Probabilidades y Estadística % Práctica 5

Probabilidades y Estadística - Práctica 5
1. Supongamos que X1 y X2 tienen la siguiente distribución de probabilidad conjunta:
x2
x1
0
1
2
1 0,1 0,3 0,1
2 0,2 0,2 -
(a) Completar la Tabla de distribución de probabilidad conjunta.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que X1 sea mayor a 1?
(c) Escribir la función de probabilidad marginal de X1 y X2 .
(d) ¿X1 y X2 son independientes?
2. Una muestra con reposición de tamaño n=2 se selecciona aleatoriamente de los números
1 al 5. Esto produce entonces el espacio equiprobable S conformando por todos los 25
pares de ordenados (a,b) de números del 1 al 5. Sea X = 0 si el primer número es par
y X = 1 el primer número no es par y sea Y = 1 si el segundo número es impar y
Y = 0 si el segundo número no es impar. Encuentre las distribuciones de X e Y y las
distribuciones marginales. ¿X e Y son independientes?
3. Considere un pequeño bote transbordador que tiene capacidad para automóviles y autobuses. Denotamos con X e Y el número de automóviles y autobuses, respectivamente,
en un viaje La distribución conjunta de esas dos variables está dada por:
0
1
x 2
3
4
5
0
,025
,050
,125
,150
,100
,050
y
1
,015
,030
,075
,090
,060
,030
2
,010
,020
,050
,060
,040
,020
(a) Calcular la probabilidad de que en un viaje haya menos automóviles que autobuses
(b) Calcular la funciones de probabilidad marginales. ¿Son X e Y independientes?
4. Si dos variables aleatorias tienen una densidad de probabilidad conjunta dada por:
f (x; y) =
k(x + y 2 ) si 0 < x < 1; 0 < y < 1
0
cc
(a) a) Determinar el valor de k para que f (x; y) sea una función de densidad de
probabilidad.
(b) Calcule P (0:2 < X < 0:5 ; 0:4 < Y < 0:6)
1
(c) Determine la función de distribución acumulada conjunta.
(d) ¿Cuáles son las probabilidades marginales de X e Y ?
(e) Calcule P (X > 0:5)
5. Una compañía vende latas de frutas secas de lujo, que contienen almendras, avellanas y
nueces. La proporción de cada tipo de frutas es aleatoria, como la suma de las tres debe
ser 1, un modelo de probabilidad conjunta de 2 cualesquiera de ellas da la información
necesaria para la proporción del tercer tipo. Sea X= la proporción de almendras en la
lata, y sea Y= la proporción de avellanas. La densidad conjunta está dada por:
f (x; y) =
24xy si 0
0
x
1; 0
y
cc
1; x + y
1
(a) Calcular la probabilidad de más del 50% del contenido de la lata sean nueces,
(que entre almendras y avellnas formen a lo sumo el 50% de la lata)
(b) ¿Las variables X e Y son independientes?
(c) Calcular la covarianza y el coe…ciente de correlación
6. Dos componentes de una microcomputadora tienen la siguiente densidad conjunta:
f (x; y) =
xe
x(1+y)
si x
0
0; y
cc
0
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración X del primer componente sea mayor
que 3?
(b) ¿Cuáles son las densidades marginales de X e Y ?, ¿Son independientes?
7. Considere los datos del ejercicio 3. Si la cuota por automovil es de $30 y por autobús
es de $100, calcular el ingreso esperado de un viaje
8. Si dos variables tienen una densidad de probabilidad conjunta dada por:
f (x; y) =
xy si 0 < x < 1; 0 < y < 2
0
cc
Determinar el valor esperado y la varianza de
(a) g(x; y) = x + y
(b) h(x; y) = x2 y
9. Una persona tiene dos bombillas para una lámpara. Sea X = la duración de la primera
bombilla, y sea Y = la duración de la segunda, (ambas en miles de horas). Suponga
que X e Y son independientes y ambas tienen distribución exponencial con = 1:
(a) ¿Cuál es la densidad conjunta de X e Y ?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que cada bombilla dure a lo sumo 1000 horas (es decir
X 1yY
1)?
2
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración total de las dos bombillas, (suponga
que cuando se quema una se coloca la otra) sea a lo sumo 2000 horas? (es decir
X +Y
2)
(d) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración total esté entre 1000 y 2000 horas?
10. La presión de aire para los neumáticos de un auto debería ser de 26lb=pulg 2 . Sea X la
variable aleatoria que representa la presión de aire de los neumáticos del lado derecho
e Y la correspondiente a los neumáticos de la izquierda, con función de densidad de
probabilidad conjunta de:
f (x; y) =
k(x2 + y 2 ) si 20
0
x
30; 20
cc
y
30
(a) Determine el valor de k para que f (x; y) sea una función de probabilidad.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que cada neumático esté in‡ado a menor presión que
la requerida?
(c) Determine la probabilidad de que la diferencia de presión entre los neumáticos
derecho e izquierdo sea de cuanto mucho 2lb=pulg 2
(d) Determine las distribuciones marginales de X e Y .
(e) ¿X y Y son independientes?
(f) Calcule la covarianza y el coe…ciente de correlación entre X e Y .
11. Supongamos que disponemos de 3 variables independientes X1 es N(1; 1), X2 es N(3; 4)
y X3 es N(4; 9). Si se de…ne una nueva variable Y = X1 + X2 + X3
(a) Hallar E(Y ) y V (Y ).
(b) Determinar la probabilidad de que Y > A, siendo A = E(Y )
2.
12. El peso (kg) de los hombres de una población sigue una distribución N(74; 102 ) y el
peso de las mujeres una distriución N(62; 112 )
(a) Cuatro hombres entran en un ascensor cuya carga máxima es de 350 kg. ¿Cuál
es la probabilidad de que entre los cuatro superen esa carga máxima?
(b) Si entran dos hombres y dos mujeres, ¿Cuál es la probabilidad de que entre los
cuatro superen esa carga máxima?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que dos hombres, elegidos al azar en esa población,
puedan jugar en un balancín, si sólo pueden hacerlo cuando sus pesos diferen en
menos de 5 kg.?
13. Suponga que cuando el pH de cierto compuesto químico es 5; 00, el pH medido por
un estudiante es una variable aleatoria con con distribución normal con media 5; 00
y desviación estándar 0; 3. Un lote grande del compuesto se subdivide y se da una
muestra a cada estudiante de la comisión de la mañana y cada estudiante de la comisión
de la tarde. Sea X el pH promedio medido por los alumnos de la mañana e Y el pH
promedio medido por los alumnos de la tarde. Si hay 15 estudiantes en el laboratorio
de la mañana y 12 en el de la tarde, calcule P ( 0; 1 X Y
0; 1)
3
14. Cierto individuo valora como factor decisivo para la compra de un coche el consumo
de gasolina. Debe decidir entre dos modelos A y B. El fabricante del modelo A a…rma
que su consumo sigue una distribución N(8; 5) (en litros/100 Km.), mientras que el de
B dice que es N(8; 3).
(a) Hallar la probabilidad de que el coche A consuma más de 9 litros/100 km y la
probabilidad de que B consuma entre 7 y 8; 5 litros/100 Km.
(b) Si decide comprar el modelo B, calcular la probabilidad de que ahorre más de 2
litros=100 km, comparando con el gasto de la marca A
15. Un antropólogo quiere estimar la estatura promedio de los hombres de cierta raza. Si
se supone que la distribución poblacional de tallas es normal con desviación típica 6; 35
cm, y se seleccionan al azar 100 hombres:
(a) encuentre la probabilidad de que la diferencia entre la media muestral y la media
verdadera de la población no exceda a 1; 25 cm.
(b) si desea que la diferencia entre las medias muestral y poblacional sea menor que
1 cm, con probabilidad de 0; 95. ¿Cuántos hombres debería seleccionar?
16. La dosis de radiación aplicada para el tratamiento de una enfermedad es una variable
aleatoria continua con media 8 mSv y desviación estándar de 2 mSv. Si se tratan 75
pacientes en forma independiente, ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que la
dosis media esté entre 7:5 y 7:8 mSv?
17. Se compran 100 bolsas de fertilizante de 5 kg cada una. Pero el verdadero peso de cada
bolsa es una variable aleatoria. Calcular la probabilidad aproximada de que la cantidad
total de fertilizante comprado sea menor de 490 kg, en cada uno de los siguientes casos
(a) el peso medio de cada bolsa es 5 kg y la desviación típica es 0; 4 kg,
(b) el peso medio es 4; 95 kg y la desviación típica es 0; 4 kg,
(c) el peso medio de la bolsa es 5 kg y la desviación típica es 0; 8 kg,
18. Se redondean al entero más próximo 432 núumeros y se suman. Suponiendo que los
errores individuales de redondeo se distribuyen uniformemente sobre el intervalo (-0.5,
0.5), aproximar la probabilidad de que la suma de los núumeros redondeados di…era
de la suma exacta en más de 6.
19. Una línea aerea sabe que, en general, el 5% de las personas que hacen sus reservaciones
para cierto vuelo no se presentan. Si la aerolínea vende 160 boletos para un vuelo que
tiene 155 lugares disponibles, ¿cuál es la probabilidad de que haya lugar disponible
para todos los pasajeros que se presentan en el momento del vuelo?
20. Como parte del control de la contaminación, un experimentador pretende cuanti…car
el número de bacterias en un pequeño volumen de agua. Sea X el número de bacterias
por cm3 de agua y suponga que X tiene una distribución de Poisson con = 50. Si
la contaminación permitida en el abastecimiento de agua es de 50 bacterias por cm3 ,
¿cuál es la probabilidad de que al examinar una muestra de un cm3 , se considere que
cumple con la norma establecida?
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