Diseño de sistemas ópticos para comunicaciones de alta capacidad

Pharos
ISSN: 0717-1307
lfuenzal@uamericas.cl
Universidad de Las Américas
Chile
Blanco V., Carlos
Diseño de sistemas ópticos para comunicaciones de alta capacidad (primera parte)
Pharos, vol. 11, núm. 2, noviembre-diciembre, 2004, pp. 37-50
Universidad de Las Américas
Santiago, Chile
Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=20811205
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t
37
DISEÑO DE SISTEMAS OPTICOS PARA
COMUNICACIONES DE ALTA CAPACIDAD
(Primera Parte).
Design of optical communication systems of high capacity
(First Part).
Carlos Blanco V. *
PALABRAS CLAVE
Telecomunicaciones
Redes Opticas
Diseño
Tasa de ErRor de Bits
KEY WORDS
Telecommunications
Optical Networks
Design
Bits Error Rate
ABSTRACT.
RESUMEN.
The first part of this article provides the
mathematical and statistical tools required to
design and implement high capacity
telecommunication optical networks. The
concept of BER (Bit Error Rate) is introduced
first as a key parameter to gauge quality in
digital communications. Based on a Gaussian
distribution model of noise, the BER parameter
is then computed when reception is made in
noisy environments. A threshold to optimally
bias optical detectors is then computed and
a new function Q is defined related to BER.
The second part of the article will use this Q
function to design long haul high capacity
optical communication systems.
La primera parte de este artículo presenta las
herramientas matemáticas y estadísticas
requeridas en el diseño e implementación de
redes ópticas para comunicaciones de alta
capacidad. El concepto de BER (tasa de error de
bits) es incorporado primeramente como
parámetro clave para calificar la calidad en las
comunicaciones digitales. Con base en un
modelo de distribución gausiana del ruido, el
parámetro BER es entonces computado cuando
la recepción acontece en ambiente ruidoso. Se
computa entonces un umbral óptimo para
polarizar el detector y es definida una nueva
función Q relacionada con el BER. La segunda
parte del presente artículo utilizará esta función
Q para diseñar sistemas de comunicación óptica
de alta capacidad y largo alcance.
PHAROS, v.11.n.2, Noviembre-Diciembre 2004.
INTRODUCCION.
Los sistemas de Comunicaciones Ópticas se han convertido hoy día en los medios
universales de transmisión de información utilizando un medio guiado (fibra óptica).
Su interés, entre otros, está en su alta capacidad de transmisión, inmunidad a
las interferencias electromagnéticas y perfecta adaptación a los procedimientos
digitales modernos de envío de información.
Ante el enorme ancho de banda potencial de las fibras ópticas, siempre se ha
tenido un gran interés por explotar su capacidad al máximo, y, desde ese punto de
vista, la evolución de los sistemas se ha realizado en dos direcciones diferentes:
- Aumentando la velocidad (tasa binaria) en la modulación TDM de los
multiplexadores de la jerarquía digital síncrona SDH.
- Utilizando multiplexación en longitud de onda WDM dentro de cada una de las
fibras usadas para la transmisión.
En el primer caso las velocidades que se utilizan hoy día para los sistemas de
transporte de alta capacidad alcanzan ya los 10 Gbits/seg., estando a punto de
introducirse los sistemas de 40 Gbits/seg.
En el segundo caso hoy día se está usando multiplexaciones de 64 y 128
longitudes de onda por cada par de fibras.
La capacidad total de un sistema se potencia de esta forma expandiendo
ambas prestaciones hasta velocidades de 128 x 40 Gbits/seg. es decir 5120
Gbits/seg. por cada par de fibras.
Los tres problemas tradicionales asociados a las transmisiones ópticas han sido:
- debilitamiento de la señal con la distancia por la atenuación propia de la fibra y
