Topos - Editorial UD

Anuncio
Planimetría
Planimetría
Mario Arturo Rincón Villalba
Wilson Ernesto Vargas Vargas
Carlos Javier González Vergara
Dirección Sección de Publicaciones
Rubén Eliécer Carvajalino C.
Dirección Ecoe Ediciones
Álvaro Carvajal
Coordinación editorial
Matilde Salazar Ospina
Irina Florián O.
César Leonardo Trujillo Rodríguez
Coordinación editorial
Andrea del Pilar Sierra
Corrección de estilo
Karen Grisales
© Universidad Distrital Francisco José de Caldas
© Ecoe ediciones Ltda.
© Centro de Investigaciones y Desarrollo Científico
© Mario Arturo Rincón Villalba
Wilson Ernesto Vargas Vargas
Carlos Javier González Vergara
ISBN: 978-958-872-352-5
Primera edición: julio de 2012
Reimpresión: Septiembre de 2015
Rincón Villalba, Mario Arturo
Planimetría / Mario Arturo Rincón Villalba, Wilson Ernesto
Vargas Vargas, Carlos Javier González Vergara. -- 1a. ed. -Bogotá : Universidad Distrital Francisco José de Caldas :
Ecoe Ediciones, 2012.
284p. – (Colección tierra y vida)
Incluye bibliografía
ISBN 978-958-44-6733-1
1. Levantamiento de planos 2. Topografía I. Vargas Vargas, Wilson Ernesto II. González Vergara, Carlos Javier III. Título IV. Serie
CDD: 526.9 ed. 20
CO-BoBN– a814933
Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia
Diagramación
Oscar J. Arcos
Sección de Publicaciones
Editorial UD
Carrera 19 No. 33 -39.
Teléfono: 3239300 ext. 6206
Correo electrónico: publicaciones@udistrital.edu.co
Ecoe Ediciones Ltda.
Carrera 19 N° 63C-32 Pbx: 2481449 – Bogotá D.C.
www.ecoeediciones.com
Todos los derechos reservados.
Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo
escrito del Fondo de Publicaciones de la Universidad Distrital.
Hecho en Colombia.
Contenido
Presentación
Introducción
21
25
Topografía
25
Tipos de levantamientos
25
Funciones del profesional en topografía
26
Geodesia
26
Planimetría y altimetría
26
Mediciones en topografía
26
Unidades de medida
27
Redondeo de números
29
Cifras significativas
29
Exactitud y precisión
29
Medición con cinta
Materialización de puntos
Errores y equivocaciones
Errores en mediciones con cinta
Precisión de mediciones con cinta
Levantamiento con cinta
30
32
32
32
33
37
Definición
37
Aplicaciones
37
Conceptos básicos
Medición con cinta
Determinación de ángulos con cinta
Medición de perpendiculares con cinta
37
37
38
39
Área por figuras geométricas
39
Metodología
En campo
En oficina
44
44
44
Ejemplo práctico
Cartera de campo
Carteras de cálculo
Cálculo de ángulos
Corrección de ángulos
Cálculo de áreas
Cálculo de áreas
45
45
47
47
47
48
48
Ejercicios planteados
50
Levantamiento con cinta y brújula
57
Definición
57
Aplicaciones
57
Conceptos básicos
Ángulo
Azimut y rumbo
Brújula
Declinación magnética
Inclinación magnética
Atracción local
57
57
58
60
60
61
61
Metodología
En campo
En oficina
61
61
62
Ejemplo práctico
Cartera de campo
Carteras de cálculo
Ajustar los ángulos internos
Determinar la atracción local de todas las líneas
Cálculo de áreas por figuras geométricas
63
63
65
66
66
69
Ejercicios planteados
Ajuste de ángulos y azimutes
Determinación atracción local
Cálculo de área por figuras geométricas
69
71
72
73
Levantamiento por radiación
79
Definición
79
Aplicaciones
80
Conceptos básicos
80
Coordenadas polares
80
Coordenadas rectangulares
81
Paso de coordenadas polares a rectangulares
82
Paso de coordenadas rectangulares a polares
83
Metodología
En campo
En oficina
85
85
86
Ejemplo práctico
87
Cartera de campo
87
Carteras de cálculo
88
Cálculo de proyecciones
88
Cálculo de coordenadas
89
Cálculo de área
89
Ejercicio planteado
Cálculo de área por coordenadas
Levantamiento por doble radiación
90
93
97
Definición
97
Aplicaciones
Conceptos básicos
Ley de senos
97
97
97
Metodología
En campo
En oficina
98
98
99
Ejemplo práctico
Cartera de campo
Carteras de cálculo
Cálculo de distancias desde (A) a cada punto
Cálculo de coordenadas de los detalles
Cálculo de dimensiones del terreno y direcciones –Azimutes–
entre los puntos
Cálculo de áreas por coordenadas
101
101
103
103
103
Ejercicio planteado
Cálculo de distancias
Cartera de cálculos de coordenadas
Cálculo de área por coordenadas
105
107
108
109
104
104
Poligonales
113
Definición
Aplicaciones
113
113
Metodología
113
Tipo de poligonales
114
Poligonales Abiertas
Poligonales cerradas
Poligonal punto a punto
Métodos para realizar poligonales
Por ceros atrás
Por azimut directo
Por deflexiones
114
114
115
117
117
119
120
Medición de ángulos
Método de directo e inverso
122
122
Método de reiteración
Método por repetición
Levantamiento poligonal abierta
Método ceros atrás
123
124
127
Definición
127
Metodología
En campo
En oficina
127
127
128
Ejemplo práctico
Cartera de campo
Carteras de cálculo
Cálculo de azimut de partida
Cálculo de los azimutes de las líneas de la poligonal
Cálculo de las proyecciones de la poligonal
Cálculo de las coordenadas de los vértices de la poligonal
Cálculo de las coordenadas de los detalles
Cálculo de área por coordenadas
129
129
131
131
131
132
132
133
134
Ejercicios Planteados
Levantamiento poligonal cerrada
Método ceros atrás
135
141
Aplicaciones
141
Conceptos básicos
141
Error en ángulo
Error máximo
Error en distancia
141
141
142
Metodología
En campo
143
143
En oficina
144
Ejercicio práctico
Cálculo y ajuste de los ángulos de la poligonal
Cálculo del Azimut Inicial
Cálculo de las proyecciones
Corrección de las Proyecciones
Datos estadísticos de la poligonal
