Teresa Pé Pérez Dí Díaz Profesora de matemá matemática Cuerpos Geométricos Los cuerpos geométricos están limitados por superficies planas (Poliedros) o curvas (Redondos) y, a diferencia de las figuras geométricas, poseen volumen. Redondos Poliedros Poliedros Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos. Poliedros Los poliedros pueden ser convexos y cóncavos. Un cuerpo geométrico se dice convexo si, dados dos puntos cualesquiera que pertenezcan a él , el segmento que los une, está completamente contenido en el cuerpo Poliedros Poliedros cóncavos Elementos de los poliedros Caras: Polígonos que limitan el poliedro. Las caras que tienen lados comunes con las bases son las caras laterales. La cara en la que se apoya el poliedro y su opuesta se llaman bases. Aristas: lados de las caras. Aristas Caras basales Caras laterales Vértices : puntos comunes de las aristas. Vértices Fórmula de Euler En un poliedro convexo cualquiera se cumple la siguiente relación: C + V = A + 2 n° de caras + n° de vértices = n° de aristas + 2 C=6 V=8 A =12 Diagonal: segmento que une dos vértices no consecutivos del poliedro. Puede trazarse en una misma cara o entre distintas caras. Apotema: altura de las caras laterales. Apotema lateral Apotema basal Diagonales Los poliedros pueden ser regulares o irregulares Video Poliedros Regulares Están delimitados por polígonos regulares congruentes. También son conocidos como sólidos platónicos. (Estos son 5) Icosaedro Octaedro Tetraedro Hexaedro o Cubo Dodecaedro Poliedros Regulares Únicamente existen cinco poliedros regulares convexos, puesto que las sumas de las caras de un ángulo poliedro tiene que ser forzosamente menor que 360º. No puede constituirse ningún poliedro regular con más de cinco caras concurrentes en un mismo vértice, puesto que si tuviera seis caras tendríamos que 6 x 60º = 360º. Poliedros Regulares Tetraedro Poliedros Regulares Octaedro Poliedros Regulares Dodecaedro Poliedros Regulares Icosaedro Poliedros Regulares Hexaedro Cubo o Hexaedro regular AT = a 6a2 d =a 3 V= a3 Poliedros Irregulares Se encuentran entre ellos las prismas y las pirámides Prismas Son cuerpos geométricos que tienen dos caras paralelas y congruentes llamadas caras basales y tres o más caras laterales que son paralelogramos. Arista basal Arista lateral Altura Apotema basal Prismas Clasificación Prismas Oblicuos Rectos Regulares Irregulares Prismas Para nombrar un prisma se utilizan los polígonos que forman sus bases Prisma Triangular Prisma Pentagonal Prismas Prisma Hexagonal Prisma Cuadrangular Prismas At = 2ABase + ALateral V = ABase ⋅ h c Paralelepipedo a At = 2ab + 2bc + 2ac V = a ⋅b ⋅c d = a2 + b2 +c2 b Pirámides Son poliedros que tienen como base un polígono cualquiera y sus otras caras son triángulos que concurren en un vértice común. Para nombrar una pirámide se utiliza el polígono de su base. Arista lateral Apotema lateral o altura de la cara a Altura de la pirámide Apotema basal a´ Base Pirámides • Tiene una cara por base. • Caras laterales son triángulos. Pirámides Oblicuas Rectas Regulares Irregulares Pirámides Pirámide Pentagonal Pirámide Hexagonal Pirámide Cuadrangular Pirámide Triangular Pirámides Área= P ( p + po ) 2 P: Perímetro p:Apotema lateral p0: Apotema basal Volumen = Abase ⋅ h 3 Cuerpos redondos Se obtienen al girar una figura plana alrededor de un eje • Cilindro • Cono • Esfera Un cilindro es el cuerpo de revolución que resulta al girar un rectángulo alrededor de un eje. Cilindro Bases: dos círculos iguales y paralelos. Radio: el radio de las bases. Generatriz: el lado del rectángulo opuesto al eje que genera la superficie cilíndrica. Eje: el lado fijo del rectángulo que, al girar sobre sí mismo, engendra al cilindro. Altura: la longitud de la generatriz (distancia entre las dos bases). Superficie lateral: la cara lateral no plana, cuyo desarrollo es un rectángulo. Cilindro Al desarrollar un cilindro se obtiene un rectángulo y dos círculos iguales, que constituyen las bases: • La base del rectángulo es la longitud de la circunferencia de la base. • La altura del rectángulo es la generatriz del cilindro. Área de un cilindro A partir del desarrollo del cilindro podemos calcular su área. Área lateral, AL: Es el área de un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de base 2πr, y la altura, h, es la altura del cilindro o generatriz, g: AL = 2 · π · r · h Área de las bases, AB: Es la suma de las áreas de las dos bases. Como las bases son círculos, cada una tendrá un área: AB = π · r2 El área total de un cilindro es la suma del área lateral más el área de las dos bases. AT = AL + 2 · AB = 2πrh + 2πr2 Volumen de un cilindro Si el radio del cilindro es r y la altura h, su volumen será: Vcilindro = AB · h = π r2h Un cono es un cuerpo de revolución que se genera al girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto. Base: el círculo sobre el que se apoya el cono. Radio: el radio de la base. Generatriz: el segmento que une el vértice con un punto cualquiera de la circunferencia (coincide con la hipotenusa del triángulo rectángulo que genera el cono). Eje: el cateto del triángulo que, al girar sobre sí mismo, engendra el cono. Altura: la distancia desde el vértice a la base. Superficie lateral: la cara lateral no plana, cuyo desarrollo es un sector circular. Área de un cono A partir de su desarrollo podemos calcular el área de un cono. Área lateral, AL: Es el área de un sector circular, siendo la longitud del arco la longitud de la circunferencia de la base: AL = Asector circular = Larco·radio del sector = 2 π r · g = π r g 2 2 Área de la base, AB: Es el área del círculo: AB = π · r2 El área total de un cono es la suma del área lateral más el área de la base: AT = AL + AB = πrg + πr2 Volumen de un cono El volumen del cono será igual, por tanto, a un tercio del área de la base por la altura, es decir: Vcono 1 πr 2h = Abase ⋅ h = 3 3 Esfera La esfera es un cuerpo de revolución. Es generado por el giro de una semicircunferencia en torno a su diámetro. No tiene desarrollo plano. Diámetro Eje giro Generatriz Centro Radio Eje de giro Superficie de la esfera AESFERA = 4πr2 Volumen de la Esfera Consideramos la esfera dividida en multitud de pequeñas pirámides iguales con vértice común en el centro de la esfera. La base de cada una de las pirámides es muy pequeña, por lo que podemos considerarla plana y aplicar la fórmula del volumen de una pirámide. Así, si llamamos AB al área de la base de la pirámide, su volumen es: V PIRÁMIDE = AB · h = AB · r 3 3 El volumen V, de la esfera es la suma de los volúmenes de todas las pirámides: V ESFERA = AB · r + AB · r + AB · r + ... = ( AB + AB + AB + ... ) r 3 3 3 3 La suma de las bases de todas esas pirámides será el área total de la esfera (que, como ya sabemos, es 4πr2): V ESFERA = ( 4 π r 2 ) · r = 4 π r 3 3 3