los empalmes.
- deformación de la señal por dispersiones (fundamentalmente por la dispersión
cromática de la fibra).
- enmascaramiento de la débil señal óptica a la llegada al detector por los diferentes
tipos de ruido generados en el sistema.
DISEÑO DE SISTEMAS ...
t
39
La dispersión puede corregirse cada cierta distancia usando fibras compensadoras
de dispersión. Sin embargo el ruido generado por los amplificadores ópticos (ruido
de emisión espontánea), el ruido térmico en los componentes electrónicos y el ruido
de los amplificadores eléctricos (figura de ruido) no pueden eliminarse, lo que se
traduce en la aparición de errores en las señales digitales durante el proceso de
detección. El nivel de la tasa de errores durante la transmisión se caracteriza con un
parámetro denominado BER (Bit Error Rate).
CONCEPTO DE BER.
En los sistemas digitales de transmisión el concepto de BER tiene tres
acepciones que son equivalentes entre si:
a.- Relación entre el número de bits erróneos recibidos y el número de bits
transmitidos
BER=
[BER
p(0 =/ 1[)p] (1 / 0)]
Nº de bits erróneos recibidos
Nº de bits transmitidos
b.-Número de errores ocurridos durante la transmisión de un bit.
c.- Probabilidad de que se reciba un bit erróneo cuando se ha recibido un cierto
número de bits.
Una forma de expresarlo sería
BER= [ p (0 / 1)]
donde
ó
representaría la probabilidad de recibir un cero cuando en realidad
se ha transmitido un uno; y [ p(1 / 0)] representaría la probabilidad de recibir un uno
cuando en realidad se ha transmitido un cero.
FORMA ESTADÍSTICA DE LLEGADA DE LA INFORMACIÓN.
PHAROS, v.11.n.2, Noviembre-Diciembre 2004.
Se puede comprobar que la llegada aleatoria de fotones en cada bit sigue
aceptablemente una distribución estadística de tipo Poisson.
Este carácter aleatorio en la llegada de fotones origina, a su turno, a una generación
de electrones en el detector que se traducirá en una corriente que variará aleatoriamente
en torno a un valor medio con una distribución de tipo Gaussiano.
Nuestro objetivo es analizar estas distribuciones estadísticas y explicitarlas en una
forma útil para el cálculo del BER en sistemas de comunicación óptica.
En el proceso aleatorio de llegada de fotones al detector supongamos que la tasa
media de llegada sea de N fotones /bit.
Como sabemos por Mecánica Cuántica, cada fotón tiene una energía asociada
a su frecuencia que viene dada por la expresión
W = hf = h
c
λ
donde h = Constante de Plank = 6.626 x 10-34 Joule-seg
c= velocidad de la luz = 3 x 108 m/seg
ë = longitud de onda asociada al fotón .
Por lo tanto la energía media que llegará por bit será
Nh
c
λ
y suponiendo que la duración de un bit es τ seg (intervalo de bit), la potencia media
que llega por bit será
El intervalo de bit viene relacionado con la tasa binaria B del sistema por la
1
c
DISEÑO DE SISTEMAS ...
N=
t
41
Pλ
hcB
Como hemos indicado anteriormente, la llegada de fotones al detector sigue
una distribución estadística de Poisson; y en esta distribución la probabilidad de
que haya un cierto número de llegadas k en un intervalo T viene dada por la
expresión
p ( k ) = ( λT ) k
e − λT
k!
donde k = número de llegadas en el intervalo T
ë = tasa media de llegadas /seg
a) Esta expresión permitirá calcular en nuestro caso cuál será la probabilidad de
que lleguen uno o más fotones en el intervalo de bit cuando la tasa media de llegada
sea de N fotones/seg.
Para ello sólo tendremos que reemplazar en la fórmula anterior ë por N y T por
1, ya que estamos considerando un intervalo de 1 bit
p (k ) = ( N ∗1) k
e − N •1
k!
Si estamos suponiendo que llega un bit 1 al detector, la probabilidad de que no
llegue ningún fotón, y que por tanto el detector interprete la llegada como un bit cero,