Cálculo de detalles
144
146
146
147
148
151
151
Ejercicio planteado
Cálculo de los detalles
Cálculo de las áreas
Levantamiento poligonal
punto a punto. Método ceros atrás
152
154
155
159
Definición
159
Metodología
En campo
160
160
En oficina
160
Ejemplo práctico
Cartera de campo
Carteras de cálculo
Cálculo de azimut de partida
Cálculo de azimut de llegada
Cálculo de los ángulos ficticios del polígono cerrado
Ajuste de los ángulos observados
Cálculo de los azimutes de la líneas de la poligonal
Cálculo de las proyecciones de la poligonal
161
161
162
162
163
163
166
166
167
Ajuste de las proyecciones de la poligonal
Cálculo de las coordenadas de los vértices de la poligonal
Cálculo de las coordenadas de los detalles
Cálculo de área por coordenadas
Ejercicios planteados
Levantamiento poligonal cerrada
Método azimut directo
167
168
169
169
170
179
Definición
179
Aplicaciones
179
Conceptos básicos
Error en azimut
Error máximo
Corrección de azimutes
Error en distancia
Precisión (P)
179
179
179
180
180
180
Metodología
181
En campo
181
Ejercicio práctico
Cálculo de la poligonal
Cálculo y ajuste de los azimutes de la poligonal
Cálculo de azimut inicial
Error en azimut
Cálculo de proyecciones
Corrección de Proyecciones
Cálculo de coordenadas
Datos estadísticos de la poligonal
Cálculo de detalles
182
183
183
183
184
184
185
185
186
187
Ejercicio planteado
Cálculo de área por coordenadas
188
192
Levantamiento poligonal
Punto a punto. Método azimut directo
195
Definición
195
Metodología
196
En campo
En oficina
196
196
Ejemplo práctico
Cartera de campo
Carteras de cálculo
Corrección de los azimutes
Cálculo de las proyecciones de la poligonal
Ajuste de las proyecciones de la poligonal
Cálculo de las coordenadas de los vértices de la poligonal
Cálculo de las coordenadas de los detalles
Cálculo de área por coordenadas
197
197
198
198
198
199
200
200
201
Ejercicio Planteado
Levantamiento poligonal abierta
Método deflexiones
202
209
Definición
209
Metodología
En campo
En oficina
210
210
210
Ejemplo práctico
Cartera de campo
Carteras de cálculo
Cálculo de azimut de partida
Cálculo de los azimutes de las líneas de la poligonal
Cálculo de las proyecciones de la poligonal
Cálculo de las coordenadas de los vértices de la poligonal
Cálculo de las coordenadas de los detalles y áreas
Ejercicio planteado
211
211
212
212
213
213
214
214
215
Levantamiento poligonal cerrada Método deflexiones
221
Definición
221
Aplicaciones
221
Conceptos básicos
Ángulo de deflexión
Error en ángulos de deflexión
Error en distancia
Precisión (P)
221
221
221
222
222
Metodología
En campo
En oficina
222
222
223
Ejercicio práctico
Cálculo de la poligonal
Cálculo y corrección de los ángulos de deflexión
Cálculo de azimut inicial
Cálculo de azimutes de la poligonal
Cálculo de proyecciones
Corrección de proyecciones
Cálculo de coordenadas
Datos estadísticos de la poligonal
Cálculo de detalles
224
226
226
226
227
227
228
229
229
230
Ejercicio planteado
231
Replanteo
237
Definición
237
Aplicaciones
Tipos de trabajos topográficos en una construcción
237
238
Conceptos básicos
Replanteo de control horizontal
Replanteo de control vertical
De alineación vertical
239
239
239
239
Puntos de referencia para la construcción –puntos de control–
239
Metodología
239
Ejercicio práctico
240
Cálculo de áreas
247
Definición
247
Métodos de cálculo
Figuras geométricas
Utilizando malla de puntos
Utilizando papel milimetrado
Por coordenadas
Utilizando planímetro
247
248
250
252
253
255
Dibujo topográfico
259
Definición
259
Proyecciones empleadas en los planos
260
Formatos y plegado de planos
Sistema DIN
Sistema ASA
El pliego
260
260
261
262
Rotulación a mano
Letras mayúsculas y minúsculas verticales
Letras mayúsculas y minúsculas inclinadas
Reglas generales
Líneas de guía
Centrado del texto
Ejemplo letras verticales
Ejemplo letras inclinadas
263
263
263
263
264
264
265
265
Registros de trabajo en campo
Croquis a pulso
265
267
Escala
Escalas gráficas
Dimensiones de la escala gráfica
268
269
270
Realización del plano de levantamientos topográficos con cinta y con cinta y brújula
270
Cuando es por triángulos
Cuando se ha trazado un polígono
271
271
Realización de un plano por coordenadas
Bibliografía
273
281
Presentación
Presentación
E
ste texto fue elaborado como resultado de la docencia e investigación realizada
por los autores en el área de TOPOGRAFÍA Y VÍAS.
Este documento reúne los conceptos teóricos y prácticos en el área de planimetría. Dentro del mismo se realiza la descripción de los diferentes métodos para la
realización de levantamientos topográficos planimetritos y se detalla el desarrollo de
dichos procesos, determinando en cada uno de ellos las bases teóricas, aplicaciones y
especificaciones. Para esto se desarrolló un ejemplo de cada caso. Además, se plantean
ejercicios para cada capítulo que complementan el desarrollo de los temas.
Con el fin de que el libro pueda ser implementado como guía práctica y de evaluación, por los docentes de topografía en diferentes centros de educación técnica o
superior, se ha adaptado el desarrollo de los ejercicios planteados de forma encadenada al número de identificación del estudiante, logrando de esta manera garantizar
el desarrollo individual de los ejercicios. Por lo anterior, los datos iniciales de cada
ejercicio se ciñen a las letras A, B, C y D, las cuales están vinculadas con el número de
identificación del estudiante.
