Unidad 3 - Página UAT de Gustavo León

UNIDAD
III
ELEMENTOS DE REPRESENTACIÓN DE CONOCIMIENTO
3.1 Antecedentes
debemos considerar los siguientes
puntos pertenecientes a todas las
clases
de
representaciones
y
denominarlas en la forma que habremos
de referirnos a ellas posteriormente.
Existen dos tipos de entidades:
*
Hechos: verdades
en un
universo relevante. Estas son las cosas
que queremos representar.
*
Representación:
hechos
codificados con algún formalismo
predefinido. Estas son las cosas que
manipularemos.
Los esquemas de representación de
conocimiento pueden ser visualizados
como elementos representativos del
espacio o universo del problema
traducidos a medios gráficos y/o
literales.
La representación ideográfica,
es probablemente uno de los primeros
problemas que tuvo que enfrentar la
humanidad
antes
de
encontrar
metodologías y técnicas generales para
la solución de problemas.
El primer esquema es la
representación de la realidad por medio
del dibujo, sin embargo, esto nos da
muy poca información del conocimiento
que se quiere representar y por ende
impreciso así como impráctico.
Un
esquema
posterior,
desarrollado a través de la escritura
jeroglífica,
nos
muestra
una
combinación de etapa intermedia entre
elementos de representación gráfica
puros (dibujos), y elementos de
representación ideográfica (símbolos).
En la época moderna, las
representaciones
de
conocimiento,
pueden abarcar desde simples textos
hasta
complicados
y
elaborados
diagramas, dibujos y toda clase de
información técnica.
Una gran variedad de maneras
de representación de conocimiento
(hechos), ha sido explotada en los
programas de IA. Pero antes de que
nos refiramos a ellos individualmente,
Luego entonces la funcionalidad
de bloques queda inter-relacionada por
un mapa de representación:
HECHOS ⇔ REPRESENTACIÓN
De tal forma que se pueda partir de los
hechos a la representación y viceversa.
Son entonces, dos los requisitos
básicos
para
una
adecuada
representación de conocimiento:
1. Principio de reciprocidad. Que
significa poder pasar del hecho a la
representación y de la representación al
hecho, sin el riesgo de perder
información.
2. Principio de operabilidad. Que
significa que la representación debe de
ser susceptible de
ser operada o
manipulada (no confundir con el
elemento de manipulación visto en la
unidad anterior).
Un sistema inteligente contiene
estructuras simbólicas que representan
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explícitamente el conocimiento que es
necesario para su comportamiento, y el
comportamiento inteligente emerge del
uso de esas representaciones.
conocimiento:
literal,
numérico,
estadístico, estocástico, lógico.
La ingeniería cognoscitiva ha adaptado
diversos sistemas de representación del
conocimiento que, implantados en una
máquina, se aproximan mucho a los
modelos elaborados por la psicología
cognoscitiva para el cerebro humano.
En organismos biológicos se estima que
el conocimiento es almacenado como
estructuras complejas de neuronas
interconectadas.
Entre los principales se tienen:
En las computadoras, el conocimiento
también se almacena como estructuras
simbólicas, pero en forma de estados
eléctricos y magnéticos.
Lógica Simbólica Formal:
• Lógica Proposicional
• Lógica de Primer Orden.
• Reglas de producción.
En forma natural, el ser humano
representa
el
conocimiento
simbólicamente: imágenes, lenguaje
hablado
y
lenguaje
escrito.
Adicionalmente, ha desarrollado otros
sistemas
de
representación
del
Formas Estructuradas:
• Redes asociativas.
• Estructuras marco.
• Representación orientada
objetos.
a
3.2 Epistemología
El primer paso necesario a la hora de
definir un concepto es determinar el
origen etimológico del mismo. En este
sentido, podemos subrayar que es en el
griego
donde
encontramos
los
antecedentes del término epistemología
que ahora nos ocupa. Más aún, este
sustantivo está compuesto por la unión
de dos palabras: episteme que se
puede traducir como “conocimiento o
ciencia” y logos que vendría a significar
“discurso”. La epistemología es una
disciplina que estudia cómo se genera y
se valida el conocimiento de las
ciencias. Su función es analizar los
preceptos que se emplean para
justificar
los
datos
científicos,
considerando los factores sociales,
psicológicos y hasta históricos que
entran en juego.
3.2.1 Tipo de conocimiento
•
•
•
•
•
• Causal y Taxonómico
• Explícito y tácito
• De representación Gráfica
Literal.
Declarativo y procedimental
Normativo
Factual e inferencial
Estratégico y Táctico
Superficial y profundo,
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y
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3.2.1.1 Declarativo y procedimental
En la forma
procedimental: se
especifica un procedimiento para
resolver los problemas. Una secuencia
de pasos en forma lista siempre será
catalogada
como
procedimental.
Excelente para la presentación de un
proceso algorítmico.
En la forma declarativa se especifican
los objetos, las propiedades y las
relaciones generales, Un diagrama de
flujo es un buen ejemplo de forma
declarativa. Podríamos considerarlo
como el primer paso después del
planteamiento de un proceso heurístico.
3.2.1.2 Normativo
conocimiento, que podemos llamar
normativo, es el que se materializa en la
base de conocimientos
La arquitectura de un sistema basado
en conocimiento presupone que el
conocimiento general del dominio se
expresa de manera declarativa. Este
3.2.1.3 Factual e inferencial
el que está basado en observaciones, o
sea, datos que al interpretarlos el
sistema cobran un significado para él,
convirtiéndose en información, y en
conocimiento al integrarse, y el que
procede
de
razonamientos,
que
podemos llamar inferencial, y que
puede ser o no ser verificable por
observación o experimentación.
