice el punto más alto, es decir, el punto
máximo.
Si hallamos el vértice, tendremos el supremo, el máximo y el valor donde se alcanza este.
Veamos:
Por tanto:
2
b
b
3
sup( f ) = 1 = max ( f )
y = f ( x ) = − x + 2 x  → V ( − 2 a , f ( − 2 a ))
3
Punto máximo V(1,1)
− 2ba = − −22 = 1 
3
El máximo se alcanza en x = 1.
 ⇒ V (1,1)
3
En este caso hay un único máximo.
f (1) = 1

3
Evidentemente la función está
acotada superiormente.
Dibujemos su gráfica:
En la gráfica puede apreciarse como el
intervalo [1, +4) es el conjunto de
todas las cotas superiores, como 1 es el
supremo y el máximo, que se alcanza
en la abcisa x = 1.
Ejemplo 20 .La función y = f (x) = sen x alcanza el máximo en infinitos puntos.
En efecto:
 D f = R = (− ∞ , + ∞ )
Sabemos que: 
Es decir: ∀ x ∈ R es f ( x ) ≤ 1
 − 1 ≤ sen x ≤ 1 ∀ x ∈ R
Además, sabemos que:
f π2 = f 52π = f 92π = f 132π = f 172π = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1 

f ( − 32π ) = f ( − 72π ) = f ( − 112π ) = f ( − 152π ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1 
( )
( )
( ) ( ) ( )
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 28
Propiedades y formas de las funciones
Es decir, el máximo de la función es 1 y se alcanza en infinitos valores, concretamente:
Si x =
π + 4 kπ
2
(con k ∈ Z ) , entonces f ( x ) = sen x = 1
Recordemos la gráfica de la función seno de x :
Obsérvese en el dibujo como “por
encima” de la recta (que no hemos
dibujado) y = 1, no hay gráfica de la
función f (x) = sen x. En la gráfica de la
función hemos señalado tres de los
infinitos puntos máximos (P, Q y M).
12.Función acotada superiormente.Una función f ( x) se dice que está acotada superiormente si tiene alguna cota superior.
Es decir:
f (x) está acotada superiormente ] › k0ú * œx0Df es f (x) # k
Es evidente que si una función está acotada superiormente, tiene infinitas cotas superiores.
Gráficamente se interpreta como que existe una recta horizontal de ecuación y = r(x) = s
tal que ningún punto de la gráfica de la función f (x) está por encima de esa recta.
Ejemplo 21 .Las funciones del tipo f (x) = ax2 + bx + c , tales que a < 0 , polinómicas de segundo grado
y cuyas gráfica son parábolas con vértice como punto máximo, son funciones acotadas
superiormente.
Es decir:
Estas funciones tienen supremo y
máximo, el cual se alcanza en el
punto vértice.
Un caso concreto es la función f (x) = &2x2 + x &5,
cuyo máximo se alcanza en el siguiente punto:
b
1
1
= −
= , tenemos el valor
2a
−4 4
1
m&ax imo f ( 4 ) = − 81 + 41 − 5 = − 39
8
x= −
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 29
Propiedades y formas de las funciones
13.Cota inferior de una función.K
Sea y = f (x) una función real de variable real de dominio Df.
K
Sea m un número real, es decir, m0ú
Vamos a definir el concepto cota inferior de una función.
“Se dice que el número real m es una cota inferior de la función f (x), si la imagen de
cualquier número x del dominio de f es mayor o igual que m”.
Definamos este concepto matemáticamente:
m ∈ R es cota inferior de f(x) ⇔
∀ x ∈ D f es f(x) ≥ m
Gráficamente se interpreta como que la “gráfica de la función no atraviesa la recta horizontal
de ecuación y = m”, aunque sí puede que la toque en uno o más puntos.
Dicho de otra forma: “Por encima de la recta y = m no existe gráfica de la función”
Veamos:
9
A la izquierda tenemos la gráfica de una función
y = f (x). Observa lo siguiente:
9
m es una cota inferior de f (x) porque por
debajo de la recta y = m no existe gráfica
de la función, es decir, œx0ú ocurre que
f (x) $ m.
9
Cualquier número menor que m, también
es una cota inferior de f (x). Es decir, si
t < m, entonces œx0ú es f (x) $ t.
9
En este caso concreto, vemos que m es la
mayor de todas las cotas inferiores de
la función f (x).
9
En este caso concreto, el conjunto (&4,m]
es el conjunto formado por todas las
cotas inferiores de f (x).