Nombre del Estudiante: ________________________________________________
Código del Estudiante: _______________________________________
Documento de Identidad
A
B
C
D
21
Introducción
Introducción
Topografía
S
i se analiza la palabra topografía desglosándola del griego, Topos “topo” –lugar– y
Graphe “grafía” –descripción–.
“Topografía” significaría, “ciencia que se encarga de la descripción de la tierra”. Una
definición más acertada es la siguiente: es la ciencia por medio de la cual se establecen
las posiciones de puntos situados sobre la superficie terrestre, encima de ella y debajo de ella; para lo cual se realizan mediciones de distancias, ángulos y elevaciones.
El desarrollo de esas actividades se conoce como levantamiento topográfico; este tiene
como principales objetivos realizar la representación grafica de diferentes terrenos y
objetos, y el cálculo de áreas y de volúmenes. Los levantamientos proporcionan información detallada de la ubicación y elevaciones de los diferentes elementos encontrados sean naturales o artificiales.
En topografía, la tierra se toma como una proyección. Para la realización de cálculos
se tienen las siguientes hipótesis: la línea más corta entre dos puntos de la superficie
terrestre es una línea recta, las direcciones de la plomada en dos o más puntos de la
superficie terrestre son paralelas (realmente se dirige hacia el centro de esta), se tomarán superficies de referencia imaginarias y serán planas.
La topografía está basada esencialmente en la geometría plana, geometría del espacio, trigonometría y matemáticas en general.
Tipos de levantamientos
Levantamientos topográficos, de control, catastrales, urbanos, hidrográficos, de rutas, de construcción, de minas, solares, industriales, por satélite, judiciales, fotogramétricos, sísmicos, de energía y en general levantamientos según obra a construirse.
25
Planimetría
Funciones del profesional en topografía
Localización de objetos, localización de los límites de terrenos –sean de índole público o
privado–, elaboración de planos, replanteo –localización en terreno de diseños generados en planos–, replanteo y localización de viaductos, control planimétrico y altimétrico de obras, participación en procesos cartográficos, aplicaciones en proyectos
ambientales, diseño y construcción de diferentes obras de ingeniería.
Geodesia
Esta ciencia tiene finalidades muy similares a la topografía; pero en la geodesia se
tiene en cuenta la curvatura terrestre –la forma geométrica a la cual se asemeja la forma de la tierra es una elipse en revolución girando sobre su semieje menor “elipsoide”–,
por lo anterior el grado de precisión de la geodesia es mayor que el de topografía.
Planimetría y altimetría
La topografía se divide en dos ramas: planimetría y altimetría. La planimetría no considera las diferencias de nivel y todos los elementos los proyecta a un plano horizontal.
La altimetría si considera las diferencias de nivel o relieve de los terrenos y de los elementos artificiales o construidos por el hombre.
Mediciones en topografía
Las principales medidas que se realizan en topografía son:
• Distancias horizontales –son las medidas principales o base en la planimetría temática estudiada en el curso de topografía 1–, medidas verticales –necesarias para
establecer las diferencias de nivel y medidas inclinadas– y mediciones directas
–entre dos puntos de la superficie terrestre–
• Ángulos horizontales – medidos en planos horizontales– y verticales – medidos
en planos verticales–
26
Introducción
Figura 0.1: Medición de Distancias
Unidades de medida
Son las relativas a longitud, área, volumen y ángulo.
Sistema inglés: la unidad de longitud es el pie. Se usa en Estados Unidos, Liberia y
Birmania.
Sistema métrico: la unidad de longitud es el metro. Se utiliza en el resto del mundo,
por lo que es conocido como el Sistema Internacional de Unidades (SI).
En el sistema métrico se utiliza el metro y todas sus subdivisiones y múltiplos – mm,
dm, Dm, Hm, Km, Mm–.
27
Planimetría
Relaciones de equivalencia
1 yarda = 3 pies
1 pie = 0.3048006 metros.
1 pulgada = 2.54 centímetros
1 metro = 39.37 pulgadas
1 pértiga = 16.5 pies
1 vara = aproximadamente 33 pulgadas
1 cadena de gunter = 66 pies = 100 eslabones
1 milla = 5280 pies = 80 cadenas de gunter
1 braza = 6 pies
1 milla náutica = 6076.10 pies
1 acre = 43560 pies
Área:
En el sistema ingles se utiliza el pie cuadrado y las yardas cuadradas, en áreas grandes se usa el acre que tiene 43560 pies cuadrados, también se utiliza el arpent = 0.85
acres.
En el sistema métrico las áreas se especifican mediante el metro cuadrado, en áreas
grandes se utiliza la hectárea equivalente a 10000 metros cuadrados o la fanegada que
equivale a 6400 metros cuadrados.
Volumen:
En el sistema inglés se utiliza el pie cúbico, la yarda cúbica y el acre-pie equivalente
a 43560 pies cúbicos.
En el sistema métrico el volumen se expresa en metros cúbicos.
Angular:
La unidad de ángulo utilizada en topografía es el grado (°), definido como 1/360 del
ángulo central de una circunferencia, 1 grado = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos.
Un Radián es el ángulo subtendido por un arco de circunferencia cuya longitud es
igual al radio del círculo.
2p Radianes = 360°, 1 Rad. 57° 17’ 44.8” y 0.01745 = 1°
También se ha utilizado aunque muy poco el gon que es equivalente al grado centesimal, donde la circunferencia se divide en 400 grados centesimales, 100 minutos
centesimales son iguales a 1 grado centesimal y 100 segundos centesimales con iguales
a 1 minuto centesimal.
28
Introducción
Redondeo de números
Redondear en topografía es el proceso de suprimir uno o más dígitos para que la
respuesta solo contenga aquellos que sean significativos o necesarios en cálculos subsecuentes.
1. Cuando el número a eliminar sea menor que 5 se escribe el número sin este dígito:
43.65749 redondeado a tres decimales será 43.657. Este procedimiento se conoce
como truncar número.
2. Cuando el número a eliminar es igual a 5 se usará el siguiente número par para
el dígito precedente: 32.3775 será 32.378; así 32.3785, al ser redondeado, también
será 32.378. Esto se conoce como aproximar número.