Hay otro conocimiento que también se
expresa de manera declarativa: el que
se refiere a los datos concretos de un
problema a resolver, y a las
conclusiones intermedias y finales. Es el
conocimiento factual, contenido en la
base de hechos. Este conocimiento
factual incluye dos tipos que son de la
misma forma, aunque de distinto origen:
3.2.1.4 Estratégico y Táctico
decir, lo que en la lógica clásica se
llama un razonamiento modus ponens.
Este conocimiento es de tipo táctico.
(En la milicia, táctica se refiere como un
conjunto de reglas a que se ajustan en
su ejecución las operaciones militares, y
estrategia es el arte de dirigir las
operaciones militares. La estrategia es
global, la táctica, local). En la
arquitectura básica de los sistemas
basados
en
conocimiento,
el
conocimiento táctico y el estratégico se
expresan conjuntamente, de manera
El conocimiento estratégico (o de
control) se refiere a la manipulación del
conocimiento factual y normativo. Si el
normativo está en forma de reglas, se
refiere a la estrategia de búsqueda que
decide en cada momento qué regla se
aplica. Pero, independientemente de la
estrategia, al aplicar la regla se está
usando un cuarto tipo de conocimiento:
el que dice que si se satisface el
antecedente la regla permite afirmar
que se satisface el consecuente, es
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procedimental, y se implementan en los
algoritmos del motor de inferencias.
Pero parte de estos conocimientos
puede expresarse también en forma
declarativa (por ejemplo, en forma de
metarreglas), lo que da lugar a las
arquitecturas llamadas multinivel, con
bases de conocimiento de varios tipos.
3.2.1.5 Superficial y Profundo
son comúnmente reglas sencillas. El
conocimiento profundo incluye leyes
generales, principios, modelos, etc.
Se llama conocimiento superficial al que
se aplica a situaciones muy específicas
y acotadas. La forma típica de
expresión del conocimiento superficial
3.2.1.6 Causal y taxonómico
indirecto la aparición de otros, y el
taxonómico, que agrupa los elementos
del universo en una jerarquía de clases
y subclases entre las cuales existe una
relación de herencia.
Dos tipos particulares de conocimiento
profundo con amplia tradición científica
son el causal, que identifica en un
dominio concreto fenómenos cuya
aparición tiene como efecto directo o
3.2.1.7 Explícito y tácito
en las mentes de las personas y es
inaccesible incluso a su conciencia, y
sólo se manifiesta por sus resultados.
El
conocimiento
explícito
puede
capturarse y expresarse en fórmulas,
documentos, plantillas, procedimientos,
o cualquier otro medio de expresión, y
el conocimiento tácito es el que reside
3.2.1.8 Representación Gráfica
En este grupo la representación
mas ampliamente usada es la conocida
como árbol.
que guarda con los árboles en cuanto a
su constitución física, es decir tronco y
ramas. Esta representación tiene como
características principales:
Esta
representación
denominada así, debido a la similitud
* Muestra con detalle todos y
cada uno de los elementos del sistema.
* Señala la interrelación que
existe entre un elemento y el resto en el
sistema.
* Enseña la proporción y jerarquía
que guardan los elementos propios del
árbol.
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Existen
también
ciertos
inconvenientes que pueden señalarse,
como es el notable crecimiento sin
proporciones del árbol a medida que
intentamos representar más niveles
dentro del sistema. El otro consiste en
que por lo general el árbol por sí solo no
puede contener toda la información
requerida para la representación del
conocimiento en cuestión por lo que
debemos apoyarlo con algún otro tipo
de representación y por lo general
requerirá de cierta codificación para su
introducción
en
un
sistema
computarizado.
considera como nodo. Por lo general el
árbol muestra una estructura detallada
que comienza en la parte superior y
termina en la inferior. A los elementos
alineados en la misma jerarquía se les
denomina niveles, así mismo el espacio
que ocupan los nodos en un nivel se le
llama anchura y el espacio desde el
nodo de máxima hasta el de mínima
jerarquía se le nombra profundidad.
El árbol
sobre todo en
representación
conocimiento
aplicación será
posteriores.
Cada punto en donde convergen
dos o más ramas del árbol se le
demuestra su utilidad
lo que se denomina
estructurada
de
cuyo
concepto
y
detallado en unidades
3.2.1.8.1 Mapa conceptual
Es una técnica usada para la
representación gráfica del conocimiento.
Un mapa conceptual es una red de
conceptos. En la red, los nodos
representan los conceptos, y los
enlaces representan las relaciones
entre los conceptos.
3.2.1.9 Representación Literal
Una
vez
que
hemos
determinado los parámetros que
intervienen en el universo de búsqueda
del problema, el siguiente paso
consistirá
en
asignar
una
representación abreviada de dichos
parámetros.
Es notable el avance que han
tenido las culturas a partir de la
escritura, debido más que nada a la
precisión, la simplicidad y el relativo
poco espacio requerido para almacenar
conocimiento.
No solamente textos, pueden
representarse, sino además a través de
ciertas convenciones es posible llegar a
mostrar elaborados formularios que
describen con una gran precisión
hechos como Leyes Físicas, Estados
Financieros y conceptos matemáticos
abstractos, que se constituyen en bases
para la demostración y la descripción de
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sistemas
tanto
naturales
como
artificiales.
