Apdo. 1.1 Sistemas de numeración Sistemas de numeración no

Instituto Cultural Tampico
Secundaria
Matemáticas 1
TEMARIO PARA EL REPASO ANUAL DE MATEMÁTICAS 1 Bloque 1
Nombre de la profesora:
Durante el presente ciclo, se trabajó en forma intencionada dos competencias genéricas del Sistema de
Colegios Jesuitas y se les relacionó con las cuatro competencias propias de la Asignatura, según la SEP.
Competencia o Competencias de la Asignatura :
Planteamiento y resolución de problemas
Competencia genérica SCJ:
Elemento:
Habilidad: Plantear y resolver problemas a
Liderazgo Intelectual
Integración de
partir de una situación de su vida cotidiana.
saberes.
Argumentación
Habilidad: Fundamentar ideas y escucha en
Competencia genérica SCJ:
Elemento:
forma activa para construir su conocimiento y
Liderazgo Intelectual
Pensamiento
desarrollar habilidades sociales.
dialógico.
Comunicación
Competencia genérica SCJ: Elemento:
Habilidad: Escribir fielmente su proceso de
Comunicación
Expresión y
resolución de problemas, así como la
comprensión de
respuesta al mismo, porque entiende la
lenguajes oral,
necesidad de comunicarse correctamente
escrito y no verbal
con sus posibles lectores.
Manejo de técnicas
Competencia genérica SCJ: Elemento:
Habilidad: Planteas y resolver problemas
Liderazgo intelectual
Integración de
utilizando los conocimientos adquiridos, a
saberes.
partir de una situación de su vida cotidiana.
Nota: en cada apartado te haré una lista de cotejo para que sepas en qué aspectos necesitas
fijar tu atención para lograr un aprendizaje duradero y, por consecuencia, una buena nota.
Listas de Cotejo o de Comprobación:
Corresponden a una lista de palabras, frase u oraciones que señalan con mucha
especificidad, ciertas tareas, acciones, procesos, productos de aprendizaje, conductas
positivas o negativas para ser considerados en una evaluación.
BLOQUE 1
Eje: Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico
Apdo. 1.1 Sistemas de numeración
No Posicionales: egipcio y romano
Posicionales: babilonio, maya sistemas de numeración con base diferente a 10 y la relación de
éstos con el sistema de numeración decimal.
Sistemas de numeración no posicionales
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en la representación de números en los diferentes sistemas son:
1. Elijo los símbolos que representan correctamente el número que deseo construir.
2. Uso correctamente las reglas del sistema de numeración, ya sea posicional o no
posicional.
3. Escribo el procedimiento que justifica mi resultado.
4. Escribo en forma legible los símbolos.
Sistema de numeración Egipcio:
Símbolos del sistema egipcio:
Valor
Símbolo
Valor
1
1000
10
10, 000
100
100, 000
Símbolo
Valor
1’000,000
Símbolo
Reglas del sistema de numeración egipcio:
1. Los numerales (símbolos) se pueden repetir sólo hasta 9 veces.
2. Para encontrar el valor del número, se suman los valores de los símbolos que lo forman,
sin importar su posición.
Ejemplos:
Escribe los números que representen los siguientes símbolos egipcios.
a)
b)
10,000 + 500 + 4 = 10,504
1,000 + 400 + 10 = 1,410
Escribe en el sistema de numeración egipcio los siguientes números:
d) 1 896
a) 3 421
Ejercicios:
Escribe en sistema decimal:
a)
b)
Escribe en sistema egipcio:
b) 6 874
d) 213 005
Sistema de numeración romano:
Símbolos del sistema romano:
Símbolo
Valor absoluto
1
1
Símbolo
C
Valor absoluto
100
V
5
D
500
X
10
M
1, 000
L
50
_
Para multiplicar por 1,
000
Reglas del sistema de numeración romano:
1. Los numerales (símbolos) se pueden repetir sólo hasta 3 veces, pero no todos, sólo el 1, el
10, el 100 y el 1000.
2. Se apega a cuatro principios:
• Principio aditivo: para encontrar el valor del número, se suman los valores de los símbolos
que lo forman, sin importar su posición, excepto en los casos en que se aplica el principio
sustractivo.
• Principio sustractivo: si uno de los símbolos I, X, C se encuentran a la izquierda de otro
símbolo de mayor valor, se le resta a éste el valor correspondiente, ejemplos en tabla 1.
Nota: un error muy común es escribir 99 como IC, sin embargo, la forma correcta de
escribir 99 es: XCIX.
• Principio multiplicativo: si un símbolo tiene una testa ( ), entonces se multiplica por 1,000.
Ejemplos: CC = 200,000, L = 50,000.
Principio de economía: es mejor usar menos símbolos para escribir un número:
Ejemplo: se escribe IV, en vez de IIII, por eso se repite sólo hasta 3 veces cada símbolo.
•
Si el
símbolo
Se encuentra
a la izquierda
del
I
V
IV = 5 – 1 = 4
V
VI = 6
VII = 7
VIII = 8
X
IX = 10 – 1 = 9
X
XI = 11
XII = 12
XIII = 13
L
XL = 50 – 10 = 40
L
LX = 60
LXX = 70
LXXX = 80
X
Se resta y se lee
Si se encuentra
a la derecha del
Se lee
C
C
XC = 100 – 10 = 90
C
D
CD = 500 – 100 = 400
D
M
CM = 1000 – 100 = 900
M
CX = 110
CXX = 120
CXXX = 130
DC = 600
DCC = 700
DCCC = 800
MC = 1,100
MCC = 1,200
MCCC = 1,300
Anota el número romano correspondiente a cada cantidad:
Ejemplo:
1 998 = MCMXCVIII
Ejercicio:
1 110 327 =
Ejemplo:
Escribe cada número romano en el sistema de numeración decimal:
MMDXCII
2 592 porque: MM = 2,000 D = 500, XC = 90
y
II = 2
Ejercicio:
a) XCI XLIV
b) MMMCDXLVIII
c) XXXIX
Sistemas de numeración posicionales
Conceptos generales
Valor absoluto: Es el valor que tiene un número por su figura.
Ejemplos:
Símbolo babilonio
Símbolo maya
Valor absoluto
À
•
1
½
___
___
10
Valor relativo o posicional: es el que tiene un número de acuerdo a su posición en un sistema
posicional.
Para todos los sistemas de numeración posicionales, la primera posición corresponde a la unidad y
la segunda posición tiene un valor relativo (o posicional) igual a su base.
Ejemplos:
En el sistema maya, la primera posición está en la caja más inferior.
Núm. Valor posicional
Núm. Valor posicional
Núm.
•
•
•
1x1 = 1
Valor posicional
1 x 400 = 400
1 x 20 = 20
0 x 20 = 0
0x1 =0
0x1=0
En el sistema babilonio, las posiciones van de derecha a izquierda y se separan por el sìmbolo
3ª posición
2ª posición
:
1ª posición
:
À
1x1=1
Valor del número: 1
:
ÀÀ
À
:
60 x 2 = 120
1x1=1
Valor del número: 120 + 1 = 121
À
:
3600 x 1
ÀÀÀ
:
ÀÀÀÀ
60 x 3 = 180
1x4=4
Valor del número: 3,600 x 1 + 60 x 3 + 1 x 4 = 3600 + 180 + 4 = 3,784
Sistemas de numeración posicionales:
• Babilónico
• Maya
• Sistemas de numeración con base diferente de 10
• Relación de los sistemas de numeración posicionales con el sistema decimal.
Sistema de numeración babilónico
Símbolos del sistema babilónico:
SÌMBOLOS
VALOR ABSOLUTO O FUNCIÓN
À
½
:
1
10
Para separar las posiciones
Reglas:
1. Es un sistema posicional, es decir, el valor de cada símbolo, además del que tiene por su
figura, tiene un valor de acuerdo a su posición.
2. Las posiciones se desarrollan de la misma manera que el sistema decimal, es decir, de
derecha a izquierda.
3. Tiene base 60.
4. Se separa cada posición con el símbolo
:
5. En cada posición, se puede repetir cada símbolo hasta 9 veces.
6. Dentro de cada posición, no importa cómo se acomoden los símbolos.
Ejemplo:
Escribe en el sistema decimal
À½½ : ÀÀ : ½½ À
À½ : ÀÀ : ½½ ÀÀÀ
3,600 x 11 + 60 x 2 + 1 x 23 =
3,600 x 21 + 60 x 2 + 1 x 21 =
75,600
+ 120 + 21
=
75,741
39,600
+ 120 +
23
= 39,743
Ejercicios:
À½ : ½ ÀÀ : ½½½ À
À½½ : ½½ : ½½ À
Para convertir un número del sistema decimal al babilónico:
1. Se divide el número entre 60. Se circula el residuo.
2. El cociente de esta división se utiliza como dividendo en una segunda división, en la que el
divisor sigue siendo 60. Se circula el residuo.
3. Se repite el paso 2 hasta que el cociente quede menor que 60.
4. El número se construye tomando para la primera posición el residuo de la primera división
y los residuos de todas las divisiones de izquierda a derecha, incluyendo el cociente de la
última división.
Ejemplo:
Convierte el número 7 845 al sistema babilónico
60
130
7 845
1 84
45
Por lo tanto, el número es:
2
60
3ª
posición
130
10
1ª
posición
2ª
posición
ÀÀ : ½ : ½½½½ÀÀÀÀÀ
Ejercicios:
Convierte del sistema de numeración decimal al babilónico:
3 465
9 537
Resultado:
Resultado:
Sistema de numeración maya
Símbolos del sistema maya:
SÌMBOLOS
VALOR
0
•
1
___
5
Reglas:
1. Es un sistema posicional, es decir, el valor de cada símbolo, además del que tiene por su
figura, tiene un valor de acuerdo a su posición.
2. Tiene base 20.
3. Se separa cada posición en “cajas”, siendo la primera posición la caja inferior.
4. En cada posición, se puede repetir el 1, hasta 4 veces y el 5, hasta 3 veces.
5. Esta civilización sí conoció el 0, que representaba con una semilla de cacao.
6. Dentro de cada posición, se coloca la barra para el 5 en forma horizontal y los puntos
necesarios sobre ella.
Escribe en el sistema decimal los siguientes números mayas:
Ejemplo:
Símbolo
a)
Valor
8 000 x 2 =
400 x 0
Resultado
Símbolo
16 000
=
0
20 x 16 =
320
1 X 11 =
11
16, 331
b)
Resultado
Valor
Para convertir un número del sistema decimal al maya:
1. Se divide el número entre 20. Se circula el residuo.
2. El cociente de esta división se utiliza como dividendo en una segunda división, en la que el
divisor sigue siendo 20. Se circula el residuo.
3. Se repite el paso 2 hasta que el cociente quede menor que 20.
4. El número se construye tomando para la primera posición el residuo de la primera división
y los residuos de todas las divisiones de izquierda a derecha, terminando con el cociente
de la última división. Se coloca en las cajas, representándolo con los signos apropiados,
de abajo hacia arriba.
Ejemplo:
1 250
20
602
1250
050
20
30
602
1
30
20
02
10
10
Resultado:
1ª posición: 10
2ª posición: 2
3ª posición: 10
4ª posición: 1
•
___
___
••
___
___
Ejercicio
924
Sistemas de numeración con base diferente a 10:
Sistema binario:
Reglas:
1. Es un sistema posicional, es decir, el valor de cada símbolo, además del que tiene por su
figura, tiene un valor de acuerdo a su posición.
2.
3.
4.
5.
Tiene base 2.
Sus símbolos son el 0 y el 1.
Se debe escribir la base como un subíndice a la derecha del número.
El valor posicional se va desarrollando en potencias de 2 de derecha a izquierda. La
primera posición, como en todos los sistemas posicionales, equivale a la unidad.
Convierte al sistema decimal:
Ejemplo:
110 101 2
Número en sistema binario
Valor posicional
1
1
0
1
25
24
23
22
32
16
8
4
Valor posicional x valor absoluto 32x1 + 16x1 + 8x0+ 4x1+
32 +
16 +
0+
4+
Por lo tanto: 110 101 2 = 53
0
21
2
2x0+
0+
1
20
1
1x1
1
=
= 53
Ejercicio:
101 1102
Para convertir un número del sistema decimal al binario:
1. Se divide el número entre 2. Se circula el residuo.
2. El cociente de esta división se utiliza como dividendo en una segunda división, en la que el
divisor sigue siendo 2. Se circula el residuo.
3. Se repite el paso 2 hasta que el cociente quede menor que 2.
4. El número se construye tomando para la primera posición el residuo de la primera división
y los residuos de todas las divisiones de izquierda a derecha, terminando con el cociente
de la última división.
5. Se colocan los símbolos en las posiciones correspondientes, de derecha a izquierda.
Convierte a sistema binario los siguientes números:
Ejemplo:
249
2
124
249
04
09
62
124
04
2
2
0
31
62
02
2
15
31
2
1
7
15
2
1
3
7
8ª posición
1
2
1
3
1
0
1
1ª
posición
2ª
posición
6ª
posición
7ª
posición
Recordemos que las posiciones se desarrollan de derecha a izquierda:
Posición:
8ª
7ª
6ª
5ª
4ª
3ª
2ª
1ª
Símbolo
0
1
1
Por lo tanto, el número es:
249 = 11 111 0012
3ª
posición
1
4ª
posición
1
5ª
posición
1
1
0
Ejercicio
324
Relación entre los sistemas de numeración posicionales y el sistema de numeración decimal.
Posición Sistema
Sistema maya Sistema
Sistema
Sistema
babilónico
binario
quinario
decimal
600 = 1
200 = 1
20 = 1
50 = 1
100 = 1
1
1
1
1
1
60 = 60
20 = 20
2 =2
5 =5
101 = 10
2
2
2
2
2
60 = 3600
20 = 400
2 =4
5 = 25
102 = 100
3
3
3
3
3
60 = 216 000 20 = 8 000
2 =8
5 = 125
103 = 1 000
4
Notación desarrollada y a la notación exponencial
Al ser el sistema decimal un sistema de numeración posicional, podemos expresar cualquier
número a través de su notación desarrollada, en el que se multiplica el valor absoluto por el valor
posicional de cada cifra, o de la notación exponencial, en el que el valor relativo se expresa como
una potencia de 10.