3. Cuando el díigito a eliminar sea mayor que 5 se escribirá el número con el dígito
procedente aumentado en una unidad. Así 45,6786 será 45.679. Esto se conoce
como aproximar número.
En Colombia cuando se desarrolla un proyecto topográfico, las distancias se miden
al milímetro (tres cifras decimales midiendo en metros) y los ángulos al segundo.
Cifras significativas
Dígitos positivos seguros más uno que es un dígito redondeado o estimativo, lo que en
cierta medida lo hace cuestionable. Por ejemplo, una distancia que se midió con una cinta
cuya graduación más pequeña es de 0.002 metros y está registrada como 23.468 se dice
que tiene cinco cifras significativas, los cuatro primeros dígitos son seguros y el último
es redondeado, ó sea, cuestionable. Es indispensable que las medidas se tomen con el
número correcto de cifras significativas de acuerdo a la precisión que se desee alcanzar.
Exactitud y precisión
Exactitud es el grado de perfección o absoluta aproximación al valor verdadero de una
medición.
Precisión es el grado de refinamiento o consistencia con la que se mide una determinada cantidad varias veces. Sería la cercanía entre una medición y otra; si se miden
varias veces y los valores obtenidos son muy cercanos entre si se dice que la precisión
es alta. En topografía se puede hablar de precisión más no de exactitud pues nunca se
29
Planimetría
podrá conocer la medida exacta de una magnitud, siempre habrá errores al realizar
dicha medida o medidas.
Medición con cinta
Las distancias que se marcan en los planos son horizontales. Entonces en terreno se
deben medir horizontales o con datos auxiliares convertirlas a horizontales.
a. En terreno horizontal: se coloca la cinta paralela al terreno y se efectúa la medida;
si la cinta no alcanza para medir la distancia entre dos puntos se alinean desde
los dos puntos a medir y se ponen puntos intermedios para dividir la distancia en
franjas e ir midiendo dichas franjas hasta alcanzar la distancia total (los puntos
intermedios se materializan con piquetes o estacas si es en zona blanda y para zona
dura se pintan marcas en forma de cruz o por medio de puntillas). El alineamiento
de los puntos intermedios puede hacerse a ojo utilizando jalones o con hilo y
plomada o también puede emplearse el teodolito con lo que será más preciso. Se
debe tensionar la cinta y realizar la medición varias veces para su comprobación.
b. En terrenos inclinados e irregulares: se debe medir por tramos poniendo la cinta
horizontal. Se hace más práctico y se obtienen mejores resultados si se va midiendo de arriba hacia abajo donde la persona de arriba coloca el cero sobre el
punto y la persona de abajo sostiene la cinta horizontal y se lee en ella con el hilo
plomeado sobre el punto.
30
Introducción
Figura 0.2: Medición en terreno plano
Figura 0.3: Medición en terreno inclinado
31
Planimetría
Materialización de puntos
a. En zona blanda: los puntos se deben materializar con estaca y puntilla, se determina el sitio del punto, se quita la cobertura vegetal haciendo un cuadrado de unos
15 por 15 centímetros; teniendo en cuenta que el punto quede aproximadamente
en la mitad de dicho cuadrado, se clava la estaca con la tira de plástico, se clava la
puntilla en la estaca y luego se pinta la estaca.
b. En zona dura: los puntos se materializan con puntilla si van a ser puntos que
tienen una duración alta y teniendo en cuenta que sea permitido; si son solo puntos para realizar una labor y después se pueden perder, se marcan con pintura o
crayola según el caso.
Errores y equivocaciones
Los errores que se pueden cometer realizando diferentes labores en topografía tienen
diferentes fuentes como son:
Errores personales: ningún ser humano tiene sentidos perfectos de vista y tacto.
Errores instrumentales: no existen equipos o instrumentos que hayan sido construidos de manera perfecta.
Errores naturales: son ocasionados por temperatura, viento, humedad, variaciones
magnéticas entre otras.
Los errores pueden ser: los errores sistemáticos que son acumulativos y permanecen
de igual signo e igual magnitud; por ejemplo, una cinta mal patronada. Los errores
accidentales cuyo valor, magnitud y dirección son causas accidentales.
Errores en mediciones con cinta
Cinta mal patronada, cinta no horizontal, alineamiento imperfecto, cinta no recta,
variación en la tensión, mala comunicación entre el cadenero y el anotador, catenaria.
En cualquier tipo de medida que se esté realizando se recomienda hacer una estimación a ojo para verificar que la medida se parezca a la realidad; también es recomendable medir varias veces para realizar comprobación.
En mediciones con cinta si se realizan varias mediciones el valor más probable será
el promedio de dichas mediciones o media aritmética.
32
Introducción
Precisión de mediciones con cinta
Para determinar la precisión en medidas realizadas con cinta se deben tener en cuenta
las siguientes definiciones:
Error residual (v): es la diferencia entre el valor de una observación y el valor de la
media (promedio). Por lo cual cada observación tiene un error residual. La suma de
todos los errores residuales de las observaciones con su respectivo signo debe ser
igual a cero.
Error probable (r): es un error tal, que la posibilidad de cometer un error que determine una cantidad mayor a la real es igual a la posibilidad de cometer un error que
determine una cantidad menor a la real.
r = ±0.6745*
∑ v2
n −1
(0.1)
Donde
r = error probable
v = error residual
n = número de observaciones o medidas
Error probable de la media (ro)
r0 = ±0.6745*
∑ v2
n *(n − 1)
(0.2)
Donde
ro = error probable
v = error residual
n = número de observaciones o medidas
El valor más aproximado será la media ± el error probable de la media.
Precisión (P): la precisión se calcula con los valores de la media y el error probable
de la media.
1 rO
=
P X−
(0.3)
33
Planimetría
Donde:
P = Precisión
ro = Error probable
_
X = Media o promedio.
La precisión requerida en mediciones con cinta en terrenos irregulares debe ser
mayor a 5000.
