Ejercicios - Canek

Sobre funciones de dos variables
Definiciones básicas.
1. Para la función f .x; y/ D x 3 C 2xy 2
a. f .2; 3/.
b. f . 1; 1/.
f. f .1; 0/.
c. f .a; a/.
y
g. f 1;
.
x
d. f .tx; tx/.
d
yC
p
a. g.3; 4/.
b. g.4; 3/.
c. g.tx; tx/.
d. g.1; a/.
c. h. 1; 0/.
d. h.y; x/.
e. h.tx; ty/.
3
4. Para la función .t; u/ D
a. .1; 1/.
b. .a; a/.
u
.ln u
t
ln t/, obtener:
c. .r t; r u/.
u
d. 1;
.
t
e. t
u
;1 .
4
5. Para la función f .x; y/ D
x2 C y2
, obtener:
xy x 2
a. f .2; 1/.
d. f .1; a/.
b. f .a; a/.
e. f .a; 1/.
c. f .tx; ty/.
f. f .ty; tx/.
d
y
e. g 1;
, x > 0.
x
x C ye y=x
, obtener:
xe y=x
a. h.1; 0/.
b. h.a; a/.
d
x2 C y2
, obtener:
x
2
3. Para la función h.x; y/ D
d
y
.
h. x 3f 1;
x
x
;1 .
i. f
y
x
;1 .
j. y 3 f
y
1
2. Para la función g.x; y/ D
d
y 3 , obtener:
1 1
e. f
.
;
2 2
5
canek.azc.uam.mx: 16/ 5/ 2015/546
y
g. f 1;
.
x
x
;1 .
h. f
y
2
Derivadas parciales.
Calcular las derivadas parciales de las funciones siguientes:
1. f .x; y/ D 3x 4
d
4x 2 y 2
6
x
y
2. g.x; y/ D e sen y
d
5y 4 C 6.
e cos x.
d
8
4. w D t 2 u3 e t
d
2 u3
.
9
7
5. h.x; y/ D x tan.x 2 C y 2 /
x3 y3
3. z D 3
.
x C y2
d
y sec.x 2 C y 2 /.
10
Derivadas totales.
Obtener la diferencial exacta o total de cada una de las siguientes funciones:
1. f .x; y/ D y sen x
d
x cos y.
11
2. g.x; y/ D xy tan.xy/.
d
12
d
13
4. y D u3
d
2u2 w C 3uw 2
14
5. .x; u/ D
y y
3. z D ln .
x x
4w 2.
d
15
d
28
p
u2
x2.
Derivación implicita.
dy
Obtener
de la siguientes ecuaciones:
dx
1.
x
y
d
xy 2 C 3 D 0.
4. x ln y D xy 2 C e 2y .
26
2. 5x 2y C ln x D 0.
d
3. 3x
27
y C Ce
d
29
5. sen x
x
D 0.
d
3y C 2xy D 0.
30
Derivadas parciales de orden superior.
Calcular las segundas derivadas parciales y verificar la igualdad de las parciales mixtas para las funciones siguientes:
1. f .x; y/ D x 4
d
2x 2y 2 C y 4 .
16
2. g.x; y/ D e x cos y C e y sen x.
d
17
3. h.x; y/ D sen.xy/.
d
18
4. z.x; y/ D .2x
d
3y/5 .
19
5. w.u; y/ D cos.3u C 2y/.
d
20
3
Integración parcial.
Evaluar en cada ejercicio las integrales de la funciones presentadas:
1.
Z x
2.
Z x
3.
Z x
4.
Z x
d
d
d
d
5.
Z x
d
f .x; y/ dx &
Z y
f .x; y/ dy; para f .x; y/ D 5x 4
Z y
g.x; y/ dy; para g.x; y/ D
Z y
.x; y/ dy; para .x; y/ D xy.x 2 C y 2 /9 :
Z y
f .x; y/ dy; para f .x; y/ D xy cos xy :
Z y
g.x; y/ dy; para g.x; y/ D 2xye .x
6x 2 y 2 C 4y 3
21
g.x; y/ dx &
p
3
4x
5y :
22
.x; y/ dx &
23
f .x; y/ dx &
24
g.x; y/ dx &
25
2
y2/
:
1: