Progresiones y Teorema del Binomio

UNIVERSIDAD DE ATACAMA
FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ALGEBRA I
GUÍA DE PROGRESIONES Y TEOREMA DEL BINOMIO
Profesor: David Elal OLivero
Primer año Plan Común de Ingenierı́a
Primer Semestre 2009
PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.)
1. El tercer término de una P.A. es 7 y el octavo es 17. Encuentre:
a) La diferencia d.
b) El primer término.
c) El término de orden 20.
2. ¿Qué lugar ocupa el término −28 en la P.A.: 8, 5, 2, . . . ?
3. Determine los dos primeros términos de una P.A. en el cual el tercer término es 14 y
el noveno es −1.
4. Hallar la suma de:
a) Los 20 primeros términos de la progresión: 2,
13 9
, 2,
4
...
b) Los 4 primeros términos de la progresión: −7 21 , −7, −6 12 , . . .
c) Los 21 primeros términos de la progresión:
a+b
,
2
a,
3a−b
,
2
...
5. En una P.A. el primer término es 2, el último 29 y la suma 155. Hallar la diferencia
común.
6. La suma de tres números en P.A. es 600 y la diferencia 5. Hallar el primer término.
7. En una P.A. el tercer término es igual a cuatro veces el primero y el sexto término es
17. Encuentre el término n-ésimo.
8. La suma de tres números en P.A. es 12 y la suma de los cubos de los mismos es 408.
Encuentre los números.
9. Hallar la suma de todos los enteros comprendidos entre 100 y 800 que sean múltiplos
de 3.
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10. Encuentre el término central de una P.A. de 35 términos, si el primer término es 4 y
el último 109.
11. Los dos primeros términos de una P.A. son (a − b)2 y (a + b)2 . Hallar la diferencia y la
suma de los 7 primeros términos.
12. El último término de una P.A. de 10 términos vale 16. La suma de todos sus términos
vale 70. Calcule el primer término y la diferencia.
13. Interpolar:
a) 4 medios aritméticos entre 14 y −2 14
b) 18 medios aritméticos entre −35x y 3x.
c) 20 medios aritméticos entre 4 y 67.
14. La suma de tres números en P.A. es 27 y su producto es 504. Hallar estos números.
15. ¿Cuántos términos de la P.A. 3,7,11,....,es preciso sumar para obtener 1275?
16. Encuentre la suma de todos los números naturales múltiplos de 8 comprendidos entre
17 y 801.
17. La suma de los 50 primeros términos de una P.A. es 200 y la suma de los 50 términos
que siguen es 2700. Determinar el n-ésimo término de la P.A.
18. Una persona debe cancelar una deuda de $360,000 en 40 cuotas que forman una Progresión Aritmética. Cuando 30 de los pagos entán cubiertos la persona fallece, dejando
la tercera parte de la deuda sin saldar. Calcular el valor de la primera cuota.
19. Si a, b y c están en P.A. demostrar que la ecuación ax2 + 2bx + c = 0 admite al número
−1 como raı́z
20. Demostrar que para todo número natural n la suma de n términos
√ de la P.A.: 4, 12, 20, 28, .....
es un cuadrado perfecto. Aprovechando este hecho calcular 4624
21. Si la suma de los p primeros términos de una P.A. es igual a la suma de los q primeros
términos, demostrar que la suma de los (p + q) primeros términos es igual a cero.
22. El número de términos de una P.A. es par, la suma de los términos impares es 24, la
de los términos pares es 30 y el último término excede al primero en 10. Encontrar el
número de términos.
23. Demostrar que el producto de cuatro números enteros en P.A. más la cuarta potencia
de la diferencia es un cuadrado perfecto.
24. Dada la Progresión Aritmética
a0 , a1 , a2 , .....an
demostrar que:
1
1
1
1
n
√
√ +√
√ +√
√ + ... + √
√ =√
√
a0 + a0
a1 + a2
a2 + a3
an−1 + an
a0 + an
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2
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (P.G.)
1. Calcular la suma de 10 términos de la P.G.: 2, −4, 8, . . . .
2. La suma de los 6 primeros términos de una P.G. es igual a 9 veces la suma de los tres
primeros términos. Hallar la razón común.
3. La suma de una P.G. de razón 3 es 728 y el último es 486. Hallar el primer término.
4. Determine
el décimo término y la suma de los 10 primeros términos de la P.G.:
√
−3, 3 3, −9, . . . .
5. Determine el décimo término y la suma de los 10 primeros términos de la P.G.:
1 1
, , 1 , ....
4 8 16
6. Si cada término de una P.G. se resta del término siguiente, entonces las diferencias
sucesivas forman una P.G.