Ejercicio:
1
27.726
-0.0113
0.00012769
2
27.732
-0.0053
0.00002809
X
27.7373
Error Residual (v)
Error Residual al Cuadrado (v2)
Distancia
3
27.736
-0.0013
0.00000169
4
27.740
0.0027
0.00000729
0.00007569
5
27.746
0.0087
6
27.748
0.0107
0.00011449
7
27.733
-0.0043
0.00001849
∑= 0.000
∑v2= 0.00037343
ro = 0.002
P = 13868.
La distancia sería:
27.737 +- 0.002
34
Media
_
No
Levantamiento con Cinta
Levantamiento con cinta
Definición
E
s el levantamiento topográfico (planimétrico) de un terreno, utilizando únicamente la cinta y equipo menor; con el fin de determinar el área total del terreno
y de los diferentes elementos que lo componen y poder realizar los planos correspondientes. El levantamiento con cinta es un levantamiento tradicional que se emplea
desde cuando aún no se habían inventado los instrumentos para medir ángulos.
Aplicaciones
El levantamiento con cinta se utiliza cuando se requiere de un levantamiento topográfico y no se tienen más elementos que los ya mencionados. Se debe aclarar que este
tipo de levantamientos no tienen mucha precisión y que depende directamente de la
calidad de las medidas que se tomen. Se emplea para levantamientos de baja extensión, arquitectónicos, ya que para levantamientos de grandes extensiones proporciona
baja precisión y el trabajo en campo se torna largo y dispendioso.
Conceptos básicos
La medida de distancias horizontales es uno de los principales componentes de los
trabajos planimétricos ya que las distancias que se marcan en los diferentes planos
son horizontales. Estas medidas se pueden realizar de forma directa o indirecta; aunque se obtienen mejores resultados si se hacen de forma directa.
Medición con cinta
La medición con cinta depende del tipo de terreno y de los obstáculos que se encuentren en dicho proceso.
37
Planimetría
Realizando mediciones con cinta se pueden presentar diferentes tipos de errores
como los mencionados en el capítulo anterior.
Errores personales: ningún ser humano tiene sentidos perfectos de vista y tacto.
Determinación de ángulos con cinta
Se requiere medir el ángulo que se forma en el vértice A, sobre el alineamiento AB y
desde A se mide una distancia R (puede ser cualquier distancia que depende de cada
necesidad y del tipo de terreno; entre más grande sea esa distancia se pueden obtener
mejores resultados), se marca el punto y esa misma distancia R se mide sobre el alineamiento AC; también se marca el punto, luego se mide la distancia entre los dos puntos,
distancia que para el caso se llamará C.
Figura 1.1: Medición de Ángulos con Cinta
B
R
C/2
/2
C

A
R
C
Con los datos obtenidos en campo se procede a calcular el ángulo de la siguiente
manera:
C
Sen = 2
2 R
α
α
2
38
⎡C ⎤
= Sen −1 ⎢ ⎥
⎣ 2R ⎦
Sen
α
2
=
⎡
C
2R
⎛ C ⎞⎤
⎝ 2 R ⎟⎠ ⎥⎦
α = 2* ⎢ Sen −1 ⎜
⎣
(1.1)
Levantamiento con cinta
Donde:
α = ángulo
C = cuerda
R = radio
Medición de perpendiculares con cinta
I.
Se va a determinar una perpendicular en un punto (p) del alineamiento AB, se
mide una distancia X hacia un lado y se materializa, se mide esa misma distancia X hacia el otro lado y se materializa desde los dos puntos materializados se
miden radios iguales que sean mayores X y el encuentro de los radios marcará
el punto para trazar la perpendicular al punto inicial.
II. Caso contrario al anterior; se quiere proyectar un punto (p) que caiga perpendicular al alineamiento AB: desde el punto se mide una distancia D que coincida a un
lado del alineamiento AB, se hace lo mismo hacia el otro lado del alineamiento y
en la mitad de esos dos puntos estará el punto para que se forme la perpendicular.
III. Medidas 3 y 4 en los catetos y medida de 5 en la hipotenusa (múltiplos o submúltiplos de esos valores) garantizan un ángulo recto. Se deben tener tres personas formando el triángulo con la cinta tensionada y otra que garantice que
uno de los catetos esté sobre el alineamiento.
Figura 1.2: Medición de perpendiculares con cinta
p
D
D
A
р
x
x
B
A
5
x/2
x/2
X
4
B
3
Área por figuras geométricas
Consiste en dividir el terreno en figuras geométricas, a las que se les miden los lados
y los ángulos para calcular sus áreas y así al realizar la sumatoria de áreas, se determina
el área total. La figura que más se utiliza es el triángulo debido a la facilidad de cálculo
de su área por diferentes metodologías. Se debe tratar de que las figuras geométricas se
ajusten de la mejor manera a la forma del terreno.
39
Planimetría
A continuación se describen algunas fórmulas para calcular el área de algunas figuras geométricas muy útiles en topografía.
Cuadrado
1
1
A=l*l
1
1
Rectángulo
h
A=b*h
b
Círculo
A = π * r2
r
40
Levantamiento con cinta
Triángulo
Casos frecuentes
a
b
a
H
α
b
B
A=
B*H
2
A=
c
a * b * senα
2
A = ( S ( S − a )( S − b)( S − c))
S=
a+b+c
2
Donde:
A = Área en m2 del triángulo
a, b, c son los lados del triangulo
α = Ángulo formado entre los lados a y b
Caso especial
Se conocen los siguientes datos: dos ángulos y el lado entre ellos.
φ = 180 − (α + β )
b
c
=
senβ senφ
senα =
h=
h
b
::::::
::::::
b=
c.senβ
senφ
b
h = bsenα
csenβ
senα
senφ
c*h
Area =
2

a
h

c 2 senβ senα
Area =
2 senφ

c
41
Planimetría
Trapecio
A=
b1
b1 + b2
*h
2
Donde:
A = área en m2 del trapecio
b1 = base mayor
b2 = base menor
h = altura
b2
h
Fórmula de los trapecios
Se tiene una zona o terreno dividida por cierto número de trapecios todos con la
misma h.
