UNIVERSIDAD DE SAN PEDRO SULA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA ADMINISTRATIVA II

UNIVERSIDAD DE SAN PEDRO SULA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ESTADÍSTICA ADMINISTRATIVA II
Asignación # 4
INSTRUCCIÓNES: Chicos, disculpen el retraso; pero, quería que los tres ejercicios fueran
acompañados de un ejemplo resuelto para que les sirva de guía en la resolución de los tres. Sigan
los mismos pasos y no deberán tener problemas.
1.
En una fábrica, la cantidad de artículos que se producen depende de la cantidad de empleados que se
tengan contratados. Para la siguiente muestra que se seleccionó al azar, se obtuvieron los siguientes
datos:
Empleados
Artículos
a.
b.
c.
d.
2.
5
14
7
10
6
14
8
14
Determinar la ecuación de regresión
Calcular el error estándar de la estimación
Con una confiabilidad del 95% determinar el intervalo de confianza para cuando se tengan 10
empleados.
Predecir la cantidad de artículos que se esperaría que produciría cada uno de los 10 empleados,
con un nivel de significancia de 5%.
En una empresa que se dedica a hacer viajes a la ciudad de Tegucigalpa, los viajes que se realizan están
relacionados con la cantidad de vehículos que se mantienen activos cada día. Una muestra de 8 días,
reveló la cantidad de viajes que se habían realizado.
Vehículos
Viajes
a.
b.
c.
d.
3.
4
8
6
14
3
15
6
7
3
12
4
13
4
11
6
9
8
7
Determinar la ecuación de regresión
Calcular el error estándar de la estimación
Con una confiabilidad del 95% determinar el intervalo de confianza para cuando solo se tengan 5
vehículos.
Predecir la cantidad de viajes que se esperaría que realizarían con cada uno de los 5 vehículos,
con un nivel de significancia de 5%.
La Empresa Nacional de Energía Eléctrica del país estudia la relación entre kilowatts-hora (miles) usados
y el número de habitaciones en una residencia privada familiar. Una muestra aleatoria de 10 casas
reveló lo siguiente:
Número de habitaciones
Kilowatts-hora (miles)
a.
b.
c.
d.
12
9
9
7
14
10
6
5
10
8
8
8
Determinar la ecuación de regresión
Calcular el error estándar de la estimación
Con una confiabilidad del 95% determinar el intervalo de confianza para cuando las casas tengan
2 habitaciones.
Predecir la cantidad de kilowatts-hora que se esperaría que se consumiría por cada casa con 2
habitaciones, con un nivel de significancia de 5%.
EJEMPLO RESUELTO
4.
El señor James McWhinney, presidente de Daniel-James Financial Services, considera que hay una
relación entre el número de contactos con sus clientes y la cantidad de ventas en dólares. Para
documentar esta afirmación, el señor McWhinney reunió la siguiente información muestral. La columna
X indica el número de contactos con sus clientes el mes anterior, y la columna Y muestra el valor de las
ventas (miles de $) el mismo mes por cada cliente muestreado.
Número de contactos
14
Ventas (miles de dólares) 24
a.
b.
c.
d.
12
14
20
28
16
30
46
80
23
30
48
90
Determinar la ecuación de regresión
Calcular el error estándar de la estimación
Con una confiabilidad del 95% determinar el intervalo de confianza para cuando se tengan 50
contactos.
Predecir las ventas que se esperaría obtener por cada uno de los contactos que se realicen, con
un nivel de significancia de 5%.
