Parte 2 - Curso de Máquinas

Modelación y Control de Máquinas
Eléctricas
Parte II
Dr. José Manuel Aller Castro
Escuela Superior Politécnica de Chimborazo
Riobamba, Mayo 2015
Ecuaciones generales en coordenadas αβ dq I
I
Las ecuaciones de tensión para la máquina en coordenadas
transformadasαβ dq son:
 
Re + Le p
0
Ler p
0
vαe
 vβ  
0
Re + Le p
0
Ler p
 e =
 vd   Ler p
θ̇
L
R
+
L
p
θ̇ Lr
er
r
r
r
vqr
−θ̇ Ler
Ler p
−θ̇ Lr
Rr + Lr p


iαe
  iβ 
 e 
  id 
r
iqr
(1)

Ecuaciones generales en coordenadas αβ dq II
I
La ecuación 1 representa a la máquina eléctrica en
coordenadas αβ dq.
I
El colector permite que las inductancias propias y mutuas
vistas desde el estator sean independientes de la posición
del rotor.
I
Las escobillas o carbones que recolectan la corriente,
neutralizan el efecto del giro
análoga a lo que
de forma
realiza la transformación Aαβ ,dq .
Ecuaciones generales en coordenadas αβ dq III
I
Para completar las ecuaciones que definen el
comportamiento de la máquina eléctrica en las
coordenadas αβ dq, es necesario calcular el par eléctrico:
−1 
iαe
0
0
0 −Ler



1 iβe   0
0 Ler
0
Te = 



0
Ler 0
0
2 idr
−Ler 0
0
0
iqr

= Ler iβe idr − iαe iqr


iαe
  iβ 
 e  =
  id 
r
iqr
(2)
Ecuaciones generales en coordenadas αβ dq IV
Figura: Modelo esquemático de la máquina generalizada
Ecuaciones generales en coordenadas αβ dq V
I
La ecuación de balance del par mecánico es:
Tm = Ler iβe idr − iαe iqr + J θ̈ + ρ θ̇
I
(3)
La condición necesaria para la existencia del par eléctrico
requiere que existan al menos dos corrientes, una en el
estator y otra en el rotor, y que esas corrientes se
encuentren en ejes ortogonales del modelo de la máquina
generalizada.
Máquinas de Corriente Continua I
I
Una máquina de conmutador está constituida básicamente
por un estator, un rotor y un colector acoplado
sólidamente al rotor.
I
El colector permite conectar galvánicamente los
conductores del circuito rotórico o armadura a la fuente de
tensión continua, mediante un juego de carbones o
escobillas solidarios con el estator de la máquina.
Máquinas de Corriente Continua II
I
En la figura siguiente se presenta el diagrama esquemático
de la máquina de corriente continua y un modelo
constructivo simple para fines demostrativos.
(a) Modelo Constructivo
(b) Diagrama esquemático
Figura: Máquina elemental de colector
Máquinas de Corriente Continua III
I
El principio de operación de las máquinas de corriente
continua se fundamenta en la inyección de corriente
continua, tanto en el circuito rotórico como estatórico.
I
Estas corrientes producen las fuerzas magnetomotrices Fr
en el rotor y Fe en el estator, que intentan alinearse.
I
Cuando se alcanza el alineamiento, cesa el par eléctrico.
I
Si en ese preciso instante se invierte el sentido de la
corriente inyectada en el circuito rotórico, la fuerza
magnetomotriz del rotor cambia de sentido 180º y aparece
un nuevo par de alineamiento.
Máquinas de Corriente Continua IV
I
En la figura siguiente se representa esta situación.
Figura: Alineamiento de fuerzas electromotrices en la máquina
Máquinas de Corriente Continua V
I
Analizando los diagramas de la figura anterior se pueden
indicar las siguientes observaciones:
I
Las fuerzas magnetomotrices en el semiplano positivo,
producen par positivo en el sentido de las agujas del reloj.
I
Las corrientes que circulan por el rotor deben producir la
fuerza magnetomotriz en el plano positivo, para que el par
siempre resulte positivo.
I
Para invertir el sentido de la fuerza magnetomotriz del
rotor se utiliza el conmutador.
Máquinas de Corriente Continua VI
I
En la figura siguiente se observa que la corriente tiene
como período de repetición una revolución del rotor de la
máquina de corriente continua.
Figura: Conmutador y forma de la corriente del rotor en un
período de revolución
Máquinas de Corriente Continua VII
I
Al girar el rotor, la escobilla (1), se conecta con la delga
(4) y la escobilla (2) se conecta con la delga (3).
I
El procedimiento anterior permite la inversión del sentido
de circulación de la corriente por el rotor mediante el
dispositivo mecánico descrito.
I
La corriente interna en el circuito rotórico es alterna.
I
La corriente inyectada por la fuente es continua.
I
En la práctica, es necesario un conmutador por cada
bobina del rotor, pero por simplicidad en el análisis se ha
supuesto que la máquina posee una sola bobina.
Máquinas de Corriente Continua VIII
I
Con la distribución de la corriente de armadura que se
representa en la figura siguiente, la fuerza magnetomotriz
producida en el rotor se encuentra en el semiplano positivo
y se produce un par positivo que intenta alinear esta fuerza
magnetomotriz con la fuerza magnetomotriz producida por
el enrollado de campo de la máquina.
Figura: Alineamiento de las corrientes por los conductores del
rotor para producir par positivo
Máquinas de Corriente Continua IX
I
En esta situación, los conductores contribuyen al par en la
dirección positiva del movimiento, debido a que los
conductores ubicados a la derecha de la figura producen
fuerza tangencial hacia abajo, mientras que los de la
izquierda producen fuerzas tangenciales hacia arriba.
I
En un alineamiento conductivo semejante al ilustrado en la
figura siguiente, existe equilibrio de fuerzas sobre el
mismo brazo y el par resultante es nulo.
Máquinas de Corriente Continua X
Figura: Alineamiento de las corrientes de armadura que no
produce par efectivo en el eje
Máquinas de Corriente Continua XI
I
Este análisis elemental explica la conveniencia de utilizar
la distribución de las corrientes de armadura presentada en
la figura anterior, con la finalidad de obtener par eléctrico
significativo en la máquina de corriente continua.
I
En las máquinas de conmutador, el plano que contiene el
eje mecánico y corta diametralmente al rotor se denomina
línea neutra de la máquina.
Máquinas de Corriente Continua XII
I
La línea neutra divide los puntos del rotor en los que entra
el flujo de aquellos en los cuales el flujo sale.
Figura: Abatimiento lineal de una máquina rotativa de corriente
continua
Máquinas de Corriente Continua XIII
I
Para lograr la inversión en el sentido de la corriente, es
necesario un dispositivo conmutador por cada bobina.
I
Esta solución es muy primitiva, el conmutador puede ser
mejorado mediante una distribución conveniente de los
conductores que permita obtener el resultado deseado.
I
En la figura anterior se representa un abatimiento lineal de
la superficie del estator y de los conductores del rotor.
I
Es conveniente realizar una conexión de los conductores
del rotor, de tal forma que sólo se necesite un par de
escobillas y no una por cada espira.
Máquinas de Corriente Continua XIV
I
Esta situación se puede obtener conectando las bobinas en
serie. La otra condición que debe cumplirse es que al
cambiar de posición la espira, en ella debe cambiar el
sentido de la corriente, pero no en las otras espiras.
I
En la figura siguiente se muestra una forma posible de
realizar las conexiones de los conductores del circuito de
armadura.
Máquinas de Corriente Continua XV
Figura: Conexión de los conductores del rotor
Máquinas de Corriente Continua XVI
I
Los conductores conectados a los terminales (1) y (2) de
la figura anterior se encuentran en una situación diferente
al resto de los conductores del circuito rotórico porque son
los extremos de la bobina.
I
Para resolver este inconveniente se conecta un segundo
devanado similar al anterior en las mismas ranuras del
rotor y conectados en paralelo.
Máquinas de Corriente Continua XVII
I
En la figura siguiente se observa el abatimiento lineal de
estas dos bobinas.
Figura: Armadura de la máquina
Máquinas de Corriente Continua XVIII
I
I
I
I
Con esta distribución de los conductores del devanado de
armadura, es suficiente inyectar corriente entre dos delgas
separadas 180º eléctricos para que la corriente circule en
una dirección en una mitad de la periferia del rotor y en
sentido contrario en la otra.
Disponiendo de esta forma las bobinas, toda la superficie
del rotor puede ser aprovechada para la producción de par.
Si las escobillas se colocan alineadas convenientemente, se
obtendrá siempre corriente en un sentido en el polo norte
de la máquina y en sentido contrario en el polo sur.
Cuando un conductor atraviesa la línea neutra, se invierte
el sentido de su corriente y por esta razón el par producido
sobre él mantiene la misma dirección.
Máquinas de Corriente Continua XIX
I
I
En la práctica se utilizan dos esquemas básicos para
bobinar el circuito de armadura de las máquinas de
corriente continua, el devanado imbricado y el devanado
ondulado.
En la figura siguiente se muestran dos ejemplos de estos
bobinados. En el enrollado imbricado, la bobina se devana
regresando por ranuras adyacentes o muy cercanas los
retornos.
Figura: Bobinados de armadura imbricados y ondulados
Máquinas de Corriente Continua XX
I
En el devanado ondulado el conductor de retorno de
bobina adelanta poco más o menos un paso polar.
I
El análisis de los diferentes tipos de devanados es muy
complejo y excede los alcances de este texto, pero se
puede destacar que en los rotores ondulados se puede
utilizar un par de carbones para conectar todos los pares de
polos de la armadura, mientras que los rotores imbricados
requieren un par de carbones por cada par de polos.
Máquinas de Corriente Continua XXI
I
En máquinas pequeñas con múltiples pares de polos el
empleo de bobinas onduladas puede representar un ahorro
importante en el proceso de fabricación, porque además se
utiliza menor cantidad de cobre en las cabezas de bobina.
I
En la figura siguiente se muestran dos etapas del proceso
de fabricación de la armadura de una máquina de corriente
continua.
Máquinas de Corriente Continua XXII
(a) Unión de los conductores a
las delgas
Máquinas de Corriente Continua XXIII
(b) Proceso de fabricación de una armadura de
corriente continua
Figura: Proceso de fabricación de una armadura de corriente
continua
Máquinas de Corriente Continua XXIV
I
En primer lugar la conexión de los mazos de conductores
con las delgas y en la siguiente se muestra el maquinado
final de las delgas realizado en el torno.
I
En la figura siguiente se representa la armadura de la
máquina de corriente continua mediante capas de corriente.
Máquinas de Corriente Continua XXV
Figura: Separatriz de la armadura
Máquinas de Corriente Continua XXVI
I
La capa de corriente puede girar mediante la rotación de
las escobillas que alimentan a las bobinas.
I
La frontera producida por la inversión de las corrientes en
la armadura que contiene a las escobillas de la máquina se
conoce como separatriz de la armadura.
I
Este sistema permite construir físicamente unos
conductores que se mueven en un campo magnético, pero
que al mismo tiempo producen una fuerza electromotriz
constante y a 90º del campo estatórico.
Máquinas de Corriente Continua XXVII
I
En la figura siguiente se representa un abatimiento lineal
de la máquina, los conductores se mueven hacia la
izquierda y el campo magnético originado por el estator de
la máquina está fijo.
Figura: Campo eléctrico en la superficie de los conductores
Máquinas de Corriente Continua XXVIII
I
La fuerza electromotriz inducida en los conductores es:
E = v×B
(4)
En esta ecuación, E es la intensidad del campo eléctrico
sobre cada conductor, v es la velocidad tangencial de los
conductores y B es la densidad de campo magnético
producida por el devanado estatórico.
I
Como todos los conductores se mueven con la misma
velocidad tangencial, la fuerza electromotriz en cada espira
es proporcional al campo.
Máquinas de Corriente Continua XXIX
I
Entre las dos escobillas aparece una fuerza electromotriz
igual a la suma de las fuerzas electromotrices de todas las
espiras que se encuentran conectadas en serie entre las dos
escobillas. En la figura anterior se observa que cada espira
contribuye con:
v = e + e = 2e
(5)
I
Para invertir el sentido de las fuerzas electromotrices
manteniendo la dirección de la velocidad, es necesario
invertir el campo.
Máquinas de Corriente Continua XXX
I
Por esta razón la fuerza electromotriz en las bobinas
cambia de sentido cuando éstas cruzan la línea neutra. En
la figura siguiente se representa esquemáticamente esta
situación.
Figura: Fuerzas electromotrices inducidas sobre las bobinas
Máquinas de Corriente Continua XXXI
I
En la figura anterior se definen:
I
I
I
I
I
E1 es la fuerza electromotriz resultante en el polo norte
E2 es la fuerza electromotriz resultante en el polo sur
La densidad de campo en el polo norte es prácticamente
igual a la del polo sur, por esta razón las fuerzas
electromotrices del rotor E1 y E2 son iguales en magnitud
pero contrarias en sentido.
Cuando las fuerzas electromotrices E1 y E2 son diferentes,
se produce una corriente circulatoria en la armadura que
puede ocasionar un calentamiento excesivo de la máquina.
Si las escobillas se alinean exactamente con la línea neutra,
la fuerza electromotriz inducida sobre las bobinas del rotor
es máxima.
Máquinas de Corriente Continua XXXII
I
Cuando la línea neutra y la separatriz no están alineadas,
ocurre una situación semejante a la que se muestra en la
figura.
Figura: Línea neutra y separatriz desalineadas
Máquinas de Corriente Continua XXXIII
I
I
I
I
En este caso, la máquina se encuentra girando a la
velocidad angular ω. El par producido en el sentido del
movimiento se denomina motriz.
Si el par tiene sentido contrario a la referencia de posición
o velocidad, se denomina generatriz.
En las regiones (2) y (4) de la figura, la máquina de
corriente continua posee par motriz y por lo tanto estas
regiones de la máquina trabajan como motor inventando
accionar la carga mecánica en el sentido de las agujas del
reloj.
En las regiones (1) y (3) la fuerza es contraria al sentido
del movimiento, por lo tanto en estas zonas la máquina
actúa como un generador.
Máquinas de Corriente Continua XXXIV
I
I
I
I
Las regiones (2) y (4) son más extensas que las zonas
marcadas con (1) y (3), el par promedio está dirigido en el
sentido del movimiento y el comportamiento neto de la
máquina es como motor.
Del análisis anterior se explica que cuando la separatriz y
la línea neutra no coinciden, el par resultante se reduce.
Durante la operación de la máquina, las escobillas
permanecen fijas en la separatriz y es conveniente que esta
línea coincida con la línea neutra.
Con esta disposición, las corrientes que circulan por los
conductores del rotor situadas a un lado de la línea neutra
poseen todas la misma dirección e intensidad.
Máquinas de Corriente Continua XXXV
I
En la figura siguiente se puede observar que las corrientes
que circulan por el rotor producen una densidad de campo
magnético Br , fijo en el espacio y cuya amplitud se
encuentra en cuadratura con el campo magnético
producido por el devanado del estator.
Figura: Flujo magnético producido por las corrientes de la
armadura
Máquinas de Corriente Continua XXXVI
I
I
I
I
I
Esta situación se asemeja a la transformación de los ejes α
y β del rotor, en ejes d y q.
El efecto físico del conmutador consiste en referir las
corrientes del rotor a ejes ficticios que rotan en sentido
contrario con la misma velocidad del rotor.
Los ejes transformados parecen estar detenidos vistos
desde el estator de la máquina. Fundamentándose en estas
ideas, la máquina de conmutador puede ser analizada
mediante una transformación a coordenadas αβ dq.
El conmutador de estas máquinas es un inversor mecánico
de la corriente que circula por los conductores del rotor,
sincronizado con el eje de la máquina.
Las conmutaciones suceden con una frecuencia igual a la
de rotación.
Máquinas de Corriente Continua XXXVII
I
I
Si el rotor de la máquina está construido con una sola
espira, la fuerza magnetomotriz resultante es perpendicular
al plano de la espira.
Para un conjunto de conductores como los ilustrados en la
figura, la fuerza magnetomotriz se encuentra en la
dirección de la separatriz de la máquina.
Figura: Resultante de la fuerza magnetomotriz del rotor
Máquinas de Corriente Continua XXXVIII
I
Para que el par eléctrico sea máximo, la fuerza
magnetomotriz del rotor debe ser perpendicular a la fuerza
magnetomotriz del estator.
I
Por esta razón, las escobillas se colocan colineales con la
línea neutra para permitir que la fuerza magnetomotriz del
rotor se encuentre en cuadratura con la fuerza
magnetomotriz del estator, tal como se demostró
anteriormente.
Ecuaciones de las máquinas de conmutador I
I
Las ecuaciones dinámicas de las máquinas de conmutador
son:



Re + Le p
0
Ler p
0
vαe

 vβ 
0
Re + Le p
0
Ler p
 e  = 
 vd 
 Ler p
θ̇
L
R
+
L
p
θ̇ Lr
er
r
r
r
vqr
−θ̇ Ler
Ler p
−θ̇ Lr
Rr + Lr p
Tm = −Ler iβe idr − iαe iqr + J θ̈ + ρ θ̇




Ecuaciones de las máquinas de conmutador II
I
Las diferentes conexiones de las máquinas de corriente
continua convencionales se pueden analizar considerando
la existencia de una bobina en el estator orientada en la
dirección del eje β y una bobina en el rotor orientada en la
dirección del eje d, accesible mediante un par de
escobillas, tal como se ilustra en la figura siguiente.
Figura: Representación básica de la máquina convencional de
corriente continua
Ecuaciones de las máquinas de conmutador III
I
Con el modelo analítico planteado para la máquina de
corriente continua, denominando G al coeficiente de
generación, que representa la inductancia mutua entre el
rotor y el estator, se obtiene el siguiente sistema de
ecuaciones diferenciales:
Re + Le p
0
vβ
iβ
=
vd
id
θ̇ G
Rr + Lr p
Tm = −Gid iβ + J θ̈ + ρ θ̇
I
Las máquinas de corriente continua se clasifican
normalmente según la conexión del enrollado de
excitación o campo.
(6)
Ecuaciones de las máquinas de conmutador IV
I
El devanado de excitación produce un campo magnético
más o menos uniforme en el cual gira el rotor.
I
Generalmente el devanado de excitación de las máquinas
de conmutador se encuentra ubicado en el estator. Si la
corriente de excitación se obtiene a partir de la fuente de
tensión que alimenta la armadura, la máquina se encuentra
en conexión paralelo o derivación.
I
Si el campo y la armadura se conectan mediante dos
fuentes diferentes, la máquina se encuentra en conexión
independiente.
Ecuaciones de las máquinas de conmutador V
I
Cuando la corriente de la armadura circula por el devanado
de campo, la conexión se denomina serie.
I
Si la máquina tiene dividido el campo en dos partes, una
conectada en serie con la armadura y otra en paralelo, la
conexión se conoce como compuesta.
I
En la figura siguiente se muestra un diagrama con todas
estas conexiones.
Ecuaciones de las máquinas de conmutador VI
Figura: Conexiones de la máquina de conmutador
Características de operación de las diferentes
conexiones I
I
Si a la armadura de la máquina se le aplica tensión
constante de valor Va y al devanado de campo una tensión
constante de magnitud Vf , en régimen permanente las
corrientes Ia e If también son constantes y en el sistema de
ecuaciones 6 desaparecen los términos de transformación:
Vf = Rf · If
(7)
Va = Gωm If + Ra Ia
(8)
Tm = −GIa If + ρωm
(9)
Características de operación de las diferentes
conexiones II
I
Despejando de la ecuación 6 la corriente If , de la ecuación
7 la corriente Ia y reemplazándolas en la expresión 8, se
obtiene la ecuación de equilibrio mecánico de la máquina
de corriente continua en función de las fuentes forzantes:


Gωm Vf
Va −
Rf
 Vf + ρωm
Tm = −G 
(10)
Ra
Rf
Características de operación de las diferentes
conexiones III
I
En la figura siguiente se representa en un gráfico el par
eléctrico de la máquina en función de la velocidad.
Figura: Par eléctrico versus velocidad con excitación
independiente
Características de operación de las diferentes
conexiones IV
I
I
En el gráfico de la figura anterior, la velocidad ωs se define
como la velocidad del rotor donde la tensión aplicada es
igual a la fuerza electromotriz inducida en la armadura de
la máquina y se denomina velocidad de sincronismo o
velocidad sincrónica.
La característica del par eléctrico de la máquina de
corriente continua en función de la velocidad angular
mecánica es igual a la característica de la fuerza eléctrica
en función de la velocidad tangencial sobre un conductor
elemental que se desplaza en la presencia de un campo
magnético uniforme analizado anteriormente1.
Características de operación de las diferentes
conexiones V
I
Esta semejanza en las características no es coincidencial,
los conductores de la armadura se encuentran en una
disposición geométrica similar a la del conductor solitario.
I
La curva de par eléctrico-velocidad puede variar con la
tensión aplicada a la armadura o a la excitación.
Características de operación de las diferentes
conexiones VI
Figura: Efecto de la variación de las fuentes
Características de operación de las diferentes
conexiones VII
I
Al variar la tensión de armadura se obtiene una familia de
características paralelas tal como se muestra en la figura
(a).
I
Si se varía la tensión del campo, cambia la pendiente de la
característica, tal como se puede observar en el gráfico de
la figura (b).
Características de operación de las diferentes
conexiones VIII
I
Si se conecta la máquina con el campo en derivación, el
sistema de ecuaciones 5 representa el comportamiento de
la máquina y la única diferencia con la máquina de
excitación independiente es que la tensión de armadura y
la tensión del campo son idénticas:
GV 2
Gωm
Tm = −
1−
+ ρωm
Ra Rf
Rf
(11)
Características de operación de las diferentes
conexiones IX
Figura: Par eléctrico versus velocidad de la máquina en
derivación
Características de operación de las diferentes
conexiones X
I
En la figura anterior se ha representado el par eléctrico de
la máquina de corriente continua con conexión en
derivación del circuito de campo; es interesante destacar
que en este caso la velocidad sincrónica ωs es
independiente de la tensión, a diferencia de lo que se
obtiene para la máquina de excitación independiente.
I
La ecuación de tensión para la armadura de la máquina es:
Va = Rr ia + Gωm If
(12)
Características de operación de las diferentes
conexiones XI
I
En la ecuación 12, el término Gωm If es la fuerza
electromotriz de generación producida por el campo. En la
figura se representa el modelo circuital equivalente de la
máquina de corriente continua en derivación.
Figura: Modelo circuital de la máquina de corriente continua en
derivación
Características de operación de las diferentes
conexiones XII
I
I
I
I
Si la fuerza electromotriz generada es mayor que la tensión
aplicada, la máquina entrega potencia a la fuente y el par
eléctrico es negativo.
En estas condiciones es necesario par mecánico de
accionamiento.
La velocidad sincrónica depende del coeficiente de
generación G y de la resistencia del campo Rf . Esta
velocidad corresponde a la condición de vacío de la
máquina.
Para controlar la velocidad de vacío se pueden intercalar
resistencias en el campo.
Características de operación de las diferentes
conexiones XIII
I
Los motores de corriente continua se utilizan ampliamente
para el control de velocidad o para la tracción de vehículos
eléctricos y trenes laminadores.
I
Las características de par-velocidad de estas máquinas
permiten su utilización en un gran número de aplicaciones.
I
Antiguamente se utilizaban resistencias para limitar la
corriente en la armadura durante el proceso de arranque.
I
Las máquinas se diseñan para permitir entre 1, 5 y 2 veces
la corriente nominal por la armadura durante el arranque.
Características de operación de las diferentes
conexiones XIV
I
En la actualidad el arranque y accionamiento de los
motores de corriente continua se realiza mediante fuentes
de corriente continua regulables en tensión, con lo cual las
pérdidas en los reóstatos se eliminan.
I
Esto es de gran importancia en sistemas con paradas y
arranques frecuentes, como ocurre en el caso de un sistema
urbano de transporte público.
I
La conexión serie del devanado de campo es una de las
más utilizadas en los sistemas de tracción eléctrica.
Características de operación de las diferentes
conexiones XV
I
I
En este caso, la tensión aplicada se reparte entre la
armadura y el campo, y la corriente de armadura también
circula por el campo.
En la figura siguiente se muestra el esquema de esta
conexión.
Figura: Conexión serie de la máquina de corriente continua
Características de operación de las diferentes
conexiones XVI
I
Las ecuaciones dinámicas de la conexión serie son:
v = va + vf = (Ra + Rf ) i + (La + Lf ) pi + Gωm i =
I
= (RT + Gωm ) i + LT pi
(13)
Tm = −Gi 2 + J ω̇m + ρωm
(14)
En régimen permanente se tiene:
V = (RT + Gωm ) I
(15)
Te = GI 2
(16)
Características de operación de las diferentes
conexiones XVII
I
Sustituyendo la corriente I de la ecuación 15, en la
expresión 16 se obtiene:
Te =
GV 2
(RT + Gωm )2
(17)
Características de operación de las diferentes
conexiones XVIII
Figura: Característica par-velocidad de una máquina de
conmutador serie
Características de operación de las diferentes
conexiones XIX
I
La característica par-velocidad tiene la forma de una
hipérbola cuadrática, como se deduce de la ecuación 17.
I
Esta característica permite variar ampliamente el par
resistente manteniendo la potencia mecánica prácticamente
constante
I
El motor serie se utiliza frecuentemente en tracción
eléctrica porque permite obtener un elevado par de
arranque.
Características de operación de las diferentes
conexiones XX
I
Al igual que en el motor derivación, es necesario limitar la
corriente de arranque.
I
La máquina de conmutador con excitación compuesta
posee características combinadas de las máquinas
derivación y serie.
I
La característica de estas máquinas se parecen más a uno u
otro tipo, dependiendo del grado de intensidad que
proporcione el campo serie y el campo derivación.
Control de velocidad I
I
I
I
Después de analizar el comportamiento en régimen
permanente de las máquinas de corriente continua, es
posible estudiar el comportamiento transitorio mediante su
función de transferencia.
La máquina de corriente continua satisface el sistema de
ecuaciones diferenciales 5 en régimen transitorio.
De la ecuación de tensión para el eje β se puede obtener la
función de transferencia operacional de la corriente iβ :
iβ =
1
Rbeta vβ
vβ
=
L
1 + τβ p
Rβ 1 + R β p
beta
(18)
Control de velocidad II
I
La ecuación del eje d en 5 permite obtener la corriente id :
1
vd − Gωm iβ
Rd vd − Gωm iβ
=
id =
(19)
1 + τd p
R 1 + Ld p
d
I
Rd
A partir de la ecuación diferencial correspondiente al eje
mecánico se obtiene:
1
Te + Tm (ωm )
ρ Giβ id + Tm (ωm )
ωm =
=
(20)
ρ + Jp
1 + τM p
Control de velocidad III
Figura: Diagrama de bloques de la máquina de corriente
continua
I
En la figura anterior se han representado las funciones de
transferencia 18, 19 y 20 en diagrama de bloques, con sus
respectivas realimentaciones e interconexiones.
Control de velocidad IV
I
Este diagrama contiene multiplicadores, debido a las no
linealidades implícitas entre las variables de estado del
modelo.
I
Por esta razón no es posible reducir este diagrama a una
función de transferencia.
I
Asumiendo que la tensión vβ es constante, la corriente iβ
se estabiliza en un valor continuo después de varias
constantes de tiempo.
I
En estas condiciones se puede representar el modelo
dinámico de la máquina de corriente continua mediante un
solo bloque.
Control de velocidad V
I
I
Con la corriente iβ constante, se puede definir como
constante k al producto de esta corriente por el coeficiente
de generación G de la máquina.
En la figura se observa el diagrama de bloques de la
máquina de corriente continua excitada con una corriente
constante en el campo.
Figura: Diagrama de bloques de la máquina con corriente de
campo constante
Control de velocidad VI
I
I
I
Este último diagrama de bloques se puede reducir a una
función de transferencia cuando el par mecánico es nulo o
constante.
Un par mecánico constante no altera la respuesta
transitoria del sistema sino los valores en régimen
permanente.
0
Definiendo la función de transferencia T (p) como el
producto de las funciones de transferencia de la figura
anterior:
0
T (p) =
k
1
1
·
·
Rd ρ 1 + τd p 1 + τM p
(21)
Control de velocidad VII
I
La función de transferencia entre la velocidad mecánica de
la máquina y la tensión aplicada en el circuito de armadura
es:
0
I
ωm (p)
T (p)
k
=
=
0
vd (p)
1 + kT (p) Rd ρ (1 + τd p) (1 + τM p) + k 2
(22)
Transformando al dominio de Laplace la función de
transferencia 22 se obtiene:
Ωm (s)
k
=
Vd (s)
Rd ρτd τM s2 + Rd ρ (τd + τM ) s + Rd ρ + k 2
(23)
Control de velocidad VIII
I
I
Como todos los términos del denominador de la función de
transferencia 23 son positivos, los polos del polinomio
tienen parte real negativa. Por esta razón, la respuesta del
sistema siempre es estable.
Para reducir los tiempos de respuesta se puede ajustar el
valor de la constante k variando la corriente de campo iβ .
La constante de tiempo de la armadura de la máquina τd es
generalmente mucho menor que la constante de tiempo del
sistema mecánico τM y puede ser despreciada en la
ecuación 23:
Ωm (s)
k
=
Vd (s)
Rd ρτM s + Rd ρ + k 2
(24)
Control de velocidad IX
I
El polo de la función de transferencia 24 es:
s=
Rd ρ + k 2
Rd ρτM
(25)
I
Al aumentar el valor de la constante k , el valor del polo se
hace más negativo y la respuesta de la máquina es más
rápida.
I
Al aumentar la corriente de campo en una máquina de
corriente continua se incrementa considerablemente la
velocidad de respuesta.
Control de velocidad X
I
I
I
Otra aproximación habitual cuando se analiza la dinámica
de la máquina de corriente continua, consiste en despreciar
la fricción.
En estas condiciones el coeficiente de fricción ρ es cero.
En la figura se ilustra el diagrama de bloques
correspondiente al sistema sin pérdidas mecánicas.
Figura: Máquina de corriente continua sin fricción
Control de velocidad XI
I
Repitiendo el análisis realizado anteriormente se obtiene la
función de transferencia:
Ωm (s)
k
2
=
Vd (s)
Rd J Rk J + s
(26)
d
I
I
Cuando se desprecia la fricción es evidente que para mover
el polo del sistema a la izquierda es necesario incrementar
el valor de la constante k y por lo tanto la corriente de
campo.
Mientras más corriente de campo circula por la máquina,
los procesos dinámicos o respuestas transitorias son más
rápidos.
Control de velocidad XII
I
La variable de control en este sistema es la tensión de
armadura vd , debido a que la constante de tiempo de este
circuito τd es mucho menor que la constante de tiempo
mecánica τM , fuertemente dependiente de la inercia J.
I
Para que la respuesta de una máquina sea rápida es
necesario que la inercia sea pequeña.
I
Las máquinas de corriente continua son muy rápidas y se
utilizan ampliamente para el control par-velocidad en los
procesos industriales y en los sistemas de tracción
eléctrica.
Accionamiento de las Máquinas de Corriente
Continua I
I
Los accionamientos de la máquina de corriente continua
deben presentar la característica de par, flujo y fuerza
electromotriz en función de la velocidad, mostrada en la
figura para cada uno de los cuadrantes de operación del
convertidor electromecánico.
Accionamiento de las Máquinas de Corriente
Continua II
Figura: Característica de accionamiento de la máquina de
corriente continua
Accionamiento de las Máquinas de Corriente
Continua III
I
En esta característica de accionamiento el par se mantiene
constante mientras la tensión de armadura alcanza su valor
régimen, este proceso se realiza limitando el valor de la
corriente de armadura al nominal, mediante el control de la
tensión.
Accionamiento de las Máquinas de Corriente
Continua IV
I
En la figura se presenta el esquema de accionamiento de
una máquina de corriente continua en lazo cerrado con
realimentación en corriente.
Figura: Accionamiento de la máquina de corriente continua.
Accionamiento de las Máquinas de Corriente
Continua V
I
La fuente de alimentación puede ser en corriente alterna o
continua, el controlador de velocidad combina las
funciones de un controlador PI con limitación.
I
Este accionamiento limita la corriente en el circuito de
armadura de la máquina a 1, 5 veces la corriente nominal
del devanado.
Accionamiento de las Máquinas de Corriente
Continua VI
I
En las figuras se presenta la respuesta de la maquina de
corriente continua controlada con el esquema de la figura
anterior ante una consigna de velocidad constante y toma
de carga para una máquina de corriente continua de 5 HP,
con un rectificador monofásico controlado como
convertidor, desde un sistema de 220 V a frecuencia
industrial de 60 Hz.
Accionamiento de las Máquinas de Corriente
Continua VII
Figura: Corriente de armadura y velocidad mecánica
Accionamiento de las Máquinas de Corriente
Continua VIII
Figura: Tensión de armadura y ángulo de disparo del rectificador
Accionamiento de las Máquinas de Corriente
Continua IX
I
En las figuras siguientes se presenta la respuesta de la
maquina de corriente continua controlada con el esquema
de la figura ante una variación de velocidad para una
máquina de corriente continua de 5 HP , con un chopper
tipo “ A” como convertidor desde un sistema de corriente
continua de 280 V .
Accionamiento de las Máquinas de Corriente
Continua X
Figura: Corriente de armadura y velocidad mecánica
Accionamiento de las Máquinas de Corriente
Continua XI
(a)
Accionamiento de las Máquinas de Corriente
Continua XII
(b) Detalle
Figura: Tensión de armadura y razón de conducción del chopper
Accionamiento de las Máquinas de Corriente
Continua XIII
Máquinas de Inducción I
Figura: Diagrama esquemático de las bobinas de una máquina de
inducción trifásica en el rotor y estator
Máquinas de Inducción II
I
Las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento
de la máquina de inducción en el sistema de coordenadas
indicado en la figura anterior son:
[v] = [R] [i] + p [λ ] = [R] [i] + [L(θ )] p [i] + θ̇ [τ(θ )] [i]
(27)
Te − Tm =
Donde:
1 t
[i] [τ] [i] − Tm = J θ̈ + ρ θ̇
2
(28)
Máquinas de Inducción III
[ve ]
[vr ]
[ie ]
[ir ]
[λe ]
[λr ]
" ie
= ar
ia
" e
λ
= ar
λa
[v] =
[i] =
[λ ] =
" t #
e
e
e
v v vc
= ar br
t
va vb vcr
ibe
ibr
ice
icr
t #
t ;
t #
λbe λce
t
λbr λcr
Máquinas de Inducción IV
[Ree ] [Rer ]
Re [I] [0]
[R] =
=
[Rre ] [Rrr ]
[0] Rr [I]
[Lee ] [Ler (θ )]
[L(θ )] =
=
[Lre (θ )]
[Lrr ]
=
Lσ e [I] + Lme [S]
Ler [C(θ )]
t
Ler [C(θ )]
Lσ r [I] + Lmr [S]
Máquinas de Inducción V
=

d
dθ
d
[0]
Ler dθ
[C(θ )]
t
d
[0]
Ler dθ [C(θ )]
[τ(θ )] =
d
dθ [Lee ]
d
dθ [Lre (θ )]
[Ler (θ )]
d
dθ [Lrr ]


1
1 0 0
[I] =  0 1 0  ; [S] =  − 21
0 0 1
− 21
− 21
1
− 12
=



− 12
0 0 0
− 12  ; [0] =  0 0 0 
0 0 0
1
Máquinas de Inducción VI
4π 
cos θ
cos(θ + 2π
3 ) cos(θ + 3 )

[C(θ )] =  cos(θ + 4π
cos θ
cos(θ + 2π
3 )
3 )
2π
4π
cos(θ + 3 ) cos(θ + 3 )
cos θ


− sen θ
− sen(θ + 2π
) − sen(θ + 4π
)
3
3
d

[C(θ )] =  − sen(θ + 4π
− sen θ
− sen(θ + 2π
3 )
3 )
dθ
4π
2π
− sen θ
− sen(θ + 3 ) − sen(θ + 3 )

Los parámetros que definen el comportamiento del modelo
Máquinas de Inducción VII
de la máquina de inducción en el sistema de coordenadas
primitivas son:
Re
Rr
Lσ e
Lσ r
Lme
Lmr
Ler
es la resistencia de cada una de las bobinas del estator
es la resistencia de cada una de las bobinas del rotor
es la inductancia de dispersión del estator
es la inductancia de dispersión del rotor
es la inductancia de magnetización del estator
es la inductancia de magnetización del rotor
es la inductancia mutua de acoplamiento estator-rotor
Máquinas de Inducción VIII


1 1
x0
1

 x+  = √  1 ej 2π3
4π
3
x−
1 ej 3

1
4π
ej 3
2π
ej 3


xa

 xb  =
xc



1 1 1
xa
1
= √  1 α α 2   xb 
3 1 α2 α
xc
(29)
Máquinas de Inducción IX


1 1
xa
1

 xb  = √  1 ej 4π3
2π
3
xc
1 ej 3

1
2π
ej 3
4π
ej 3


xa

 xb  =
xc



1 1 1
xa
1
= √  1 α 2 α   xb 
3 1 α α2
xc
(30)
Máquinas de Inducción X
I
Al aplicar la transformación 30 a un sistema cíclico se
obtiene el siguiente resultado:

 


ya
a b c
xa
 yb  =  c a b   xb  ⇒
yc
b c a
xc

1 1
1 
√
1 α2
3 1 α



a b c
1
= c a b √ 
3
b c a


1
y0
α   y+  =
y−
α2


1 1 1
x0
1 α 2 α   x+  ⇒
x−
1 α α2
Máquinas de Inducción XI


1
y0
 y+  = √1  1
3
y−
1

1
α
α2

1
a
2
α  c
b
α
 
a+b+c
y0
 y+  = 
0
y−
0

b
a
c
0
a + bα + cα 2
0


1
c
1 

√
b
1
3
a
1
1
α2
α


1
x0


x+  ⇒
α
x−
α2


0
x0


0
x+ 
x−
a + bα 2 + cα
(31)
Máquinas de Inducción XII
I
El desacoplamiento de las matrices simétricas se obtiene
como caso particular de las matrices cíclicas donde b = c:

 


ya
a b b
xa
 yb  =  b a b   xb  ⇒
yc
b b a
xc

 


a + 2b
0
0
x0
y0
 y+  = 
0
a−b
0   x+ 
y−
0
0
a−b
x−
(32)
Máquinas de Inducción XIII

xa (t)
4π
ej 3 ·  xb (t)  =
xc (t)


r
xa (t)
2
=
1 α α 2 ·  xb (t) 
3
xc (t)
r h
2
2π
x(t)=
1 ej 3
3

i
(33)
Máquinas de Inducción XIV
Figura: Representación gráfica del vector espacial de un sistema
trifásico
Máquinas de Inducción XV
I
Transformando las ecuaciones 27 y 28 al dominio de los
vectores espaciales se obtiene el siguiente resultado:
ve
vr
=
Donde:
Re 0
0 Rr
ie
ir
+p
Le
Mer e−jθ
Mer ejθ
Lr
ie
ir
(34)
Máquinas de Inducción XVI
r
2
r3
2
=
r3
2
=
r3
2
=
3
ve =
1 α α2
e e e t
· va vb vc
vr
1 α α2
t
r
· va vbr vcr
1 α α2
e e e t
· ia ib ic
1 α α2
r r r t
· ia ib ic
ie
ir
3
3
3
Le = Lσ e + Lme ; Lr = Lσ r + Lmr , Mer = Ler
2
2
2
Máquinas de Inducción XVII
I
Los términos que aparecen en la expresión 34 se pueden
obtener realizando la transformación a vectores espaciales
de la matrices que representan el modelo de la máquina en
coordenadas primitivas, tales como:
I
La transformación de vectores espaciales aplicada a la
matriz identidad [I]:


r
ya
2
1 α α 2  yb  =
3
yc
r
=



1 0 0
xa
2
1 α α 2  0 1 0   xb 
3
0 0 1
xc
Máquinas de Inducción XVIII
r
y =


x
a
2
1 α α 2  xb  = x
3
xc
(35)
Máquinas de Inducción XIX
I
La transformación aplicada a la matriz simétrica [S]:
r
r
=


ya
2
1 α α 2  yb  =
3
yc

1
2
2

1 α α
− 12
3
− 12
− 12
1
− 21


− 12
xa
− 21   xb 
xc
1
Máquinas de Inducción XX
r
y =

2
1 α α2 
3
3
2 xa
3
2 xb
3
2 xc

 = 3x
2
(36)
Máquinas de Inducción XXI
I
La misma transformación aplicada a la matriz cíclica
jθ
−jθ
[C(θ )], recordando que cos θ = e +e
:
2
r
y=
r
=
2
1
3
2
1
3
α

cos θ

 cos(θ + 4π
3 )
cos(θ + 2π
3 )
α
α2
α2


1
 ejθ
 α2
 2
α
α
1
α2
cos(θ + 2π
3 )
cos θ
cos(θ + 4π
3 )


cos(θ + 4π
x
3 )
 a 
x
=
cos(θ + 2π
)

b
3
xc
cos θ


α2
1
e−jθ 
α
α +
2
α2
1
α2
1
α
 

α
xa

α 2   xb 

xc
1
Máquinas de Inducción XXII
r
y=
o
2 1 n jθ e
3 3α 3α 2 + e−jθ 0 0 0
32

xa
3
=  xb  = ejθ x
2
xc

(37)
Máquinas de Inducción XXIII
I
La transformación a vectores espaciales de la expresión del
par eléctrico expresado en el balance de la ecuación 28
queda:
1
Te = [i]t [τ] [i] =
2
t d
1 [ie ]
[0]
Ler dθ
[C(θ )]
[ie ]
=
d
[ir ]
2 [ir ]
Ler dθ
[C(θ )]t
[0]
= Ler [ie ]t
d
[C(θ )] [ir ] =
dθ
Máquinas de Inducción XXIV


1
 e−jθ
 α
= Ler [ie ]t
 2j
α2
r
=
3
Ler
2
e−jθ ie 1
2j
α2
1
α
α2


α
1
jθ
e  2
α2  −
α
2j
1
α
α
−
ejθ ∗ i
1
2j e

α2 
α  [ir ] =

1
α
1
α2
α
α2
−jθ
3
e
ejθ ∗
∗
= Ler
ie ir −
i ir =
2
2j
2j e
n
o
n ∗ o
Mer ℑm ie i∗r e−jθ = Mer ℑm ie ir ejθ
[ir ] =
(38)
Máquinas de Inducción XXV
I
El sistema de ecuaciones diferenciales que definen el
comportamiento de la máquina de inducción en el sistema
de coordenadas correspondiente a los vectores espaciales
es:
ve
vr
=
Re
0
0
Rr
ie
ir
+p
Le
Mer e−jθ
Mer ejθ
Lr
n ∗ o
Mer ℑm ie ir ejθ
− Tm (θ̇ ) = J θ̈ + ρ θ̇
ie
ir
(39)
Máquinas de Inducción XXVI
I
I
I
El modelo 39 simplifica notablemente las expresiones 27 y
28, al representar las magnitudes trifásicas mediante
vectores espaciales.
Por una parte el sistema se ha reducido de las siete
ecuaciones diferenciales iniciales a tresy la dependencia en
la posición angular θ se ha simplificado a su aparición en
matrices cuya dimensión es 2 × 2.
Sin embargo, la dependencia en la posición angular θ
puede ser eliminada, si las variables del rotor se refieren al
estator utilizando la siguiente transformación:
xer ≡ xr · ejθ
(40)
Máquinas de Inducción XXVII
I
Para aplicar la transformación 40 al modelo de la máquina
en vectores espaciales 39, se requiere desarrollar la
derivada correspondiente de esta transformación:
pxer = pxr · ejθ + j θ̇ xr · ejθ = pxr · ejθ + j θ̇ xer ⇒
pxr · ejθ = pxer − j θ̇ xer
(41)
Máquinas de Inducción XXVIII
I
Utilizando las expresiones 40 y 41 en el modelo 39, se
obtiene el siguiente modelo de la máquina de inducción en
vectores espaciales referidos al estator:
ve
Re 0
ie
=
ver
0 Rr
ier
Le Mer
ie
0
0
ie
···+
p e − j θ̇
Mer Lr
ir
Mer Lr
ier
∗ Mer ℑm ie ier
− Tm (θ̇ ) = J θ̈ + ρ θ̇
(42)
Máquinas de Inducción XXIX
I
I
El modelo 42 es independiente de la posición angular θ ,
que es variable en el tiempo aun en el caso particular de la
operación en régimen permanente y esta dependencia es
reemplazada por la velocidad angular θ̇ cuyo
comportamiento temporal varía más lentamente.
Este modelo puede ser representado mediante el circuito
equivalente que se muestra en la figura.
Figura: Circuito equivalente de la máquina de inducción en
vectores espaciales referidos al sistema de referencia estatórico
Máquinas de Inducción XXX
I
La corriente de magnetización modificada que determina la
referencia del modelo de campo orientado se define como:
im ≡ ie +
I
Lr e
ir = im (t) · ejδ (t)
Mer
(43)
El término MLerr refiere al sistema de referencia del estator
todo el campo magnético producido por las corrientes del
rotor que atraviesa el entrehierro de la máquina.
Máquinas de Inducción XXXI
I
De acuerdo con la figura siguiente
Figura: Vectores espaciales de las corrientes del modelo de la
máquina de inducción
Máquinas de Inducción XXXII
ide (t) + jiqe (t) = ie e−jδ (t) =
(iαe + jiβ e ) · (cos δ − j sen δ ) ⇒
iαe
ide
cos δ − sen δ
=
iβ e
iqe
sen δ cos δ
iαe
cos δ sen δ
ide
=
iβ e
− sen δ cos δ
iqe
donde:
(44)
(45)
(46)
Máquinas de Inducción XXXIII
r
4π
2π
2
(iae + ej 3 ibe + ej 3 ice ) ⇒
3
 q