podrá calcularse en la expresión anterior dando a k el valor 0.
p (0 ) = ( N ) 0
e− N
= e−N
0!
Pero eso precisamente es lo que hemos llamado BER, probabilidad de error de
que se detecte un bit cero (no llegadas de fotones) cuando en realidad ha llegado un
bit uno.
PHAROS, v.11.n.2, Noviembre-Diciembre 2004.
Si suponemos un detector ideal en el que no exista ruido, y por lo tanto no haya
generación espontánea de fotones, la llegada de un cero en una estadística Poisson
corresponderá a una tasa de llegada de fotones N= 0 fotones/seg.
La probabilidad de que en esas condiciones lleguen uno o más fotones en el
intervalo de un bit y por tanto el detector pueda interpretar que ha llegado un uno es
p (k ) = (0 ∗1) k
e −0•1
=0
k!
es decir
[ p(1 / 0)] = 0
Como cualquiera de estas dos situaciones da origen a un error podremos poner
BER = [ p (0 / 1)] = e − N
BER = [ p(1 / 0)] = 0
Y dado que son dos sucesos independientes, la probabilidad conjunta será la
suma de ambas probabilidades
2 ∗ BER = [ p (0 / 1)] + [ p (1 / 0)] = e − N
BER =
1 −N
e
2
Desde un punto de vista de Telecomunicaciones, lo que generalmente nos interesará será calcular la potencia mínima que ha de llegar a un detector como el que
estamos considerando, para que la tasa de errores sea de un BER dado.
De la expresión anterior
− N = ln(2 ∗ BER ) = −
Pr λ
hcB
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43
consecuencia se le denomina límite cuántico.
RECEPCIÓN CON RUIDO.
En un caso general, la llegada de potencia óptica a un detector se verá contaminada con el ruido que surja en el proceso de recepción. La potencia óptica recibida
será convertida por el fotodetector en corriente eléctrica. Esta corriente tendrá una
componente media debida a la señal y otra componente aleatoria generada por el
ruido del propio detector (ruido de disparo), o por el ruido de la resistencia de
carga del detector (ruido térmico).
Esta corriente total aleatoria responde aceptablemente, como ya se ha indicado,
a una distribución de tipo Gaussiano en torno a un valor medio de señal y un ruido
de varianza ó2.
Debido a la presencia de ruido, el receptor puede ejercer decisiones erróneas,
interpretando como 1’s los que fueron enviados como 0’s y viceversa.
Supongamos que a la llegada de un 1 llamamos
corriente media de señal
I1
varianza de ruido
σ 12
Supongamos, igualmente, que a la llegada de un cero llamamos
corriente media de señal
I0
varianza de ruido
σ 02
Ante la llegada de información en forma digital, el detector deberá tomar una
decisión acerca del nivel recibido, muestreando cada bit a mitad del intervalo. Para
ello utiliza un valor umbral de corriente. Si la corriente recibida está por encima del
nivel umbral decidirá que se ha recibido un uno. Si está por debajo del umbral
decidirá cero.
Debido al carácter aleatorio de la variación de la corriente, puede suceder que
se detecte una corriente por debajo del umbral (decisión 0) cuando en realidad se
PHAROS, v.11.n.2, Noviembre-Diciembre 2004.
Nuestro objetivo es establecer las funciones necesarias para el cálculo del BER
basadas en la distribución Gaussiana de densidad de probabilidad de la corriente
aleatoria recibida.
La distribución Gaussiana tiene la siguiente expresión para la función densidad de
probabilidad
−
e
f ( x) =
( x −a )2
2σ 2
σ 2π
y la siguiente para la función de probabilidad (probabilidad acumulada)
−
F (λ ) = ∫
e
λ
σ =
2
2σ 2
σ 2π
−∞
donde: a =
( x −a )2
dx
valor medio de la distribución
varianza de la distribución
De acuerdo con esto, la probabilidad de que la variable aleatoria esté situada por
debajo de un valor determinado x0 será
−
Pr o( x ≤ x0 ) = F ( x0 ) = ∫
x0
−∞
( x − a )2
1
2
dx = 1 +
2
σ 2π
π
e
2σ 2
∫
x0 −a
σ 2
0
 1
2
x −a
e− y dy  = 1 + erf 0

