Ley de Faraday y Movimiento de partículas en campos E y B

Física
Fisica III -10
Ley de Faraday y Movimiento
de partículas en campos E y B
Cátedra de Física Experimental II
Prof. Dr. Victor H. Rios
2010
Física
Fisica III -10
Contenidos
- Espiras en un campo magnético variable con el tiempo (I)
Concepto de flujo magnético
Inducción electromagnética, Ley de Faraday, ejemplos prácticos.
- Espiras en un campo magnético variable con el tiempo (II), osciloscopio.
Aplicaciones de la Ley de Faraday a diferentes señales
Dependencia de la FEM con la amplitud, número de espiras y frecuencia.
- Varilla que se mueve en un campo magnético uniforme
Estudio energético . ¿Realizan trabajo las fuerzas magnéticas?
- Movimiento de partículas cargadas en un campo E
- Movimiento de partículas cargadas en un campo B
- Movimiento en campos E y B cruzados.
- Fuerza magnética sobre conductor rectilíneo.
- Medida de la relación ¨e / m¨ de un electrón.
- El espectrómetro de masas.
- Acelerador de partículas cargadas. El ciclotrón.
- Movimiento en campos eléctrico y magnético cruzados.
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Espiras en un campo magnético variable con el tiempo (I)
Concepto de flujo magnético
Se denomina flujo al producto escalar del
vector campo por el vector superficie:
Φ
B
 
= B . S = B S cos θ
Si el campo no es constante o la superficie no
es plana, se calcula el flujo a través de cada
elemento dS de superficie, B·dS
El flujo a través de la superficie S, es
Φ
B
=
∫∫
S
 
B . dS
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Michael Faraday, (1791-1867)
Fue un físico y químico inglés. Demostró que
los fenómenos magnéticos y eléctricos están relacionados, fundamento de transformadores, motores y generadores.
Los seis Principios de Faraday
En una obra titulada La mejora del espíritu, Michael Faraday escribió los seis principios de su
disciplina científica:
• Llevar siempre consigo un pequeño bloc con el fin de tomar notas en cualquier momento.
• Abundante correspondencia.
• Tener colaboradores con el fin de intercambiar ideas.
• Evitar las controversias.
• Verificar todo lo que le decían.
• No generalizar precipitadamente, hablar y escribir de la forma más precisa posible.
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La inducción electromagnética. Ley de Faraday
La inducción electromagnética fue descubierta casi simultáneamente y de forma independiente por Michael Faraday y Joseph Henry en 1830. La inducción electromagnética es el
principio sobre el que se basa el funcionamiento del generador eléctrico, el transformador
y muchos otros dispositivos.
Supongamos que se coloca un conductor eléctrico en forma de circuito en una
región en la que hay un campo magnético.
Si el flujo Φ a través del circuito varía
con el tiempo, se puede observar una
corriente en el circuito ( mientras el
flujo está variando).
Midiendo la fem inducida se encuentra
que depende de la rapidez de variación
del flujo del campo magnético con el
tiempo.
ε
εmax
ε = −
dΦ B
dt
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El significado del signo menos, es decir, el sentido de la corriente inducida (ley de
Lenz) se muestra en la figura mediante una flecha de color azul.
Suponemos ahora el caso : B variable en el tiempo y superficie fija
El campo magnético cuya dirección es perpendicular al plano de la espira, varía con el
tiempo de la forma
B = B0 sen (w t)
El flujo ΦB del campo magnético a través de las N espiras
iguales es, el producto del flujo a través de una espira por el
número N de espiras
Φ
La fem inducida en las espiras es:
B
 
