4.3 - Curvas sobre una superficie Curso 2010-11 4.3 Curvas en una superficie S Panorama: 1. Cálculo práctico de las curvaturas de una curva C S 1. 2. Cálculos geométricos Cálculos analíticos cuando el parámetro de C no es su arco 2. Líneas principales de curvatura de una superficie regular 1. 2. 3. 4. Definición. Existencia Cálculo Consecuencias 3. Direcciones y líneas asintóticas 1. 2. Direcciones asintóticas: definición, existencia y cálculo Líneas asintóticas: definición, existencia, cálculo en ptos. Paraból. e hiperbólicos 4. Líneas geodésicas 1. 2. Definición, existencia y cálculo Discusión del carácter geodésico de una curva dada 5. Cuadro-resumen de curvas especiales de una superficie 6. Ejemplos y ejercicios 1 4.3 Curvas en S.- a) Cálculo práctico de las curvaturas a1.- Cálculo geométrico de n y g de una curva CS {, (u,v)} •Ya visto que: Dada CS respecto su parámetro arco: r = r(s) u = u(s), por la cadena s u s d r du tˆ ( s ) : g ds ds ˆ ( s ) : d tˆ ds d2 u d s2 r v s , g d u d g ds ds se puede derivar en la base de S: : ˆ g ˆ ˆ n ˆ g : ˆ n 2 d u2 ddus ddus g ddus 3 ddus N ds tˆ N pl. tang. ˆ g ̂ nˆS n̂ ˆ n •Curvª. normal: ̂ n := ̂ ·N = ddus 3 ddus = IIFF(tˆ ,tˆ ) y se observa: ̂n es común a todas las CS que pasen por P en la misma dirección, tˆ geométricamente es la proyección del vector curvatura ppal. de C, ̂ , al vec. N de S. • curvª. geodésica : ˆ g := ˆ ( N tˆ ) = dd su ddus ddu:s g ( N tˆ ) 2 2 geométricamente es la proyección de ̂ al plano tangente a S en el punto. Ejemplos: Determinar gráficamente la curvatura normal y geodésica de: i) hélice de paso p = 2c en una sup. cilíndrica de radio R; ii) paralelo genérico en una sup. cónica de radio R y altura h. 2 1 4.3 - Curvas sobre una superficie Curso 2010-11 a2.- Cálculo práctico analítico de la curvatura normal n •Si C ≡ {u = u(s), v = v(s)} (parámetro arco): n ˆ ·N tˆ·K· tˆ n du ds dv ds f dd us · d v II ª FF ( dd us , dd vs ) g ds e · f •Si C ≡ {u = u(t), v = v(t)} (parámetro arbitrario): tˆ n du dt K · K11 12 ddut dv d t ·G · d v dt du dt K12 ddut · K 22 ddvt dv dt du dt dv dt ddut ·G· d v dt dr dt ds dt II ª FF ( ddut , ddvt ) I ª FF ( ddut , ddvt ) •Ejemplos: Paralelo y meridiano de superf. esférica (cálc. analítico de n) •Ejercicio: Resolver analíticamente los ejemplos de la dispositiva anterior (hélice y paralelo del cono) 3 a3.- Cálculo práctico de curvatura geodésica Analíticamente: •Si C ≡ {u = u(s), v = v(s)}: ˆ g ˆ ·( N tˆ ) d2 r d s2 · N dd rs N , dd rs , dd s2r 2 •Si C ≡ {u = u(t), v = v(t)} se aplica que 2 2 ˆ 2 y así se tiene: d t d 2r d 2s tˆ d s ds dt dt d2 r d d s d t2 d t d t 2 2 d s d s d tˆ tˆ 2 tˆ dt dt d s dt N , dd rt , d 2r dt ˆ d t ˆ g N , tˆ , d s luego en cada (u(t),v(t)) dr 3 2 dt (esta fórmula suele utilizarse en cartesianas, más q. en las bases nat. de la param. S) Ejemplos •cálculos por construcción geométrica: esfera, cono, cilindro.., PR3.23 •cálculos analíticos: PR3.22, 3.24, 3.25. 4 2 4.3 - Curvas sobre una superficie Curso 2010-11 b) Líneas (principales) de curvatura •b1.- Definición •Curvas C S tal que en cada punto llevan una dirección principal de curv. de S, es decir: t(P) = d (P). •b2.- Existencia •Por cada punto pasan dos líneas de curvatura mutuamente ortogonales: por los teoremas de existencia y unicidad de solución de las e.d.o. de 1er. orden con valor inicial (punto P por donde pasa la curva y direcc. ppal. d(P) de K). •b3.- Cálculo •1) Cálculo directo por ecuación diferencial vectorial con los autovectores de K: exigir a r = r(s) que t = d (exige calcular los autovectores normalizados, d , de K) •2) Cálculo por e.d.o. deducida de la condición de curvatura normal extrema (máxima o mínima): apuntes Ecuación (4.3-14) (este mét. no exige calc. los autovect. de K). •b4.- Consecuencia geométrica •Toda superficie regular admite parametrizaciones cuyas líneas coordenadas Lû , L v̂ , son líneas principales de curvatura de S. Se llaman parametrizaciones principales. Sólo en ellas, las dos formas fundamentales resultan diagonales (F = f = 0 = cte.) •Ejemplos •líneas de curvatura del helicoide recto (PR3.26). 5 •líneas de curvatura del paraboloide hiperbólico. 6 3 4.3 - Curvas sobre una superficie Curso 2010-11 helicoide recto (R = 2, p = 2) líneas de curvatura 7 c) Direcciones y líneas asintóticas •c1.- Direcciones asintóticas •direcciones tangenciales e / n(e) = 0 •c2.- Existencia y cálculo de las direcciones (tangenciales) asintóticas •no existen dir. asintóticas en puntos elípticos de S •existe una dirección asintótica en cada punto parabólico, que es la dirección ppal. de curvatura normal "0", que debe tener el punto (porque detK = k1k2 = 0) •existen dos direcciones asintóticas en cada punto hiperbólico, que por el th. de Euler (e = cosd1 + send2 n(e) = k1cos2 + k2sen2) son simétricas respecto de una dirección principal, formando un ángulo con d1 tal que tg2 = – k1/k2 > 0. •c3.- Líneas asintóticas •definición: curvas CS / n(P) = 0, PÎC. •Interpretación geométrica: el pl. osculador de C es el pl. tangente a S , "PÎC. •existencia: existen en los puntos parabólicos e hiperbólicos de S, (teorema de existencia de soluciones de e.d.o. de 2do. orden con valores iniciales) •cálculo en ptos. parabólicos: coincide con línea principal de curvatura normal nula •cálculo en ptos. hiperbólicos: e.d.o. t·K·t = 0 dr·K·dr = 0 •Ejemplos •1) De nuevo el helicoide recto ; •2) Sup. de rev. x = u cosv, y = u senv , z = f(u) 8 •3) La superficie tórica de revolución.- •4) Catenoide.. 4 4.3 - Curvas sobre una superficie Curso 2010-11 9 10 5 4.3 - Curvas sobre una superficie Curso 2010-11 d) Líneas geodésicas •d1.- Definición: curvas CS / g(P) = 0, P N , dd rsˆ , dd sr2ˆ N , tˆ , ˆ 0, s •d2.- Interpretación geométrica (¡¡): •el plano osculador de C es ortogonal a S en cada P N (P) nˆ (P) •la curva no dobla sobre la superficie (toda su curvatura es normal: κ̂ κ n , κ g 0 •d3.- Existencia: •por cada P de una S regular pasa una línea geodésica de S en cada dirección tangencial, e = t(P). •La e.d.o. es de 2do. orden y los valores iniciales deben ser P y t(P) •d4.