Ejemplo:
NOTACIÓN DESARROLLADA
NOTACIÓN EXPONENCIAL
NÚMERO
4
1 x 10 000 + 2 x 1000 + 5 x 100 + 7 x 10 + 6 x 1 1 x 10 + 2 x 103 + 5 x 102 + 7 x 101 + 6 x 100
12 576
También es posible expresar los números decimales de esta manera, utilizando exponente
negativo para expresar el hecho de que un número decimal es la representación de una fracción
decimal, es decir, de una fracción cuyo denominador es un múltiplo de 10:
NÚMERO DECIMAL
FRACCIÓN DECIMAL
NOTACIÓN EXPONENCIAL
0.1
1
10−1
0.01
0.001
0.0001
Ejemplo:
Número
530.03
10
1
100
1
1000
1
10000
10−3
10−4
Notación desarrollada
5 x 100 + 3 x 10 + 0 + 0 + 3 x
Ejercicio:
Número
10−2
1
100
Notación exponencial
5 x 102 + 3 x 10 + 3 x 10-2
Notación desarrollada
Notación exponencial
3x
105
+ 6 x 103 + 5 x 100 + 2 x 10-2
Ejercicios:
Escribe el número propuesto en el sistema de numeración decimal y después conviértelo al
sistema de numeración solicitado. Justifica tu respuesta a través del procedimiento seguido para
construir cada número:
À À : À À À : ½½ ½ À À
Sistema de
numeración
a) Decimal
Operaciones para convertir
Número
b) Romano
c) Maya
Notación desarrollada y notación exponencial:
Completa la siguiente tabla
.
Número
Notación exponencial
Notación desarrollada
3 x 105 + 6 x 103 + 5 x 100 + 2 x 10- 2
32 201
76 197
Expresa en base 10.
1 001 001 2 =
2315 =
Ejercicios:
El número
Se convierte al sistema decimal mediante y da como
el procedimiento
resultado
_
…
=
y
5x104 + 5x10 + 6 x 10-2
110112
3125
À½:
:½À
_
MCMLVII
7x10-1 + 4x10-2 + 5x10-3
Apdo. 1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica.
Conceptos básicos:
Es posible representar a los números naturales, fraccionarios y decimales en la recta numérica,
estableciendo una correspondencia entre los números y los puntos de la recta, empleando la
misma distancia para cantidades iguales.
La recta tiene marcada con una flecha la dirección hacia donde se desarrollan los números
positivos, es decir, hacia la derecha del 0.
Se le llama propiedad de densidad de los números fraccionarios al hecho de que siempre se puede
ubicar por lo menos un número fraccionario entre otros dos.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en la representación de números en la recta numérica son:
1. Elijo la escala que me permite representar correctamente el número que deseo.
2. Todas las unidades son del mismo tamaño.
3. Escribo el procedimiento que justifica mi resultado.
4. Represento de manera clara y visible la solución en la recta numérica..
Representa en la siguiente recta numérica las fracciones
9
3
y .
4
2
Encuentra por lo menos una fracción que se encuentre entre
2
3
y
. Representa la solución en
4
4
una recta numérica.
1.3 Construir sucesiones de números a partir de una regla dada.
Conceptos básicos
Una sucesión es una serie de números ordenados según una regla. A cada elemento de la
sucesión se le llama término. Cada término se encuentra relacionado con la posición en que se
encuentra.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en los problemas de sucesiones son:
1. Identifico la posición de cada número conocido de la sucesión.
2. Escribo la relación que encuentro entre cada número y su posición.
3. Escribo la regla que representa esta relación en forma clara.
4. Anoto el procedimiento que justifica mis resultados para las posiciones solicitadas.
Ejemplo:
Dada la sucesión: 3, 7, 11,…,
Encuentra:
a) la regla de sucesión.
b) los siguientes 3 términos, de acuerdo con la regla.
c) Los términos que se encuentran en las posiciones 53 y 121
Solución:
a) la regla de sucesión:
Posición (n)
Término
Relación entre n
y el término
1
3
4x1–1=3
2
7
4 x2–1=7
3
11
4 x 3 – 1 = 11
n
4n – 1
Por tanto, la regla de sucesión es: an = 4n – 1
En donde es posible encontrar el 4 observando el incremento entre los términos de la
sucesión:
7 - 3=4
11 – 7 = 4.
Nota: cuando se multiplica un número por una literal, no se escribe el signo de multiplicar y el
número se escribe antes de la letra.
d) los siguientes 3 términos, de acuerdo con la regla.
a4 =4 x 4 – 1 = 15
a5 = 5 x 4 – 1 = 19
a6 = 6 x 4 – 1 = 23
e) Los números correspondientes a las posiciones:
Posición 53
Posición 121
a53 = 4 x 53 – 1 = 211
a121 = 4 x 121 – 1 = 483
Dada la siguiente sucesión:
7, 12, 17, 22,
a) Encuentra la regla:
Posición (n)
Término
1
2
3
n
Relación entre n
y el término
b) Encuentra los tres términos siguientes.
1.4 Patrones y fórmulas. Principios de lenguaje algebraico.
El lenguaje algebraico permite representar con símbolos y literales las variables de un
proceso y la relación entre ellas.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en la aplicación de lenguaje algebraico son:
1. Identifico las variables que representan las medidas de cada figura.
2. Escribo la fórmula que quiero representar, tal como la conozco.
3. Escribo la fórmula que quiero representar, con las variables dadas en el problema.
4. Antes de cada signo de = escribo la cantidad que estoy calculando (P, A).
1. Calcula lo que se te pide, tomando como datos las medidas reales:
Ejemplo:
c
a
y
m
m
b
Perímetro = l1 + l2 + l3
P = suma de los lados del
triángulo
m
x
Perímetro =
Perímetro =
Ejemplo:
P=a+b+c
Área = bh
A=
A = xy
A=
Área=
Ejercicio:
Observa cada una de las expresiones algebraicas para calcular el área de un polígono, anotando
V o F para Verdadero o Falso, según corresponda. Si es F, anota la fórmula correcta:
La fórmula
Sirve para calcular el
VoF
Fórmula correcta (sólo en caso necesario)
área del
A = bh
Cuadrado
Bh
2
Dd
A=
2
Rectángulo
A=l2
Triángulo
A=
A=
Rombo
( B + b) h
2
Romboide
Anota la expresión algebraica que representa el perímetro de la siguiente figura:
DATOS
FORMULA
SUSTITUCIÓN
40
5
b
RESULTADO
50
30
En la clase de costura los alumnos de primer grado deben confeccionar una bandera. Las medidas
de cada color son de 40 cm de base por 80 cm de altura.
a) Calcula el área de la tela que se debe comprar de cada color
DATOS
FÒRMULA
SUSTITUCIÓN
OPERACIONES
RESULTADO
b) Calcula la longitud del refuerzo que se debe colocar en la orilla de cada color de la bandera.
Las medidas de cada color son de 40 cm de base por 80 cm de altura. El refuerzo es una tira que
se coloca en las orillas de cada color en una bandera para evitar que se rompa por la acción del
viento.
DATOS
FÒRMULA
SUSTITUCIÓN
OPERACIONES
RESULTADO
Eje: Forma, espacio y medida
1.5 Simetría Axial y simetría radial.
Simetría axial: es la que presenta una figura con respecto a un eje (eje de simetría).
Condición de simetría: todos los puntos de la figura reflejada se encuentran a la misma distancia
del eje de simetría con relación a sus puntos homólogos de la figura original. Los puntos
homólogos se encuentran sobre una misma recta perpendicular al eje de simetría y a la misma
distancia, pero en lados opuestos del eje.
Simetría radial: es la que presenta una figura con respecto a un punto (centro de simetría).
Condición de simetría: todos los puntos de la figura reflejada se encuentran a la misma distancia
del centro de simetría con relación a sus puntos homólogos de la figura original. Los puntos
homólogos se encuentran sobre una misma recta a la misma distancia del centro de simetría, pero
en lados opuestos del mismo.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en el trazo de figuras simétricas son:
1. Uso mi juego de geometría para hacer los trazos.
2. La figura simétrica y la original cumplen con las condiciones de simetría.
1. Traza la figura simétrica usando como eje de simetría la recta dada
q
Dibuja un objeto que presente el tipo de simetría que se te pide:
SIMETRÍA AXIAL
SIMETRÍA RADIAL
Encuentra el centro de simetría de la figura A y el eje de simetría de la figura B.
a)
b)
Anota V o F en las características que presenta la figura original con respecto a su simétrico.
Los puntos simétricos respecto a un eje están a diferentes distancias de éste
La forma de una figura corresponde a su simétrica como la imagen de un espejo
Los lados correspondientes de las figuras simétricas son paralelos
La línea entre las figuras simétricas y el eje de simetría no es perpendicular a éste.
Eje: Manejo de la información
Apdo. 1.6 Proporcionalidad directa.
Proporcionalidad directa. Es aquella relación entre dos variables de manera que si aumenta una
de ellas la otra aumenta en la misma proporción.
Constante de proporcionalidad (valor unitario). Es la razón de cambio de las variables de una
proporción directa. Se obtiene dividiendo la variable dependiente entre la variable independiente.
También se le conoce como factor constante.
Variable independiente. Es aquella que puede tomar valores arbitrarios.
Variable dependiente: es aquella que toma los valores en función de la variable independiente.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en los problemas de proporcionalidad directa son:
1. Anoto la operación utilizada para encontrar la constante de proporcionalidad.
2. Escribo el procedimiento que justifica los resultados de la tabla.
Ejemplo:
Encontrar “valor faltante” en proporciones, regla de tres y tablas de valores.
Para preparar una clase de chocolate hay que comprar 3 kg de azúcar por cada 8 kg de cacao.
¿Cuántos kilogramos de azúcar se deben comprar para 6, 13 y 17 kg de cacao? Escribe tus
respuestas en la siguiente tabla y responde a las preguntas posteriores.
Kg. de
Kg de azúcar
Operaciones
cacao
6
3
3 1
=
Constante de proporcionalidad
6
8
15
2
1
(8) = 4
2
1
(15) = 7.5
2
Resuelve el siguiente problema:
Para preparar una clase de chocolate hay que comprar 3 kg de azúcar por cada 6 kg de cacao.
¿Cuánto cacao hay que comprar para 2, 5, 10 y 25 kg de azúcar? Escribe tus respuestas en la
siguiente tabla:
kg. de azúcar
2
3
5
10
25
kg de cacao
6
Después responde las siguientes preguntas, de acuerdo con la información de la tabla.
a) ¿Existe un número que al multiplicarse por cualquier cantidad de kilogramos de azúcar se
obtengan los kilogramos de cacao correspondientes? ¿Cuál es?
b) ¿Cuántos kilogramos de cacao se necesitan por cada kilogramo de azúcar
c) ¿Qué relación encuentran entre el factor constante que identificaron en a) y el número de
kilogramos de cacao por cada kilogramo de azúcar?
d) ¿Cómo se llama el número que representa la relación entre los kg de cacao y los kg de
azúcar?
Resuelve el siguiente problema
Si una vela de 20 cm de altura dura encendida 30 horas,
¿Cuánto tiempo duraría una vela (del mismo grosor y material), de 12 cm de altura?
DATOS
CONSTANTE
DE OPERACIONES
RESULTADO
PROPORCIONALIDAD
¿Cuánto tiempo duraría una vela de 1 cm, tomando en cuenta los valores dados?
PROCEDIMIENTO
RESULTADO
¿Cuánto tiempo duraría una vela de 10 cm, considerando los valores dados?
PROCEDIMIENTO
RESULTADO
Una estampa de béisbol original mide 30 x 45 cm ¿cuál es el factor de proporcionalidad si la
estampa reducida mide 10 x 15 cm, respectivamente?
Justificación de la respuesta dada:
1
1 Constante de proporcionalidad:
a) 6
b)
c) 3
d)
10 1
3
6
30
=
3
15 1
=
45 3
Apdo. 1.7 Reparto proporcional
Conceptos básicos:
En un problema de reparto proporcional se considera la aportación de cada persona que interviene
en el reparto. Para ello, primero se encuentra el total de fracciones iguales en que se debe dividir
el entero, para después otorgar la parte correspondiente a cada persona que aportó.
Procedimiento:
1. Se suman las partes en que se quiere repartir para conocer el número de fracciones en
que se va a dividir el total.
2. Se divide el total entre el número de fracciones, para conocer el valor unitario de cada
fracción.
3. Se multiplica el valor unitario por cada una de las partes en que se quiere repartir el total.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en la resolución de un problema de reparto proporcional son:
1. Identifico los datos que me ayudan a establecer el valor unitario.
2. Escribo paso a paso el procedimiento que justifica mi resultado.
3. Escribo en forma legible y ordenada los resultados que responden la pregunta al final
de todo el procedimiento.
Ejemplo:
La mamá de unos niños quiere repartir 140 estampas en forma proporcional a sus edades.
¿Cuántas estampas le tocan a cada niño si tienen: Juan 6 años, José 5 años y Luis 3 años?
1. Se suman las partes en que se quiere repartir para conocer el número de fracciones en
que se va a dividir el total.
6 + 5 + 3 = 14
2. Se divide el total entre el número de fracciones, para conocer el valor unitario de cada
fracción.
140 : 14 = 10
3. Se multiplica el valor unitario por cada una de las partes en que se quiere repartir el
total.
10 x 6 = 60
10 x 5 = 50
10 x 3 = 30
Respuesta: Les toca: a Juan: 60 estampas, a José: 50 estampas y a Luis: 30 estampas.
Ejercicios:
Tres campesinos recibirán un terreno de 250 000 ha; de acuerdo con sus documentos, el primero
recibirá seis décimas partes del terreno y los otros dos recibirán la mitad del resto cada uno. ¿Qué
superficie le corresponde a cada campesino?
Justificación de la respuesta dada:
a) 100 000 ha, 100 000 ha, 100 000 ha
b) 50 000 ha, 125 000 ha, 41 600 ha
c) 150 000 ha, 50 000 ha, 50 000 ha
d) 50 000 ha, 100 000 ha, 100 000 ha
Entre Luis, Juan y José se ganaron un premio de $ 5,000. ¿Cómo debe ser la repartición del
premio en forma proporcional, si Luis puso $ 40.00, y Juan y José pusieron $30.00 cada uno?
DATOS
PROCEDIMIENTO
RESULTADO
Ana, Lupita y Marifer ganaron un premio de $2,000. ¿En qué proporción se lo deben repartir si
pusieron para el boleto $25.00, $35.00 y $40.00, respectivamente?
DATOS
PROCEDIMIENTO
RESULTADO
Apartado 1.8 Herramientas para resolver problemas de conteo: diagramas de árbol, tablas
de doble entrada
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en un diagrama de árbol son:
1. Represento en un solo diagrama de árbol todas las combinaciones.
2. Es evidente la relación que existe entre una opción y la siguiente.
3. A través del diagrama puedo encontrar las combinaciones que se solicitan.
Ejemplo:
Cristi va a clasificar libros utilizando un código con los números 1, 2, 3, con las letras a, b, y con
los símbolos π y Δ . ¿De cuántas maneras diferentes puede etiquetar los libros?