3
0  iae
2

=
ibe
√1
√2
ie = iαe + jiβ e =
iαe
iβ e
iae
ibe
2
 q
=
2
3
1
√
−
6
(47)
(48)
2

0 
√1
2
iαe
iβ e
(49)
Máquinas de Inducción XXXIV
r
iae =
r
2π
2
ℜe(ie e−j 3 )
3
r
4π
2
ℜe(ie e−j 3 )
3
ibe =
ice =
2
ℜe(ie )
3
(50)
Máquinas de Inducción XXXV
I
Reemplazando la corriente ier de la definición 43 de la
corriente de magnetización modificada im en el modelo de
la máquina de inducción en coordenadas vectoriales
referidas a las corrientes del estator 51, se obtiene:
ie
ve
Re 0
=
+···
Mer
ver
0 Rr
Lr (im − ie )
ie
Le Mer
p Mer
+···
Mer Lr
Lr (im − ie )
ie
0
0
· · · − j θ̇
Mer
Mer Lr
Lr (im − ie )
Máquinas de Inducción XXXVI
∗ Mer
(im − ie )
− Tm (θ̇ ) = J θ̈ + ρ θ̇
Mer ℑm ie
Lr
(51)
Máquinas de Inducción XXXVII
I
Reagrupando las variables de estado del sistema 51 se
obtiene el modelo de la máquina de inducción expresado
en coordenadas de campo orientado:
ve
Re 0
ie
=
+···
1 e
− T1r T1r
im
Mer vr
"
+
# ie
Le −
p
+···
im
0
1
0 0
ie
· · · − j θ̇
0 1
im
2
Mer
Lr
2
Mer
Lr
Máquinas de Inducción XXXVIII
2
Mer
ℑm {ie · i∗m } − Tm (θ̇ ) = J θ̈ + ρ θ̇
Lr
(52)
donde:
Tr =
Lr
Rr
(53)
Máquinas de Inducción XXXIX
2
Mer
ℑm {ie · i∗m } =
Lr
n
o M2
2
Mer
−jδ
=
ℑm ie · im e
= er im · iqe
Lr
Lr
Te =
(54)
Tr pim + im = ide
(55)
Tr im (δ˙ − θ̇ ) = iqe
(56)
Máquinas de Inducción XL
I
El modelo escalar completo en coordenadas de campo
orientado es:
o
n

2
2
iqe
M2
M2
Mer

pide = (Le − Lerr )−1 vde − (Re + Rr er

2 )ide + ωm iqe + Tr im + Rr L2 im

L

r
r
n
o

2
2
2

ide iqe
Mer
−1 (R + R Mer )i − Mer ω i − v


e
r 2 qe
mm
qe
 piqe = −ωm ide − Tr im − (Le − Lr )
Lr
i
−i
Lr
pim = deTr m



i


pδ = ωm + Trqeim

n
o


 pω = 1 Mer2 i · i − T (ω )
m
m
m
J
Lr m qe
(57)
Modelo de Régimen Permanente I
I
I
Se puede obtener un modelo de la máquina de inducción
operando en condiciones de régimen permanente a partir
del modelo transitorio, particularizando las variables
correspondientes en este estado.
En régimen permanente equilibrado, las bobinas del estator
de la máquina de inducción se alimentan con un sistema
balanceado de tensiones trifásicas de secuencia positiva y
las bobinas del rotor se encuentran en cortocircuito:
√
vae (t) =
2Ve cos ωe t
√
2π
2Ve cos ωe t −
vbe (t) =
3
√
4π
vce (t) =
2Ve cos ωe t −
(58)
3
Modelo de Régimen Permanente II
var (t) = vbr (t) = vcr (t) = 0
(59)
Modelo de Régimen Permanente III
I
Las tensiones 58 y 59 expresadas como vectores espaciales
son:
√


2Ve cos ωe t r

 √
2

2Ve cos ωe t − 2π
ve =
1 α α2 · 
3
 √
⇒
3
2Ve cos ωe t − 4π
3
√
ve = 2
r
2 Ve 1
3
α
α2


ejωe t + e−jωe t
√
1
 α 2 ejωe t + αe−jωe t  = 3Ve ejωe t
2
αejωe t + α 2 e−jωe t
(60)
Modelo de Régimen Permanente IV
r
vr =
I