DESARROLLO
-
Calcular las medias aritméticas
Número de
Ventas
contactos (000 de dólares)
X
Y
14
24
12
14
20
28
16
30
46
80
23
30
48
90
179
296
𝑛=7
179
𝑋̅ =
= 25.6
7
296
𝑌̅ =
= 42.3
7
-
Calcular las variaciones simples y cuadradas
Número de
Ventas
𝑋 − 𝑋̅
contactos (000 de dólares) 𝑋 − 𝑋̅
𝑌 − 𝑌̅
𝑋 − 𝑋̅
𝑌 − 𝑌̅
𝑌 − 𝑌̅
X
Y
14
24
-11.6
-18.3
212.28
134.56
334.89
12
14
-13.6
-28.3
384.88
184.96
800.89
20
28
-5.6
-14.3
80.08
31.36
204.49
16
30
-9.6
-12.3
118.08
92.16
151.29
46
80
20.4
37.7
769.08
416.16
1421.29
23
30
-2.6
-12.3
31.98
6.76
151.29
48
90
22.4
47.7 1,068.48
501.76
2275.29
179
296
∑
2,664.86 1,367.72 5,339.43
-
Calcular la desviación estándar
𝑠𝑋 = √
𝑠𝑌 = √
1367.72
= 15.10
7−1
5339.43
= 29.83
7−1
-
Calcular el coeficiente de correlación
∑(𝑋 − 𝑋̅)(𝑌 − 𝑌̅)
2664.86
𝑟=
=
= 0.986
(𝑛 − 1)𝑠𝑋 𝑠𝑌
(7 − 1)(15.10)(29.83)
-
Calcular el valor de la pendiente (b)
𝑠𝑌
29.83
𝑏=𝑟
= 0.986
= 1.95
𝑠𝑋
15.10
-
Calcular el valor de a (intercepto en Y)
𝑎 = 𝑌̅ − 𝑏𝑋̅ = 42.3 − (1.95)(25.6) = −7.58
Determinar la ecuación de regresión
𝑌̂ = −7.58 + 1.95𝑋
Calcular pronósticos por cada valor de Y y la sumatoria de la variación del pronóstico con respecto a Y
Número de
Ventas
𝑋 − 𝑋̅
contactos (000 de dólares) 𝑋 − 𝑋̅
𝑌 − 𝑌̅
𝑋 − 𝑋̅
𝑌 − 𝑌̅
𝑌−𝑌
𝑌̂
𝑌 − 𝑌̅
X
Y
14
24
-11.6
-18.3
212.28
134.56
334.89 19.70
18.50
12
14
-13.6
-28.3
384.88
184.96
800.89 15.80
3.25
20
28
-5.6
-14.3
80.08
31.36
204.49 31.39
11.49
16
30
-9.6
-12.3
118.08
92.16
151.29 23.60
41.02
46
80
20.4
37.7
769.08
416.16
1421.29 82.05
4.19
23
30
-2.6
-12.3
31.98
6.76
151.29 37.23
52.33
48
90
22.4
47.7 1,068.48
501.76
2275.29 85.94
16.45
179
296
∑
2,664.86 1,367.72 5,339.43
147.23
-
-
Calcular el error estándar
𝑠𝑌∙𝑋 = √
-
∑(𝑌 − 𝑌̂)
147.23
=√
= 5.426
𝑛−2
7−1
Determinar el valor de t en la distribución t-Student
Nivel de Confianza
:
95%
Tamaño de la muestra
:
7
Grados de libertad
:
5
𝑡 = 2.571
-
Calcular el pronóstico de X=50
-
Determinar el intervalo de confianza del 95% para X = 50.
𝑌̂ = −7.58 + 1.95(50) = 89.84
(𝑋 − 𝑋̅)
1
𝐼𝐶95% = 𝑌̂ ± 𝑡 𝑠𝑌∙𝑋 √ +
𝑛 ∑(𝑋 − 𝑋̅)
1 (50 − 25.6)
𝐼𝐶95% = 89.84 ± (2.571) (5.426)√ +
7
1367.72
𝐼𝐶95% = 89.84 ± (13.95)√0.1429 + 0.435
𝐼𝐶95% = 89.84 ± (13.95)(0.7604)
𝐼𝐶95% = 89.84 ± 10.61
𝐼𝐶95% = {
89.84 − 10.61
89.84 + 10.61
𝐼𝐶95% = {
79.23
100.45
En Forma general, se estima que en promedio las ventas podrán ser entre 79 y 100 mil dólares.
-
Determinar el intervalo de predicción
𝐼𝐶95% = 𝑌̂ ± 𝑡 𝑠𝑌∙𝑋 √1 +
(𝑋 − 𝑋̅)
1
+
𝑛 ∑(𝑋 − 𝑋̅)
1 (50 − 25.6)
𝐼𝐶95% = 89.84 ± (2.571) (5.426)√1 + +
7
1367.72
𝐼𝐶95% = 89.84 ± (13.95)√1 + 0.1429 + 0.435
𝐼𝐶95% = 89.84 ± (13.95)(1.2562)
𝐼𝐶95% = 89.84 ± 17.53
𝐼𝐶95% = {
89.84 − 17.53
89.84 + 17.53
𝐼𝐶95% = {
72.31
107.37
En forma general, se puede predecir que las ventas de cada empleado podrán ser entre 72 y
107 mil dólares.