I. Selecciona la mejor contestación (15%)

Primer Examen Cálculo II
RUM-Ciencias Matemáticas
16 de septiembre del 2015
Nombre y número de estudiante SOLUCIONES
Profesor y sección_______________________________________________
Instruccciones. Lea cuidadosamente cada pregunta. En la primera parte seleccione la mejor alternativa.
En la segunda parte, llene los blancos. En las preguntas abiertas presente todo su trabajo. No se permite el
uso de calculadora grá…ca.
I. Selecciona la mejor contestación (15%)
1. La integral que representa el volumen del que se obtiene al rotar la región acotada por y = x2 ; y =
0; x = 0; x = 1 con respecto el eje de x es
R1
a. 0 x2 dx
R1
b. 0 x4 dx RESPUESTA CORRECTA
R1
c. 0 x2 dx
d. ninguna de las anteriores
R
2. sin x cos2 xdx =
cos3 x
+ C RESPUESTA CORRECTA
3
cos3 x
b.
+C
3
sin2 x
+C
c.
2
d. ninguna de las anteriores
R1
3. 0 xex dx =
a.
a. e
b. 0
c. 1 RESPUESTA CORRECTA
d. ninguna de las anteriores
R1 p
4.
x 1 x2 dx =
1
a.
b. 0 RESPUESTA CORRECTA
c. 1
d. ninguna de las anteriores
5. La integral que representa el volumen del que se obtiene al rotar la región acotada por y = x2 ; y =
0; x = 0; x = 1 con respecto el eje de y es
R1
a. 0 x4 dx
R1
b. 0 2 x3 dx RESPUESTA CORRECTA
R1
c. 0 x4 dx
d. ninguna de las anteriores
Contestaciones
1:B
2:A 3:C
4:B
5:B
II. Llene los blancos (15%)
6. El promedio de g(x) =
p
3
7. El valor c donde g(x) =
x en el intervalo [1; 8] es
p
3
1 R8 p
1 3 hp
3
3
xdx =
84
1
7
74
x coincide con su promedio es
p
3
c=
45
=) c =
28
i 45
1 =
28
45
28
3
t 4:151
5
8. El trabajo de una partícula movida rectilíneamente por una fuerza F (x) = 2 ; desde x = 1 hasta
x
Z 10
5
5
x = 10 es
+ 5 = 4:5
dx =
2
10
1 x
9. Al evaluar
=
Z
u2
R
3
tan x sec xdx obtenemos
1 du =
u3
3
u+C =
sec3 x
3
R
3
tan x sec xdx =
sec x + C
Z
sec2 x
1 tan x sec xdx
(u=sec x)
=
10. Si x = 2 sec ; dx = 2 sec tan d y
Z p 2
Z
Z
x
4
2 tan
dx =
2 sec tan d = 2 tan2 d =
x
2 sec
Z
p
=2
sec2
1 d = 2 tan
2 + C = x2 4 2 arcsin
p
x2
x
4
!
+C
III. Conteste las siguientes preguntas (75%)
11. (15%) Evalúe
Z
0
1
2x2
2
dx
+ 3x + 1
2
A
B
=
+
(2x + 1) (x + 1)
2x + 1 x + 1
B
Z 1= 2; A = 4
Z 1
2
4
dx
=
dx
2 + 3x + 1
2x
2x
+1
0
0
1
= 2 [ln j2x + 1j ln jx + 1j]0
2 ln 3 2 ln 2
Z p 2
x
1
12. (15%) Evalúe
dx
4
x
Z
0
1
2
dx
x+1
x = sec
; dx = sec tan d
Z p 2
Z
x
1
tan
=
dx
=
sec tan d
4
4
x
sec
Z
Z
=
tan2 cos3 d =
sin2 cos d
sin3
+C
3
!3
p
1
x2 1
=
+C
3
x
=
13. (10%) Determine el valor de
Z
2
t2 ln tdt
1
1
t3
u = ln t; du = dt; dv = t2 dt; v =
t
Z 2 3 3 3
Z 2
2
3
t
t 1
t
t2 ln tdt =
ln t
dt
ln t
3
3
1
1 3 t
1
7
8
= ln 2
3
9
2
1
Z
1
2 2
t
dt
3
14. (15%) Calcule el volumen que se obtiene al rotar con respecto al eje de x la región acotada por curvas
y = 2x y y = x2
y = 2x; y = x2 se intersecan en x = 0; 2. Ademas, y = 2x es MAYOR que y = x2 en [0; 2]
Z 2
V =
4x2 x4 dx
0
=
=
4x3
3
32
3
2
x5
5 0
32
t 13:404
5
15. (10%) Evalúe
Z
3
6
Z
tan3 x sec6 xdx :
tan x sec xdx =
Z
2
tan x sec x tan x sec xdx =
u=
Z sec x; du = sec x tan
Z xdx
=
u2
1 u5 du =
5
u7
u5 du =
u8
8
Z
sec2 x
1 sec5 x tan x sec xdx
u6
+C
6
sec8 x sec6 x
=
+C
8
6
NOTA: TAMBIEN SE PUEDE RESOLVER CON u = tan x, PERO ES MAS LARGO ASI
16. (10%) Una fuerza de 10 lbs se requiere para estirar un resorte 4 pulgadas más allá de su largo natural.
¿Cuánto trabajo se hace al estirarlo 6 pulgadas más allá de su largo natural?
F (x) = kx; 10 = F 31 = k 13 =) k = 30
Z 0:5
15
0:5
lbs-pies.
W =
30xdx = 15x2 0 =
4
0