9
En este caso concreto, apreciamos en la
gráfica que hay un valor x tal que su
imagen es m, es decir, f (x) = m.
Puede darse el caso de una función que tenga cota inferior, pero ningún x tenga por
imagen a una cota inferior, es decir, òx0Df tal que f (x) = m (siendo m cota inferior de f)
Ejemplo 22 .2
Hallemos alguna cota inferior de la función f ( x ) = e − x
Veamos:
El enunciado nos dice que hallemos una cota inferior de esa función, aunque podría
ocurrir que no tuviese cotas inferiores. Investiguemos esto:
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 30
2
∀ x ∈ R , f ( x) = e − x =
1
2
=
Propiedades y formas de las funciones
1
∈R
&
numero
dist int o de 0
ex
Por tan to, D f = R = ( − ∞ , + ∞ )
1
= positivo
2
positivo
ex
Por tanto: ∀ x ∈ R se verifica que f ( x ) > 0
Además, ∀ x ∈ R , f ( x ) = e
Conclusión:
− x2
=
1
=
Una cota inferior de la función es 0
2
Cualquier número negativo es una cota inferior de f ( x ) = e − x
Dibujemos la gráfica de la función:
Obsérvese que por debajo del eje
de abcisas no hay gráfica de la función, es
decir, cualquier número negativo es una
2
cota inferior de f ( x ) = e − x .
Nótese también que la función
alcanza un máximo en x = 0, siendo el
valor de este máximo f (0) = 1.
El punto M(0,1) es el punto
máximo de la función.
14.Extremo inferior o ínfimo una función.Sea y = f (x) una función que está acotada inferiormente. Esto significa que tiene alguna
cota inferior m.
’
Si una función tiene alguna cota inferior m, entonces tiene infinitas cotas inferiores ya que
todo número menor que m también será una cota inferior.
Vamos a definir el concepto extremo inferior o ínfimo de una función:
’
Se llama extremo inferior o ínfimo de una función
acotada inferiormente a la mayor de sus cotas inferiores.
Vamos a definir este concepto matemáticamente:
{
&
&
Infimo
de f ( x ) = maximo
m ∈ R m cota inferior de f ( x )
}
Para abreviar indicaremos ínfimo de f (x) = inf ( f )
Es evidente que si inf ( f ) = t , entonces (&4 , t ] será el conjunto de todas las cotas inferiores.
Si una función está acotada inferiormente, entonces tiene ínfimo.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 31
Propiedades y formas de las funciones
Ejemplo 23 .2
Consideremos la función del ejemplo 22, es decir, f ( x ) = e − x .
Hemos visto que está acotada inferiormente. Intentemos averiguar quien es su ínfimo.
Veamos:
Sabemos que 0 es una cota inferior, por lo que el ínfimo debe se 0 o un número mayor que
0 (ya que el ínfimo es la mayor de las cotas inferiores).
Ahora bien:
¿Un número positivo puede ser una cota inferior?
Es decir, ¿ › m0ú+ * no existe gráfica por debajo de la recta y = m ?
Veamos:
2
1
= 0+
+∞
+∞
e
1
1
= +∞ =
= 0+
+∞
e
x = + ∞ → f ( + ∞ ) = e − ( +∞ ) = e −∞ =
2
x = − ∞ → f ( − ∞ ) = e − ( −∞ ) = e −∞
1
=





Es decir, cuando x se hace infinitamente grande positiva o negativa, la imágenes se
aproximan infinitamente a 0, sin llegar a valer 0. Esta aproximación es tanta como queramos.
De lo anterior se deduce que ningún numero positivo será una cota inferior de la función.
Conclusiones:
Cero es la mayor de las cotas inferiores, es decir, inf( f ) = 0
El conjunto de las cotas inferiores es (&4 , 0]
Ningún número x tiene por imagen al ínfimo, es decir: ò x0ú * f (x) = 0
15.Mínimo de una función.Sea y = f (x) una función acotada inferiormente. Entonces tendrá ínfimo t.
’
Como t es el ínfimo, sabemos que œx 0Df , se verifica que f (x) $ t
’
Pueden ocurrir una de los dos puntos siguientes:
Î
Que exista un a 0Df tal f (a) = t, es decir, hay un número cuya imagen es el
ínfimo de la función.