Sea que el problema que vamos
a resolver sea de naturaleza algorítmica
o heurística (concepto que será
explicado
posteriormente),
las
representaciones literales son una
herramienta útil para la codificación final
de la instrucciones con las que se ha de
alimentar al sistema inteligente.
Esta representación pudiera ser
derivada de:
*
*
*
La representación literal se
complementa con los elementos que
interrelacionan
los
parámetros
o
variables que comprenden el universo
del problema como son:
* Símbolos aritméticos (+, -, *,
etc.)
* Símbolos Lógicos (^ ‚v ‚ etc.)
* Símbolos de comparación (>,
<, =, etc.)
*
Símbolos de relación diversa (∀
,∃ ,⊃ ,⇒ ,∉, etc.).
Dependiendo de la convención que se
utilice en la codificación a la que se
refieran, es como estos elementos se
van integrando y obteniendo un
significado específico.
Alfabeto ( a, G, u, x, etc.)
Alfabeto griego (µ, ¶, Φ, etc.)
Números (4, 5, 8, etc.)
3.3 Perspectiva de la representación
En unidades posteriores se estará
haciendo referencia a la representación
de conocimiento, por tratarse de un
elemento base en el proceso de
búsqueda de soluciones dentro de la
problemática de la Inteligencia Artificial.
Desde cualquier punto de vista,
resulta útil efectuar la representación de
conocimiento como un elemento
práctico en el manejo de la información.
En la naturaleza de los hechos que
usualmente vamos a representar,
existen tres preguntas que tenemos que
responder antes de proceder:
Las primeras dos preguntas
están relacionadas directamente con el
aspecto de la representación de
conocimiento. Técnicas para responder
estas preguntas serán desarrolladas en
unidades posteriores. La tercera
pregunta es particularmente importante
en el contexto del proceso de
búsqueda. Supongamos que queremos
representar cada nodo como una lista
de todos los elementos con la
descripción de cada nodo. Esto es
relativamente simple, pero ¿Qué pasa si
las descripciones son muy largas? En
definitiva tendríamos que buscar
diferentes
alternativas
que
nos
conduzcan al punto óptimo. Esto es sólo
una introducción básica, pues resulta
más conveniente estudiar los diferentes
métodos
de
representación
de
conocimiento a la vez que nos
introducimos en los procesos de
búsqueda, sin embargo en esta unidad
se proveen los elementos y conceptos
básicos para una buena representación
de conocimiento.
* ¿De que manera pueden
representarse
objetos
y
hechos
individualmente?
* ¿De
que
manera
las
representaciones
de
objetos
individuales pueden ser combinadas
para
formar
una
representación
completa de un problema.
* ¿De que manera las secuencias
de estados en el problema pueden ser
representadas eficientemente?
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3.4 Base de conocimiento
Conocimiento inferido.- Que se
desprende de la conclusión o
relación
de
dos
ó
más
conocimientos ya existentes en la
base
2. Conocimiento adquirido.- Alimentado
al agente por medios externos de
manera directa a la base del
conocimiento.
1.
Una base de conocimiento es un
conjunto de representaciones de
hechos, integrados en una unidad,
accesibles para un agente inteligente.
Este
conocimiento,
normalmente
operado con lógica, idealmente debe
incrementarse bajo dos condiciones:
Ejercicio 3.a
•
Describa tres hechos conocidos y determine cual es la manera más adecuada de
representarlos.
Describa las dificultades que encuentre al intentar representar hechos.
3.5 Lenguaje como elemento de representación
las matemáticas y la lógica, fueron
desarrollados, generalmente, a partir del
establecimiento de una teoría, la cual da
las bases para que a través de dichos
lenguajes se pueda desarrollar la misma
teoría.
El poder encontrar una lógica en los
lenguajes naturales y observar los
lenguajes de los sistemas formales nos
conduce a una de las metas de la IA,
que es permitir la traducción (o la
expresión) de un lenguaje natural o
formal a un lenguaje formal particular
llamado el lenguaje de la lógica.
La codificación del conocimiento
descrita en párrafos anteriores es
propiamente lo que conocemos como
lenguajes. Desde el punto de vista de la
IA, podemos identificar dos tipos de
lenguajes:
Los lenguajes naturales y los lenguajes
formales. Los primeros como pueden
ser: el castellano, el francés y el inglés;
no se establecieron a través de ninguna
teoría. Las teorías y las gramáticas de
lenguajes naturales, fueron establecidas
a posteriori; esto es, después de que el
lenguaje había ya madurado. Los
segundos, los lenguajes formales como
3.6 Lógica
Es el estudio de métodos y principios
utilizados
para
distinguir
el
razonamiento correcto del incorrecto.
demostración e inferencia válida. La
lógica tradicional, se basa en el
silogismo como razonamiento basado
en el juicio categórico aristotélico. Hoy
día la lógica utiliza como unidad básica
La lógica tradicional, es una rama de la
filosofía que estudia los principios de la
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la proposición y las reglas de inferencia
en la argumentación discursiva.
La lógica consta de dos principios
fundamentales:
•
•
La lógica estudia los problemas y las
leyes del pensar formal. La lógica no
entra en definir qué es verdad y qué es
falsedad material. Esos conceptos, al
tener
contenido
semántico,
son
competencia del razonamiento aplicado
a la experiencia. Pero la ciencia para
elaborar sus razonamientos necesita la
lógica.
La Sintaxis y
La Semántica.