σ 2
 2
donde definimos
erf (u ) =
2
π
∫
u
0
2
e− y dy
Si queremos calcular la probabilidad de que la variable se encuentre por encima
de un valor dado x tendremos
t
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45
Si ahora definimos
∞
2
1
e− y dy
∫
x
2π
sencillas manipulaciones algebraicas nos conducirán a que
Q( x ) =
1
x 
Q( x0 ) = 1 − erf 0 
2
2
Esta función viene tabulada en los manuales matemáticos para los valores más
usados de la variable. Sin embargo existen algunas aproximaciones que permiten su
cálculo analítico.
Así por ejemplo para z > 3 se puede usar la siguiente expresión
z2
−
1
Q( z ) =
e 2
z 2π
Otra aproximación para z > 0 es: (con un error absoluto menor que 0.27%)

 1 −z
1

Q( z ) = 
e 2
 (1 − 0.339) z + 0.339 z 2 + 5.510  2π


2
CÁLCULO DEL BER EN DETECTORES CON RUIDO.
Este análisis requiere estudiar estadísticamente las dos condiciones que pueden
presentarse en la recepción de una transmisión digital.
1. Supondremos primero que se ha transmitido un uno digital y que el detector
genera una corriente con un nivel medio de señal I1 y una varianza de ruido σ 12
El circuito decisor medirá el nivel de intensidad a mitad de intervalo de bit
comparándolo con un nivel umbral Ith , que estará situado por debajo de I1. Debido
PHAROS, v.11.n.2, Noviembre-Diciembre 2004.
Ya que estamos interesados en determinar la probabilidad (BER) de que se
produzca esta situación, podremos hacerlo calculando cuál es la probabilidad de que
el valor de la variable aleatoria esté por debajo del nivel umbral.
−
Pr o [ 0 /1] = Pr o ( x ≤ I th ) = ∫
( x − I1 ) 2
I th
e
−∞
σ1
−
2σ 12
( x − I1 ) 2
I1
1
e 2σ 1
dx = − ∫
dx =
I th
2
2π
σ 1 2π
2
2
I −I 
I −I 
1
e− y dy = 1 − erf 1 th  = Q  1 th 
0
2
σ1 2 
 σ1 
2.- Supongamos ahora que se ha transmitido un cero digital, y que el detector genera
=
1 1 2
−
2 2 π
∫
I1 − I th
σ1 2
una corriente con un nivel medio de señal I0 y una varianza de ruido σ 02 . Debido
nuevamente al carácter aleatorio de la corriente, ésta puede ahora encontrarse por
encima del nivel umbral, y el detector puede decidir uno cuando en realidad se
transmitió cero.
La probabilidad de ocurrencia de esta segunda situación podemos de nuevo
hallarla calculando la probabilidad de que la variable se encuentre por encima del
valor umbral Ith. , que en este caso estará situado por encima de I0.
Pr o[1 / 0] = Pr o( x ≥ I th ) = 1 − F (I th )
−
F ( I th ) = ∫
( x − I 0 )2
2σ 02
Ith
e
−∞
σ 0 2π
P[1 / 0] = 1 −
dx =
1 1 2
+
2 2 π
∫
Ith − I0
σ0 2
0
2
e− y dy =
1 1
+ erf
2 2
 Ith − I 0 


 σ0 2 
I −I  1 1
I −I 
1 1
− erf  th 0  = − erf  th 0 
2 2
 σ0 2  2 2
 σ0 2 
es decir
I −I 
P[1 / 0] = Q th 0 
 σ0 
La ocurrencia de cualquiera de las dos situaciones analizadas da origen a error,
y como ambas son independientes, sus probabilidades pueden sumarse. Cada una
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en consecuencia
BER =
1
1
1 I −I  1 I −I 
P[1 / 0] + P[0 / 1] = Q th 0  + Q 1 th 
2
2
2  σ 0  2  σ1 
OPTIMIZACIÓN DEL UMBRAL.
Como vemos, el BER depende de donde situemos el umbral Ith. Una consideración interesante es si existe un valor del umbral que optimice la dependencia BER
del umbral. O, en otras palabras, si existe un umbral que minimice el BER obtenido
en la detección.
Eso sería equivalente a determinar cual sería el valor de Ith tal que
∂ (BER )
=0
∂I th
Eso sería equivalente a calcular
1
2 2π
y2
∂  ∞
 ∂
−
2