Justificación de la respuesta dada:
a) 7
Diagrama de árbol
Combinaciones resultantes
b) 3
c) 6
d) 12
¿De cuántas formas se pueden combinar 3 canicas de colores con cuatro tarjetas numeradas del 1
al 4? Representa las soluciones por medio de una tabla de doble entrada y de un diagrama de
árbol.
Tabla de doble entrada
Diagrama de árbol
¿Cuántos ordenamientos son posibles al combinar una moneda con un dado? Representa las
soluciones por medio de una tabla de doble entrada y de un diagrama de árbol.
Tabla de doble entrada
Diagrama de árbol
Instituto Cultural Tampico
Secundaria
Matemáticas 1
TEMARIO PARA EL REPASO ANUAL DE MATEMÁTICAS 1 Bloque 2
Nombre de la profesora:
Durante el presente ciclo, se trabajó en forma intencionada dos competencias genéricas del Sistema de
Colegios Jesuitas y se les relacionó con las cuatro competencias propias de la Asignatura, según la SEP.
Competencia o Competencias de la Asignatura :
Planteamiento y resolución de problemas
Habilidad: Plantear y resolver problemas a
Competencia genérica SCJ:
Elemento:
partir de una situación de su vida cotidiana.
Liderazgo Intelectual
Integración de
saberes.
Argumentación
Competencia genérica SCJ:
Elemento:
Habilidad: Fundamentar ideas y escucha en
Liderazgo Intelectual
Pensamiento
forma activa para construir su conocimiento y
dialógico.
desarrollar habilidades sociales.
Comunicación
Habilidad: Escribir fielmente su proceso de
Competencia genérica SCJ: Elemento:
Comunicación
Expresión y
resolución de problemas, así como la
comprensión de
respuesta al mismo, porque entiende la
lenguajes oral,
necesidad de comunicarse correctamente
escrito y no verbal
con sus posibles lectores.
Manejo de técnicas
Habilidad: Planteas y resolver problemas
Competencia genérica SCJ: Elemento:
utilizando los conocimientos adquiridos, a
Integración de
Liderazgo intelectual
partir de una situación de su vida cotidiana.
saberes.
Nota: en cada apartado te haré una lista de cotejo para que sepas en qué aspectos necesitas
fijar tu atención para lograr un aprendizaje duradero y, por consecuencia, una buena nota.
Listas de Cotejo o de Comprobación:
Corresponden a una lista de palabras, frase u oraciones que señalan con mucha
especificidad, ciertas tareas, acciones, procesos, productos de aprendizaje, conductas
positivas o negativas para ser considerados en una evaluación.
Bloque 2:
Eje: Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico
2.1 Problemas aditivos y sustractivos con números enteros, fraccionarios y decimales
Problemas de aplicación.
Conceptos básicos:
Fracción común: es la representación de las porciones de un entero. Está formada por el
denominador, que representa las partes iguales en que se divide al entero y por el numerador, que
indica el número de estas partes que se toman del entero.
Ejemplo:
En la fracción:
3
el numerador es 3 y el denominador es 4
4
Fracciones equivalentes: Son aquellas que, aunque sean aparentemente distintas, representan
una misma parte de la unidad
18 9
=
56 28
35 7
=
55 11
24 12 6 2
=
= =
36 18 9 3
Para sumar o restar fracciones con un mismo denominador, se suman o restan (según sea el
caso), los numeradores y se escribe el mismo denominador, ya que sólo se pueden sumar
fracciones iguales.
Ejemplo:
3
6
7 16
+
+
=
25 25 25 25
En general:
x y z x+ y+z
+ + =
a a a
a
Para sumar o restar fracciones con denominadores distintos, primero se transforman los sumandos
en fracciones equivalentes con un mismo denominador (común denominador), para poder aplicar
la regla para sumar o restar fracciones con un mismo denominador.
Ejemplos:
Si uno de los denominadores es múltiplo de los otros, se elige éste como común denominador:
1 5 1 3+5−2 6 1
+ − =
=
=
4 12 6
12
12 2
Si ninguno de los denominadores es divisible entre los otros, la forma más sencilla de obtener el
común denominador es multiplicar los denominadores.
Procedimiento para sumar fracciones con diferentes denominadores:
1. Encuentra el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores de las fracciones, para
obtener el denominador común.
2. Obtén las fracciones equivalentes con el común denominador.
3. Suma los numeradores de las fracciones y anota en el resultado el común denominador.
4. Simplifica la fracción (si es posible).
Ejemplo:
7 13 1 21 52 12 73 12 61
+ − =
+ −
=
−
=
20 15 5 60 60 60 60 60 60
El mínimo común múltiplo se obtiene por factorización:
15 3
5 5
20 2
5 5
1
10 2
1
5 5
1
MCM: 2X2X3X5=60
Método alternativo, multiplicando los denominadores (no siempre es el más práctico):
5 4 45 + 32 77
+ =
=
8 9
72
72
Nota: no es necesario convertir a número mixto, pero sí simplificar.
Nota: es importante aplicar las reglas para sumar o restar fracciones comunes sin convertirlas a
decimales, ya que cada una tiene su aplicación.
Para sumar o restar números decimales es necesario recordar que sólo se pueden sumar iguales
con iguales, es decir, cifras del mismo orden. Es por eso que se debe anotar en forma vertical y
hacer coincidir el punto decimal para realizar la operación; la operación se inicia por la cifra que
está más hacia la derecha, de igual modo que para los números enteros, pero anotando
claramente el punto decimal, tanto en la operación, como en el resultado.
Ejemplos1:
Suma de números decimales:
3.2756
3.2756
+11.4800
+11.48
Æ
14.7556
14.7556
1
+
23.143
3.2756
11.48__
37.8986
AAA. Math. Sumar decimales. Consultado el 12 de junio de 2010. Disponible en:
http://www.aaamatematicas.com/g6-add_3deci.htm
Æ
23.1430
+ 3.2756
11.4800
37.8986
Resta de números decimales:
_11.4800
3.2756
8.2044
_11.480000
3.2756
8.2044
Æ
_945.29
767.33
177.96
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en la resolución de problemas aditivos y sustractivos de números
fraccionarios y decimales son:
1. Escribo correctamente la operación, según la naturaleza del número, es decir, en una
suma o resta de decimales, respeto el orden de la parte decimal y en una suma o
resta de números fraccionarios, los signos de operación, la línea de denominador y el
signo de igual se encuentran en el mismo renglón.
2. Uso correctamente las reglas para sumar o restar números fraccionarios y decimales.
3. Realizo sin calculadora los cálculos propuestos.
4. Escribo en forma legible los resultados.
Ejemplo:
Un grupo de obreros realiza
2
1
de un trabajo en una semana y
durante los tres días siguientes.
3
6
¿Qué fracción les falta por terminar?
DATOS
PROCEDIMIENTO
En un día:
2 1 4 +1 5
+ =
=
2
3 6
6
6
RESULTADO
Les falta
1
6
3
En los tres
días
siguientes:
1
6
del trabajo
terminar.
5 6−5 1
1− =
=
6
6
6
por
Una costurera tiene tres retazos de tela que corresponden a las siguientes fracciones de un metro:
1 2 1
,
y . ¿Qué cantidad de tela tiene en total?
3 8 4
DATOS
PROCEDIMIENTO
RESULTADO
Entre Pancho, Pepe y Chano quieren comprar una caja de chocolates que cuesta $95.75. Si
Pancho tiene $32.50, Pepe $27.35 y Chano $18.25. ¿Cuánto dinero les falta para comprar los
chocolates?
DATOS
PROCEDIMIENTO
RESULTADO
Elige la respuesta correcta y enciérrala en un círculo:
Cuando alguien dice que un vehículo recorrió 7.005 km de distancia lo que quiere decir es que:
a) Siete kilómetros más cinco metros.
b) Siete kilómetros más cinco décimos de metros.
c) Siete kilómetros más cinco décimos de kilómetro
d) Siete kilómetros más cinco kilómetros.
¿Cuál será el área de la superficie de un cuaderno que mide 18.5 cm x 14.5 cm?
DATOS
PROCEDIMIENTO
RESULTADO
Apdo. 2.2 Problemas de multiplicación y división con números fraccionarios. Problemas de
aplicación
Para multiplicar números fraccionarios se multiplica numerador por numerador y denominador por
denominador y simplificar el resultado. Es posible hacer más sencilla esta operación si se
simplifica desde antes de efectuar la operación, como si un numerador y un denominador que
tengan un divisor común, fueran una sola fracción, sin embargo, sólo se puede llevar a cabo si,
como se menciona, existen numeradores y denominadores con común divisor.
Ejemplo 1:
2 4 3 24 2
x x =
=
3 5 4 60 5
sin embargo, si simplificamos 3 con 3 y 4 con 4,
2 4 3 2 4 3 2
x x = x x = porque cualquier número dividido por sí mismo es igual a la unidad, y
3 5 4 5 4 3 5
cualquier número multiplicado por la unidad es igual a sí mismo.
Ejemplo 2:
4 3 7 4 3 7 1 3 1 3
x x = x x = x x =
7 10 8 8 10 7 2 10 1 20
Nota 1: para multiplicar números mixtos, primero se convierten los factores a fracción impropia.
Nota 2: para convertir números mixtos a fracción impropia, se multiplica el denominador por el
número entero y se le suma el numerador, el resultado de esta suma será el numerador de la
fracción impropia.
Ejemplo 3:
2 5 48 + 2 27 + 5 50 32 1600 200
6 x3 =
x
=
x =
=
8 9
8
9
8 9
72
9
Forma rápida:
50 32 200
x =
8 9
9
Ejemplo 4:
⎛ 3 ⎞⎛ 12 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 28 ⎞ ⎛ 35 ⎞⎛ 64 ⎞⎛ 17 ⎞⎛ 28 ⎞ ⎛ 35 ⎞⎛ 64 ⎞⎛ 17 ⎞⎛ 28 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞⎛ 17 ⎞⎛ 4 ⎞ ⎛ 144 ⎞
⎜1 ⎟⎜ 4 ⎟⎜ 2 ⎟⎜
⎟
⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜
⎟=⎜
⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜
⎝ 32 ⎠⎝ 13 ⎠⎝ 7 ⎠⎝ 105 ⎠ ⎝ 32 ⎠⎝ 13 ⎠⎝ 7 ⎠⎝ 105 ⎠ ⎝ 105 ⎠⎝ 32 ⎠⎝ 13 ⎠⎝ 7 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 1 ⎠⎝ 13 ⎠⎝ 1 ⎠ ⎝ 39 ⎠
Para dividir fracciones, se escribe el inverso multiplicativo del divisor y luego se sigue la regla de la
multiplicación. Recordar qué es el inverso multiplicativo…
2 4 2 5 10 5
÷ = x =
=
3 5 3 4 12 6
Si usamos la simplificación:
2 4 2 5 5
÷ = x =
3 5 3 4 6
Nota: la simplificación sólo se considera como un procedimiento si se hace en forma evidente, es
decir si se cancela un numerador con el denominador correspondiente, y sea posible simplificar.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en la resolución de problemas multiplicativos son:
1. Escribo correctamente la multiplicación o división de números fraccionarios, los signos
de operación, la línea de denominador y el signo de igual se encuentran en el mismo
renglón.
2. Uso correctamente las reglas para multiplicar o dividir números fraccionarios.
3. Realizo sin calculadora los cálculos propuestos.
4. Escribo en forma legible los resultados.
Ejercicios:
Realiza las siguientes operaciones, realizando el mínimo de pasos.
Ejemplo:
1 1 33 5 165
8 x2 = x =
4 2 4 2
8
⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞⎛ 2 ⎞
⎜ 3 ⎟⎜ 2 ⎟⎜ 5 ⎟ =
⎝ 7 ⎠⎝ 8 ⎠⎝ 11 ⎠
⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞
⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠
b) ⎜ ⎟⎜ ⎟ =
⎛ 2 ⎞⎛ 5 ⎞
⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠
d)
a) ⎜ ⎟⎜ ⎟ =
c) ⎜ ⎟⎜ ⎟ =
⎛ 5 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 9 ⎞⎛ 14 ⎞⎛ 44 ⎞⎛ 15 ⎞
⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ =
⎝ 11 ⎠⎝ 7 ⎠⎝ 10 ⎠⎝ 18 ⎠⎝ 25 ⎠⎝ 2 ⎠
e) ⎜
⎛ 5 ⎞⎛ 1 ⎞
⎝ 6 ⎠⎝ 5 ⎠
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
⎜1 ⎟⎜ 2 ⎟ =
⎝ 8 ⎠⎝ 4 ⎠
⎛ 5 ⎞⎛ 2 ⎞⎛ 5 ⎞
⎟⎜ 5 ⎟(4.25) =
⎝ 8 ⎠⎝ 58 ⎠⎝ 6 ⎠
f) ⎜ 3 ⎟⎜
Realiza las siguientes operaciones:
⎛ 3 ⎞⎛ 2 ⎞⎛ 4 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ =
⎝ 4 ⎠⎝ 5 ⎠⎝ 6 ⎠
⎛ 3 3⎞ 5
⎜2 − ⎟ ÷ =
⎝ 5 10 ⎠ 12
Ejemplo:
1) La señora Emma tiene 6
1
1
kg de frijol y quiere formar porciones de
kg. ¿Cuántas
2
4
porciones iguales podrá formar?
DATOS
PROCEDIMIENTO
Total:
1
2
6
Cada
porción:
(6
1
1
⎛ 13 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 52 ⎞
kg ):( kg)= ⎜ ⎟ x⎜ ⎟ = ⎜
⎟ = 26 porciones
2
4
⎝ 2 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2 ⎠
RESULTADO
Puede formar 26
porciones.
1
4
1) De
7
1
1
kg de manzanas,
de ellas se encuentran en mal estado. ¿Qué cantidad
2
6
están en buen estado?
DATOS
PROCEDIMIENTO
RESULTADO
Apdo. 2.3 Problemas de multiplicación y división de números decimales.
Conceptos básicos:
Para multiplicar números decimales, se procede como si los factores fuesen números naturales,
separando, en el producto, de derecha a izquierda, tantas cifras decimales como haya en ambos
factores; si faltan lugares, se cubren con ceros.