AT = Área Total
AT = A1 + A2 + A3 + A4
A1 =
h
*(a + b)
2
AT =
42
A2 =
h
*(b + c)
2
h
(a + 2b + 2c + 2d + e)
2
A3 =
AT = h(
h
*(c + d )
2
d
c
b
a
e
A1
A2
A2
A2
h
h
h
h
A4 =
a+e
+ b + c + d)
2
h
*(d + e)
2
Levantamiento con cinta
Fórmula de Simpson
Δ1
Y1
Δ2
Y2
h
Y3
h
Área Total = área del trapecio + área del segmento de parábola
ÁreaTrapecio =
Y1 + Y3
* 2h , que al multiplicar y dividir por 3 queda:
2
AreaTrapecio =
h
(3Y1 + 3Y3 )
3
(1)
(2)
El área de un segmento de parábola es 4/3 del área del triángulo; con las mismas
bases y vértices.
Area Δ1 = (Y2 − Y1 ) *
h
2
Area Δ 2 = (Y2 − Y3 ) *
h
2
AreaΔ = AreaΔ1 + AreaΔ2
h
h
Area Δ = (Y2 − Y1 ) * + (Y2 − Y3 ) *
2
2
Area Δ =
h
(2Y2 − Y1 − Y3 )
2
43
Planimetría
Luego el área del segmento de parábola es:
4 ⎡h
2h
⎤
h
(2Y2 − Y1 − Y3 ) ⎥ =
(2Y2 − Y1 − Y3 ) = (4Y2 − 2Y1 − 2Y3 )
3 ⎢⎣ 2
⎦
3
3
(3)
Al reemplazar (2) y (3) en (1) se tendrá:
Area.Total =
h
(Y1 + Y3 + 4Y2 )`
3
Generalizando:
h
Area.Total = (Y1 + Yn + 2Yimpares + 4Ypares )
3
Metodología
En campo
Si el terreno tiene forma regular se divide en figuras geométricas, con el fin de que en
campo se midan sus ángulos y dimensiones necesarias para poder calcular el área y realizar la representación correspondiente en un plano. Si el terreno no tiene una forma
regular –este caso es el que más se presenta–, se traza un polígono que abarque la mayor
parte del terreno o que siga de manera mas cercana la forma del terreno –en campo se
materializan los vértices de dicho polígono–, lo que este por fuera o por dentro del terreno se toma por el método de izquierdas o derechas que consiste en medir las distancias
–líneas perpendiculares– desde los puntos del terreno al polígono trazado.
Se recomienda medir las distancias varias veces para corroborar que las medidas
están adecuadamente realizadas.
Para calcular el área total del terreno se calcula el área del polígono y las áreas que se
generaron con las perpendiculares, se sumarán o restarán según sea el caso
En oficina
Según los datos obtenidos en campo, se calcula el área del polígono; para lo cual se
deben promediar las distancias –se recomienda medir las distancias varias veces para
corroborar que las medidas están adecuadamente realizadas– y corregir los ángulos de
44
Levantamiento con cinta
acuerdo a la sumatoria teórica del polígono efectuado. Luego, de acuerdo a las figuras
geométricas que se formaron en la toma de izquierdas y derechas, se realiza el cálculo
de cada una de ellas, para que finalmente se pueda determinar el área total del terreno
sumando o restando las áreas individuales al área del polígono según el caso.
Ejemplo práctico
Cartera de campo
Av. Troncal
D.1
D.2
Z. Verde
3
1
Z. Dura
D.4
4
Z. Anden
2
8
5
6
7
D.5
D.3
45
Planimetría
Levantamiento topográfico con cinta
Fecha:
Lugar:
Comisión:
Topógrafo:
Anotador:
Auxiliares:
Equipo:
Cinta métrica No.
.
.
Radio
D.1
D.5
10.000
Cuerda
Distancias
49.316
49.310
13.140
D.2
D.2
10.000
67.619
67-621
D.1
15.000
67.618
67.616
24.668
D.3
D.3
15.000
42.208
42.222
D.2
8.000
42.205
42.213
6.519
D.4
D.4
8.000
42.933
42.930
D.3
10.000
42.927
42.930
17.646
D.5
D.5
10.000
43.588
43.585
D.4
11.000
43.586
43.588
D.1
11.000
49.317
49.315
Derecha
Observaciones
11.485
Levantamiento topográfico con cinta
.
.
D.1
D.2
D.2
46
Distancia
Izquierda
1
33.402
11.438
Circunferencia
2
42.477
23.934
Al. D.4
3
56.677
4.118
Z. dura
3
0.000
11.691
Z. verde
4
10.000
11.258
Z. verde
5
20.000
12.210
Z. verde
6
30.000
11.499
Z. verde
D.3
7
31.724
11.961
Z. verde
8
13.544
31.961
Al D.4
Levantamiento con cinta
Carteras de cálculo
Cálculo de ángulos
Fórmula
⎡
Tabla 1.1 Cálculo de ángulos
⎛ C ⎞⎤
⎝ 2 R ⎟⎠ ⎥⎦
α = 2* ⎢ Sen −1 ⎜
⎣
Ángulo No
Valor
1
82º 08’ 35”
2
110º 37’ 29”
3
48º 05’ 17”
4
123º 50’ 32”
5
62º 56’ 21”
• Los ángulos se aproximan al segundo
El ángulo cuatro es externo del polígono; el interno será el congruente 360 - 123º 50
32” = 236º 09 28”
Corrección de ángulos
Tabla 1.2 Corrección de ángulos
Angulo No
Valor
Corrección
1
82º 08’ 35”
0º 00’ 34”
Ángulo Corregido
82º 0909”
2
110º 37’ 29”
0º 00’ 34”
110º 38 03”
3
48º 05’ 17”
0º 00’ 34”
48º 05 51”
4
236º 09’ 28”
0º 00’ 34”
236º 10 02”
5
62º 56’ 21”
0º 00’ 34”
62º 56 55”
El ángulo 4 corregido será 360 - 236º 10’ 02” = 123º 49’ 58”
∑ Teórica = (n-2)* 180= 540°
La sumatoria teórica de los ángulos internos de un polígono = (n-2)*180 donde n es el
numero de ángulos. La explicación de esta fórmula está en que si se divide en triángulos un polígono se van a formar siempre (n-2) triángulos y la sumatoria de los ángulos
internos de un triangulo es igual a 180°.