Ï
Que no existe un a 0Df tal f (a) = t, es decir, œx0Df ocurre que f (x) > t
˜
Pues bien, cuando ocurre Î, decimos que t es el mínimo de la función, es decir, al ínfimo
se le llama mínimo. Llamaremos min ( f ) = t
Se dice que f (x) alcanza el mínimo en x = a, siendo el valor del mínimo f (a) = t.
El punto T(a , t) estará en la gráfica de la función y se denomina punto mínimo.
˜
Puede ocurrir que una función tenga más de un mínimo. En efecto, puede ocurrir que:
∃ a1 , a 2 , a 3 , ...., a n ∈ D f
f (a1 ) = f (a 2 ) = f (a 3 ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = f (a n ) = m
Puede darse el caso de una función que tenga infinitos puntos mínimos.
Ejemplo 24 .2
Consideremos la función de los ejemplos 22 y 23, es decir, f ( x ) = e − x .
Hemos visto que está acotada inferiormente y que su ínfimo es 0.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 32
Propiedades y formas de las funciones
En el ejemplo 22 vimos que ningún a0ú hace que f (a) = 0, es decir, el ínfimo de la
2
función no es un mínimo. Por tanto, la función f ( x ) = e − x no tiene mínimo.
Ejemplo 25 .H
H
H
H
H
Sea la función y = f (x) = * *x* &1 *
Averigüemos si tiene mínimo:
Es evidente que œx0ú , f (x) = * *x* &1 *0ú. Por tanto, Df = ú = (&4, +4).
Es evidente que œx0Df = ú es f (x) = * *x* &1 *$0 (por se un valor absoluto).
Deducimos de lo anterior que cualquier número negativo o 0 es una cota inferior de f (x).
Para x = 1 tenemos que f (1) = * *1* &1 * = * 1&1 * = * 0 * = 0
Para x = &1 tenemos que f (&1) = * *&1* &1 * = * 1&1 * = * 0 * = 0
Para x = 1+ tenemos que f (1+) = * *1+* &1 * = * 1+&1 * = * 0+ * = 0+
Para x = 1& tenemos que f (1&) = * *1&* &1 * = * 1&&1 * = * 0& * = 0+
Para x = &1+ tenemos que f (&1+) = * *&1+* &1 * = * 1&&1 * = * 0& * = 0+
Para x = &1& tenemos que f (&1&) = * *&1&* &1 * = * 1+&1 * = * 0+ * = 0+
Del punto anterior se deduce que:
Î
El ínfimo de f (x) = * *x* &1 * es 0. Es decir, inf ( f ) = 0
Ï
El ínfimo se alcanza en x = 1 y en x = &1
Ð
La función tiene mínimo, el 0. Es decir, max ( f ) = 0
16.Función acotada inferiormente.Una función f ( x) se dice que está acotada inferiormente si tiene alguna cota inferior.
Es decir:
f (x) está acotada inferiormente ] › m0ú * œx0Df es f (x) $m
Es evidente que si una función está acotada inferiormente, tiene infinitas cotas inferiores.
Gráficamente se interpreta como que existe una recta horizontal de ecuación y = r(x) = m
tal que ningún punto de la gráfica de la función f (x) está por debajo de esa recta.
Ejemplo 26 .Las funciones del tipo f (x) = ax2 + bx + c , tales que a > 0 , polinómicas de segundo grado
y cuyas gráficas son parábolas con vértice como punto mínimo, son funciones acotadas
inferiormente.
Es decir:
En la gráfica de la derecha hemos representado una
supuesta parábola del tipo f (x) = ax2 + bx + c , tal que
el coeficiente de x2 es a > 0.
En este caso la función está acotada inferiormente, tiene
mínimo que se alcanza para x = &b'2a y cuyo valor es
f (&b'2a). El punto mínimo es el vértice V.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 33
Propiedades y formas de las funciones
17.Función acotada .Una función y = f (x) está acotada si lo está superior e inferiormente. Es decir:
 ∃k ∈R

f ( x ) esta& acotada ⇔ 
 ∃ m ∈ R
∀ x ∈ D f es f ( x ) ≤ k
∀ x ∈ D f es f ( x ) ≥ m
Otra forma:
f ( x ) esta& acotada ⇔ ∃ k , m ∈ R
∀ x ∈ D f es m ≤ f ( x ) ≤ k
La interpretación gráfica de este concepto es que si consideramos las rectas de ecuaciones
y = k e y = m (rectas paralelas al eje de abcisas, estando y = k por encima de y = m) tenemos que
la gráfica de la función y = f (x) está íntegramente entre ellas, esto es, no hay gráfica por encima
de y = k ni por debajo de y = m.