3.6.1 Ontología
compartición de la información entre
diferentes sistemas. Esta es la
diferencia con, aunque toma su nombre
de una analogía con, el significado
filosófico de la palabra ontología.
El término ontología en informática hace
referencia al intento de formular un
exhaustivo
y
riguroso
esquema
conceptual dentro de un dominio dado,
en orden a facilitar la comunicación y la
3.6.2 Sintaxis
La sintaxis del lenguaje explica como
construir las oraciones. Así como
semánticamente el concepto clave es el
de “interpretación”, sintácticamente el
concepto a desarrollar es el de
“demostración”. Como se podrá ver,
existe una estrecha interrelación entre
ambos enfoques, interrelación que
culmina
con
los
teoremas
de
completitud y validez en los que se
demuestra que al menos para la lógica
de
enunciados
(cálculo
de
proposiciones),
los
resultados
sintácticos y semánticos son realmente
los mismos.
Explica las posibles configuraciones
mediante las cuales se codifica el
conocimiento, Normalmente la sintaxis
es descrita en función de las reglas de
representación, para proveer medios de
escritura estándares con fines de
compatibilidad
Para facilitar su comprensión, conviene
considerar a la lógica de acuerdo con
sus preocupaciones ontológicas y
epistemológicas. Las preocupaciones
ontológicas se refieren a la naturaleza
de la realidad. Por ejemplo, en la lógica
Proposicional se supone que en el
mundo hay hechos que se cumplen o
no. Son de dos tipos: verdaderos o
falsos. En la lógica de primer orden, se
va más allá: que el mundo está
compuesto por objetos que guardan
entre sí ciertas relaciones que se
cumplen y otras que no se cumplen. En
la lógica temporal se supone que el
mundo se ordena mediante un conjunto
de puntos de tiempo o intervalos y en
esa lógica se han incorporado
mecanismos para razonar acerca del
tiempo.
Las preocupaciones epistemológicas
están relacionadas con los posibles
estados de conocimiento que se puede
allegar un agente al utilizar diversos
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tipos de lógica. Tanto en la lógica
Proposicional como en la de primer
orden, una oración representa un hecho
y el agente la considera verdadera,
falsa o no sabe lo qué es. Por otra
parte, en los sistemas en donde se
emplea la teoría de las probabilidades,
está
presente
cierto
grado
de
certidumbre que va de 0 (incertidumbre
total) a 1 (certidumbre total). Los
sistemas basados en lógica difusa
poseen diversos grados de certidumbre
en una oración, y también les asocian
diversos grados de verdad.
3.6.3 Semántica
La semántica del lenguaje, especifica
las restricciones sistemáticas sobre
cómo se relacionan las oraciones con
aquello que está sucediendo. La
semántica concierne a la interpretación.
Una interpretación de un conjunto de
fórmulas bien formadas fbf consiste en
la especificación de un conjunto no
vacío o dominio D, sobre el cual,
constantes y variables toman valores
Provee el significado a una codificación
para que no sea susceptible de una
doble interpretación.
Aun cuando propiamente, hablar de
significado en la introducción de la
información a una máquina no tiene
sentido, expresaremos este concepto
como un elemento de analogía entre el
conocimiento humano y el almacenado
en la máquina. El resumen de esta
clasificación lo encontramos de manera
sintética en la siguiente tabla:
Lenguajes formales y sus preocupaciones ontológicas y epistemológicas
Preocupación ontológica
Preocupación epistemológica
(Lo que existe en el mundo)
(Lo que un agente cree acerca
de la realidad)
Lógica Proposicional
hechos
verdadero/falso/desconocido
Lógica de primer orden
hechos, objetos, relaciones
verdadero/falso/desconocido
Lógica temporal
hechos, objetos, relaciones, veces verdadero/falso/desconocido
Teoría de probabilidades
hechos
grado de certeza 0 . . . 1
Lógica difusa
grado de verdad
grado de certeza 0 . . . 1
Lenguaje
3.7 Lógica Proposicional
alrededor de la tierra”, “Jaime Rangel
tiene el grado de doctor”.
No obstante su limitada expresividad, la
lógica Proposicional permite ilustrar
muchos de los conceptos de la lógica.
La sintaxis de la lógica Proposicional es
sencilla. Los símbolos utilizados son
constantes lógicas Verdadero y Falso,
símbolos de proposiciones tales como P
y Q, Los conectivos lógicos:
La Lógica Proposicional trata con
sentencias declarativas, las cuales
reciben el nombre de proposiciones y
son evaluadas de forma excluyente
como verdaderas o falsas. Las
sentencias abstractas del lenguaje de la
LP se forman con reglas sintácticas que
combinan los símbolos de proposición
básicos. Ejemplos de proposiciones
son: “la tierra es redonda”, “la luna gira
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∧
∨
⇔
⇒
Conjunción
Disyunción
Equivalencia
Implicación
¬
()
Negación
Asociación
Inferencia
⊢
Función Lógica Y (And) P ∧ (Q ∧ R)
Función Lógica O (Or)
(P ∨ Q) ∨ R
También conocida como bicondicional (P ∨ Q) ⇔ R
Una oración como (P ∧ Q) ⇒ R se conoce como implicación (o
condicional). Su premisa o antecedente es(P ∧ Q) y su conclusión o
consecuente es R
Función Lógica NO (Not) ¬ P
Altera la secuencia o jerarquía natural de los operadores (P ∧ Q) ∧ R)
Relación de consecuencias (P ∧ Q) ⊢ R
Tablas de verdad para diferentes combinaciones de P y Q
P
Q
Falso
Falso
Verdadero
Verdadero
Falso
Verdadero
Falso
Verdadero
¬P
Verdadero
Verdadero
Falso
Falso
P∧Q
Falso
Falso
Falso
Verdadero
P∨Q
Falso
Verdadero
Verdadero
Verdadero
P ⇒Q
P⇔Q
Verdadero
Verdadero
Falso
Verdadero
Verdadero
Falso
Falso
Verdadero
3.7.1 Ejemplos de Lógica Proposicional
Si p, entonces q: p ⇒ q
No es el caso que p y q: ¬(p ∧ q)
p solamente si q y no r: p ⇒ (q ∧ ¬r)
p o no q: p ∨ ¬q
Si p y q, entonces no r o s: (p ∧ q) ⇒ (¬r ∨ s)
Si p, entonces q, y si q, entonces p: (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
Si p y q, entonces r. p. Luego si q, entonces r: (p ∧ q) ⇒ r, p ⊢ q ⇒ r
Si p y q, entonces r. Si r y s, entonces t. Luego si p y q y s, entonces t:
(p ∧ q) ⇒ r, (r ∧ s) ⇒ t ⊢ (p ∧ q ∧ s) ⇒ t
No vi la película, pero leí la novela: ¬p ∧ q
Ni vi la película ni leí la novela: ¬p ∧ ¬q
No es cierto que viese la película y leyese la novela: ¬(p ∧ q)
Vi la película aunque no leí la novela: p ∧ ¬q
No me gusta trasnochar ni madrugar: ¬p ∧ ¬q
tú estás equivocado o es falsa la noticia que has leído: p ∨ q
Si no estuvieras loca, no habrías venido aquí: ¬p ⇒ ¬q
Llueve y o bien nieva o sopla el viento: p ∧ (q ∨ r)
está lloviendo y nevando o está soplando el viento: (p ∧ q) ∨ r)
Si hay verdadera democracia, entonces no hay detenciones arbitrarias ni
otras violaciones de los derechos civiles: p ⇒ (¬q ∧ ¬r)
Roberto hará el doctorado cuando y solamente cuando obtenga la
licenciatura: p ⇔ q
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Si viene en tren, llegará antes de las seis. Si viene en coche, llegará antes de
las seis. Luego, tanto si viene en tren como si viene en coche, llegará antes
de las seis: p ⇒ q, r ⇒ q ⊢ (p ∧ r) ⇒ q
No es cierto que no me guste bailar. [p: me gusta bailar]. ¬(¬p)
Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción. [p: me gusta bailar. q: me
gusta leer libros de ciencia ficción]. p ∧ q
Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos.
[p: los gatos de mi hermana sueltan pelo. q: me gusta acariciar los gatos ].
¬p ⇒ q
Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida
extraterrestre. [p: ver un marciano con mis propios ojos. q: creer en los
extraterrestres ]. p ⇔ q
Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un
energúmeno. [p: salir a dar un paseo. q: estudiar como un energúmeno].
p∨q
Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy
como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico. [p: los
elefantes vuelan. q:los elefantes tocan el acordeón. r: estar loco. s: internar
en un psiquiátrico ]. ( p ∨ q ) ⇒ ( r ∧ s )
Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y
no tengo que ir a trabajar. [p: ir de vacaciones. q: no hacer nada. r: tener
tiempo. s: ir a trabajar ]. ( r ∧ ¬s ) ⇒ ( p ∨ q )
Ejercicio 3.b
Relacionar los siguientes paréntesis concernientes a lógica propositiva
“Llueve” = p , “Hace sol” = q
1
2
3
4
5
6
7
Llueve y hace sol
Llueve y no hace sol
Llueve o hace sol
Si no llueve, hace sol
No es cierto que llueva
No es cierto que no llueva
Hará sol si y sólo si no llueve
(
(
(
(
(
(
(
5
3
1
2
6
7
4
)
)
)
)
)
)
)
Pag 3-11
¬p
p∨q
p∧q
p∧¬q
¬¬ p
q⇔ ¬ p
¬p⇒q
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Ejercicio 3.c
Exprese en términos de Lógica
Proposicional, la situación en la que un
automóvil no encienda a menos que los
cinturones de seguridad de los
respectivos asientos delanteros estén
ajustados cuando están ocupados.
responsable de su aplicación a nivel
semántico. Se puede decir que la
Lógica es una herramienta para el
análisis de la veracidad de argumentos
en base sólo a la estructura de éstos,
donde el significado de los elementos
que intervienen no es tomado en
cuenta.
El argumento anterior tiene dos partes
principales:
En la gramática de lógica Proposicional,
podemos encontrar dos tipos de
oraciones:
• Oraciones atómicas, que se
representan mediante un sólo signo
(por ejemplo, P), y
• Oraciones complejas, que constan
de conectores o paréntesis (por
ejemplo, (P ∧ Q) ∧ R)
En la Lógica Formal se estudian los
principios y métodos a través de los
cuales podemos determinar la validez
de argumentos, desde el punto de vista
solamente de su estructura, sin tomar
en cuenta el contenido semántico de las
expresiones de los argumentos. De esta
manera si se argumenta que:
Las premisas:
Todos los majadistanenses son de Majadistán
Rudistein es de Majadistán
La conclusión:
Rudistein es de Majadistán
De esta manera el argumento es válido,
ya que de las premisas sigue la
conclusión, lo cual hasta cierto punto
nos
parece
totalmente
natural.