0
2
1 α α 2 ·  0  = 0 = ver
3
0
(61)
Al excitar las bobinas con tensiones trifásicas balanceadas,
las corrientes del estator y las del rotor referidas al estator
también resultarán balanceadas y los correspondientes
vectores espaciales serán:
√
ie = 3Ie ej(ωe t+φe )
(62)
ier =
√
3Ir ej(ωe t+φr )
(63)
Modelo de Régimen Permanente V
I
Por otra parte, la velocidad del rotor en régimen
permanente será constante θ̇ = ωm = cte. Reemplazando
las condiciones 60, 61, 62 y 63 en el modelo de la máquina
de inducción descrito en vectores espaciales se obtiene:
√
√
j(ωe t+φe )
Re 0
3I
e
3Ve ejωe t
e
√
=
+···
0 Rr
0
3Ir ej(ωe t+φr )
√
j(ωe t+φe )
3I
e
Le Mer
e
+···
···+
jωe √
Mer Lr
3Ir ej(ωe t+φr )
√
j(ωe t+φe )
0
0
3I
e
e
√
· · · − jωm
Mer Lr
3Ir ej(ωe t+φr )
Modelo de Régimen Permanente VI
Ve
0
=
Re
0
Ve
0
=
0
Rr
Re + jωe Le
j(ωe − ωm )Mer
+ jωe
Le
Mer
0
Mer
0
Lr
jωe Mer
Rr + j(ωe − ωm )Lr
Mer
Lr
− jωm
Ie
Ir
Ie ejφe
Ir ejφr
⇒
(64)
Modelo de Régimen Permanente VII
I
Para determinar un circuito equivalente de la máquina de
inducción en régimen permanente a partir del sistema de
ecuaciones 64, es necesario dividir la segunda ecuación
por el deslizamiento:
I
s≡
Ve
0
=
ωe − ωm
ωe
Re + jωe Le
jωe Mer
jωe Mer
Rr
s + jωe Lr
(65)
Ie
Ir
(66)
Modelo de Régimen Permanente VIII
I
En la figura se presenta el circuito equivalente de la
máquina de inducción en régimen permanente.
Figura: Circuito equivalente de la máquina de inducción en
régimen permanente
Modelo de Régimen Permanente IX
I
El par eléctrico en régimen permanente se calcula
sustituyendo en la expresión 13.23 los fasores espaciales
obtenidos en 13.29 y 13.30:
√
∗ o
n√
j(ωe t+φe )
j(ωe t+φr )
3Ie e
3Ir e
=
Te = Mer ℑm
= 3Mer Ie Ir sen (φe − φr )
(67)
Modelo de Régimen Permanente X
I
La ecuación correspondiente al circuito rotórico en el
sistema 66 relaciona directamente las corrientes del estator
y del rotor:
Rr
0 = jωe Mer Ie +
+ jωe Lr Ir ⇒
s
Rr
Rr
+
jω
L
+
jω
L
e
r
e
r
s
s
Ie = j
Ir ⇒ Ie ejφe = j
Ir ejφr
ωe Mer
ωe Mer
Rr
+
jω
L
e
r
s
Ie ej(φe −φr ) = j
Ir ⇒
ωe Mer
Ie sen(φe − φr ) =
Rr
Ir
sωe Mer
(68)
Modelo de Régimen Permanente XI
I
Al sustituir la expresión 68 en la ecuación del par eléctrico
67, se obtiene el par eléctrico en función de la corriente del
rotor Ir , el deslizamiento s, la resistencia del rotor Rr y la
velocidad sincrónica ωs :
Te = 3
I
Rr 2
I
ωe s r
(69)
La expresión 69 se puede obtener directamente del circuito
equivalente de la figura anterior, cuando se calcula tres
veces la potencia entregada a la resistencia Rsr y se divide
por la velocidad sincrónica ωe .
Modelo de Régimen Permanente XII
I
Dentro de las hipótesis del modelo se han despreciado la
pérdidas en el hierro de la máquina.
I
Es posible considerar estas pérdidas colocando una
resistencia en paralelo con la fuerza electromotriz
producida por el flujo de magnetización.
I
También se puede recordar que las inductancias Le y Lr
están compuestas de dos partes, dispersión y
magnetización.
Modelo de Régimen Permanente XIII
I
Por esta razón, haciendo uso de sus respectivas
definiciones planteadas en el modelo 34, se puede
establecer lo siguiente:
3
3
Le − Mer = Lσ e + Ler − Ler = Lσ e
2
2
3
3
Lr − Mer = Lσ r + Ler − Ler = Lσ r
2
2
(70)
Modelo de Régimen Permanente XIV
I
Al definir Xσ e ≡ ωe Lσ e , Xσ r ≡ ωe Lσ r y Xm = ωe Mer ,
incluir la resistencia de magnetización en paralelo con la
reactancia de magnetización y separar la resistencia Rsr en
dos componentes, una Rr que representa las pérdidas
óhmicas del circuito rotórico y 1−s
s Rr que representa la
potencia transferida al rotor que no se consume en
pérdidas, se puede obtener el modelo clásico de la máquina
de inducción en régimen permanente, tal como se muestra
en la figura.
Modelo de Régimen Permanente XV
Figura: Modelo clásico de la máquina de inducción
Modelo de Régimen Permanente XVI
I
I
I
Desde el punto de vista eléctrico, el comportamiento de la
máquina de inducción en régimen permanente depende del
deslizamiento s, de la tensión aplicada en el estator Ve y
de los parámetros del circuito equivalente (Re , Rr , Rm ,
Xσ e , Xσ r , Xm ).
Una vez que se conocen los parámetros del modelo, el
deslizamiento del rotor y la fuente de alimentación, se
pueden determinar las corrientes que circulan por la
máquina.
El análisis circuital de la máquina de inducción es
semejante al de un transformador con una carga resistiva
variable. Esta carga depende exclusivamente del
deslizamiento del rotor.
Modelo de Régimen Permanente XVII
I
Aun cuando el modelo clásico de la máquina de inducción
es similar al modelo de un transformador, existen algunas
diferencias importantes:
I
I
La reluctancia del circuito magnético de la máquina de
inducción es mucho mayor que la reluctancia de
magnetización de un transformador. Esto se debe
principalmente a la presencia de entrehierro en la máquina.
La corriente de excitación de una máquina es
considerablemente mayor que la de un transformador de
igual potencia. Esta corriente puede alcanzar entre un 30 %
y un 50 % de la corriente nominal de la máquina,
contrastando con el 0,5 % a 1,0 % en un transformador
convencional.
Modelo de Régimen Permanente XVIII
I
I
I
Al ser tan grande la reluctancia de magnetización, se
incrementan considerablemente los enlaces de dispersión.
Por esta razón las reactancias de dispersión de la máquina
son mayores que estas reactancias para un transformador
de similar potencia.
Cada una de las reactancias de dispersión de la máquina
pueden superar el 10 %, en comparación con un
transformador donde se encuentran entre el 1 % y el 6 %
aproximadamente.
Accionamientos de la Máquina de Inducción I
I
Algunos accionamientos mecánicos regulados con
máquina de inducción requieren poseer una respuesta
dinámica ante variaciones de la señal de consigna.
I
Al mismo tiempo es necesario reducir el efecto de las
perturbaciones, como variaciones del par mecánico, sobre
el funcionamiento del accionamiento.
I
En general sistemas de baja inercia presentan este tipo de
requerimiento.
Accionamientos de la Máquina de Inducción II
I
I
I
Un ejemplo claro de la necesidad de una buena respuesta
dinámica, así como de un control que refleje fielmente el
comportamiento dinámico del sistema, es el de un
servomecanismo.
Con el modelo en régimen permanente de la máquina de
inducción, estos objetivos no se pueden alcanzar debido a
que las estrategias de control que consideran este modelo,
no se tiene en cuenta la respuesta dinámica de la máquina.
Para mejorar estos esquemas de control es necesario
considerar modelos dinámicos de la máquina de inducción
para realizar las acciones de control sobre las variables
eléctricas instantáneas que definen el par eléctrico, con el
fin de mejorar las respuestas dinámicas del accionamiento.
Accionamientos de la Máquina de Inducción III
I
En la figura, se presenta la característica de tracción y
frenado que debe suministrar el accionamiento de un
motor de inducción.
Figura: Característica de tracción y frenado de un motor de
inducción
Accionamientos de la Máquina de Inducción IV
I
En esta curva se mantiene el par constante hasta que la
máquina alcanza una determinada velocidad (ωbase ) y
posteriormente se controla a potencia constante, durante
estas dos etapas se limita la corriente en los devanados del
estator a un valor constante.
I
Finalmente la máquina se lleva a su punto de operación a
deslizamiento constante.
Control Escalar-Arranca Suave I
Figura: Esquema del arranca suave
Control Escalar-Arranca Suave II
I
En la figura, se presenta el diagrama de control de un
arranca suaves para motores de inducción. Este
accionamiento consiste en regular la tensión efectiva a
frecuencia fundamental del estator mediante el uso de un
controlador AC - AC.
Figura: Esquema de control de un arranca suave
Control Escalar-Arranca Suave III
I
Durante el arranque se limita la corriente en el estator
controlado la tensión efectiva sobre los devanados de la
máquina.
I
Este accionamiento estima la tensión efectiva de referencia
del puente convertidor utilizando una curva de par vs.
corriente a frecuencia industrial.
I
Las máquinas que más se utilizan con este tipo de
arrancador son la NEMA tipo D.
Control Escalar-Arranca Suave IV
I
En la figura, se presenta en esquema de regulación de par y
corriente al variar la tensión de alimentación de la máquina
de inducción con el arranca suave
(a) Par
(b) Corriente
Figura: Característica de par y corriente para una máquina de
inducción accionada con una arranca suave
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante I
I
I
El primer controlador de velocidad de las máquinas de
inducción y tal vez el más utilizado en la práctica hasta el
presente, consiste básicamente en regular la fuente de
alimentación, variando la frecuencia de las tensiones
aplicadas a las bobinas del estator.
En la figura siguiente, se presenta el esquema constructivo
de un controlador v /f = cte.
Figura: Esquema de un cicloconvertidor
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante II
I
La variación de la frecuencia afecta proporcionalmente las
reactancias de magnetización y dispersión en el circuito
equivalente, pero las resistencias se mantienen
aproximadamente constantes si el efecto pelicular no es
muy pronunciado.
I
Para que la densidad de flujo magnético sea prácticamente
constante, dentro de los límites de diseño de la máquina, es
necesario variar la amplitud de la tensión de alimentación
en la misma proporción que se varía la frecuencia.
I
Con esta estrategia la magnitud del par eléctrico obtenido
en cada velocidad puede ser cercano, o incluso superior al
par nominal.
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
III
I
En la figura, se presentan las características par
eléctrico-velocidad angular del rotor para una máquina de
inducción alimentada mediante cuatro frecuencias
diferentes, manteniendo constante la relación entre la
amplitud de la tensión de alimentación y la frecuencia.
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
IV
Figura: Característica par eléctrico velocidad para una máquina
de inducción con control de tensión - frecuencia constante
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante V
I
Incrementando paulatinamente la frecuencia, es posible
acelerar una carga mecánica a través de los puntos 1, 2, 3,
hasta alcanzar el punto 4.
I
Si la variación de la frecuencia es lenta en comparación
con la inercia del conjunto máquina carga mecánica, la
corriente de la máquina en esta condición se reduce en
comparación con un arranque directo a plena tensión.
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
VI
I
I
I
El control tensión-frecuencia constante, permite mantener
cualquier punto de operación intermedio, aumentar o
reducir la velocidad mecánica de la máquina.
Operando a bajas frecuencias, se incrementa el par
eléctrico de arranque, pero el par eléctrico máximo de la
máquina es prácticamente constante, siempre y cuando las
reactancias del circuito equivalente de la máquina en
régimen permanente sean mucho mayores que las
respectivas resistencias.
Este controlador de velocidad requiere una fuente de
alimentación alterna regulable en tensión y frecuencia.
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
VII
I
I
I
I
Para esta función, en el pasado se empleaban máquinas
sincrónicas reguladas en velocidad y corriente de campo.
Esta solución trasladaba el problema de regulación al eje
mecánico del generador sincrónico.
Mediante los interruptores electrónicos de alta velocidad
es posible diseñar y construir fuentes de alimentación
alternas reguladas en tensión y frecuencia.
Los convertidores electrónicos de inversión fueron
desarrollados durante la década de los treinta utilizando
diversos dispositivos tales como: las válvulas de alto vacío
con cátodos incandescentes, tiratrones o ignitrones.
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
VIII
I
Esta tecnología evoluciona considerablemente durante las
décadas de los setenta y ochenta con el auge de la
electrónica de potencia y la aparición de los tiristores y
transistores de alta potencia.
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
IX
I
En la figura 47 se muestra el diagrama de un controlador
de velocidad para un motor de inducción que utiliza el
método de tensión - frecuencia constante.
Figura: Variador de velocidad por control de tensión - frecuencia
constante.
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante X
I
El sistema realimenta la velocidad o la posición del eje
mecánico.
I
Esta velocidad se compara con una referencia determinada
por el usuario o por la aplicación.
I
El error obtenido de la comparación entre las medidas y las
referencias se utiliza para definir la frecuencia de
operación del inversor y con la técnica de modulación
definida para el convertidor se determinan las señales de
encendido y apagado de las componentes semiconductores
del puente.
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
XI
I
Algunos puentes convertidores regulan la tensión de la
barra de continua a fin de no modular la tensión sobre la
máquina con el inversor, esto simplifica el control del
inversor a expensas de utilizar un rectificador controlado o
un chopper en la barra de corriente continua.
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
XII
I
En la figura se presenta la respuesta del esquema de la
figura del variador de velocidad al seguir una consigna de
velocidad, para una máquina de inducción de 3 HP
alimentada con un puente inversor de un pulso por
semiciclo, desde un sistema trifásico de 220 V a
frecuencia industrial de 60 Hz.
I
La conversión AC - DC se realiza con un rectificador no
controlado trifásico.
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
XIII
Figura: Velocidad mecánica, par y tensión de la barra de
continua para el accionamiento de tensión frecuencia constante
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
XIV
(a)
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
XV
(b) Detalle