Por lo anterior, la sumatoria teórica de los ángulos externos de un polígono es
360n – ((n-2)*180)) = (n+2)*180
∑ Observada = 539º 57’ 10”
Error = ∑ Teórica - ∑ Observada = 0º 02’ 50”
Error máximo permisible 10’ por ángulo (para este ejemplo 0º 50’ 00”
Corrección = Error / n = 0º00’ 34”
47
Planimetría
Cálculo de áreas
Promedio de distancias
Tabla 1.3 Promedio de distancias
Δ
◙
1
2
67.619
2
3
42.212
Distancia
3
4
42.930
4
5
43.587
5
1
49.315
Cálculo de áreas
Área total del terreno = área polígono
Figura 1.3 Cálculo de área
b
D1
D2
2
h
D4

b

D5
48
b
3
1
a
4
a

D3
Levantamiento con cinta
Tabla 1.4 Cálculo de área del polígono
No
Figura
Elementos
Resultado (m 2 )
Fórmula
1
D5-D1 = 49.415
Triángulo
D5-D4 = 43.587
A = (a*b*sen)/2
=62º 5655”
2
D1-D2= 67.619
Triángulo
h = 23.934
A = b*h/2
3
D3-D2 = 42.212
Triángulo
D3-D4 = 42.930
674.380
957.168
809.197
 =48º 05 51”
A = (a*b*sen)/2
4
Triángulo
D4-D3 = 42.930
D4-D5 = 43.587
=123º 49 58”
A = (a*b*sen)/2
777.167
Total
3217.912
Área de zona dura
Tabla 1.5 Cálculo del área de la zona dura
No
Elementos
Resultado (m 2 )
Fórmula
1
Triángulo
b = 10.942
h = 4.118
A = (b*h)/2
22.530
2
Trapecios
unidos con
igual (h)
h = 10.000
a = 11.691
b = 11.258
c = 12.210
d = 11.499
A = (a+2b+2c+d)*h/2
350.630
3
Trapecio
b1= 11.499
b2 = 11.961
A = (b1+b2)*h/2
20.223
h = 1.724
4
Triángulo
b = 10.488
h = 11.961
A =(b*h)/2
62.723
5
Círculo
r = 11.438
A = ∏*r
411.008
Total
867.114
Área de anden = igual al triángulo (4) = 777.167 m2
Área de zona verde = área total – área zona dura – área anden
Area ZV = 3217.912m2 – 867.114m2 – 777.167m2 = 1573.631m2
La realización del plano se explica en el capítulo 15 “Dibujo topográfico”
49
Planimetría
Ejercicios planteados
D.1
2
4
D.2
1
3
5
6
12
11
D.4
7
9
8
10
D.3
Convenciones
Zona verde
Escaleras
50
Levantamiento con cinta
Levantamiento topográfico con cinta
Fecha:
Lugar:
Comisión:
Topógrafo:
Anotador:
Auxiliares:
Equipo:
Cinta métrica No. 2
.
.
Distancia
Radio
D.1
D.4
7.624
3.000
D.2
9.472
3.000
D.1
9.470
3.000
D.3
10.049
3.000
D.2
10.047
3.000
D.4
9.942
3.000
D.3
9.945
3.000
D.1
7.627
8.000
Cuerda
Observaciones
4.2A8
D.2
4.17B
D.3
3.5C7
D.4
4.890
Detalles
.
.
D.1
D.2
Distancia
Radio
Cuerda
Observaciones
1
1.824
1.4AB
Limite
2
2.8CD
0.874
Límite
3
4.25B
1.67A
Límite
4
5.9C3
0.7D2
Límite
5
7.34A
1.22B
Límite
51
Planimetría
Cálculo y ajuste de los ángulos
DELTA
PUNTO
RADIO
ÁNGULO
CORRECCIÓN
ÁNG. CORR.
52
CUERDA
Levantamiento con cinta
Cálculo del área por figuras geométricas
No.
FIGURA
ELEMENTOS
FÓRMULA
RESULTADO
ÁREA PARCIAL
ÁREA TOTAL
53
Planimetría
Cálculo del área por figuras geométricas
No.
FIGURA
ELEMENTOS
FÓRMULA
RESULTADO
ÁREA PARCIAL
ÁREA TOTAL
54
Levantamiento con cinta y brújula
Levantamiento con cinta y brújula
Definición
E
ste levantamiento es utilizado para levantamientos de poca extensión, similar al
levantamiento con cinta. La diferencia es que los ángulos son tomados con apoyo
de la brújula.
Aplicaciones
Levantamientos catastrales, levantamientos preliminares.
Conceptos básicos
Ángulo
Por definición un ángulo es la abertura entre dos líneas que se cortan, este ángulo
está compuesto por línea de referencia, sentido y amplitud, según como se indica en
la gráfica 2.1
Figura 2.1: Elementos de un ángulo
Línea de Referencia
S e nt i d
Ampli
o
tu d
57
Planimetría
En topografía estos elementos corresponden a:
4. Línea de referencia: es la norte que puede ser de tres tipos: real, magnética y arbitraria
5. Sentido: regularmente se toma el sentido de las manecillas del reloj.
6. Amplitud: es el valor angular que en este caso se puede tomar como rumbo o
azimut.
Azimut y rumbo
En Topografía se considera la nomenclatura de los cuadrantes de la siguiente manera,
ya que el cero está en sentido hacia la norte, ver Figura 2.2
Figura 2.2: Numeración de los cuadrantes
N
IV
III
I
II
Rumbo: es el ángulo comprendido entre cada uno de los cuatro cuadrantes, medido
desde la línea Norte-Sur, el valor angular está entre 0º y 90º y la nomenclatura corresponde a letras del cuadrante y en el centro el valor del ángulo, colocando primero la
letra de la dirección Norte o Sur y luego la de Este–Oeste.
58
Levantamiento con cinta y brújula
Figura 2.3: Rumbo
N
θ
W
θ
IV
I
III
II
θ
E
θ
S
Para el primer cuadrante el rumbo sería N θ E, para el segundo S θ E, para el tercero
S θ W y para el cuarto N θ W.