Es decir:
Ejemplo 27 .Consideremos la función y = f (x) = cos x y recordemos su gráfica.
Recordemos que − 1 ≤ cos x ≤ 1 , es decir, − 1 ≤ f ( x ) ≤ 1
Es decir, &1 es una cota inferior y 1 es una cota superior.
Además :
1 = cos 0 = cos 2π = cos (&2π) = cos 4π = cos (&4π) = þþ
&1 = cos π = cos (&π) = cos 3π = cos (&3π) = cos 5π = cos (&5π) = þþ
De lo anterior se deduce que min ( f ) = &1 y max ( f ) = 1
Por tanto, la función y = f (x) = cos x es una función acotada.
En la gráfica puede apreciarse como la curva
se mueve entre las rectas y = &1 e y = 1.
Nótese que se alcanza el mínimo en infinitos
puntos, al igual que el máximo, que se alcanza
también en infinitos puntos.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 34
Propiedades y formas de las funciones
18.Concavidad - convexidad de una función .Veremos ahora un concepto relativo a la gráfica de una función. Se trata del concepto de
concavidad o convexidad de la gráfica de una función ( o más abreviadamente, concavidad o
convexidad de una función). Se refiere a la posición y forma que tiene la gráfica en un punto de
ella (y sus proximidades) con respecto al eje de ordenadas y a la recta tangente a dicha gráfica en
ese punto.
Veamos:
”
Sea y = f (x) una función de dominio Df.
”
Sea a0Df , f (a) su imagen y P(a, f (a)) el punto correspondiente de su gráfica.
”
Supongamos que la gráfica de f (x) tiene recta tangente en el punto P. Llamaremos r a
dicha recta, cuya ecuación será y = r (x). Recuérdese que esta recta se corresponde con
una función polinómica de grado 1, es decir, y = r (x) = ax + b.
Definimos el siguiente concepto:
18.1.Función cóncava hacia arriba o convexa hacia abajo en un punto.Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia arriba (o convexa hacia
abajo) en el punto P de su gráfica, de abcisa x = a, si todos los puntos de su
gráfica situados infinitamente próximos a P están por encima de la recta r que
es tangente a la gráfica de f (x) en ese punto P.
Gráficamente :
Observa la gráfica y = f (x) de la izquierda y el
punto P(a, f (a)) situado en ella.
Observa la recta r tangente a y = f (x) en el
punto P.
Observa como los puntos de la gráfica de la
función y = f (x) que están infinitamente
próximos a P, se encuentran situados por
encima de la recta r. Hemos representado dos.
Se dice que (alguna de estas expresiones):
4
La función y = f (x) (o su gráfica) es
cóncava hacia arriba en el punto P.
4
La función y = f (x) (o su gráfica) es
convexa hacia abajo en el punto P.
4
La función y = f (x) (o su gráfica) es
cóncava hacia las Y positivas en el
punto P.
4
La función y = f (x) (o su gráfica) es
convexa hacia las Y negativas en el
punto P.
Obsérvese que si tomamos un x que esté infinitamente próximo a a, por su derecha o por su
izquierda, las imágenes mediante f (x) son mayores que sus imágenes mediante r (x), es decir:
Si x = a&, entonces f ( a&) $ r (a&) y Si x = a+, entonces f ( a+) $ r (a+)
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 35
Propiedades y formas de las funciones
Esta última idea nos induce a mejorar la definición anterior, dándole un significado más
matemático. Veamos:
Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia arriba (o convexa hacia abajo) en el punto de
su gráfica P, de abcisa x = a, si existe un entorno de centro a y radio ε tal que para cualquier
x situado en ese entorno, su imagen mediante f (x) es mayor o igual que su imagen mediante
la recta r (x) tangente a la gráfica en el punto P.
En forma matemática:
f (x) es cóncava hacia arriba en x = a ] › Eε(a) * œx0Eε(a) se verifica que f (x) $r (x)
( siendo r (x) la recta tangente a f (x) en P(a , f (a)) )
La concavidad hacia arriba de una función en un punto puede apreciarse, en general, a simple
vista si se visualiza la gráfica de la función. También es posible apreciarla, si no se dispone de
la gráfica, aplicando la definición, pero más fácil se puede conseguir utilizando las aplicaciones
de las derivadas, algo que veremos en sucesivos capítulos.
Ejemplo 28 .Sea la función y = f (x) = x2+1 y el punto de su gráfica de abcisa x = 1. Vamos a ver
gráficamente que es cóncava hacia arriba (o convexa hacia abajo) en el punto P(1,2).