Ejemplo:
56.234
X7.019
506106
56234
393638___
394.706446
Para dividir dos números decimales o un número natural entre un decimal, se transforma la división
dada en otra equivalente, multiplicando el dividiendo y el divisor por la unidad seguida de tantos
ceros como cifras decimales tiene el divisor. Después, se efectúa la división como si ambos
números fueran naturales.
Ejemplos:
17
0.17
0.4138
Æ
41.38
Æ
17
17
0.0243
0.4138
73
058
07
243
4138
73
058
07
0.17
0.4138
Æ
17
2.43
41.38
73
0 58
07
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en la resolución de problemas aditivos y sustractivos son:
1. Escribo correctamente la multiplicación o división de números decimales.
2. Uso correctamente las reglas para multiplicar o dividir números decimales.
3. Realizo sin calculadora los cálculos propuestos.
4. Escribo en forma legible y correcta los resultados, ubicando de manera clara el punto
decimal.
Realiza las siguientes operaciones:
0.563 x 0.0087 =
7684.23 ÷ 0.56 =
420.0673 x 0.087 =
708.403
÷ 0.056 =
Resuelve el siguiente problema:
Ejemplo:
Un terreno de forma cuadrada que mide 154.75 m por lado, se ha cercado con tela de alambre. El
costo de la cerca fue de $4, 642.50. ¿Cuánto costó el metro lineal?
Datos
Operaciones
Resultado
P = 154.75 m
38.68
Cada metro cuesta: $38.68
4 154.75
P = 4L
34
27
Precio c/metro= ?
35
3
Un comerciante compró 54 m de tela a $12.75 el m. Se le estropeó la sexta parte y aún gana
$81.00 en la venta total. ¿En cuánto vendió cada metro?
Datos
Operaciones
Resultado
Eje: Forma, espacio y medida
Apdo. 2.4 Trazo de paralelas y perpendiculares a un segmento, mediatriz de un segmento,
àngulos y la bisectriz de un ángulo.
Conceptos básicos:
Línea recta: Sucesión de puntos que siguen una misma dirección.
Segmento de recta: Porción de una línea recta limitada por dos puntos.
Mediatriz: Recta perpendicular a un segmento y que pasa por su punto medio.
Ángulo: Medida de la abertura entre dos rayos con un vértice común.
Rayo: es aquella parte de una línea recta que se extiende sólo hacia un lado de un punto, a
diferencia de la recta, que se extiende a ambos lados.
Vértice: Punto de intersección entre los lados de un ángulo.
Bisectriz: Recta que divide a un ángulo en dos iguales.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en los trazos de una paralela, perpendicular, mediatriz y bisectriz
son:
1. Utilizo juego de geometría para realizar los trazos.
2. El trazo solicitado es producto de los trazos auxiliares.
3. Presento mi trabajo limpio y ordenado.
Procedimientos:
a) Trazo de rectas paralelas con escuadra
1. Coloca la escuadra sobre la regla como indica la figura y traza una línea.
2. Desplaza la escuadra sobre la regla y traza la siguiente línea.
3. Los segmentos así trazados son paralelos.
Ejemplo2:
Paso 1
Paso 2
Paso 3
b) Trazo de rectas paralelas con compás:
1. Traza una línea con la regla, la misma que nos servirá de base para trazar una paralela a
la misma. Ubica el origen A y con el compás traza una semicircunferencia que corte a la
recta en un punto que lo llamaremos B (figura 1).
2. Desde este nuevo punto (B) traza una semicircunferencia que pase a la recta por el punto
A hasta otro punto C que corta nuevamente a la recta (figura 2).
3. Haciendo centro en el punto C, traza una nueva semicircunferencia que pase por el punto
B y corte a la semirrecta. (figura 3)
4. Observa que se han obtenido dos nuevos puntos (D) y (E) en donde se cruzan las
semicircunferencias que nos sirven para trazar la paralela a la primera recta. (figura 4).
5. Traza la paralela uniendo estos puntos D y E.
2
Edufuturo. Trazo de paralelas y perpendiculares. Consultado el 11 de junio de 2010. Disponible en:
http://www.edufuturo.com/educacion.php?c=2863
Ejemplo3
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
c) Trazo de perpendiculares con escuadras:
1. Con una escuadra traza una línea, la misma que servirá de base para la perpendicular que
deseamos trazar.
2. Ubica una escuadra que tenga un ángulo recto sobre la línea base y traza la perpendicular
buscada.
Ejemplo4:
Paso 1
Paso 2
d) Trazo de perpendiculares con compás:
1. Traza un segmento de recta AB.
2. Ubica el compás en el punto A y busca una abertura igual al segmento AB.
3. Traza un arco desde el punto A y luego otro desde el punto B (Figura 1).
4. Une con una regla o escuadra los puntos donde se cortan los arcos así obtendrás la
perpendicular (Figura 2).
Ejemplo5:
Figura 1
Figura 2
Ejercicios: realiza los tratos solicitados.
PERPENDICULAR A UN SEGMENTO CON ESCUADRAS
3 4 y5
PERPENDICULAR A UN SEGMENTO CON COMPÀS
,
Edufuturo. Trazo de paralelas y perpendiculares. Consultado el 11 de junio de 2010. Disponible en:
http://www.edufuturo.com/educacion.php?c=2863
PERPENDICULAR A UN SEGMENTO CON ESCUADRAS
PERPENDICULAR A UN SEGMENTO CON COMPÀS
e) Para trazar un ángulo:
1. Se traza el lado inicial.
2. Se coloca el transportador de manera que el cero coincida con el extremo del lado y el
centro con el punto que será el vértice del ángulo.
3. Se traza una pequeña cruz en la medida deseada, contando desde el extremo del lado
inicial hacia arriba.
4. Se une el vértice con la cruz marcada con una línea recta.
Ejemplo6:
f)Para trazar la mediatriz de un segmento.
1. Se marcan y nombran con letras mayúsculas los puntos que están en los extremos del
segmento.
2. Se abre el compás un poco más de la mitad del segmento.
3. Se apoya el compás en un extremo del segmento y se traza un arco que pase por
encima y por abajo del punto medio del segmento.
4. Se apoya el compás en el otro extremo del segmento y se traza un arco que pase por
encima y por abajo del punto medio del segmento y que intersecte al primer arco
trazado.
5. Se unen ambas intersecciones de los arcos con un trazo punteado. Este trazo punteado
corresponde a la mediatriz.
Ejemplo7:
6
Matemáticas 2. Trazo de ángulos con transportador. Consultado el 5 de junio de 2010. Disponible en:
http://missgabyromo.blogspot.com/2009/10/el-trazo-de-angulos-con-transportador.html
7
Trazados geométricos. Mediatriz. Consultado el 10 de junio de 2010. Disponible en:
http://ficus.pntic.mec.es/fpaj0002/ESO09/tema09.teoria.pdf
Ejercicios:
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
g)Para trazar la bisectriz de un ángulo.
1. Se apoya el compás en el vértice del ángulo, y se traza un arco que intersecte a ambos
lados del ángulo.
2. Se apoya el compás sobre una de las intersecciones y se traza un arco en el interior
del ángulo.
3. Se apoya el compás sobre la otra intersección y se traza un arco que se cruce con el
primer arco trazado.
4. Se traza una línea recta desde el vértice hasta la intersección de los dos arcos. Esta
recta se llama bisectriz del ángulo.
Nota: puedes encontrar el video con el procedimiento paso a paso en:
http://ficus.pntic.mec.es/dbab0005/triangulos/Geometria/tema2/Trazados/bisectrices/Trazado%20bB.html
Ejemplo8:
Ejercicios:
Efectúa los siguientes trazos:
ÁNGULO de 48º
ÁNGULO de 63º
8
Edufuturo, Trazo de la bisectriz de un ángulo. Consultado el 10 de junio de 2010. Disponible en:
http://www.edufuturo.com/educacion.php?c=2885&inPMAIN=2
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Realiza los siguientes trazos:
Paralela a un segmento
Mediatriz de un segmento
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Bisectriz de un ángulo de 76º
Bisectriz de un ángulo de 60º
Apdo. 2.5 Construir polígonos regulares a partir de distintas informaciones.
Conceptos básicos:
Figura inscrita en una circunferencia. Es aquella que se encuentra dentro de la circunferencia,
cuyos vértices son puntos que pertenecen a ella.
Vértice de un polígono: punto de intersección entre los lados del polígono.
Ángulo central de una circunferencia: es al ángulo formado por dos radios, por lo que su vértice se
encuentra en el centro de la circunferencia.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en el trazo de polígonos regulares son:
1. Utilizo juego de geometría para realizar los trazos.
2. El trazo solicitado es producto de los trazos auxiliares.
3. Presento mi trabajo limpio y ordenado.
Procedimientos:
Trazo de un triángulo dados 3 lados.
1. Es recomendable que se trace el lado más largo como base. Se toma la medida del
segundo lado, cualquiera que se elija con el compás y se traza un arco por encima de la
base.
2. Se toma la medida del tercer lado con el compás y se traza un arco que intersecte al
primero.
Nota: para poder trazar un triángulo dados sus tres lados, se debe cumplir la siguiente condición: la
suma de dos lados cualesquiera del triángulo debe ser mayor que el tercero.
Ejemplo:
Trazo de un polígono inscrito en una circunferencia:
1. Se traza la circunferencia.
2. Se traza un diámetro y se prolonga un poco más, para poder colocar correctamente el
transportador.
3. Se divide 360º entre el número de lados del polígono que se desea trazar. Esta medida
corresponde al ángulo central del polígono. Se marca un pequeño arco sobre la
circunferencia.
4. Se apoya el compás en uno de los extremos del diámetro y se abre hasta el pequeño arco,
y con esa abertura se apoya en dicho arco para trazar otro en la circunferencia y así
sucesivamente hasta llegar al extremo del diámetro en el que se apoyó el compás.
5. Se unen los arcos marcados en la circunferencia para formar el polígono deseado
Ejemplos9
Trazo de un cuadrado inscrito (caso particular del trazo anterior):
1. Se traza el diámetro de la circunferencia.
2. Se traza otro diámetro, perpendicular al primero; esto es debido a que el ángulo central
que se forma con las bisectrices del ángulo interior del cuadrado es de 90º.
3. Se unen los extremos de los diámetros, para formar el cuadrado.
Método alternativo para el trazo de un octágono a partir de un cuadrado inscrito:
1. Se traza la mediatriz de los lados del cuadrado y se marcan las intersecciones de las
mediatrices con la circunferencia.
2. Se unen los vértices del cuadrado con los puntos formados por las intersecciones de las
mediatrices con la circunferencia.
Ejemplo10:
9
Educared. Dibujo técnico. Consultado el 11 de junio de 2010. Disponible en:
http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Imagen:DibujoTecnico_I-4_6.gif
10
Reforma Secundaria SEP. Planes de clase matemáticas 1. Consultado el 12 de junio de 2010. Disponible en:
http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/PLANESCLASE/primergrado/B2/B2A5.doc
Construye la figura que se te solicita:
UN HEXÁGONO INSCRITO
PENTÁGONO INSCRITO EN UNA
CIRCUNFERENCIA DE 3 cm DE RADIO
UN TRIÁNGULO ISÓSCELES CON base= 2.5 CM
y lados iguales = 3 cm
OCTÁGONO A PARTIR DE UN CUADRADO
INSCRITO.
Apdo. 2.6. Justificar las fórmulas de áreas de triángulos, cuadriláteros y polígonos
regulares.
Áreas equivalentes: Son aquellas que pertenecen a figuras diferentes, pero con la misma medida
de su superficie. Este concepto resulta de gran utilidad para obtener la fórmula de una figura a
partir del análisis de otra.
Fórmulas de áreas de figuras planas:
La fórmula
Sirve para calcular el área del
A = bh
Romboide
Bh
2
Dd
A=
2
( B + b) h
A=
2
A=
Se puede obtener a partir del análisis del
Rectángulo
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en la justificación de fórmulas geométricas son:
1. Utilizo juego de geometría para realizar los trazos.
2. Presento claramente el razonamiento seguido para obtener la fórmula solicitada a
partir de la fórmula de la figura original.
3. Presento mi trabajo limpio y ordenado.
Ejemplo11:
Considérese los rectángulos a, b y c, y obsérvese el triángulo sombreado que contiene.
Nótese que la base y la altura de cada triángulo miden igual que la base y la altura del rectángulo
que lo contiene.
Si se recorta y sobrepone el triángulo I del primer rectángulo en el triángulo sombreado se podrá
observar que los dos triángulos coinciden; son de igual medida:
Haciendo lo mismo con los triángulos I y II de los rectángulos b y c se tiene:
Se puede observar que los I y II forman otro que coincide con el triángulo sombreado.
Cada rectángulo contiene dos triángulos cuya base y altura es igual a la base y altura del
rectángulo.
11
Profesor en línea. Área del rectángulo y triángulo. Consultado el 11 de junio de 2010. Disponible en:
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/areatriangyrectang.htm
Por lo tanto, el área de uno de los triángulos es la mitad del área del rectángulo. Esto es:
Área del triángulo igual a la mitad del área del rectángulo.
Encuentra la fórmula del área de la figura que se te solicita por descomposición de la figura que se
te da.
Área de un rombo a partir del área de un
cuadrado.
Área de un romboide a partir del área de un
rectángulo
Área de un polígono regular a partir del área de
los triángulos que forman sus radios con los
vértices y lados del polígono.
Área de un trapecio a partir del área de un
rectángulo
Elige el enunciado que mejor responda a la pregunta y encierra la letra correspondiente:
¿Por qué la fórmula del perímetro del triángulo equilátero es P =3 l, mientras que en los otros
triángulos es necesario sumar sus lados?
a) Por simplificar la suma de dos de sus lados.
b) Porque sus ángulos son iguales.
c) Porque sus lados son iguales.
d) Porque existe mayor facilidad para el cálculo.
¿Qué explicación se tiene para dividir entre dos el área de un triángulo?
a) Por ser el doble de un cuadrado.
b) Por ser la mitad de un rectángulo.
c) Para ajustar las unidades.
d) Para diferenciar del perímetro.
Con base en la fórmula
literales?
a)
A=
h
(a + c )h ¿en cuál de las figuras están colocadas correctamente las
2
b)
a
a
h
c
c)
a
d)
a
h
h
c
c
c
Eje: Manejo de la información
Apdo. 2.7 Relaciones de proporcionalidad. Constante de proporcionalidad entera y
fraccionaria.
Conceptos básicos:
Constante de proporcionalidad: razón de cambio de la variable dependiente en relación con la
variable independiente. También recibe el nombre de valor unitario y de constante de
proporcionalidad. Puede tener valores enteros, fraccionarios y decimales.