Azimut: es una dirección medida partir de la línea norte, su valor esta entre 0º y
360º, la nomenclatura corresponde solo el valor angular.
Figura 2.4: Azimut
0°
N
θ
θ
θ
270°
IV
I
III
II
90°
θ
180°
59
Planimetría
Brújula
Es un instrumento utilizado por muchos profesionales para encontrar direcciones por
medio de los polos magnéticos, antes del teodolito los topógrafos la utilizaban para medir
ángulos. La brújula consta básicamente de una caja con un círculo graduado para medir rumbos magnéticos o azimutes magnéticos. La cual contiene una aguja de acero
magnetizada montada sobre un pivote, la aguja de la brújula se alinea con el norte
magnético. Para medir una dirección con la brújula se instala la brújula en un extremo
de la línea, se libera el seguro de la aguja y se dirige la visual hacia el otro extremo de
la línea; antes de tomar la lectura se debe verificar que la brújula se encuentre nivelada.
La brújula se usa para levantamientos de poca precisión o para verificar levantamientos ya realizados.
Figura 2.5: Brújula
Fuente: elaboración propia
Declinación magnética
Es el ángulo que forma el meridiano magnético con el meridiano verdadero. Para
cada punto de la tierra tiene un valor diferente y variable ya que el norte magnético
varía inexplicablemente por cambios en los campos magnéticos de la tierra. Varía
60
Levantamiento con cinta y brújula
en una dirección y luego en otra, en un periodo de 160 años realiza el ciclo completo
conocido como variación secular. También existen variaciones anuales y variaciones
diarias que son cambios despreciables teniendo en cuenta la precisión de las lecturas
de la brújula. La declinación puede ser E o W de acuerdo hacia dónde se desvie la
aguja con respecto a los polos geográficos de la tierra.
Inclinación magnética
Debido a la atracción que ejercen los polos sobre la aguja, esta tiende a inclinarse y
no mantenerse horizontal. Dicho grado de inclinación es la inclinación magnética.
Las brújulas corrigen esa inclinación por medo de contrapesos que son bobinas de
alambre de cobre que se ubican en el otro extremo de polo, según el hemisferio donde se encuentre el aparato. Si se está en el hemisferio norte el contrapeso estará en el
extremo sur de la aguja.
Atracción local
La dirección que toma la aguja se ve alterada por otras fuerzas magnéticas diferentes al
campo magnético terrestre –objetos metálicos, de hierro, acero, corrientes eléctricas y
otros metales–, si esas fuerzas son muy grandes no será posible utilizar la brújula adecuadamente. Todas las direcciones tomadas desde un mismo punto estarán afectadas
por la misma atracción local. Para eliminar la atracción local se toman las direcciones
con la brújula de una línea en cada extremo y la diferencia en valores de azimut debe
ser 180º.
Metodología
En campo
• Reconocimiento del terreno: como primer paso se debe recocer la totalidad del
terreno y hacer el gráfico correspondiente, actividad que se convierte en la principal del trabajo, ya que este gráfico servirá de base para todo el proceso del levantamiento, tanto en campo como en oficina.
• Trazo del polígono base: se debe trazar y materializar un polígono que inscriba
la mayor parte del terreno a levantar. Para minimizar la toma de detalles se debe
trazar utilizando la mayor cantidad de linderos del terreno.
61
Planimetría
• Toma de azimut y distancias del polígono: con el polígono materializado siguiendo
el mismo procedimiento descrito en el capítulo anterior se miden cada una de
las distancias del polígono, y con ayuda de la brújula se toman los azimutes o
rumbos, de acuerdo al tipo de brújula, armándose sobre cada uno de los deltas y
visar los deltas anterior y siguiente, la visual se puede dar con los jalones y cerca
a la brújula evitar equipos o elementos que puedan generar campo magnético.
• Toma de detalles: los detalles adicionales, ya sea para completar el área total o
para georreferenciar detalles puntuales, como árboles, postes, entre otros, se toman por el método de izquierdas y derechas, metodología descrita en el capítulo
anterior.
En oficina
• Cálculo y ajuste de los ángulos internos: con base en los azimutes se determinan
los ángulos internos, y de acuerdo a la sumatoria teórica se determina el error y la
corrección para cada ángulo asignándole el mismo peso a cada ángulo.
• Determinación de la atracción local: con base en los azimutes tomados en campo,
y determinando los azimutes calculados, se determina la atracción que es la diferencia entre los azimutes de campo y los calculados.
• Ajuste de los azimutes del polígono: con base en la línea de menor atracción local
y los ángulos internos corregidos, se determinan los azimutes corregidos o ajustados de las demás líneas del polígono.
• Área por figuras geométricas: con base en el polígono ajustado y los datos de izquierdas y derechas determinar las áreas parciales y las áreas totales.
62
Levantamiento con cinta y brújula
Ejemplo práctico
Cartera de campo
ida
Aven
Circunvalar
4
2
Z. verde
3
5
N
1
Z. dura
D.1.
D.2.
8
10
7
D.3.
9
6
0,5
D.4.
Entrada parqueadero
63
Planimetría
Levantamiento topográfico con cinta
Fecha:
Lugar:
Comisión:
Topógrafo:
Anotador:
Auxiliares:
Instrumento:
.
D.1
D.2
D.3
Cinta No.
.
Distancia
Azimut
225
D.5
42.560
D.2
60.000
93
D.1
60.000
270
D.3
31.135
138
D.2
31.130
320
D.4
30.693
252
D.4
D.3
30.685
76
D.5
81.658
272
D.5
D.4
81.640
91
D.1
42.565
43
Observaciones
Levantamiento topográfico con cinta y brújula
.
.
D.1
D.2
D.2
D.4
10
64
Distancia
Izquierda
Derecha
Observaciones
1
10.569
12.201
Lindero
2
20.569
13.913
Lindero
3
30.569
15.900
Lindero
4
40.569
16.422
Lindero
5
50.569
10.565
Lindero
6
51.920
33.789
7
7.205
8.388
Borde
8
7.205
15.032
Centro
9
15.898
10.496
Z. dura
72.446
7.34A
Al. V. D.4
D.3
D.5
10.496
Z. dura
Límite
Descargar