2
7. El tercer término de una P.G. es − 23 y el sexto − 81
. Determine la suma de los 10
primeros términos de la progresión.
8. El cuarto término de una P.G. es − 12 y el sexto − 18 . Determine la suma de los 10
primeros términos de la progresión.
9. Considere la P.G.: 3, 6, 12, . . . . ¿Cuál es la diferencia de una P.A. cuyo primer término
8
, y la suma de los 11 primeros términos de la P.G. sea igual a la suma de los 50
es 25
primeros términos de la P.A.?
7
10. Interpolar 6 medios geométricos entre los números 14 y − 64
11. Interpolar 3 medios geométricos entre
12. Interpolar 5 medios geométricos entre
9
4
y 49 .
√
√
2 y 729 2.
13. Interpolar n − 1 medios geométricos entre x y xy.
14. La suma de los 6 primeros términos de una P.G. es igual a 9 veces la suma de los tres
primeros términos. Hallar la razón de la progresión, sabiendo que esta es distinta a 1.
15. Suponiendo que un automóvil pierde un 12 % de su valor cada año, encontrar su valor
al final del cuarto año si su precio original es de $25,000,000
16. Encontrar la P.A. cuyo primer término es 1 y los términos segundo, décimo y trigésimo
cuarto están en P.G.
17. A Don Milton le ofrecen un trabajo que es cada mes mas riesgoso, por lo que la
remuneración aumenta según dos opciones A y B a saber:
Enero Febrero
A 100.000 120.000
B 100.000 115.000
Marzo
Abril
Mayo
...
140.000 160.000
180.000
...
132.000 152.087,5 174.900,625 ...
¿Qué alternativa le conviene elegir para obtener mayor remuneración anual?
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18. Si el p-ésimo, q-ésimo y n-ésimo término de una P.G. son a, b y c respectivamente,
demostrar que
aq−n ∗ bn−p ∗ cp−q = 1
19. Si el medio aritmético entre a y b, con a > b y b 6= 0, es el doble del respectivo medio
geométrico, entonces demostrar que:
√
a
2+ 3
√
=
b
2− 3
20. Determinar el valor de x para que x, (x − 6) y (x − 8) formen una P.H.
21. Si a2 , b2 y c2 están en P.A. entonces (b + c), (c + a) y (a + b) están en P.H.
22. Si el p-ésimo, q-ésimo y r-ésimo término de una P.A. son a, b y c respectivamente,
demostrar que
q−r r−p p−q
+
+
=0
a
b
c
TEOREMA DEL BINOMIO
1. Demuestre las siguientes propiedades:
n
a) nk = n−k
.
n
b) nk + k+1
= n+1
.
k+1
c) n1 = n.
d ) n0 = 1.
e) nn = 1.
2. Pruebe que:
a)
n
P
j=0
b)
n
1
n
j
(−1)j = 0.
+
n
3
+
n
5
+ · · · = 2n−1
3. Hallar el valor de n en:
(3n+1)!
(3n−2)!
= 105n.
n 44
b) 2n
: 2 = 3.
3
c) n+1
= 2 n2 .
3
a)
4. Desarrolle los binomios que se indican.
a) (3x + 2y)4 .
b) (2x − y)5 .
c) (1 − 3a2 )6 .
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d ) (2 −
e) (1 +
3x2 4
).
2
x 7
).
2
8
f ) ( 12 + a)
3 6
).
2x
1 10
) .
x
−
g) ( 2x
3
h) (1 −
5. Encontrar:
a) El cuarto término de (x − 5)13 .
b) El doceavo término de (2x − 1)13 .
c) El cuarto término de ( a3 + 9b)10 .
d ) El quinto término de (2a − 3b )8 .
e) El séptimo término de ( 4x
−
5
6. Hallar el término central de (1 −
5 9
).
2x
x2 14
) .
2
7. Hallar el coeficiente de x18 en (x2 +
3a 15
) .
x
8. Hallar los dos términos centrales de (3a −
a3 9
).
6
2
9. Hallar el término independiente de x en ( 3x2 −
1 9
).
3x
10. Los segundo, tercero y cuarto términos del desarrollo de (x + y)n son 240, 270 y 1080,
respectivamente. Hallar x, y y n.
11. Encontrar el valor de r si el coeficiente de x2 y el de xr−1 en el desarrollo de (3x + 2)19
son iguales
12. Probar que los coeficientes de x2 y x3 en el desarrollo de (x2 + 2x + 2)n son respectivamente, 2n−1 n2 y 31 n(n2 − 1)2n−1 .
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