Consideremos el siguiente argumento:
Todos los majadistanenses son de Majadistán
Rudistein es de Majadistán
Argentina está en África ó Argentina está en
Asia.
En consecuencia,
Argentina no está en Asia
Rudistein es majadistanense.
En consecuencia,
Argentina está en África.
En este argumento, no tomamos en
cuenta si los majadistanenses son
humanos, perros, pericos o un concepto
abstracto de cualquier área. Tampoco
nos importa si Rudinstein es un
ciudadano de alguna ciudad del mundo
o si es el nombre de un perro. De esta
manera desde el punto de vista de su
estructura este argumento es válido. Se
hace hincapié que la Lógica no se hace
Nuevamente este argumento es válido
desde el punto de vista lógico, aun
cuando sabemos que la conclusión es
falsa. ¿Cómo puede ser esto? ¿A partir
de la Lógica se pueden obtener
conclusiones
equivocadas?
La
respuesta es afirmativa, ya que la lógica
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Gustavo León 2014
no verifica el significado de las
premisas.
Debido a lo anterior es necesario
distinguir
entre
proposiciones
verdaderas y proposiciones lógicamente
verdaderas.
Las
primeras
son
verdaderas independientemente de su
estructura, mientras que las segundos
no lo son. De esta manera, las
proposiciones:
Sin embargo, las siguientes no son
proposiciones por no poder ser
evaluadas como verdaderas ni falsas:
En esta unidad estudiamos la lógica
Proposicional, es decir, se estudian los
principios para determinar la validez de
argumentos
conformados
con
proposiciones. Esto involucra los
siguientes tipos de proposiciones:
*Proposiciones simples o átomos
* Proposiciones compuestas.
Los átomos o proposiciones simples
son tales que no es posible encontrar
en ellas otras proposiciones, mientras
que las proposiciones compuestas
están
conformadas
de
varias
proposiciones simples a través de lo
que se denomina conectores lógicos,
entre los cuales se encuentran: y, o,
implica. Ejemplo de proposiciones
compuestas son:
Argentina está en África o Argentina está en Asia
Argentina está en África
Son verdaderas lógicamente debido a
que la primera es una premisa y a que
la
segunda
ha
sido
derivada
lógicamente de sus premisas.
Las proposiciones son expresiones que
pueden ser evaluadas como verdaderas
o falsas. En los lenguajes naturales
(Español, Inglés, etc.), las proposiciones
sólo
pueden
ser
expresiones
declarativas y nunca interrogativas o
imperativas. De esta manera las
siguientes son proposiciones:
¡Levántate temprano!
¿Has entendido lo que es una proposición?
¡Estudia esta lección!
¿Cuál es la dirección de la página de Lógica
Computacional?
Los cantantes no duermen.
Comer mucho, engorda
Las montañas cantan bonito
Los mosquitos viven menos de un año
El hombre desciende del elefante
Las montañas cantan bonito o Los mosquitos
viven menos de un año
El hombre desciende del elefante y Comer
mucho, engorda
3.7.2 Formulas Bien Formadas (fbf)
El Cálculo Propositivo estudia fórmulas
Proposicionales simples o compuestas.
Las proposiciones simples o átomos
son representadas por símbolos,
generalmente las letras del alfabeto
A,B,C,.... Para obtener proposiciones
compuestas se utilizan, como se dijo
antes, conectores lógicos. Así la
proposición compuesta A or B puede
corresponder por ejemplo a:
o
La jubilación del Coronel Buendía es insuficiente
para su familia
Una fórmula bien formada (fbf) es una
expresión
que
representa
una
proposición simple o compuesta, la cual
esta bien escrita de acuerdo con
determinada sintaxis. Ahora bien, una
fórmula bien escrita del Cálculo
Proposicional, es una fórmula que está
El coronel no tienen quien le escriba
Pag 3-13
Gustavo León 2014
bien escrita de acuerdo con la sintaxis
del Cálculo Proposicional. Las reglas de
la sintaxis del Cálculo Proposicional
definen de esta manera la forma de
escribir o reconocer fbf's del Cálculo
Proposicional, las cuales son:
a) Un átomo es una fórmula bien
formada.
b) Si G es una fórmula bien formada
entonces ¬G también lo es.
c) Si G y H son fórmulas bien formadas,
entonces también lo son:
G∧H
G∨H
G⇒H
G⇔H
d) Todas las fbf's se obtienen aplicando
a, b y c.
Es necesario puntualizar en la regla b
anterior, que es posible utilizar otros
conectivos, pero sin embargo se
reducen a las que aquí presentamos.
De esta manera, fijaremos nuestra
atención sólo a las fbf's que aquí
describimos.
Ejemplos de fórmulas bien formadas
son:
P ∧Q
P⇒Q
Ejemplos de fórmulas que no son bien
formadas son:
P∧
⇒ Q.
3.8 Lógica de primer orden
La lógica de primer orden, también
referido por algunos autores como
lógica de predicados, considera que el
mundo está construido por objetos, es
decir, entes con entidades individuales y
propiedades que los distinguen de otros
objetos.
La lógica proposicional sólo puede
representar hechos acerca del mundo.
La lógica de primer orden describe un
mundo que consta de objetos y
propiedades (o predicados) de esos
objetos o su relación entre si.