Figura: Tensión y corriente en la fase “a” del motor de inducción
para el accionamiento de tensión frecuencia constante
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
XVI
(a)
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
XVII
(b) Detalle
Figura: Tensión y corriente en la fase “a” de la fuente alterna
para el accionamiento de tensión frecuencia constante
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
XVIII
I
En la figura se presenta la respuesta del esquema de la
figura del variador de velocidad al seguir una consigna de
velocidad, para una máquina de inducción de 3 HP
alimentada con un puente inversor con control por
SPWM, desde un sistema trifásico de 220 V a frecuencia
industrial de 60 Hz.
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
XIX
I
La conversión AC - DC se realiza con un rectificador no
controlado trifásico.
Figura: Velocidad mecánica, par y tensión de la barra de
continua para el accionamiento de tensión frecuencia constante
con SPWM
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
XX
(a)
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
XXI
(b) Detalle
Figura: Tensión y corriente en la fase “a” del motor de inducción
para el accionamiento de tensión frecuencia constante con
SPWM
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
XXII
(a)
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
XXIII
(b) Detalle
Figura: Tensión y corriente en la fase “a” de la fuente alterna
para el accionamiento de tensión frecuencia constante con
SPWM
Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante
XXIV
Accionamiento a Deslizamiento Constante I
I
El proceso de aceleración y frenado de la máquina de
inducción se puede realizar controlando el par eléctrico
mediante la frecuencia de deslizamiento.
I
Esto permite acelerar el convertidor con par constante o
variable, controlando la frecuencia de deslizamiento.
Accionamiento a Deslizamiento Constante II
I
Para controlar el par de aceleración de la máquina es
necesario mantener la relación tensión - frecuencia
constante, esto con la finalidad de obtener una densidad de
flujo magnético aproximadamente constante.
Figura: Variador de velocidad a deslizamiento constante
Accionamiento a Deslizamiento Constante III
I
La frecuencia de deslizamiento debe estar limitada a un
valor máximo que asegure el funcionamiento de la
máquina de inducción en un punto estable de la
característica par eléctrico velocidad mecánica y además
permita limitar las corrientes durante el proceso de
aceleración a un consumo igual a la capacidad de
sobrecarga del equipo de potencia.
I
En la figura siguiente se presenta el esquema de un
accionamiento que mantiene el deslizamiento constante.
Accionamiento a Deslizamiento Constante IV
I
En este esquema la frecuencia de operación del inversor se
determina a partir de la velocidad mecánica del rotor y del
deslizamiento de referencia, mientras la tensión de
referencia se calcula del error de velocidad.
I
El control de la tensión se puede realizar con el inversor a
través de técnicas de modulación o con un rectificador
controlado o un chopper conectado en la barra de corriente
continua.
Control Vectorial por Campo Orientado I
I
I
I
Aplicando la teoría de auto valores y auto vectores a la
matriz de inductancia obtenida del modelo de la máquina
de inducción en vectores espaciales, se pueden encontrar
dos transformaciones de variables genéricas.
Una transformación que refiere las variables del rotor al
estator y la otra refiere las variables del estator al rotor.
Utilizando la transformación que refiere las variables del
rotor al estator y escogiendo los coeficientes adecuados
para anular la influencia de la derivada de las corrientes del
estator en la ecuación del rotor, se obtiene la
transformación a Vectores de Campo Orientado.
Lr ~ jθ
i~m = ~ie +
ir e
Ler
(71)
Control Vectorial por Campo Orientado II
I
En la figura anterior, se presenta el esquema de un
accionamiento que mantiene el deslizamiento constante.
I
En este esquema la frecuencia de operación del inversor se
determina a partir de la velocidad mecánica del rotor y del
deslizamiento de referencia, mientras la tensión de
referencia se calcula del error de velocidad.
I
Proyectando las ecuaciones de la máquina de inducción del
sistema en un sistema de dos ejes coordenados ortogonales,
uno solidario con la dirección de la variable transformada
i~m y el otro en cuadratura a esta dirección, se obtiene el
modelo en campo orientado de la máquina de inducción.
Control Vectorial por Campo Orientado III
L2
vde = Re ide + Lˆe pide + δ iqs + er pim
Lr
L2
vqe = Re iqe + Lˆe piqe + δ ids + er pδ im
Lr
pim =
(73)
1
(i − im )
Tm de
(74)
1 iqe
Tm im
(75)
p (δ − θ ) =
donde:
(72)
Ler
Lr
; Tr =
Lˆe = Le −
Lr
Rr
Control Vectorial por Campo Orientado IV
I
En el modelo por campo orientado, el par eléctrico
depende del producto de la corriente de magnetización y
de la componente en cuadratura de la corriente del estator.
I
Los sistemas de control por campo orientado se
fundamentan en la posibilidad de ajustar el valor de estas
dos variables.
L2
Te = er iqe im
(76)
Lr
I
Tal como sucede en las máquinas de corriente continua, en
las máquinas de inducción el circuito de campo tiene una
constante de tiempo relativamente lenta.
Control Vectorial por Campo Orientado V
I
Por esta razón resulta ventajoso mantener la corriente de
magnetización en el valor máximo posible, para
incrementar la velocidad de respuesta del sistema. La
corriente de magnetización se controla mediante el ajuste
de la componente directa de la corriente del estator.
I
En régimen permanente estas dos corrientes tienen el
mismo valor.
I
El principal problema de los controladores por campo
orientado consiste en adecuar el valor de las corrientes o
tensiones de alimentación a sus valores en variables
transformadas.
Control Vectorial por Campo Orientado VI
I
La transformación directa e inversa entre las coordenadas
primitivas y las coordenadas de campo orientado dependen
de la posición instantánea del vector espacial de la
corriente de magnetización i~m .
I
Esto presenta un problema importante al diseñar este tipo
de controlador, debido a que no resulta simple medir o
estimar este ángulo.
I
La medición requiere incluir sensores especiales en la
máquina.
Control Vectorial por Campo Orientado VII
I
I
I
I
Estimar esta posición requiere la integración en tiempo
real del sistema de ecuaciones diferenciales que modelan
la máquina de inducción.
La primera solución es costosa y difícil de implementar en
la practica.
La segunda alternativa depende de la velocidad del
estimador, de la exactitud del modelo y de la variabilidad
de los parámetros durante la operación.
Por esta razón es conveniente la utilización de estimadores
rápidos y precisos de las variables no medibles, entre los
cuales encontramos las redes neurales y estimadores de
estado.
Control Vectorial por Campo Orientado VIII
I
También es indispensable la estimación de los parámetros
de la máquina de inducción en tiempo real.
I
Estas dos técnicas permiten una solución rápida y eficiente
para la estimación de la posición de la corriente de
magnetización.
Control Vectorial por Campo Orientado IX
I
En la figura se muestra el esquema de un controlador de
velocidad de una máquina de inducción en coordenadas de
campo orientado donde se utiliza un inversor controlado
por corriente por modulación delta.
Figura: Controlador de velocidad en coordenadas de campo
orientado.
Control Vectorial por Campo Orientado X
I
El estimador de estado es el subsistema del controlador
que permite determinar el valor de las variables no
medibles de la máquina de inducción - par eléctrico y la
posición y magnitud del vector espacial de la corriente de
magnetización - en cada instante de tiempo a partir de la
medición directa de las tensiones y corrientes de las
bobinas del estator y la velocidad mecánica del rotor.
I
El sistema de control utilizado parte de la comparación
entre la velocidad del rotor de la máquina de inducción con
una referencia determinada para generar un error de
velocidad.
Control Vectorial por Campo Orientado XI
I
Este error, es utilizado por un bloque proporcional integral
PI, para producir una consigna de par eléctrico.
I
El par eléctrico obtenido por el estimador de la máquina de
inducción, se compara con la consigna de par obtenida del
PI. Este nuevo error se introduce en otro bloque PI para
producir la consigna de la componente cuadratura de la
ref .
corriente de referencia iqe
I
Simultáneamente se determina la corriente de
ref , de acuerdo a la velocidad
magnetización de referencia im
mecánica del rotor de la máquina de inducción para evitar
la saturación del material magnético y no exceder los
límites térmicos nominales.
Control Vectorial por Campo Orientado XII
I
Al comparar la corriente de magnetización de referencia
ref , con la corriente de magnetización que se obtiene del
im
est , se determina un error que se introduce a
estimador im
otro controlador PI, para producir la componente directa
ref .
de la corriente de referencia ide
I
ref e i ref se transforman a variables
Las corrientes ide
qe
primitivas y como resultado se obtienen las corrientes de
referencia que el inversor debe seguir. En la figura, se
presenta el diagrama de bloques del sistema de control
propuesto.
Control Vectorial por Campo Orientado XIII
Figura: Diagrama de bloques del controlador.
I
El bloque limitador de par es una protección para evitar
que en condiciones transitorias, la máquina pueda exceder
los límites térmicos y mecánicos de diseño.
Control Vectorial por Campo Orientado XIV
I
Además durante la operación de la máquina, es
conveniente que la corriente de magnetización se
mantenga en el mayor valor posible, para incrementar la
velocidad de respuesta del sistema.
I
Cuando la máquina excede la velocidad sincrónica, es
recomendable debilitar la corriente de magnetización para
no exceder el límite de potencia nominal.
I
Este valor límite viene dado por la corriente de
magnetización de la máquina de inducción en vacío
cuando se le aplica en bornes, la tensión nominal.
Control Vectorial por Campo Orientado XV
I
I
I
La corriente nominal de magnetización está definida por el
valor de la inductancia mutua estator - rotor.
Por esta razón, se incluye en el sistema de control un
bloque limitador de la corriente de magnetización en
función de la velocidad mecánica de la máquina de
inducción.
Para deducir la función que describe el bloque limitador de
la corriente de magnetización, se deber tener en cuenta las
condiciones de régimen permanente de la máquina de
inducción.
q
2
2
2
2
2
ie2 = ide
+ iqe
= im
+ iqe
⇒ iqe = ie2 − im
(77)
Control Vectorial por Campo Orientado XVI
I
Sustituyendo la expresión de par eléctrico (76) en la
ecuación (77) y multiplicando ambos miembros por la
velocidad mecánica del rotor ωm se obtiene:
L2
ωm Te = er
Lr
I
q
2 i ω =P
ie2 − im
m m
eje
(78)
Evaluando la expresión (78) en los valores nominales de la
máquina de inducción, se puede encontrar el valor de la
velocidad a partir de la cual es conveniente debilitar la
corriente de magnetización.
ωcritico =
Peje Lr
Pejen
p
=
= ωmn
2
Ten
L2er imn ie2 − im
(79)
Control Vectorial por Campo Orientado XVII
I
A partir de ésta velocidad, se desea debilitar la corriente de
magnetización para mantener la potencia constante.
Reescribiendo la expresión (78) se obtiene:
q
P L
2 = ejen r = cte.
ωm im ie2 − im
L2er
(80)
Control Vectorial por Campo Orientado XVIII
I
Desarrollando la expresión (80) se obtiene la corriente de
magnetización en función de la velocidad.
ref
im
v
s
√ u
2 L2
u
4Peje
r
2t2
=
ien − ie4n − 4 n 2
2
Ler ωm
(81)
Control Vectorial por Campo Orientado XIX
I
La función que determina la referencia de la corriente de
magnetización en función de la velocidad se ilustra en la
figura.
Figura: Corriente de magnetización de referencia en función de
la velocidad mecánica del rotor.
Control Vectorial por Campo Orientado XX
I
I
I
El principal problema del estimador de estado de las
variables internas de la máquina es la variabilidad de los
parámetros con la temperatura, la frecuencia y la
saturación magnética.
En particular el estimador por campo orientado, es muy
sensible a variaciones de la constante de tiempo del rotor
Tr , debido a que influye directamente en la estimación de
la magnitud y dirección instantánea del vector espacial de
la corriente de magnetización.
Los errores en la estimación de la verdadera posición
angular de la corriente de magnetización, producen errores
en la transformación que permite desacoplar el par
eléctrico en dos componentes independientes.
Control Vectorial por Campo Orientado XXI
I
Para solventar este problema es necesario la utilización de
algoritmos de estimación paramétrica en tiempo real que
permitan ajustar los parámetros del estimador de estado de
la máquina de inducción ante su variación durante la
operación de la misma.
I
En la figura se presenta la respuesta del esquema de campo
orientado al seguir una consigna de velocidad, para una
máquina de inducción de 200 HP alimentada con un
puente inversor, desde un sistema trifásico de 460 V a
frecuencia industrial de 60 Hz.
I
La conversión AC - DC se realiza con un rectificador no
controlado trifásico.
Control Vectorial por Campo Orientado XXII
Figura: Velocidad mecánica, par y tensión de la barra de
continua para el accionamiento de campo orientado
Control Vectorial por Campo Orientado XXIII
(a)
Control Vectorial por Campo Orientado XXIV
(b) Detalle
Figura: Tensión y corriente en la fase “a” del motor de inducción
para el accionamiento de campo orientado
Control Vectorial por Campo Orientado XXV
(a)
Control Vectorial por Campo Orientado XXVI
(b) Detalle
Figura: Tensión y corriente en la fase “a” de la fuente alterna
para el accionamiento de campo orientado
Control Directo de Par y Flujo I
I
I
I
Durante la década de los ochenta, Takahashi introduce una
técnica avanzada de control escalar denominada control