Ejemplo:
Una cancha de fútbol mide 90m de largo por 70m de ancho. Si se quiere dotar a un albergue para
niños con necesidades especiales de una cancha con medidas reducidas a
4
de su magnitud
5
original, ¿cuáles deben ser sus medidas?
DATOS
Ancho:
90 m
Largo:
70 m
K=
4
5
PROCEDIMIENTO
4
(90m) = 72m
5
RESULTADO
Ancho= 72 m
Largo = 56 m
4
(70m) = 56 m
5
Una cancha de fútbol mide 90m de largo por 70m de ancho. Si se quiere dotar a un albergue para
niños con necesidades especiales de una cancha con medidas reducidas a
original, ¿cuáles deben ser sus medidas?
DATOS
PROCEDIMIENTO
3
de su magnitud
4
RESULTADO
2.8. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”,
utilizando operadores fraccionarios y decimales, aplicación sucesiva de factores constantes
de proporcionalidad.
Conceptos básicos
Cuando se aplican sucesivamente factores constantes de proporcionalidad, es posible multiplicar
éstos entre sí, para aplicar el producto como si fuese una sola constante.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en la resolución de problemas de aplicación sucesiva de factores de
proporcionalidad son:
1. Escribo claramente el planteamiento del problema.
2. Realizo sin calculadora los cálculos propuestos.
3. Escribo en forma legible y correcta los resultados.
Ejemplo:
1
2
Como la constante se multiplica por la cantidad para
obtener la medida reducida, entonces los factores de
reducción se multiplican entre sí, para obtener el factor
total de reducción:
2ª reducción:
(
1ª reducción:
1
3
1 1 1
)( )=
2 3 6
El objeto se reduce a
1
de
6
su
medida
original.
Ejemplo:
¿Qué fracción se obtiene de un objeto que se reduce sucesivamente a
luego a
1
de su tamaño original y
4
1
?
2
DATOS
1ª reducción:
1
4
2ª reducción:
PROCEDIMIENTO
Como la constante se multiplica por la cantidad para
obtener la medida reducida, entonces los factores de
reducción se multiplican entre sí, para obtener el factor total
de reducción:
(
1 1 1
)( )=
4 2 8
RESULTADO
El
objeto
medida original.
1
2
Elige la opción correcta y enciérrala en un círculo. Justifica tu respuesta con la operación
correspondiente.
En la reducción sucesiva
OPCIONES
a)
3
6
b)
1
6
c)
1
8
d)
3
2
1 1 1
, , , ¿qué fracción representa la reducción total?
2 2 2
JUSTIFICACIÒN
se
1
reduce a
de su
8
RESULTADO
¿Qué fracción se obtiene de un objeto que se reduce sucesivamente a
luego a
1
de su tamaño original y
4
1
?
3
DATOS
PROCEDIMIENTO
RESULTADO
Referencias:
Banfill, John. AAA Matemáticas, Consultado el 12 de junio. Disponible en:
http://www.aaamatematicas.com/grade7.htm
AAA. Math. Sumar decimales. Consultado el 12 de junio de 2010. Disponible en:
http://www.aaamatematicas.com/g6-add_3deci.htm
Edufuturo. Trazo de paralelas y perpendiculares. Consultado el 11 de junio de 2010. Disponible
en:
http://www.edufuturo.com/educacion.php?c=2863
Romo, Gaby. Matemáticas 2. Trazo de ángulos con transportador. Consultado el 5 de junio de
2010. Disponible en:
http://missgabyromo.blogspot.com/2009/10/el-trazo-de-angulos-con-transportador.html
Trazados geométricos. Mediatriz. Consultado el 10 de junio de 2010. Disponible en:
http://ficus.pntic.mec.es/fpaj0002/ESO09/tema09.teoria.pdf
Educared. Dibujo técnico. Consultado el 11 de junio de 2010. Disponible en:
http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Imagen:DibujoTecnico_I-4_6.gif
Reforma Secundaria SEP. Planes de clase matemáticas 1. Consultado el 12 de junio de 2010.
Disponible en:
http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/PLANESCLASE/primergrado/B2/B2A5.doc
Profesor en línea. Área rectángulo y triángulo. Consultado el 12 de junio de 2010. Disponible en:
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/areatriangyrectang.htm
Instituto Cultural Tampico
Secundaria
Matemáticas 1
TEMARIO PARA EL REPASO ANUAL DE MATEMÁTICAS 1 Bloque 3
Nombre de la profesora:
Durante el presente ciclo, se trabajó en forma intencionada dos competencias genéricas del Sistema de
Colegios Jesuitas y se les relacionó con las cuatro competencias propias de la Asignatura, según la SEP.
Competencia o Competencias de la Asignatura:
Planteamiento y resolución de problemas
Competencia genérica SCJ:
Elemento:
Liderazgo Intelectual
Integración de
saberes.
Argumentación
Competencia genérica SCJ:
Elemento:
Liderazgo Intelectual
Pensamiento
dialógico.
Comunicación
Competencia genérica SCJ: Elemento:
Expresión y
Comunicación
comprensión de
lenguajes oral,
escrito y no verbal
Manejo de técnicas
Competencia genérica SCJ: Elemento:
Liderazgo intelectual
Integración de
saberes.
Habilidad: Plantear y resolver problemas a
partir de una situación de su vida cotidiana.
Habilidad: Fundamentar ideas y escucha en
forma activa para construir su conocimiento y
desarrollar habilidades sociales.
Habilidad: Escribir fielmente su proceso de
resolución de problemas, así como la
respuesta al mismo, porque entiende la
necesidad de comunicarse correctamente
con sus posibles lectores.
Habilidad: Planteas y resolver problemas
utilizando los conocimientos adquiridos, a
partir de una situación de su vida cotidiana.
Nota: en cada apartado te haré una lista de cotejo para que sepas en qué aspectos necesitas
fijar tu atención para lograr un aprendizaje duradero y, por consecuencia, una buena nota.
Listas de Cotejo o de Comprobación:
Corresponden a una lista de palabras, frase u oraciones que señalan con mucha
especificidad, ciertas tareas, acciones, procesos, productos de aprendizaje, conductas
positivas o negativas para ser considerados en una evaluación.
Bloque 3:
Eje: Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico
Apdo. 3.1 Problemas que impliquen la división de números decimales. Problemas de
aplicación.
Recordemos el procedimiento para dividir números decimales.
Para dividir dos números decimales o un número natural entre un decimal, se transforma la división
dada en otra equivalente, multiplicando el dividiendo y el divisor por la unidad seguida de tantos
ceros como cifras decimales tiene el divisor. Después, se efectúa la división como si ambos
números fueran naturales.
17 0.4138
Æ
17
0.0243
0.4138
73
058
07
0.17 41.38
0.17 0.4138
Æ
Æ
17
17
243
4138
73
058
07
2.43
41.38
73
0 58
07
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en la resolución de problemas de aplicación de la división de
números decimales son:
1. El planteamiento se desprende del enunciado del problema.
2. Escribo correctamente la división de números decimales.
3. Uso las reglas para multiplicar o dividir números decimales en forma adecuada.
4. Realizo sin calculadora los cálculos propuestos.
5. Escribo en forma legible y correcta los resultados, ubicando de manera clara el punto
decimal.
Resuelve el siguiente problema:
Si 6.5 kg de arroz se han repartido en 20 bolsas, ¿cuál es el contenido de cada bolsa?
DATOS
PLANTEAMIENTO
OPERACIONES
RESULTADO
6.5 kg de
arroz
6.5 kg : 20 bolsas
20 bolsas
0.32
20 6.50
50
10
Cada bolsa contendrá
0.32 kg
Apdo. 3.2 Problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de
primer grado de las formas x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la
igualdad, con a, b y c números naturales o decimales.
Conceptos básicos:
Ecuación: Es una igualdad que sólo se verifica para ciertos valores de la incógnita.
Incógnita: cantidad desconocida en una ecuación. Generalmente se representa por las letras x, y
o z, aunque pueden usarse otras literales.
Despejar la incógnita: procedimiento mediante el cual se separa a la cantidad desconocida para
conocer su valor.
Propiedades de la igualdad. En este curso se analizaron dos:
Propiedad aditiva de la igualdad: si se suman o restan cantidades iguales a los
miembros de una igualdad, la igualdad se conserva.
Propiedad multiplicativa de la igualdad: si se multiplican o dividen cantidades iguales a
los miembros de una igualdad, la igualdad se conserva.
Miembros de la igualdad: son aquellas expresiones algebraicas que forman una ecuación y que
se encuentran a ambos lados del signo de igual. A la expresión de la izquierda se le llama primer
miembro de la igualdad y a la que se encuentra a la derecha se le llama segundo miembro de la
igualdad.
Comprobación de la solución de una ecuación. Es la operación que se efectúa para verificar
si el valor obtenido para la incógnita “satisface” la ecuación, es decir, que una vez que se
sustituye el valor obtenido en ambos miembros de la igualdad, tienen exactamente el mismo
valor, es decir, la cantidad numérica obtenida en el primer miembro de la igualdad es
idéntico a la del segundo miembro de la igualdad.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en la resolución de ecuaciones de primer grado son:
1. Escribo correctamente la ecuación que estoy resolviendo.
2. Uso adecuadamente las propiedades de la igualdad para despejar la incógnita.
3. Realizo sin calculadora los cálculos propuestos.
4. Escribo el procedimiento que justifica la solución del problema.
5. Pude verificar el resultado a través de una comprobación.
Lenguaje algebraico.
Escribe en lenguaje algebraico o en forma verbal, según sea el caso.
Expresión algebraica
Expresión verbal
2(x2 – y3) = 3
La raíz del cociente de la suma de dos números
entre la diferencia de los mismos números
2(x – y)
El cociente de la suma de dos números
entre la diferencia de los mismos números
3(x + y )2
El área de un círculo es el producto de π por el
cuadrado del radio
El perímetro de un rectángulo es el doble de la
suma de su base y su altura.
El área de un trapecio es igual a la mitad del
producto de la suma de las bases por su altura.
Resuelve los siguientes problemas:
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
3x = 2.1
2x – 22 + 7 = 3
3x 2.1
=
3
3
2x
- 15
x
= 14
3
=3
2x - 15 + 15 = 3 + 15
x = 0.7
⎛ ⎛ x ⎞⎞
⎜⎜ 3⎜ ⎟ ⎟⎟ = (14 )(3)
⎝ ⎝ 3 ⎠⎠
2x = 18
2 x 18
=
2
2
x = 42
x=9
Comprobación:
Comprobación:
Comprobación:
3(0.7) = 2.1
2(9) – 22 + 7 = 3
2.1 ≡ 2.1
18 - 22 +7 = 3
42
= 14
3
14 ≡ 14
3 ≡3
a) 3x = 4.2
b) 2x – 35 + 5 = 5
Encuentra el valor de la incógnita
3x + 3 = 9
Ejemplo
x -7 = 5 – 3x
c)
Ejemplo
4x + 6x = 30
2
3
x=
6
4
Escribe las ecuaciones que representan los siguientes enunciados:
x
= 12
3
ENUNCIADOS
ECUACIONES
a) Si a la edad de Pedro le restamos 12 años quedan 25 años.
¿Cuál es su edad?
a)
b) Pedro tiene 25 años más doce. ¿Cuál es su edad?
b)
c) La edad de Pedro más doce años suman 25 años. ¿Cuál es su
edad?
c)
d) La edad de pedro se obtiene por la suma de 25 + 12. ¿Cuál
será su edad?
d)
Eje: Forma, espacio y medida
Apdo. 3.3 Construir triángulos y cuadriláteros. Analizar las condiciones de posibilidad y
unicidad en las construcciones.
Conceptos básicos:
Para poder construir un triángulo es necesario verificar que la suma de dos de sus lados
sea mayor que el tercer lado, en todas de sus combinaciones.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en el trazo de figuras geométricas son:
1. Utilizo juego de geometría para realizar los trazos.
2. Es evidente que el trazo solicitado se obtiene a partir de los trazos auxiliares.
3. Presento mi trabajo limpio y ordenado.
Realiza los siguientes trazos:
Un triángulo de 3.5 cm de base y 3 cm de altura
Un romboide con b= 6 cm y h= 4.5 cm
Usando tu regla y compás, traza los triángulos según las medidas que se te indican.
3.5cm, 3.5cm, 6 cm
5cm, 3cm, 2cm
5 cm, 6 cm y 7 cm
4 cm, 6 cm y 3 cm
3cm, 3cm, 5 cm
2.5cm, 3cm, 2cm
Apdo. 3.4. Problemas de perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios.
Problemas de aplicación
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en la aplicación de fórmulas de perímetros y áreas son:
1.
Anoto la fórmula y los datos que aplico para resolver el problema.
2.
Escribo el procedimiento que justifica mi resultado.
3.
Escribo el resultado de manera clara, usando las unidades correspondientes.
La deforestación es la destrucción a gran escala de los bosques por la acción humana.
Millones de hectáreas se degradan o destruyen anualmente. Éstas son taladas o quemadas,
aproximadamente el equivalente a la superficie de un campo de fútbol cada dos segundos12.
Si una cancha de fútbol mide 100 m de ancho por 110 m de largo, entonces cuál sería la
superficie deforestada en:
a) un minuto?
b) una hora?
c) un día?
Datos
Planteamiento y operaciones
Resultado
Planteamiento:
b = 110 m
El área deforestada
Área deforestada cada 2 segundos:
a = 100 m
es de:
A=bh= 110mx100m=11,000 m2
A = ba
Un minuto tiene 60 segundos, por lo tanto, el área
deforestada en una hora será:
a) 11,000 x 30 = 33,000m2
1 min = 60 s
1 h = 60 min
Una hora equivale a 60 min., por lo tanto, en una
hora:
b) 33,00 m2 x 60 = 198,000 m2
a)
33,000 m2 por
minuto
b)
198,000 m2 por
Hora
c)
4’752,000 m2 por
día
1 dìa = 24 h
Un día es igual a 24 h, por lo tanto en un día:
c) 198,000 x 24 = 4,752,000 m2
Operaciones:
12
Tomado de: La Página de la Vida. Consultado el 23 de enero de 2010. Disponible en:
http://www.proyectopv.org/1-verdad/deforestacion.htm
¿A qué se le nombra deforestación de los bosques?
¿Cuáles crees que sean sus causas?
¿Qué acciones puedes llevar a cabo en la escuela para disminuir el impacto que
provocas sobre el ambiente en el aspecto de la deforestación?
Eje: Manejo de la información
Apdo. 3.5. Problemas del tipo valor faltante utilizando procedimientos expertos. Problemas
de aplicación
Conceptos básicos.
Variable independiente: en una relación funcional, es aquella cantidad a la que se le pueden
asignar valores arbitrarios.
Variable dependiente: es aquella que varía en función de la variable independiente.
Constante de proporcionalidad: es la razón de cambio de la variable dependiente en relación con
la variable independiente. También se le llama valor unitario o factor constante.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en la resolución de problemas del tipo valor faltante son:
1. Anoto los datos que me resultan de utilidad para resolver el problema.
2. Planteo la proporción o regla de tres que me permite resolver el problema cuidando
que se conserve la proporción.
3. Escribo el procedimiento que justifica mi resultado
4. Anoto el resultado en forma correcta, incluyendo las unidades.
Encierra en un círculo la proporción que permite resolver el siguiente problema y resuélvelo:
En una fábrica de ropa se producen 1 200 pantalones en 15 horas. ¿Cuántos pantalones
producen por hora?
Justificación de la respuesta dada:
a) 1500 – 12
x
- 1
Porque en una proporcionalidad, cantidades semejantes
conservan una relación constante:
No. de pantalones/15 horas = No. de pantalones/1 hora.
b) 1200 – 15
x
- 1
c)
1200 – 60
15 - x
d)
1200 - x
15 - 60
1200 15
=
= constante de proporcionalidad
x
1
Para desplazarse en automóvil de una ciudad a otra, la familia Aguayo lo hizo en 4 etapas y en
todas desarrolló la misma velocidad promedio.
a) Completa la siguiente tabla:
Etapas
1
2
3
60
Distancia
(km)
Tiempo
(hrs)
4
0.5
1
1.5
2
Velocidad
(km/h)
b) La constante de proporcionalidad, (considerando al tiempo como variable independiente),
es:
60 : 2 = 30 km/h (velocidad)
c) Elige la función que relaciona ambas variables:
1) d = 60 t
2) d = 15 t
3) d = 30 t + 30
4) d = t + 60
d) Una vez que elegiste la relación funcional correcta calcula la distancia recorrida a las 3, 5 y
10 horas. Tabula tus resultados.
t (h)
d
e) Grafica la función con los puntos obtenidos:
Para desplazarse en automóvil de una ciudad a otra, la familia Aguayo lo hizo en 4 etapas y en
todas desarrolló la misma velocidad promedio. Valor: 4 puntos (2 puntos la tabla, 1 punto cada
respuesta)
a) Completa la siguiente tabla:
Etapas
1
2
3
50
Distancia
(km)
Tiempo
(hrs)
4
0.5
1
1.5
2
Velocidad
(km/h)
f)
La constante de proporcionalidad, (considerando al tiempo como variable independiente),
es:
g) Elige la función que relaciona ambas variables:
1) d = 50 t
2) d = 25 t
3) d = 30 t + 20
4) d = t + 50
h) Una vez que elegiste la relación funcional correcta calcula la distancia recorrida a las 3, 5 y
10 horas. Tabula tus resultados.
t
d
i)
Grafica la función:
Apdo.3.6 Problemas que impliquen el cálculo de porcentaje utilizando adecuadamente la
expresión fraccionaria o decimal. Problemas de aplicación.
Conceptos básicos:
Porcentaje: se denomina porcentaje a una porción proporcional del número 100, por lo tanto
puede expresarse como número decimal, como porcentaje, o como fracción decimal. A partir de la
fracción decimal, es posible encontrar su equivalencia a fracción común.
Ejemplo:
%
12
No. decimal
Fracción
decimal
Fracción común
Fracción común
simplificada
0.12
12
100
6
50
3
25
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en la resolución de problemas de porcentaje son:
1. Anoto los datos que me resultan de utilidad para resolver el problema.
2. Escribo la operación o regla de tres que me permite resolver el problema.
3. Escribo el procedimiento que justifica mi resultado.
4. Anoto el resultado en forma correcta, incluyendo las unidades.
Encierra en un círculo la respuesta correcta. Justifica tu elección.
Martha gastó en una tienda departamental un total de $1 725.00 con IVA incluido. ¿A cuánto
dinero corresponde el IVA?
Justificación de la respuesta dada:
a) $ 175.00
Valor unitario (1%):
b) $ 225.00
$1,750 : 115 = $15
c) $ 205.00
d) $ 275.00
Valor unitario x 15 % de impuesto.
($15)(15) = $225
¿Cuánto pagará de tenencia un vehículo que cuesta $90,000, si este impuesto constituye el 4% de
su precio? Nota: el importe de la tenencia es variable, según las características del modelo de
auto.
Datos
Planteamiento y operaciones
Resultado
Precio:
El dueño del coche
Planteamiento:
$90,000
pagará:
(0.04)(90,000) = $3,600
·$3,600
Impuesto:
Operaciones:
4%
A las personas de la tercera edad se les hace un descuento del 20% en el transporte foráneo.
¿Cuánto cuesta un boleto a Monterrey, si el precio normal es de $460?
Datos
Planteamiento y operaciones
Planteamiento:
Operaciones:
Resultado
¿Cuánto pagará de tenencia un vehículo que cuesta $180,000, si este impuesto constituye el 4%
de su precio?
Datos
Planteamiento y operaciones
Resultado
Planteamiento:
Operaciones:
A las personas de la tercera edad se les hace un descuento del 20% en el transporte foráneo.
¿Cuánto cuesta un boleto a Monterrey, si el precio normal es de $460?
Datos
Planteamiento y operaciones
Resultado
Planteamiento:
Operaciones:
Apdo. 3.7. Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y
construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.
Conceptos básicos:
Frecuencia absoluta. Es la cantidad de veces que se repite un dato en un proceso estudiado. La
suma de todas las frecuencias absolutas es igual al total de la población.
Frecuencia relativa. Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el total de la población
estudiada. La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1.
Mediana: es el dato central de una serie de datos ordenada de mayor a menor o viceversa.
Moda: es el dato que más se repite.
Media aritmética: es el cociente de la suma de todos los datos entre el número de datos.
También se le conoce como promedio.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en la construcción de gráficas de frecuencia son:
1. Anoto los datos y resultados en la columna correspondiente de la tabla de frecuencias.
2. Escribo el procedimiento que justifica el resultado de cada columna.
3. Aplico correctamente el procedimiento para encontrar: frecuencia relativa, mediana y
moda.
Ejemplo:
Completa la tabla de frecuencias.
El número de horas semanales que ve un grupo de alumnos es la siguiente:
Horas semanales
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Frecuencia relativa
(%)
26
3
32
5
33
8
40
7
45
3
50
4
60
2
Total
Determina: mediana, moda y media aritmética.
Mediana:
Moda:
Media aritmética
Organiza la información que se obtuvo al preguntar a los alumnos de una escuela cuántas
películas habían visto durante el mes en curso, llenando la siguiente tabla.
No. de
Frecuencia
Frecuencia relativa
Frecuencia relativa
películas
absoluta
(razón)
(%)
5
4
3
2
1
0
8
4
10
6
12
10
Total
Apdo.3.8. Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de
frecuencia absoluta y relativa, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes.
Comunicar información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de
representación más adecuada.
Conceptos básicos:
Gráfica de barras: Gráfica que muestra datos de forma visual utilizando barras verticales cuyas
longitudes son proporcionales a las cantidades que representan. Se pueden utilizar cuando un eje
no puede tener una escala numérica. Las barras van separadas. Los ejes cartesianos deben
tener una leyenda en que se anote la variable representada.
Gráfica circular: Es una gráfica circular que utiliza radios para dividir el círculo en sectores, de
manera que las áreas de los sectores son proporcionales a las cantidades representadas. Cada
sector debe tener muy claramente especificada: la variable representada, el valor de la variable
representada, la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa en %.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en las gráficas circulares son:
1. Uso el juego de geometría para trazar la gráfica y sus sectores.
2. Los sectores de la gráfica corresponden a la medida del ángulo obtenido.
3. Escribo el procedimiento que justifica mi resultado.
4. Anoto en la parte superior de la gráfica el estudio que estoy representando.
5. Escribo la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa (en %), afuera de cada sector de
la gráfica.
6. Ilumino de colores mi gráfica.
Para trazar una gráfica circular.
1. Se construye una tabla de frecuencias.
2. Se agrega una columna para calcular la medida del ángulo central de cada sector. Esta
medida se obtiene multiplicando 360º por la frecuencia relativa.
3. Se traza una circunferencia, marcando el centro con una x
4. Se traza un radio que se extienda más allá de la circunferencia.
5. Se traza el ángulo del 1er sector colocando el transportador de manera que el vértice del
ángulo quede colocado sobre el centro de la circunferencia.
6. Se repite la operación con cada uno de los sectores restantes.
7. Se etiquetan los sectores, presentando la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa
afuera de cada sector de la gráfica.
Representa la frecuencia relativa del problema anterior en una gráfica circular:
Diagrama circular
Horas
Frecuencia
Frecuencia
Medida del ángulo (°)
semanales
absoluta
relativa
Frec. Rel. X 360º
Fa : total
26
3
32
5
33
8
40
7
45
3
50
4
60
2
Total
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en las gráficas de barras son:
1. Uso el juego de geometría para trazar la gráfica.
2. Las separaciones de las unidades en la escala de cada eje son iguales entre sí.
3. Las barras están separadas.
4. Anoto en la cada eje de la gráfica la variable representada.
5. Ilumino de colores mi gráfica.
Representa las frecuencias absolutas en una gráfica de barras.
Organiza la información que se obtuvo al preguntar a los alumnos de una escuela cuántas
películas habían visto durante el mes en curso, llenando la siguiente tabla.
No. de
Frecuencia
Frecuencia relativa
Frecuencia relativa
películas
absoluta
(razón)
(%)
15
8
8:50=0.16
16
12
4
4:50=0.08
8
9
10
10:50=0.20
20
6
6
6:50=0.12
12
3
12
12:50=0.24
24
0
10
10:50=0.20
20
50
1.00
100
Total:
Traza la gráfica circular:
La gráfica muestra las ventas de una revista en un puesto de periódicos, durante una semana.
Analízala y contesta las preguntas (justifica tu respuesta con las operaciones necesarias):
35
Periódicos vendidos
30
25
20
15
10
5
0
Lun
Mar
Mie
Jue
Vie
Sab
Dom
Día de la semana
a) ¿Cuál es la diferencia entre la venta máxima y la mínima?
b) ¿Cuántos ejemplares se vendieron el fin de semana, es decir, sábado y
domingo?
c) ¿Cuál es el número total de revistas vendidas en la semana, es decir, de
lunes a domingo?
d) ¿Qué porcentaje de la venta semanal se hizo el miércoles?
La gráfica muestra las ventas de una revista en un puesto de periódicos, durante una semana.
Analízala y contesta las preguntas (justifica tu respuesta con las operaciones necesarias):
35
Periódicos vendidos
30
25
20
15
10
5
0
Lun
Mar
Mie
Jue
Vie
Sab
Dom
Día de la semana
a) ¿Cuál es la diferencia entre la venta máxima y la mínima?
b) ¿Cuántos ejemplares se vendieron el fin de semana, es decir, entre
sábado y domingo?
c) ¿Cuál es el número total de periódicos vendidos en la semana, es decir,
de lunes a domingo?
d) ¿Qué porcentaje de la venta semanal se hizo el miércoles?
Apdo. 3.9 Nociones de probabilidad. Espacio muestral, Evento, Probabilidad Clásica,
Probabilidad Empírica.
Conceptos básicos:
Espacio muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.
Evento: es el número de resultados favorables
Probabilidad Clásica: no es necesario llevar a cabo experimentos, sino que se hacen
predicciones de acuerdo con dos conteos:
• el número de resultados favorables al evento.
• El número de resultados posibles.
P () =
resultadosfavorables
resultadosposibles
Probabilidad empírica o frecuencial: se basa en los resultados de un experimento.
P( ) =
númerodevecesquesucedeelevento
nùmerototalde int entos
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en la resolución de problemas de probabilidad son:
1. Escribo correctamente la fórmula para obtener la probabilidad.
2. Escribo el procedimiento que justifica mi resultado.
3. Obtengo el resultado correcto y lo escribo en la forma adecuada. P(
)=
Ejemplo13:
Sacar una bola roja de una caja que tiene 3 bolas rojas, 5 amarillas y 4 verdes, hay que dividir
el número de casos favorables del evento (frecuencia absoluta) para cada número de
repeticiones entre el total de éstas. Como se muestra en la siguiente tabla:
13
No.
Repeticiones
Frecuencia
absoluta
6
2
12
3
20
6
50
12
100
24
Frecuencia
relativa
Probabilidad
frecuencial
Instituto Universitario de Puebla. Probabilidad. Consultado el 19 de junio. Disponible en:
http://www.comesed.com/Sb/sbindt13.htm
Ejemplo:
Una bolsa tiene 4 canicas blancas y 2 negras. ¿cuál es la probabilidad de sacar (sin ver)
a) una canica blanca?
P (canica blanca)=
4 2
=
6 3
b) Una canica negra?
P (canica negra)=
2 1
=
6 3
2. Contesta las siguientes preguntas:
Al realizar el experimento de lanzar un dado dodecaédrico (de doce caras):
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar?
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 3?
d) ¿Qué es más probable, que se obtenga un número par o un múltiplo de 3? ¿Por qué?
¿Cómo se le llama y cuál será el valor de la probabilidad del fenómeno cuyo resultado:
a) no se conoce con certeza?
b) siempre ocurrirá?
c) nunca ocurrirá?
En una urna hay 12 calcetas blancas, 8 calcetas azules, 4 calcetas verdes, 1 calceta amarilla,
¿qué probabilidad hay de obtener en la primera extracción:
a) ¿Una calceta blanca?
b) ¿Una calceta azul?
c) ¿Una calceta verde?
Calcula la probabilidad de cada opción y después encierra en un círculo la respuesta correcta.
Si en una urna se han colocado boletos foliados del 1 al 50, ¿qué opción tiene mayores
probabilidades de que contenga el número ganador?
Justificación de la respuesta dada:
a) Seleccionando 10 números
juntos
b) Eligiendo múltiplos de 3
c) Optando los 10 números
iniciales
d) Escogiendo múltiplos de 4.
De acuerdo con la siguiente información, representa el espacio muestral con un diagrama de árbol
y contesta las preguntas. Dos amigos acuerdan una apuesta en el lanzamiento de tres monedas al
mismo tiempo. Luis gana si se obtiene un disparejo, es decir, si caen águilas y soles. Alejandro
gana en caso de que caigan sólo águilas o sólo soles.