Entre estos objetos, existen diversos
tipos de relaciones. Algunas de estas
son las funciones: relaciones en que a
una “entrada” corresponde un sólo
“valor”. No es difícil ofrecer una lista de
ejemplos de objetos, propiedades,
relaciones y funciones:
• Objetos: gente, casas, números,
teorías, colores, juegos de béisbol,
guerras, siglos, R
• Relaciones: hermano de, mayor
que, dentro de, parte de, de color,
sucedió luego de, es dueño de, R
Pag 3-14
•
•
Propiedades: rojo, redondo, de
varios pisos, falso, lo mejor, R
Funciones: padre de, mejor amigo
de, tercer tiempo de, uno más que,
R
La lógica de primer orden es universal
porque puede expresar cualquier cosa
que pueda ser programada.
La lógica de primer orden tiene
sentencias como lógica proposicional y,
además,
tiene
términos,
que
representan objetos. Para construir
términos se usan símbolos constantes,
variables y funciones, y cuantificadores
y símbolos predicado son usados para
construir sentencias.
Gustavo León 2014
Sintaxis de Lógica de primer orden
Conector
Cuantificador
Constante
Variable
Predicado
Función
→
→
→
→
→
→
⇒ ∧∨ ⇔
∀ ∃
A X1  Juan …
axs…
Antes Vecino Hermano …
Coseno PadreDe PiernaIzquierdaDe …
Símbolos predicado: Antes Vecino
es un símbolo de relación binaria, la
relación a que se refiere debe ser
también binaria, es decir, debe darse o
fallar entre pares de objetos.
Símbolos de función: Coseno PadreDe
Hermano …
Símbolos constantes: A X1  Juan …
Cada símbolo constante nombra a
exactamente un objeto en el mundo, no
todos los objetos necesitan tener
nombres y algunos pueden tener más
de un nombre.
Un símbolo predicado se refiere a una
relación particular en el modelo. Por
ejemplo, Hermano ; dado que Hermano
PiernaIzquierdaDe …
Una relación funcional relaciona un
objeto a exactamente otro único objeto.
El último elemento en la tupla es el valor
de la función para los otros elementos.
ej. Oficinade(María,bas1.240)
3.8.1 Predicados
ocupa de estudiar el modo en que
hablamos y razonamos con expresiones
lingüísticas.
Un predicado es una expresión
lingüística que puede conectarse con
una o varias otras expresiones para
formar una oración. Por ejemplo, en la
oración «Marte es un planeta», la
expresión «es un planeta» es un
predicado que se conecta con la
expresión «Marte» para formar una
oración. Y en la oración «Júpiter es más
grande que Marte», la expresión «es
más grande que» es un predicado que
se conecta con dos expresiones,
«Júpiter» y «Marte», para formar una
oración.
En la lógica de primer orden, los
predicados
son
tratados
como
funciones.
Una
función
es,
metafóricamente
hablando,
una
máquina que recibe un conjunto de
cosas, las procesa, y devuelve como
resultado una única cosa. A las cosas
que entran a las funciones se las llama
argumentos,4 y a las cosas que salen,
valores o imágenes. Considérese por
ejemplo
la
siguiente
función
matemática: f(x) = 2x
Esta función toma números como
argumentos y devuelve más números
como valores. Por ejemplo, si toma el
número 1, devuelve el número 2, y si
toma el 5, devuelve el 10. En la lógica
de primer orden, se propone tratar a los
predicados como funciones que no sólo
toman números como argumentos, sino
expresiones como «Marte», «Mercurio»
y otras que se verán más adelante. De
este modo, la oración «Marte es un
Cuando un predicado se conecta con
una expresión, se dice que expresa una
propiedad (como la propiedad de ser un
planeta), y cuando se conecta con dos o
más expresiones, se dice que expresa
una relación (como la relación de ser
más grande que). La lógica de primer
orden no hace ningún supuesto, sin
embargo, sobre si existen o no las
propiedades o las relaciones. Sólo se
Pag 3-15
Gustavo León 2014
Casado(PadreDe(Ricardo),MadreDe(Juan))
planeta» puede transcribirse, siguiendo
la notación propia de las funciones, de
la siguiente manera:
Afirma que el padre de Ricardo está
casado con la madre de Juan. Se dice
que una oración atómica si la relación a
la que alude el signo del predicado es
válida para los objetos a los que aluden
los argumentos.
Mediante los conectores lógicos se
pueden
construir
oraciones
más
complicadas, por ejemplo:
Hermano(Ricardo ,Juan)∧ Hermano(Ricardo
,Juan) es verdadera sólo cunado Juan es
el hermano de Ricardo y Ricardo es el
hermano de Juan.
Mayor(Juan,30)
∨ Menor(Juan,30) es
verdadera sólo cuando Juan es mayor de
30 o Juan es más joven de 30.
Mayor(Juan,30)⇒¬Menor(Juan,30)
está
diciendo que si Juan tiene más de 30
años, entonces Juan no tiene menos de
30 años.
¬Hermano(Robin,Juan) es verdadera sólo
si Robin no es hermano de Juan.
Planeta(Marte)
En la matemática existen
funciones
que
toman
argumentos. Por ejemplo:
además
varios
f(x,y) = x + y
Esta función, si toma los números 1 y 2,
devuelve el número 3, y si toma el -5 y
el -3, devuelve el -8. Siguiendo esta
idea, la lógica de primer orden trata a
los predicados que expresan relaciones,
como funciones que toman dos o más
argumentos. Por ejemplo, la oración
«Caín mató a Abel» puede formalizarse
así:
Mató(Caín,Abel)
Este procedimiento puede extenderse
para tratar con predicados que
expresan relaciones entre muchas
entidades.
Con frecuencia el símbolo de igualdad
se incluye como un símbolo especial.
Esto se debe a que la noción de
igualdad es muy importante en nuestro
modo de pensar. Con este símbolo,
podemos escribir cosas como
Al igual que en la lógica Proposicional,
contamos con oraciones atómicas y
complejas. Ejemplos de oraciones
atómicas son:
Padre(Juan)=José,
Hermano(Ricardo ,Juan)
con el objeto de afirmar que el objeto
que es padre de Juan es el mismo que
el objeto José. Igualdad puede ser
pensada como un símbolo de relación
binaria ordinaria, así la interpretación de
= es un conjunto de pares.
Afirma que Ricardo es Hermano de Juan.
Las oraciones atómicas, pueden llegar
atener argumentos que son términos
complejos:
3.8.2. Cuantificadores
Existen dos tipos de cuantificadores en
la lógica de primer orden. El primero,
denominado cuantificador universal (∀),
nos permite expresar expresiones tales
como ”Todos los gatos son mamiferos”.
Para efectuar esto, utilizaríamos
predicados unitarios Gato y Mamifero, de
tal forma que para representar que
“Félix es un gato” usaríamos: Gato(Félix)
, por lo que Mamífero(Felix), representa
Pag 3-16
Gustavo León 2014
que Felix es un mamífero. Si intentamos
expresar que para cualquier objeto x, si
x es un gato, entonces x es un
mamífero. La lógica de primer orden
nos permite realizar lo anterior de la
manera siguiente:
Por otro lado también podemos efectuar
mezclas
de
cuantificadores.
Si
quisiéramos expresar “Todas las
personas aman a alguien” bien puede
quedar como:
∀x∃y Aman(x,y)
∀x Gato(x) ⇒Mamifero(x)
∀ en general se lee “para todo R”. Se
emplea la convención de que todas las
variables se representan por una letra
minúscula; los signos de predicado,
constante y función, por letras
mayúsculas.
“Hay alguien a quien todos aman”:
∃x ∀y Aman(x,y)
“Todos somos buenos para alguna
cosa"
Ningún mexicano es aburrido.
∀x∃y BuenoPara(x,y)
∀x Mexicano(x) ⇒ ¬ Aburrido(x)
Todos los
temperamentales
compositores
son
∀x Compositor(x) ⇒ Temperamental(x)
El segundo cuantificador es llamado
cuantificador existencial (∃), que es
utilizado para hacer afirmaciones acerca
de algún objeto. Por ejemplo, si
quisieramos afirmar que Félix tiene una
hermana que es un gato, escribiremos:
∃x Hermana(x,Félix)∧Gato(x)
∀x ¬LeGustan(x,espinacas), equivale a:
¬∃x LeGustan(x,espinacas)
∃ se lee: “ExisteR” En general, ∃xP es
verdadero si P es verdaero para cierto
objeto del universo.
En realidad ∀ es una conjunción de
objetos del universo y ∃ es una
disyunción, por lo cual se les pueden
aplicar las leyes de Morgan.
Se pueden expresar oraciones más
complejas utilizando cuantificadores
múltiples. Como por ejemplo:
Así pues
∀x ¬P ⇔ ¬∃x P
¬∀x P ⇔ ∃x ¬P
∀x P ⇔ ¬∃x ¬P
∃x P ⇔ ¬∀x ¬P
∀x,y Padre(x,y) ⇒ Hijo(y,x)
Lo que significa que si x es padre y,
entonces y es hijo de x.
Por lo que podemos observar que el
orden de los cuantificadores es
importante.
Es quizá más legible si utilizamos
paréntesis de asociación. Es decir,
∀x(∃y P(x,y)), en donde P(x,y)
es
cualquier oración.
Los
cuantificadores
universal
y
existencial,
están
estrechamente
ligados. Cuando se afirma que a alguien
le gustan las espinacas, también
estamos afirmando que no existe
alguien que le gusten y viceversa.
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¬∀x P ⇔ ∃x¬ P
¬(P∧Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q
P ∧ Q ⇔ ¬(¬P ∨ ¬Q)
P ∨ Q ⇔ ¬(¬P ∧ ¬Q)
Gustavo León 2014
∀x LeGustan(x,Profesores) ∧ Inteligente(x)
“No existe una persona que le gusten
de los líderes corruptos.“
6. Algunos estudiantes Cursaron Chino
en el verano
∃x Estudiante(x) ⇒ Cursar(x,
¬∃x Gusta(x,LideresCorruptos)
CursoDeVeranoChino)
7. Todos los estudiantes que llevaron
Chino, aprobaron
∀x Estudiante(x) ∧ Cursar(x, Chino) ⇒
Ejercicio 3.d
Exprese en términos de lógica de
primer orden lo siguiente:
Aprobar(x, Chino)
8. Únicamente un estudiante llevó
Inglés en el verano
∃x Estudiante(x) ∧ Cursar(x, Inglés)
1. Enrique es rector de la UAT
Rector_UAT(Chema)
2. Hector no tiene Dinero.
¬Dinero(Hector)
3. Magali es Secretaria del Director.
9. La mejor calificación de Inglés es
siempre mayor que la mejor
calificación de Chino.
Secretaria(Magali,Director)
4. Todos los nacidos en Río Bravo son
tamaulipecos.
∀x Riobravense(x) ⇒ Tamaulipeco(x)
∀ x, y mejor_calificación(x, Ingles) ∧
mejor_calificación (y, Chino) ⇒ mayor(x,y)
5. A nadie le gustan los profesores a
menos que sean inteligentes.
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