directo de par y flujo (DTC) o direct self-control (DSC),
la cual suministra la consigna de disparo para las
componentes de un inversor en tensión.
Esta técnica permite obtener una característica dinámica
del accionamiento comparable con la de otros
accionamientos por control vectorial.
Recientemente, este esquema de control ha sido
introducido comercialmente en diferentes convertidores de
distintas industrias despertando un alto interés a nivel
industrial.
Control Directo de Par y Flujo II
I
Este esquema, como su nombre lo indica, se basa en el
control del par eléctrico de la máquina y del flujo en el
estator, a través de la selección del vector espacial de
tensión más apropiado de una tabla, para seguir la
referencia de estas señales. La información de disparo de
las componentes del inversor para cada vector espacial de
tensión está contenida en la tabla de control.
I
Expresión vectorial de par eléctrico y del enlace de flujo en
el estator
Control Directo de Par y Flujo III
I
La expresión del par eléctrico puede ser representada de
forma más sencilla, a través del producto vectorial de la
corriente del rotor y del estator como:
→
− →
−
Te = Ler iqe idr − ide iqr = Ler ire × ie
(82)
Control Directo de Par y Flujo IV
I
El enlace de flujo del estator se puede obtener, a partir de
la integración directa de la fuerza electromotriz en los
devanados del estator.
ˆ ~λe =
~ve − Re~ie dt = Le~ie + Ler~ire
(83)
donde:
→
−
xe =
q h
i
t
xae (t) xbe (t) xce (t)
e
∀x ∈ {v , i, λ }
(84)
h
i
√
t
2π
4π
→
−
2 −j π6
xabe (t) xbce (t) xcae (t)
xe = 3 e
1 ej 3 ej 3
∀x ∈ {v }
(85)
2
3
1 e
j 2π
3
j 4π
3
Control Directo de Par y Flujo V
I
Para calcular el enlace de flujo del estator a partir de la
integral de la expresión (83) es necesario realizar la
medición directa de la tensión y corriente en los terminales
del estator.
I
Despejando el vector especial de la corriente del rotor de la
expresión (83) y sustituyendo el resultado en la expresión
(82), se obtiene el par eléctrico de la máquina de inducción
en función del vector espacial del flujo y la corriente del
estator.
−
→ →
−
Te = λe × ie
(86)
Control Directo de Par y Flujo VI
I
I
I
El único parámetro del modelo de la máquina de inducción
involucrado en la estimación del par eléctrico instantáneo y
del enlace de flujo del estator, es la resistencia del estator
(Re ).
El error introducido en la estimación por la variación de
este parámetro con la temperatura es despreciable y puede
ser reducido utilizando métodos de estimación paramétrica
en tiempo real.
El puente inversor trifásico genera ocho diferentes salidas
de tensión, dependiendo la tensión en la barra de corriente
continua y la conectividad de los seis interruptores
estáticos que conforman.
Control Directo de Par y Flujo VII
I
Utilizando la expresión (85) para cada una de estas
posibles salidas, se puede encontrar el vector espacial de
tensión aplicado sobre los terminales del convertidor
electromecánico.
q h
i
2π
4π
→
−
(87)
ve = 23 1 ej 3 ej 3 Sw VDC
I
Donde, Sw es un vector que representa el estado de los
interruptores del puente de dimensión 3x1.
En este vector, el elemento "1" corresponde al encendido
del interruptor superior, mientras que "0" indica el
encendido del interruptor inferior de la misma rama.
Seis de los vectores espaciales de tensión poseen magnitud
uniforme y se encuentran desfasados entre ellos. Los otros
dos estados están asociados al vector espacial nulo.
I
I
Estrategia de control directo de par I
I
En la figura, se presenta el diagrama en bloques del
controlador directo de par.
Figura: Diagrama en bloques del controlador directo de par.
Estrategia de control directo de par II
I
I
I
La magnitud del enlace de flujo y el par eléctrico de
referencia son comparados con los estimados de la
máquina de inducción, que se calculan a partir, de la
corriente del estator, el vector de interrupciones del
inversor y la tensión de la barra de continua.
Los errores de par y flujo son procesados en dos
comparadores de histéresis de tres y dos niveles
respectivamente, a partir de estos resultados y de la
posición angular del enlace de flujo del estator se
determina el vector de interrupciones del inversor.
El algoritmo del controlador directo de par se fundamenta
en escoger el vector espacial de tensión que maximice el
cambio necesario en el enlace de flujo del estator, para
ajustar el par eléctrico a partir de la expresión 86.
Estrategia de control directo de par III
I
El controlador por histéresis del enlace de flujo posee dos
salidas digitales de acuerdo al valor del error en la
magnitud del enlace de referencia y el estimado y de la
→ ) utilizada, de acuerdo a las
banda de histéresis (HB(−
λe )
siguientes expresiones:
→ = 1 ∀
S−
λe
→
S −
λe
=0 ∀
→
→ > HB−
error−
λe
λe →
→ < −HB −
error−
λe
λe → corresponde al ancho de banda de
donde: 2HB−
λe
histéresis del controlador.
(88)
Estrategia de control directo de par IV
I
Este controlador al mantener la magnitud del enlace de
flujo del estator limitada a una banda de histéresis origina
una trayectoria circular del vector espacial del enlace de
flujo del estator.
I
Sustituyendo la expresión (87) en la (83), se obtiene el
vector espacial del enlace de flujo del estator en función de
la salida del puente inversor.
r h
ˆ
i
−
→
−
→
→
−
2
2π
4π
j
j
λe =
1 e 3 e 3 Sw VDC ·t −Re · ie dt + λe 3
t=0
(89)
Estrategia de control directo de par V
I
Considerando que las caídas de tensión en los devanados
del estator son pequeñas, las variaciones en la dirección
−
→
del enlace de flujo del estator λe , son ocasionadas por la
dirección del vector espacial de tensión aplicado al
convertidor.
I
Es decir, una escogencia adecuada del vector espacial de
tensión aplicado a la máquina de inducción, determina un
control sobre la magnitud y trayectoria del enlace de flujo
del estator.
Estrategia de control directo de par VI
I
En la figura se puede observar la trayectoria del vector
espacial del enlace de flujo del estator y la variación en el
enlace de flujo del estator correspondiente a cada uno de
los vectores espaciales de tensión del inversor para un
instante de tiempo ∆t.
Estrategia de control directo de par VII
(a)
(b)
Figura: (a) Trayectoria del vector especial del enlace de flujo del
estator, (b) variación del enlace de flujo en función del vector
espacial de tensión del inversor.
Estrategia de control directo de par VIII
I
El controlador por histéresis del par eléctrico posee tres
salidas digitales de acuerdo al valor del error en la
magnitud del par de referencia y el estimado y de la banda
de histéresis (HB(Te ) ) utilizada, de acuerdo a las siguientes
expresiones:
S (Te ) = 1 ∀
errorTe > HB(Te )
S(Te ) = −1 ∀
errorTe < HB(Te )
S(Te ) = 0 ∀ −HB(Te ) < errorTe < HB(Te )
I
(90)
La estrategia del controlador directo de par, se fundamenta
en ajustar el par eléctrico al de referencia, mediante el
control de la magnitud y sentido de rotación del vector
espacial del enlace de flujo del estator.
Estrategia de control directo de par IX
I
I
I
Esta posibilidad de ajuste, define seis zonas de operación
dependiendo de la posición del vector espacial del enlace
de flujo del estator. Estas zonas de control coinciden con la
localización de los vectores espaciales de tensión del
inversor.
Cada uno de estas seis zonas de control tiene un ancho de
π/3 radianes y vienen dados por la expresión (91).
En la figura anterior en la parte (a) se puede observar las
seis zonas de operación .
(2N − 3) ·
π
π
≤ Z(n) ≤ (2N − 1) ·
6
6
(91)
Estrategia de control directo de par X
I
En cada zona de operación, una escogencia adecuada del
vector espacial de tensión permite incrementar o
decrementar la magnitud del enlace de flujo del estator y
alterar su sentido de rotación.
I
Manteniendo las magnitudes de corriente y el enlace de
flujo constante, se puede controlar el par eléctrico
resultante, modificando el ángulo relativo entre el enlace
de flujo y la corriente del estator.
Estrategia de control directo de par XI
I
I
I
Este ángulo relativo se puede variar controlando el sentido
de rotación del vector espacial del enlace de flujo en el
estator.
Por ejemplo, si el vector espacial del enlace de flujo se
encuentra en la primera zona de operación Z(1) , y se desea
aumentar la magnitud del enlace, se debe aplicar sobre los
→
−
terminales de la máquina el vector espacial de tensión v2 si
el par de referencia es menor que la referencia o el vector
→
−
espacial v6 si el par eléctrico es mayor que la referencia.
En la tabla 1 se presenta la secuencia de disparo del
inversor para la estrategia de control directo de par, a partir
de la posición del enlace de flujo del estator, y la salida de
los comparadores de histéresis del flujo y par eléctrico.
Estrategia de control directo de par XII
I
Con la finalidad de incrementar la velocidad de cambio del
par eléctrico y magnitud del enlace de flujo, no se utiliza el
vector espacial de tensión que se encuentra dentro de la
zona de localización del enlace de flujo, así como tampoco
el localizado en la zona opuesta.
Estrategia de control directo de par XIII
Cuadro: Secuencia de disparo del inversor para el controlador
directo de par.
→
S(−
λ )
S(Te )
1
1
1
0
0
0
1
0
−1
1
0
−1
e
Z(1)
→
−
v1
→
−
v7
→
−
v5
→
−
v2
→
−
v0
→
−
v6
Z(2)
→
−
v5
→
−
v0
→
−
v4
→
−
v3
→
−
v7
→
−
v2
Z(3)
→
−
v4
→
−
v7
→
−
v6
→
−
v1
→
−
v0
→
−
v3
Z(4)
→
−
v6
→
−
v0
→
−
v2
→
−
v5
→
−
v7
→
−
v1
Z(5)
→
−
v2
→
−
v7
→
−
v3
→
−
v4
→
−
v0
→
−
v5
Z(6)
→
−
v3
→
−
v0
→
−
v1
→
−
v6
→
−
v7
→
−
v4
Estrategia de control directo de par XIV
I
I
I
Este procedimiento es el utilizado por el control directo de
par, para el ajuste del enlace de flujo del estator y del par
eléctrico a los valores de referencia.
Las respuestas dinámicas de los accionamientos de la
máquina de inducción que utilizan control directo de par,
son comparables a los obtenidos con otros esquemas de
control vectorial.
La estimación del enlace de flujo de estator y del par
eléctrico instantáneo sólo depende de la resistencia del
estator (Re ), a diferencia de otros controladores vectoriales
como el de campo orientado en los que los estimadores,
dependen de un conjunto mayor de parámetros del modelo
de la máquina de inducción.
Estrategia de control directo de par XV
I
Entre estos parámetros encontramos: las inductancias del
estator, rotor y mutua del estator-rotor, la constante de
tiempo del rotor, estos parámetros son fuertemente
afectados durante la operación del convertidor
electromecánico, por las variaciones del grado de
saturación magnética y la temperatura.
I
El efecto por variaciones de la temperatura sobre la
resistencia del estator es despreciable y puede ser
corregida en línea con métodos de estimación paramétrica.
Estrategia de control directo de par XVI
I
Entre las características del control directo de par tenemos:
I
I
I
I
No utiliza realimentación en corriente.
No utiliza el esquema tradicional de control por ancho de
pulso.
Los controladores por histéresis del enlace de flujo del
estator y del par eléctrico generan un rizado sobre estas
variables.
La frecuencia de conmutación del puente inversor no es
constante y depende de la banda de histéresis de los
controladores de par eléctrico y del enlace de flujo.
Estrategia de control directo de par XVII
I
En la figura se presenta la respuesta del esquema DTC al
seguir una consigna de velocidad, para una máquina de
inducción de 200 HP alimentada con un puente inversor,
desde un sistema trifásico de 460 V a frecuencia industrial
de 60 Hz.
I
La conversión AC - DC se realiza con un rectificador no
controlado trifásico.
Estrategia de control directo de par XVIII
Figura: Velocidad mecánica, par y tensión de la barra de
continua para el accionamiento de DTC
Estrategia de control directo de par XIX
(a)
Estrategia de control directo de par XX
(b) Detalle
Figura: Tensión y corriente en la fase “a” del motor de inducción
para el accionamiento de DTC
Estrategia de control directo de par XXI
(a)
Estrategia de control directo de par XXII
(b) Detalle
Figura: Tensión y corriente en la fase “a” de la fuente alterna
para el accionamiento de DT C
Tarea Parte II I
1. Dos máquinas de corriente continua, una con excitación
serie y la otra con excitación en paralelo, se encuentran
conectadas a la tensión nominal y sus ejes mecánicos están
acoplados. Los datos de placa de ambas máquinas son los
siguientes:
Tarea Parte II II
Máquina
Vn
Serie
220 V
Paralelo 220 V
In
Pn
23 A 4 kW
21 A 5 kW
nn
1.750 rpm
1.750 rpm
Inf
23 A
1,73 A
Tarea Parte II III
Las resistencias de campo y de armadura de la máquina
serie son de 0,8 Ω. La resistencia de armadura de la
máquina derivación es de 0,95 Ω. Las pérdidas de
ventilación de ambas máquinas dependen del cubo de la
velocidad. En estas condiciones determine:
Tarea Parte II IV
1.1 Los parámetros de ambas máquinas.
1.2 Las características par-velocidad de ambas máquinas.
1.3 La velocidad nominal y el par nominal del conjunto de las
dos máquinas.
1.4 La velocidad si con la carga nominal del conjunto acoplada
al eje se debilita el campo serie un 15 %.
Tarea Parte II V
2. Modele dinámicamente una máquina de corriente continua
mediante Matlab y su controlador de velocidad,
incluyendo el lazo de armadura y el de debilitamiento de
campo. La carga puede ser una bomba y los datos de las
máquinas cualquiera de los dados en el primer problema
de esta tarea.
Tarea Parte II VI
3. Realice un modelo de simulación dinámica de la máquina
de inducción en el entorno Matlab utilizando el método de
los vectores espaciales. Este modelo debe tener una bomba
en el eje mecánico. Utilice este modelo para representar:
3.1 Un arranque suave mediante una fuente controlada de
tensión alterna de tensión variable y frecuencia constante
3.2 El arranque mediante una fuente de tensión y frecuencia
variable que mantengan entre ellas una relación constante
3.3 Un arranque controlado mediante campo orientado
3.4 Un arranque controlado mediante la técnica de control
directo de par