Hemos dibujado la gráfica de f (x) = x2+1 que es
una parábola.
Hemos dibujado la recta tangente en P(1,2).
Recuerda que su ecuación se obtiene de la forma
y&2 = m(x&1), siendo la pendiente m = f ´(1).
Observa como los puntos de la gráfica de la
parábola f (x) = x2+1 que están infinitamente
próximos a P se encuentran por encima de r (x)
A simple vista puede apreciarse como la función
f (x) = x2+1 es cóncava hacia arriba en todos sus
puntos.
Ejemplo 29 .Todas las parábolas del tipo y = f (x) = ax2 + bx + c con a >0 son cóncavas hacia arriba
(o convexas hacia abajo) en todos sus puntos. Esto puede apreciarse a simple vista.
18.2.Función cóncava hacia arriba o convexa hacia abajo en un intervalo.Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia arriba (o convexa hacia
abajo) en un intervalo A si lo es en cada uno de los puntos de ese intervalo.
NOTA: Este concepto es aplicable a un conjunto A, sin necesidad de que sea un intervalo.
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Propiedades y formas de las funciones
La idea gráfica de este concepto es la siguiente:
:
:
En el dibujo puede observarse como
la función verifica en todos los
valores x0(a,b) que en los puntos
P(x, f (x)) la función es cóncava hacia
arriba (o convexa hacia abajo).
Nótese como no se cumple la
definición para algunos puntos que se
encuentran fuera de ese intervalo.
La definición anterior es mejorable del siguiente modo:
Ê
Considera la gráfica anterior correspondiente a una función cóncava hacia arriba en A.
Ê
Imagina dos números cualesquiera x1 y x2 del intervalo A, es decir, x1,x20A.
Ê
Imagina los puntos correspondientes de la gráfica S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2)).
Ê
Imagina la cuerda (el segmento) que une los puntos S y T.
Ê
¿“Ves” que la gráfica de y = f (x) “queda” por debajo de es segmento de extremos S y T?
Pues esa es la idea que nos va a permitir definir el concepto de función cóncava hacia arriba
(o convexa hacia abajo) en un intervalo.
Es decir:
Se dice que la función f (x) es cóncava hacia arriba (o convexa hacia abajo)
en el intervalo A, si dados dos números cualesquiera x1 y x2 de A, el
segmento (trozo de recta) que une los puntos S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2)) de
la gráfica de f (x) está por encima de dicha gráfica.
Expresemos esta definición en forma matemática:
&
f ( x ) es concava
hacia arriba o

 ⇔ ∀ x1 , x2 ∈ A x1 < x 2 , es f ( x ) ≤ r ( x ) ∀ x ∈ [ x1 , x 2 ]
convexa hacia abajo en el int ervalo A 
Siendo r (x) la recta que une los puntos S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2))
Gráficamente:
Nótese que si tomamos dos puntos
cualesquiera del intervalo A, x1 < x2 y unimos
los puntos S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2)), el
segmento (trozo de la recta r (x) ) que resulta
está por encima de la gráfica de f (x).
Es decir:
Si x0[x1 , x2], entonces f (x) < r (x)
18.3.Función cóncava hacia arriba o convexa hacia abajo en todo su dominio.Una función es cóncava hacia arriba o convexa hacia abajo en su dominio si lo es en cada
uno de los puntos de su dominio. Esto significa que lo será en cualquier intervalo que esté
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Propiedades y formas de las funciones
contenido en dicho dominio.
f (x) cóncava hacia arriba en Df ] œAdDf , f (x) es cóncava hacia arriba en
A
Siendo: Df = dominio de f (x) y A = intervalo.
E j
emplo 30 .Sea la función f ( x ) =
1
. Dibujemos su gráfica:
x2
Nótese que el dominio de la función f (x) es
Df = ú&{0}= (&4,0)c(0,+4)
Observando la gráfica puede apreciarse que
f (x) es cóncava hacia arriba en el intervalo
(&4,0) y en el intervalo (0,+4).
Por tanto, es cóncava hacia arriba en todo su
dominio.
Ejemplo 31 .Las funciones polinómicas de grado 2 del tipo y = f (x) = ax2 + bx + c con a > 0 , son
cóncavas hacia arriba (o convexas hacia abajo) en todo ú.
Recuérdese que las gráficas de estas funciones son parábolas con el vértice como punto
mínimo.
Ejemplo 32 .Las funciones exponenciales del tipo y = g(x) = ax con a > 0, son cóncavas hacia arriba
en todo ú.
Por ejemplo, la gráfica de y = g (x) = 0´1 x es :
En la gráfica de la función y = g (x) = 0´1 x
apreciamos como es cóncava hacia arriba en
todo ú.
Apreciamos también como el eje de absisas es
una asíntota horizontal por la derecha, es decir:
g( + ∞ ) = 0 ′ 1+∞ = 0 +
Nótese como hay rama parabólica por la
izquierda y hacia arriba, es decir:
g( − ∞ ) = 0 ′ 1−∞ =
1
1
+∞ = + = + ∞
0′ 1
0
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Página 38
Propiedades y formas de las funciones
18.4.Función cóncava hacia abajo o convexa hacia arriba en un punto.Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia abajo (o convexa hacia
arriba) en el punto P de su gráfica, de abcisa x = a, si todos los puntos de su
gráfica situados infinitamente próximos a P están por debajo de la recta r que
es tangente a la gráfica de f (x) en ese punto P.
Gráficamente:
Observa la gráfica y = f (x) de la izquierda y el
punto P(a, f (a)) situado en ella.
Observa la recta r tangente a y = f (x) en el
punto P.
Observa como los puntos de la gráfica de la
función y = f (x) que están infinitamente
próximos a P, se encuentran situados por
debajo de la recta r. Hemos representado dos.
Se dice que (alguna de estas expresiones):
4
La función y = f (x) (o su gráfica) es
cóncava hacia abajo en el punto P.
4
La función y = f (x) (o su gráfica) es
convexa hacia arriba en el punto P.
4
La función y = f (x) (o su gráfica) es
cóncava hacia las Y negativas en el
punto P.
4
La función y = f (x) (o su gráfica) es
convexa hacia las Y positivas en el
punto P.
Obsérvese que si tomamos un x que esté infinitamente próximo a a, por su derecha o por su
izquierda, las imágenes mediante f (x) son menores que sus imágenes mediante r (x), es decir:
Si x = a&, entonces f ( a&) # r (a&) y Si x = a+, entonces f ( a+) # r (a+)
Esta última idea nos induce a mejorar la definición anterior, dándole un significado más
matemático. Veamos:
Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia abajo (o convexa hacia arriba) en el punto
de su gráfica P, de abcisa x = a, si existe un entorno de centro a y radio ε tal que para cualquier
x situado en ese entorno, su imagen mediante f (x) es menor o igual que su imagen mediante
la recta r (x) tangente a la gráfica en el punto P.
En forma matemática:
f (x) es cóncava hacia abajo en x = a ] › Eε(a) * œx0Eε(a) se verifica que f (x) # r (x)
( siendo r (x) la recta tangente a f (x) en P(a , f (a)) )
La concavidad hacia abajo de una función en un punto puede apreciarse, en general, a simple
vista si se visualiza la gráfica de la función. También es posible apreciarla, si no se dispone de
la gráfica, aplicando la definición, pero más fácil se puede conseguir utilizando las aplicaciones
de las derivadas, algo que veremos en sucesivos capítulos.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 39
Propiedades y formas de las funciones
Ejemplo 33 .Sea la función y = f (x) = &x2 +1. Su gráfica es una parábola con vértice como punto
máximo.
Dibujemos su gráfica:
En el dibujo de la izquierda puede
apreciarse, a simple vista, que la
gráfica de la función es f (x) = &x2 +1
es cóncava hacia abajo en todos los
puntos, es decir, si trazamos la
tangente en un punto cualquiera P, los
puntos de la gráfica que están
infinitamente próximos a P, se
encuentran situados por debajo de la
recta tangente en P.
18.5.Función cóncava hacia abajo o convexa hacia arriba en un intervalo.Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia abajo (o convexa hacia
arriba) en un intervalo A si lo es en cada uno de los puntos de ese intervalo.
NOTA: Este concepto es aplicable a un conjunto A, sin necesidad de que sea un intervalo.
La idea gráfica de este concepto es la siguiente:
:
:
En el dibujo puede observarse como
la función verifica en todos los
valores x0(a,b) que en los puntos P(x,
f (x)) la función es cóncava hacia
abajo (o convexa hacia arriba).
Nótese como no se cumple la
definición para algunos puntos que se
encuentran fuera de ese intervalo.
La definición anterior es mejorable del siguiente modo:
Ê
Considera la gráfica anterior correspondiente a una función cóncava hacia abajo en A.
Ê
Imagina dos números cualesquiera x1 y x2 del intervalo A, es decir, x1,x20A.
Ê
Imagina los puntos correspondientes de la gráfica S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2)).
Ê
Imagina la cuerda (el segmento) que une los puntos S y T.
Ê
¿“Ves” que la gráfica de y = f (x) “está” por encima de ese segmento de extremos S y T?
Pues esa es la idea que nos va a permitir definir el concepto de función cóncava hacia abajo (o
convexa hacia arriba) en un intervalo.
Es decir:
Se dice que la función f (x) es cóncava hacia abajo (o convexa hacia arriba)
en el intervalo A, si dados dos números cualesquiera x1 y x2 de A, el
segmento que une los puntos S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2)) de la gráfica de f (x)
está por debajo de dicha gráfica.
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Propiedades y formas de las funciones
Expresemos esta definición en forma matemática:
&
f ( x ) es concava
hacia abajo o

 ⇔ ∀ x1 , x 2 ∈ A x1 < x 2 , es f ( x ) ≥ r ( x ) ∀ x ∈ [ x1 , x 2 ]
convexa hacia arriba en el int ervalo A 
Siendo r (x) la recta que une los puntos S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2))
Gráficamente:
Nótese que si tomamos dos puntos
cualesquiera del intervalo A, x1 < x2 y
unimos los puntos S( x1, f ( x1)) y
T(x2,f (x2)), el segmento (trozo de la
recta r (x) ) que resulta está por debajo
de la gráfica de f (x).
Es decir:
Si x0[x1 , x2], entonces f (x) > r (x)
18.6.Función cóncava hacia abajo o convexa hacia arriba en todo su dominio.Una función es cóncava hacia abajo o convexa hacia arriba en su dominio si lo es en cada
uno de los puntos de su dominio. Esto significa que lo será en cualquier intervalo que esté
contenido en dicho dominio.
f (x) cóncava hacia arriba en Df ] œAdDf , f (x) es cóncava hacia abajo en A
Siendo: Df = dominio de f (x) y A = intervalo.
Ejemplo 34 .Consideremos la función y = f ( x ) = 1 −
1
y dibujemos su gráfica:
x2
Destacamos lo siguiente:
Q
f (x) no existe ] x = 0. Por tanto, Df = ú&{0}= (&4,0)c(0,+4)
Matemáticas de 2º de bachillerato
Q
1
= 1−
+ 2
1

= 1 − 0 + = 1− 
+∞
(+ ∞ )

 ⇒ La recta y = 1 es una asintota horizontal
1
1
+
− 
= 1−
= 1− 0 = 1
f (− ∞ ) = 1 −

+∞
(− ∞ )2
Nótese como la gráfica es cóncava hacia abajo en los intervalos (&4,0) y (0,+4), es decir,
es cóncava hacia abajo en todo el dominio Df = ú&{0}= (&4,0)c(0,+4).
f (+ ∞ ) = 1 −
Q
Propiedades y formas de las funciones
1

+ = 1− ∞ = −∞ 
(0 )
0

 ⇒ El eje de ordenadas es una asintota vertical
1
1
−
f (0 ) = 1 − − 2 = 1 − + = 1 − ∞ = − ∞ 

(0 )
0
f (0 + ) = 1 −
Q
Página 41
1
2
= 1−
Ejemplo 35.Considera la función y = f ( x ) =
1
cuya gráfica está dibujada en el ejemplo 6.
x
Observando la gráfica destacamos lo siguiente:
f (x) es cóncava hacia abajo en el intervalo (&4,0)
f (x) es cóncava hacia arriba en el intervalo (0,+4)
19.Punto de inflexión de una función .

Sea y = f (x) una función.
Sea P(a , f (a)) un punto de su gráfica.
Se dice que P es un punto de inflexión de la gráfica de f (x) (o simplemente de la función
f (x) ) si en los puntos de dicha gráfica situados infinitamente próximos a P por su
izquierda, la concavidad es hacia un sentido y en los puntos situados infinitamente
próximos a P por su derecha, la concavidad es en sentido contrario. Dicho de otra forma,
en el punto P se produce un cambio en la concavidad.
Gráficamente:
En el dibujo de la izquierda hemos representado a
una función f (x) que tiene dos puntos de inflexión, P y Q.
Obsérvese que en los puntos de la gráfica que
están infinitamente próximos a P por su izquierda, la
concavidad es hacia arriba y en los puntos pegados a P por
su derecha es hacia abajo.