DIAGRAMA DE ÁRBOL
a) ¿Cuál es el total de resultados posibles del
experimento?
d) ¿Quién de los dos
probabilidad de ganar?
tiene
mayor
Total= (2)(2)(2) = 8
Luis, porque su probabilidad es de
3
y la
4
de Alejandro es de
b) ¿Cuál es la probabilidad de que gane Luis?
P ( a, s ) =
6 3
=
8 4
c) ¿Cuál es la probabilidad de que gane Alejandro?
2 1
P (unasolacara ) = =
8 4
1
4
e) ¿Qué probabilidad hay de que gane uno
de los dos?
P( LuisoAlex) =
8
=1
8
f) ¿Cuál es la probabilidad de que gane
Sinforosa, una amiga que está
observando?
P(Sinforosa)= 0, porque no está jugando
De acuerdo con la siguiente información, representa el espacio muestral con un diagrama de árbol
y contesta las preguntas. Dos amigos acuerdan una apuesta en el lanzamiento de tres monedas al
mismo tiempo. Luis gana si se obtiene dos águilas y un sol. Alejandro gana en caso de que
caigan dos soles y un águila.
DIAGRAMA DE ÁRBOL
a) ¿Cuál es el total de resultados posibles del
experimento?
d) ¿Quién de los dos tiene mayor probabilidad de
ganar?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que gane Luis?
e) ¿Qué probabilidad hay de que gane uno de los
dos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que gane Alejandro?
f) ¿Cuál es la probabilidad de que gane Sinforosa,
una amiga que está observando?
Instituto Cultural Tampico
Secundaria
Matemáticas 1
TEMARIO PARA EL REPASO ANUAL DE MATEMÁTICAS 1 Bloque 4
Nombre de la profesora:
Durante el presente ciclo, se trabajó en forma intencionada dos competencias genéricas del Sistema de
Colegios Jesuitas y se les relacionó con las cuatro competencias propias de la Asignatura, según la SEP.
Competencia o Competencias de la Asignatura:
Planteamiento y resolución de problemas
Competencia genérica SCJ:
Elemento:
Liderazgo Intelectual
Integración de
saberes.
Argumentación
Competencia genérica SCJ:
Elemento:
Liderazgo Intelectual
Pensamiento
dialógico.
Comunicación
Competencia genérica SCJ: Elemento:
Expresión y
Comunicación
comprensión de
lenguajes oral,
escrito y no verbal
Manejo de técnicas
Competencia genérica SCJ: Elemento:
Liderazgo intelectual
Integración de
saberes.
Habilidad: Plantear y resolver problemas a
partir de una situación de su vida cotidiana.
Habilidad: Fundamentar ideas y escucha en
forma activa para construir su conocimiento y
desarrollar habilidades sociales.
Habilidad: Escribir fielmente su proceso de
resolución de problemas, así como la
respuesta al mismo, porque entiende la
necesidad de comunicarse correctamente
con sus posibles lectores.
Habilidad: Planteas y resolver problemas
utilizando los conocimientos adquiridos, a
partir de una situación de su vida cotidiana.
Nota: en cada apartado te haré una lista de cotejo para que sepas en qué aspectos necesitas
fijar tu atención para lograr un aprendizaje duradero y, por consecuencia, una buena nota.
Listas de Cotejo o de Comprobación:
Corresponden a una lista de palabras, frase u oraciones que señalan con mucha
especificidad, ciertas tareas, acciones, procesos, productos de aprendizaje, conductas
positivas o negativas para ser considerados en una evaluación.
Bloque 4:
Eje: Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico
Apdo. 4.1. Problemas de números con signo. Significado y representación en la recta
numérica. Reglas de los signos para las operaciones.
Conceptos Básicos:
Números positivos: se definen como los números mayores que 0, es decir, se encuentran a la
derecha del 0 en la recta numérica.
Números negativos: se definen como los números menores que 0, es decir, se encuentran a la
izquierda del 0 en la recta numérica.
El 0 no es positivo ni negativo, puesto que es la referencia para ubicar ambos sentidos.
Jerarquía de las operaciones: en un problema donde vengan operaciones combinadas, por
convención se resuelven éstas en el siguiente orden:
1. Se resuelven las operaciones que se encuentren dentro de
paréntesis.
2. Se realizan potencias y raíces.
3. Se solucionan las multiplicaciones y divisiones.
4. Se suman y restan los términos resultantes de las operaciones
anteriores.
Valor absoluto: es la distancia de un número con respecto al 0. Se representa con el número
entre dos barras verticales.
Número
- 25
Valor absoluto
+32
+ 32 = 32
− 25 = 25
Números simétricos: son aquellos que se encuentran a la misma distancia del 0, pero de lados
opuestos con respecto a éste. Al simétrico de un número también se le llama inverso aditivo.
EL NÚMERO
+43
SE ENCUENTRA
a la derecha del 0
a la izquierda del 0
-51
SU SIMÉTRICO
- 43
SE ENCUENTRA
a la izquierda del 0
a la derecha del 0
+53
Principio del simétrico o inverso aditivo: si a un número se le suma su simétrico o inverso
aditivo, el resultado siempre será 0.
Ejemplo:
+ 28 - 28 = 0
En general:
a + (-a) = 0
- 54 + 54 = 0
Principio del 0 o neutro aditivo: si a un número se le suma 0, el resultado será el mismo número.
Ejemplo:
+235 + 0 = +235
En general:
a+0= a
-798 + 0 = -798
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en los problemas de números con signo son:
1. Uso en forma adecuada la regla de los signos.
2. Escribo el procedimiento que justifica mi respuesta.
3. Obtengo el resultado correcto.
IMPORTANTE: Distinguir claramente la regla de la suma y resta de la regla de la multiplicación.
Representa de manera inequívoca las siguientes situaciones:
Disminuir de velocidad 8 m/s2
Ejemplo:
-25
25 º bajo cero
Escribe los números simétricos.
Ejemplo:
–2 es simétrico de
+2
1001 es simétrico de
Escribe el valor absoluto.
-97
=
364
=
Escribe los simétricos de los números siguientes.
-3 =
+17 =
+29 =
-46 =
Regla de las operaciones de números con signo:
Suma:
Signos iguales: se suman los valores absolutos de los sumandos y se anota el mismo signo en
la suma o total.
Ejemplos:
+3 + 36 = 39
-3 + (-6) = -9 que puede escribirse de manera más simple:
-3 - 6 = -9
Signos diferentes: se restan los valores absolutos de los sumandos y se anota en la suma o
total el signo del número de mayor valor absoluto.
+4 – 12 = - 8
- 5 + 14 = + 9
Nota: cuando el resultado es un número positivo, se puede omitir el signo.
Resta: para restar números con signo, primero se cambia el signo del sustraendo y después se
aplica la regla de la suma.
+5 – (+3) = +5 – 2 = +3
- 5 – (- 4) = - 5 + 4 = -1
Multiplicación: para multiplicar números con signo, se multiplican los valores absolutos de los
factores y después se aplica la siguiente regla:
(+)(+) = (+),
(-)(-) = +,
(+)(-) = (-)
(-)(+) = (-)
es decir, si se multiplican números con signos iguales, el signo del producto será positivo, y si se
multiplican números con signos opuestos, el resultado será negativo.
División: para dividir números con signo, se dividen los valores absolutos del dividendo y del
divisor y después se aplica la siguiente regla:
(+ ) = (+ )
(+ )
(− ) = (+ )
(− )
(+ ) = (− )
(− )
(− ) = (− )
(+ )
es decir, si se dividen números con el mismo signo, el signo del cociente será positivo, y si se
dividen números con signos opuestos, el cociente será negativo.
Ejemplos
Realiza las siguientes operaciones:
a) –(-3 + 5) – (-5 -7) = - (+ 2) – (-12) =
= - 2 +12
= 10
c)
(−23)(−4)(−5) (− 23)(20)
=
= 23
(− 20)
(−20)
La regla de los signos se aplica así:
Cuando el resultado es positivo, no es
necesario escribir el signo +
(− )(− )(− ) = (+ )(− ) = (− ) = +
(− )
(− ) (− )
b) –(12 – 15)(4 – 7) =
d) +7 + (-3) + (-12) + (-7) =
Ejemplo:
Resuelve el siguiente problema con ayuda de una recta numérica:
Un avión se mueve de un punto situado a 150 Km. al oeste de su base; vuela hacia el este hasta
un punto situado a 220 Km. al este de su base ¿Cuál es la distancia recorrida? Marca tu
respuesta con una x roja.
Anota el procedimiento numérico:
220 km – (-150 km) = 370 km.
Resuelve el siguiente problema con ayuda de una recta numérica:
Un avión se mueve de un punto situado a 250 Km. al oeste de su base; vuela hacia el este hasta
un punto situado a 300 Km. al este de su base ¿Cuál es la distancia recorrida? Marca tu
respuesta con una x roja.
Anota el procedimiento numérico:
Apdo. 4.2 Raíz cuadrada y la potencia de exponente natural de números naturales y
decimales.
Conceptos básicos:
Potencia de un número: Multiplicar un número por sí mismo tantas veces como indique el
exponente.
En la expresión an = p
a es la base, n es el exponente y
p es la potencia (resultado)
Ejemplos:
34 = (3)(3)(3)(3) = 81
(-5)3 = (-5)(-5)(-5) = -125
porque: (-)(-)(-) = (+)(-) = (-)
Raíz cuadrada: es el número que al ser multiplicado por sí mismo, nos da como resultado el
radicando.
Si en la expresión
a = b se cumple que: b2 = a, entonces
La raíz cuadrada de un número tiene dos soluciones, una positiva y la otra negativa.
(+a)(+a) = a2
Por lo tanto:
2
(-a)(-a) = a
a2 = ± a
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en los problemas de números con signo son:
1. Uso en forma adecuada la regla de los signos.
2. Sigo correctamente la jerarquía de operaciones.
3. Escribo el procedimiento que justifica mi respuesta.
4. Obtengo el resultado correcto.
Ejercicios:
Escribe como se leen las siguientes potencias
La potencia
(-10.2)2
⎛ 2⎞
⎜1 ⎟
⎝ 5⎠
Se lee
Significa
Resultado
2
Completa la siguiente tabla, elevando a la potencia indicada:
Nota: recuerda aplicar correctamente la regla de los signos.
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
a2
(2)(2) = 4
a3
a
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15
-16
-17
-18
-19
-20
a2
a3
(-3)(-3)(-3) = - 27
(-10)(-10)=100
Expresar la solución de la raíz cuadrada con sus dos signos. Justificar este resultado.
Completa según se indica
porque
6.25 =
9
=
25
porque
Completa la siguiente tabla con los resultados de elevar al cubo los valores que se indican.
X
0
-2.1
3
0.4
X3
Operaciones:
Realiza las siguientes operaciones:
121 =
2
⎛ 5 ⎞ ⎛ 49 ⎞
⎜− ⎟ ⎜−
⎟=
⎝ 7 ⎠ ⎝ 125 ⎠
(3.5)2 + 4.12 – (8.2)2 =
(-2.1)3 + (-2.1)2 =
-5.1 + (-3.8 – (-7.6)) =
⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ ⎛7⎞
⎜− ⎟ − ⎜− ⎟ + ⎜ ⎟ =
⎝ 3⎠ ⎝ 9⎠ ⎝9⎠
2
Apdo. 4.3 Relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables
con las cantidades que intervienen en dicha relación.
Conceptos básicos:
Variable independiente: es aquella que en un proceso puede tomar valores arbitrarios.
Variable dependiente: se obtiene de la relación que existe entre ésta y la variable independiente.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en los problemas de relación de proporcionalidad son:
1. Escribo la relación de proporcionalidad en forma correcta y =
2. Escribo el procedimiento que justifica mi respuesta.
3. Obtengo el resultado correcto.
Ejemplo:
Registra en la siguiente tabla los valores que faltan:
Tiempo
0.5
1
2
4
3
5
(h)
Distancia 2
12
4
8
16 20
(km)
a) Encuentra el valor de la constante de proporcionalidad:
k=
d 12
=
= 4km / h
t
3
b) Si x es el tiempo y y la distancia recorrida, ¿qué expresión algebraica representa esta
situación?
y=kx
y=4x
Ejercicios
1. Completa la siguiente tabla de variación:
X
0
1
3
Y
3
5
5
7
Identifica y anota en la casilla correspondiente:
Variable
Variable
Constante
independiente
dependiente
(m)
Escribe la relación funcional:
Ordenada en el
origen
(b)
y=
2. Completa la siguiente tabla de variación:
X
0
1
3
Y
-5
-3
5
7
Identifica y anota en la casilla correspondiente:
Variable
Variable
Constante
independiente
dependiente
(m)
Escribe la relación funcional:
y=
3. Completa la siguiente tabla de variación:
X
0
1
3
Y
6
15
Identifica y anota en la casilla correspondiente:
Variable
Variable
Pendiente
independiente
dependiente
(m)
Escribe la relación funcional:
Grafica la función y = 2x - 5
x
y=
P(x,y)
Operaciones:
Ordenada en el
origen
(b)
20
43
Ordenada en el
origen (b)
y=
para x = -2, -1, 0, 1 y 2 en el plano cartesiano:
En la expresión y = -5 x,
a) Identifica:
Variable independiente:
b) Tabula
x
y
0
1
2
3
Variable dependiente:
Constante de proporcionalidad:
c) Grafica la función
y
x
En clase preparaste molletes, usando como ingredientes pan, frijoles y queso. Basado en esa
experiencia y tomando como base la información de que un mollete se hace con un pan entero
partido en dos, contesta las siguientes preguntas:
a) Si relacionamos la cantidad de panes y la de molletes, ¿quién representa la variable
dependiente, cuál es la variable independiente y cuál es el valor de la constante de
proporcionalidad?
Vi=
Vd=
k=
b) Si relacionamos el pan con los frijoles, ¿cuál es la variable independiente, cuál es la
variable dependiente y qué valor tiene la constante de proporcionalidad?
Vi=
Vd=
k=
c) ¿A qué tipo de variación corresponde este proceso?
Eje: Forma, espacio y medida
Apdo. 4.4 Construir círculos a partir de diferentes datos o que cumplan condiciones dadas.
Conceptos básicos
Circunferencia: línea curva cerrada formada por puntos que equidistan de otro fijo llamado centro.
Círculo: área delimitada por una circunferencia.
Elementos de una circunferencia:
a) Segmentos
Radio: distancia entre el centro y cualquier punto de la circunferencia.
Cuerda: Segmento de recta que toca dos puntos de una circunferencia.
Diámetro: cuerda mayor de una circunferencia y que pasa por su centro.
b) Rectas
Tangente: Recta que toca un solo punto de la circunferencia. Es perpendicular al radio que toca el
punto de tangencia.
Secante: Recta que pasa por dos puntos de la circunferencia.
Procedimientos:
Para trazar una circunferencia dados tres puntos:
5. Se nombran los tres puntos con letras mayúsculas, por ejemplo: A, B, C.
6. Se traza el segmento que une dos puntos. Este segmento será una cuerda de la
circunferencia.
7. Se traza el segmento que une otros dos puntos. Este segmento corresponderá a otra
cuerda de la circunferencia.
8. Se traza la mediatriz a cada uno de los segmentos. La intersección de las mediatrices será
el centro de la circunferencia.
9. Se apoya el compás y se abre con la medida de la distancia del centro hasta cualquiera de
los puntos. Esta medida corresponde al radio de la circunferencia.
10. Si la circunferencia pasa por los tres puntos, entonces está bien trazada.
Ejemplo:
Para trazar una circunferencia dadas dos cuerdas:
1. Se traza la mediatriz de una cuerda.
2. Se traza la mediatriz a la otra cuerda.
3. La intersección de las dos mediatrices será el centro de la circunferencia.
4. Se apoya el compás en el centro encontrado y se abre con la medida de la distancia de
éste hasta un extremo cualquiera de las cuerdas.
5. Si la circunferencia está bien trazada, pasará por los extremos de los dos segmentos.
Ejemplo:
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en los trazos relativos a la circunferencia son:
1. Uso en el juego de geometría para realizar mis trazos y en particular el compás, para trazar
la circunferencia.
2. El trazo solicitado es producto de los trazos auxiliares.
3. Presento mi trabajo limpio y ordenado.
Efectúa los siguientes trazos:
Una circunferencia dados tres puntos.
a)
Una circunferencia dadas dos cuerdas
b)
X
X
x
Apdos. 4.5 y 4.6 Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del
círculo.
Procedimiento para encontrar la medida de un área sombreada entre dos figuras
geométricas.
1. Se calcula el área de la figura mayor.
2. Se calcula el área de la figura menor.
3. Se realiza la operación que se considere conveniente para relacionar los datos y encontrar
el valor del área sombreada.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en los problemas de área y perímetro de circunferencia son:
1. Escribo la(s) fórmula(s) utilizada(s).
2. Escribo el procedimiento que justifica mi respuesta.
3. Obtengo el resultado correcto y anoto las unidades correspondientes.
Calcula el área de la región sombreada en la figura. Recuerda incluir el procedimiento que justifica
tu resultado:
Fórmula:
A = πr
Procedimiento:
Amayor – Amenor= π(3.5cm)2 – π(2.5cm)2
2
2.5 cm
3.5 cm
= 3.14(12.25cm2) – 3.14(6.25cm2)
Área sombreada = 18.84 cm2
Calcula el área sombreada en la siguiente figura, atendiendo a la siguiente información:
FIGURA
PROCEDIMIENTO
FÒRMULA
PQ = QR = 3 cm.
OPERACIONES
RESULTADO:
PQ = QR = 4cm
FÒRMULA
OPERACIONES
RESULTADO:
En el centro de un parque de forma circular de 700 m de radio, en donde conviven las familias al
aire libre, hay situada una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio.
a) Realiza el trazo del parque y de la fuente (utiliza tu compás):
b) Calcula el área de la zona de paseo.
En el centro de un parque de forma circular de 500 m de radio, en donde conviven las familias al
aire libre, hay situada una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio.
c) Realiza el trazo del parque y la fuente (utiliza tu compás):
Calcula el área de la zona de paseo.
Anota 3 acciones que permitirían disminuir al mínimo el impacto ambiental de los paseantes.
¿Qué valores entran en juego cuando cuidas el ambiente en un parque público? Menciona por lo
menos 2 y explica por qué son importantes para ti y para la comunidad:
Completa la siguiente tabla, anotando los datos que se te solicitan; observa el ejemplo:
En la relación
Variable
Variable
Constante de
Ordenada en el
independiente
dependiente
proporcionalidad
origen
y = 3x +2
x
y
3
2
y=x+5
y = -2x + 1
y = -3x
y=x–2
Eje: Manejo de la información
Apdo. 4.7 Características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en
el plano cartesiano.
Conceptos básicos:
Una relación funcional se puede expresar, entre otras, de tres formas:
y = kx
y=x+b
y = mx + b
A la forma y = kx se le llama también variación directamente proporcional. Tiene como
característica esencial que pasa por el origen del plano cartesiano y que y varía en la misma razón
que la x.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en los problemas de relación de proporcionalidad en el plano
cartesiano son:
1. Presento en forma clara, ordenada y limpia mi tabla de valores.
2. En la tabla de valores, la “x” va a la izquierda y la “y” a la derecha.
3. Escribo el procedimiento que justifica mi respuesta.
4. Obtengo el resultado correcto.
5. En el plano cartesiano, indico con una flecha el sentido positivo de cada eje y la ubicación
del origen.
6. Las unidades de cada eje son del mismo tamaño.
7. Anoto en el eje correspondiente la variable independiente y la variable dependiente.
8. Ubico cada punto en el plano tomando en cuenta las coordenadas obtenidas en la tabla de
valores.
Grafica en el plano cartesiano la función que se te indica, e identifica en ella:
a. variable independiente
b. variable dependiente
c. el valor de la constante de proporcionalidad:
y =4x
y = x - 3.
y = -4x + 5
En la expresión y= - 3 x +2,
a) Identifica:
Variable independiente:
b) Tabula
x
y
0
1
2
3
Variable dependiente:
c) Grafica la función
Constante de proporcionalidad:
Instituto Cultural Tampico
Secundaria
Matemáticas 1
TEMARIO PARA EL REPASO ANUAL DE MATEMÁTICAS 1 Bloque 5
Nombre de la profesora:
Durante el presente ciclo, se trabajó en forma intencionada dos competencias genéricas del Sistema de
Colegios Jesuitas y se les relacionó con las cuatro competencias propias de la Asignatura, según la SEP.
Competencia o Competencias de la Asignatura:
Planteamiento y resolución de problemas
Competencia genérica SCJ:
Elemento:
Liderazgo Intelectual
Integración de
saberes.
Argumentación
Competencia genérica SCJ:
Elemento:
Liderazgo Intelectual
Pensamiento
dialógico.
Comunicación
Competencia genérica SCJ: Elemento:
Expresión y
Comunicación
comprensión de
lenguajes oral,
escrito y no verbal
Manejo de técnicas
Competencia genérica SCJ: Elemento:
Liderazgo intelectual
Integración de
saberes.
Habilidad: Plantear y resolver problemas a
partir de una situación de su vida cotidiana.
Habilidad: Fundamentar ideas y escucha en
forma activa para construir su conocimiento y
desarrollar habilidades sociales.
Habilidad: Escribir fielmente su proceso de
resolución de problemas, así como la
respuesta al mismo, porque entiende la
necesidad de comunicarse correctamente
con sus posibles lectores.
Habilidad: Planteas y resolver problemas
utilizando los conocimientos adquiridos, a
partir de una situación de su vida cotidiana.
Nota: en cada apartado te haré una lista de cotejo para que sepas en qué aspectos necesitas
fijar tu atención para lograr un aprendizaje duradero y, por consecuencia, una buena nota.
Listas de Cotejo o de Comprobación:
Corresponden a una lista de palabras, frase u oraciones que señalan con mucha
especificidad, ciertas tareas, acciones, procesos, productos de aprendizaje, conductas
positivas o negativas para ser considerados en una evaluación.
Bloque 5:
Eje: Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico
5.1. Adición, sustracción, multiplicación, división, potencia y raíz cuadrada (sencilla) de
números con signo en diversas situaciones.
Nota: el algoritmo para resolver la raíz cuadrada no se vio, se trabajó exclusivamente la relación
entre la segunda potencia de un número y el significado de los dos signos de la raíz cuadrada.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en los problemas con operaciones de números con signo son:
1. Aplico correctamente la regla de los signos.
2. Sigo el orden de la jerarquía de operaciones.
3. Obtengo el resultado correcto.
Ejemplo:
Encierra en un círculo la respuesta correcta; justifica la respuesta correcta representando la
operación en una recta numérica. Una compañía tiene en su haber $15,000.00, pero sus
adeudos son de $16,300.00 ¿Cuál es su balance real?
OPCIONES
JUSTIFICACIÓN DE LA RESPUESTA ELEGIDA
a)
-$21,300.00
b)
+ $ 1,300
$15,000 - $16300 = - $1,300
c) - $1,300
d)
+$21,300.00
Realiza las siguientes operaciones:
(6.17) + (14.23)2 – (5.2)2 =
(-5)3 + (-5)2 =
52(3+6) – 42 =
(-1.1)3 + (-1.1)2 =
(−3) 3 + 4 2
=
(−4) (−3) 2
16
=
36
Apdo. 5.2. Analizar los vínculos que existen entre varias representaciones (gráficas,
tabulares y algebraicas), que corresponden a la misma situación, e identificar las que son de
proporcionalidad directa.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en los problemas con representaciones gráficas son:
1. Aplico correctamente la regla de los signos al obtener los valores de la variable
dependiente.
2. Sigo el orden de la jerarquía de operaciones para obtener los valores de la variable
independiente.
3. Localizo correctamente la intersección de la gráfica con el eje Y.
4. En el plano cartesiano, anoto “x” y “y” en el eje correspondiente.
5. En el plano cartesiano, trazo flechas que indican el sentido positivo de cada variable.
6. En el plano cartesiano, localizo y anoto el origen.
7. La gráfica es producto de los puntos que obtuve en la tabla de valores..
¿Qué expresión algebraica permite obtener los valores de la tabla?
Tabla
x
0
1
2
y
-15
-12
-9
Expresión algebraica
a) y = 3x – 15
b) y = x + 3
c) y = 2x – 6
d) y = 4x – 12
JUSTIFICACIÓN DE LA EXPRESIÓN ELEGIDA
Resuelve los siguientes problemas:
Si un kilo de pistaches cuesta $120, y usted quiere comprar $40, ¿cuánto le deben despachar?
a) Encuentra el valor de la constante de proporcionalidad.
b) Encuentra los valores de la función para x = 1, 3, 4,
x
0
1
2
3
y
Eje: Forma, espacio y medida
Apdo. 5.3 Cálculo de áreas en diversas figuras planas y establecer relaciones entre los
elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas figuras.
Lista de cotejo
Los aspectos que se evalúan en los problemas relacionados con las fórmulas de áreas de figuras
son:
1. Escribo la fórmula que me permite resolver el problema.
2. Despejo la variable que necesito usando las propiedades de la igualdad.
3. Anoto el procedimiento que justifica mi resultado
4. Obtengo el resultado correcto y escribo las unidades correspondientes.
Ejemplo:
Don Antonio tiene un terreno rectangular de 1600 m2.
¿Será posible que pueda vender una fracción cuadrada de su terreno cuyo frente tenga 35 m?
Justifica tu respuesta
Datos y figura
Procedimiento
Resultado
A rectángulo =1,600 m2
Acuadrado = (35)2 = 1225
L cuadrado = 35 m
Por lo tanto, un lado del rectángulo puede
ser de 35 m.
Sí puede venderlo.
¿Cuánto le falta o le sobra de terreno, si hace la operación?
Datos y figura
Procedimiento
A rectángulo =1,600 m2
A cuadrado = (35)2 = 1225
Resultado
A rectángulo - Acuadrado = 1,600 m2 – 1225 m2
= 375 m2
El área del terreno
sobrante será: 375 m2
Resuelve el siguiente problema: ¿cuánto mide el lado de un cuadrado cuya área es 20.25 cm?
Justificación de la respuesta dada:
a)
b)
c)
d)
15.18 cm
10.12 cm
4.5 cm
0.45 cm
¿Cuál es el área de un trapecio cuyos datos son B=12cm, b= 8cm, y h=6 cm?
Datos y figura
Fórmula
Sustitución
Operaciones
Resultado
¿Cuál es el área de un rectángulo cuyo lado mayor mide 9.6cm y además es el triple del lado
menor?
Datos y figura
Fórmula
Sustitución
Operaciones
Resultado
BIBLIOGRAFÍA DE APOYO
Arteaga, Rubén, Et Al. Explorando Matemáticas 1.1ª Edición, Ed. Oxford, México, 2006
Baldor, Aurelio. Álgebra, Publicaciones Cultural, México,
Baldor. Aurelio. Aritmética. Publicaciones Cultural. México,
Bosch Carlos, Et Al. Encuentro con las Matemáticas Primero. Ed. Nuevo México. México, 2007
Rodríguez Luis, Et Al. Matemáticas 1 Ed. Nuevo México. México, 2006
Waldegg, Georgina, et al. Matemáticas en Contexto. Editorial Esfinge, México, 2006
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http://www.aaamatematicas.com/g6-add_3deci.htm
Banfill, John. AAA Matemáticas, Consultado el 12 de junio. Disponible en:
http://www.aaamatematicas.com/grade7.htm
Edufuturo. Trazo de paralelas y perpendiculares. Consultado el 11 de junio de 2010. Disponible
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Educared. Dibujo técnico. Consultado el 11 de junio de 2010. Disponible en:
http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Imagen:DibujoTecnico_I-4_6.gif
Profesor en línea. Área rectángulo y triángulo. Consultado el 12 de junio de 2010. Disponible en:
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/areatriangyrectang.htm
Reforma Secundaria SEP. Planes de clase matemáticas 1. Consultado el 12 de junio de 2010.
Disponible en:
http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/PLANESCLASE/primergrado/B2/B2A5.doc
Romo, Gaby. Matemáticas 2. Trazo de ángulos con transportador. Consultado el 5 de junio de
2010. Disponible en:
http://missgabyromo.blogspot.com/2009/10/el-trazo-de-angulos-con-transportador.html
Trazados geométricos. Mediatriz. Consultado el 10 de junio de 2010. Disponible en:
http://ficus.pntic.mec.es/fpaj0002/ESO09/tema09.teoria.pdf
MATERIAL NECESARIO PARA EL DÍA DEL EXAMEN:
NO SE PUEDE PEDIR PRESTADO MATERIAL A LOS COMPAÑEROS A LA HORA
DEL EXAMEN.
Lápiz y borrador (indispensables)
Pluma tinta negra o azul
Lápices o plumones de colores
Juego de geometría (verificar que sirva bien el compás)