dy 

I1 − I th 0 e
∫
 ∂I
 ∂y  σ 1
 th 0
 I1 − I th 0 

 +
 σ 1 
1
2 2π
y2
∂  ∞
 ∂
−
2



e
dy
I
−
I
∫ th 0 0
 ∂I
 ∂y  σ 0
 th 0
 I th 0 − I 0 

 = 0
σ
0


1
σ1
−
( I1 − I th 0 )2
e
2σ 12
=
1
σ0
−
( I th 0 − I 0 )2
e
2σ 0 2
(I th 0 − I 0 )2 − (I1 − I th 0 )2
2σ 0
2
2σ 1
2
= ln
σ1
σ0
Esta ecuación puede resolverse fácilmente en Ith. Si en la solución obtenida
hacemos la suposición de que la diferencia entre los niveles de señal del 1 y el 0 digital
sea mayor que la diferencia de las varianzas de ruido, es decir
PHAROS, v.11.n.2, Noviembre-Diciembre 2004.
I th 0 =
I1σ 0 + I 0σ 1
σ1 +σ 0
De acuerdo con esto y cuando el decisor opere en la base de umbral óptimo, la
expresión del BER será
1 I −I  1 I −I 
BER(I th 0 ) = Q th 0 0  + Q 1 th 0 
2  σ 0  2  σ1 
que después de sencillas manipulaciones algebraicas nos conduce a
 I −I 
BER(I th 0 ) = Q 1 0 
 σ1 + σ 0 
Para el caso relativamente frecuente en que I1 e I0 sean muy débiles, puede
demostrarse que
σ1 = σ 0
En cuyo caso la corriente umbral óptima puede expresarse por
I1 + I 0
2
Esta expresión facilita mucho el diseño del circuito decisor ya que es muy sencillo
diseñar un dispositivo con ese nivel de umbral.
I th =
La expresión del BER queda entonces
I −I 
BER = Q 1 0 
 2σ 1 
Debe observarse que el nivel umbral Ith depende del valor del nivel medio de
señal I1, y en una transmisión digital esto depende del número de 1’s seguidos que se
estén transmitiendo. Esto obliga a utilizar códigos de línea en los que no haya una
gran número seguido de 1’s en la señal.
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puestos que hemos analizado, es una relación de dos corrientes
I1 e I0 como corrientes de señal
σ 1 y σ 0 como corrientes de ruido
Por lo tanto, sea en el caso general del umbral óptimo o el caso particular del
umbral de señales débiles
γ1 =
I1 − I 0
σ1 + σ 0
I1 − I 0
ó γ 2 = 2σ
1
el parámetro ã es una relación señal a ruido.
En general
 señal 
BER = Q (γ ) = Q 

 ruido 
bien entendido que esa es una relación de corrientes.
γ 
1
BER =Q(γ ) = 1 − erf

2
2  Lo más frecuente en Telecomunicaciones es resolver el problema inverso, es decir
calcular la relación señal a ruido más pequeña que puede llegar a un detector para
obtener una determinada probabilidad de error BER.
Dado que
y suponiendo que ã > 3 podremos poner
−
BER =
γ2
1 e 2
2 γ π
2
De donde podremos obtener
γ = 2 ln
1
PHAROS, v.11.n.2, Noviembre-Diciembre 2004.
Por ejemplo para BER = 10-12 se obtiene el valor de ã = 7.03 después de solo
cuatro reiteraciones.
Las funciones obtenidas hasta aquí de la expresión del BER nos permitirán, en un
futuro artículo, abordar el diseño de sistemas digitales de comunicación óptica de gran
capacidad y velocidades de transmisión elevadas.