En el punto Q ocurre lo contrario, en las
proximidades a Q por su izquierda la concavidad es hacia
abajo y en las proximidades a Q por su derecha la
concavidad es hacia arriba.
Una función puede tener desde ninguno hasta
infinitos puntos de inflexión.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 42
Propiedades y formas de las funciones
Ejemplo 36.Consideremos la función y = h (x) = x3 que vimos en el ejemplo 8 (ver página 8).
Recordemos su gráfica:
Podemos observar como en el punto O
(origen de coordenadas) se produce una
inflexión, o sea, un cambio de concavidad.
Veamos:
R
En el intervalo (&4,0) la gráfica de
h (x) es cóncava hacia abajo
(convexa hacia arriba).
R
En el intervalo (0,+4) la gráfica de la
función es cóncava hacia arriba
(convexa hacia abajo).
R
En el origen (0,0) se produce el
cambio de concavidad, es decir, O es
un punto de inflexión.
En la gráfica la escala en ambos ejes es distinta, es
decir, la unidad en cada eje tiene distinto tamaño.
20.Función periódica .r
r
Sea y = f (x) una función real de variable real cuyo dominio es Df.
Sea t un número real, es decir, t 0ú
Se dice que f (x) es una función periódica de periodo t si f (x+ k·t ) = f (x)
para todo x 0Df y para todo k 0Z
Es decir:
f (x) = f (x+ t ) = f (x& t ) = f (x+ 2·t ) = f (x& 2·t ) = f (x+ 3·t ) = f (x& 3·t ) = f (x+ 4·t ) = ······
al número t se le denomina periodo de la función f (x)
La interpretación gráfica de una función periódica de periodo t es que si consideramos intervalos
de amplitud t en el eje de abcisas, la gráfica de la función se repite (es decir, tiene la misma
forma en esos intervalos).
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 43
Propiedades y formas de las funciones
Aclaremos nuevamente esta idea:
Si y = f (x) es una función periódica de periodo t, a0Df y f (a) es la imagen de a mediante f,
podemos poner que:
Es decir:
f (a) = f (a+ t ) = f (a& t ) = f (a+ 2·t ) = f (a& 2·t ) = f (a+ 3·t ) = f (a& 3·t ) = f (a+ 4·t ) = ······
para cualquier número a que pertenezca al dominio de la función.
Ejemplo 37.Recordemos la función vista en el tema “Gráficas de funciones reales de variable real”,
ejemplo nº 23, siguiente:

 siendo E ( x ) = parte entera de x
x  → g ( x ) = x − E ( x ) 
En ese ejemplo la expresamos por intervalos y dibujamos su gráfica. Recordemos esta última:
g : R  → R
Nótese que es una función periódica de periodo t = 1.
Puede apreciarse que œa0ú se verifica que f (a) = f (a&1) = f (a+1) = f (a&2) = f (a+2) = þþ
Matemáticas de 2º de bachillerato
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Propiedades y formas de las funciones
Ejemplo 38.La función f (x) = sen x (ver gráfica en el ejemplo 20, página 28) es una función
periódica de periodo t = 2π. En efecto:
œx0ú (x ángulo en radianes) se verifica que:
sen x = sen (x+2π) = sen (x&2π) = sen (x+4π) = sen (x&4π) = sen (x+6π) = sen (x&6π) = þþþ
Es decir: œx0ú es f (x) = f (x ± 2kπ) œk0Z
Ejemplo 39.La función g (x) = tg x (tangente de x) es una función periódica de periodo t = π
En efecto:
Recordando la construcción de la función tangente de x ( x ángulo en radianes):
œx0Dg = ú&{π/2 , &π/2 , 3π/2 , &3π/2 , 5π/2 , &5π/2 , 7π/2 &7π/2þþþþ} se verifica que
tg x = tg (x+π) = tg (x& π) = tg (x+2π) = tg (x&2π) = tg (x+3π) = tg (x& 3π) = tg (x+4π)
=þþ
Dibujemos su gráfica:
Apréciese en la gráfica que la función g (x) = tg x tiene infinitas asíntotas verticales.
Corresponden a los puntos x = π/2 ; x = &π/2 ; x = 3π/2 ; x = &3π/2 ; x = 5π/2 ; x = &5π/2 ; þ
También pueden apreciarse los infinitos puntos de inflexión que corresponde a los
puntos de abcisa x = 0 ; x = π ; x = &π ; x = 2π ; x = &2π ; x = 3π ; x = &3π ; þþ