- Cálculo: d 2 u d u d u 0 y sólo en algunos casos sencillos •la e.d.o. de las geodésicas es d s2 ds ds se pueden resolver elementalmente. Ej.: cilindro recto circular, cono, sup. de rev. •en cambio, se pueden utilizar métodos aproximados (Análisis 2º y Amp. Mat. de 3º) •uso de la interpretación geométrica para discutir si una curva dada es o no una línea geodésica: N | | nˆ N nˆ osc (C ) S P C N , tˆ , ˆ 0, s •Analíticamente, se puede comprobar que C verifica las e.d.o. de las geodésicas (que exigen conocer los símbolos de Christoffel en la distribución matricial simétrica) •Ejemplos: 2 •1) En S ≡ {z = x2 – y2}, ¿la curva C = S {y = 0} es geodésica? (figura) •2) ¿Puede ser geodésica una línea asintótica de una superficie regular S? Describir un ejemplo 11 o razonar si no puede existir. • 3) PR3.28, PR3.29 Ejemplos y ejercicios •PR3.18: La catenoide (superficie con lín. asintóticas ortogonales) •parametrización cilíndrica = a Ch(v/a), = u, z = v} cartesiana {x = aCh(v/a)cosu, y = aCh(v/a)senu, z = v} • 1 = a2 Ch2(v/a)gugu + Ch2(v/a)gvgv ; dS = a Ch2(v/a) dudv • K = agugu + (1/a)gvgv; [K] = 1 2 v a Ch ( ) a 0 1 2 v a Ch ( ) a 0 1 = ... , 2 = ... ; KG = ... ; KM = 0 ; ptos. hip. otras cuestiones sobre la catenoide: •líneas de curvatura: son los meridianos y paralelos = líneas coordenadas de esta parametrización (las dos FF salen diagonales en la base natural parametrización principal). •líneas asintóticas: dr·K·dr = 0 ... {u=u0+t, v=v0±at, t} • otros ejemplos: PR3.26 (helicoide recto), PR3.29 12 6 4.3 - Curvas sobre una superficie Curso 2010-11 Cuadro-resumen: Tipos especiales de curvas sobre una sup. Si C : {u = u(s)} S : {r = r(u,v); (u,v)} , P(s) = (u(s), v(s)) Def. lin. de curvatura "s: tˆ ( s ) = d(s), lin. asintóticas lín. geodésicas "s: n(s) = 0 "s: g(s) = 0 siendo d = dir. ppal. osc(C)= tan(S) en curv. en cada P(s). cada P de C. exis ten cia dos líneas de curvª. ortogonales por cada punto regular de S, una en cada dir. ppal. •dirs. asintóticas: e tangls. / e · K · e = 0 • lín. as. en P parab. o hiperb. en las dir. asintóticas •P parab.: e / K · e = 0 osc(C)= nor( tˆ ) en cada P de C. •Por cada punto regular de S pasa una lin. geodésica en cada dir. tangencial e (dada como cond. inicial) •P hiperb.: e / e K·e k1cos2 + k2sen2 = 0 tg2 = – k1/k2 = arctg[(– k1/k2)1/2] lin. de curvatura e. d. o. lin. asintóticas 13 lín. geodésicas incógnitas: u u (s)/ u = u(s) / tˆ ( s ) e asint u = u(s) / tˆ(s) ddus gu ddvs gv K) tˆ(s)·K(s)·tˆ(s) d2 u d u d u 0 2 du s s s d d d e f ds ddus ddvs · · d v 0 ( ddvs )2 ddus ddvs ( ddus )2 f g ds du g11 g12 g22 0 1 lin. as. de P's parab. o 2 d u d u d v d s 0 lin. as. de P's hiperb. en las d s d s d s d v K11 K12 K22 2 direcciones asintóticas. d s 2 2 in Stmas. coord. principales: •sus lin. coord. Lu y Lv son t lín. de curv. de S, (ortog.) er •tanto IFF como IIFF son pr diag. en cada P en coord. ppales. (caracterización) . •sistemas idóneos (en g teoría) para medir o para representar o incluso para e construir S. o Ejemplo: el helicoide m •"PC, el pl. osc. de C en P es el pl. tangte. a S en P. •C dobla tangencialmente a S en cada PC •. ˆ ˆ g ; ˆ n 0 Ejemplo: paralelos de máxima y mínima cota de una sup. tórica. •"PC el pl. osc. de C es normal a S (y el pl. rectif. de C es tangente a S) • ˆ ˆ n ; ˆ g 0 Ejemplo: sup. tórica.: los paralelos de máxima y mínima distancia al eje de revol. y todos los 14 meridianos son geodés. 7