= N B . S = N B S sen (ω t )
ε = −
dΦ B
= − S N B0 ω cos (ω t )
dt
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El sentido de la corriente inducida es tal que se opone a la variación de flujo
Como la espira tiene un área que no cambia, el flujo se modifica al cambiar el campo magnético. Puede suceder alguno de los cuatro casos que se muestran en la figura.
P : el período del
campo
magnético.
En el intervalo:
0 – P / 4, el campo magnético aumenta, el flujo a través de la espira aumenta
P/4 - P/2, el campo magnético disminuye, el flujo disminuye.
P/2 - 3P/4, el campo aumenta en valor absoluto (disminuye si se tiene en cuenta el
signo).
3 P/4 - P, el campo magnético disminuye en valor absoluto (aumenta si se tiene en
cuenta el signo).
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Si tomamos como criterio que la corriente inducida en la espira
es positiva cuando circula en sentido contrario a las agujas del reloj
es negativa cuando circula en el sentido de las agujas del reloj.
La corriente inducida será
positiva en el segundo y tercer intervalo
y será negativa en el primer y cuarto intervalo, de acuerdo con el comportamiento
de una función proporcional a – cos ( w t ).
ε
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Ejemplo:
Sea
B0 = 40 gauss = 0.004 T
Frecuencia f = 1 Hz
Número de espiras N = 4
Área de la espira S = 100 cm2 = 0.01 m2
El período : P = 1 / f = 1 s
La frecuencia angular : ω = 2 π f = 2 π rad/s
Calcular la fem en el instante t = P / 2 = 0.5 s
Є = - S* N * B0 * ω * cos ( ω * t )
= - 0.01 * 4 * 0.004 * 2 * π * cos( π )
= 1.005 * 10-3 V
= 1.005 mV
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Esquema de un generador de Corriente Alterna
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Generador de FEM
Consideremos la figura siguiente y calculemos el flujo de B, a partir de:
con
Usando la ley de Faraday se obtiene:
Graficando la FEM en fiunción del tiempo:
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Disco de Faraday
Consideremos el área A indicada en la figura:
El flujo que barre el area A es:
La FEM inducida y la corriente serán:
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GENERADORES
Disco de Faraday
Esquema de un generador
Generador muy viejo
todavía en servicio en
Estados Unidos.
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MOTORES
Minimotores de CC
Bobinado de un motor Sincrónico
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Espiras en un campo magnético variable con el tiempo (II)
Describimos aquí un experimento que nos permite comprobar la ley de inducción de Faraday.
ε = − N
dΦ B
dt
donde ΦB es el flujo a través de una espira, y
N es el número de espiras iguales.
El experimento consta de un generador de ondas en el que podemos seleccionar la forma de la onda (cuadrada, triangular o senoidal).
El generador está unido a un solenoide ( primario) que produce un campo
magnético variable con el tiempo.
Esta bobina está acoplada a otra (secundario) cuyo número de espiras podemos elegir entre las siguientes:
300, 600, 900, 1200.
* Podemos también cambiar la frecuencia en el generador dentro de un cierto intervalo.
• En la pantalla de un osciloscopio se representa la diferencia de potencial variable producida por el generador y la fem en el secundario.
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Señales
Analizaremos cada una de las señales que produce el generador
Señal de forma cuadrada
Para crear un campo magnético constante y por tanto, un flujo constante, usamos la
señal cuadrada del generador. La señal cuadrada se caracteriza por que durante medio
periodo el potencial vale V, y durante el otro medio periodo vale – V.
La señal no es exactamente cuadrada, ya que no pasa del potencial positivo al negativo
y viceversa, en un instante concreto, sino durante un intervalo de tiempo, pequeño
compa-rado con el periodo de la señal.
Si el flujo ΦB = cte. Aplicando la ley de Faraday
obtenemos la fem inducida
ε =− N
dΦ B
= 0
dt
Cuando el potencial del generador es constante, el campo magnético es constante en el
primario, el flujo a través del secundario es
constante, la fem es nula.
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Señal de forma triangular
Cuando el potencial del generador crece linealmente (en color rojo), el flujo a través de
cada espira del secundario crece linealmente, la fem inducida en el secundario (en color azul) tiene un valor constante negativo (parte izquierda de la figura)
Si el flujo ΦB = a t , (0 < t < P / 2 ) , a es la pendiente ⇒
ε = − N
dΦ B
= − Na
dt
Cuando el potencial del generador decrece linealmente (en color rojo), la fem en el secundario (en color azul) muestra un valor constante positivo (parte central de la figura)
Si ΦB = a·( P – t ), ( P / 2 < t < P )
⇒
ε = − N
dΦ B
= Na
dt
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Señal de forma senoidal
Este caso ya lo hemos estudiado en la página precedente,
espiras en un campo magnético variable con el tiempo
El campo magnético producido por el primario y por tanto, el flujo a través de cada espira del secundario tiene forma senoidal (en
rojo)
ΦB = (Φ0 )B sen ( w t )
La fem en el secundario (en azul) es la derivada
cambiada de signo del flujo
ε = − N
dΦ B
= − N (Φ 0 ) B ω cos (ω t )
dt
Influencia de los distintos parámetros
• Influencia de la amplitud
La fem inducida es proporcional a la amplitud A de la señal.
• Influencia del número de espiras del secundario
La fem es proporcional al número de espiras N en el secundario.
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Efecto de la frecuencia
La frecuencia f no tiene efecto en la señal cuadrada, pero tiene efecto en la
señal triangular y senoidal.
Al aumentar la frecuencia, disminuye el periodo, y aumenta la pendiente, por lo que la
fem es mayor.
En la figura, se compara la fem de una señal triangular de periodo P (en color rojo), y
de la misma señal de periodo P / 2.
La pendiente de la recta se
ha duplicado y por tanto, la
fem en el secundario (en color azul) se duplica.
En las señales senoidales, al derivar el flujo Φ = Φ0 sen ( w t ) respecto del tiempo,
se obtiene una fem que es proporcional a la frecuencia angular w.
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Varilla que se mueve en un campo magnético uniforme
Veremos ahora que como se obtiene una fem agrandando o reduciendo el camino cerrado
que atraviesa un campo magnético constante en el tiempo.
Sea un conductor rectilíneo que desliza con velocidad constante v por dos guías tal como
se muestra en la figura (más abajo). Las guías están conectadas por uno de sus extremos
para formar un circuito cerrado.
Vamos a obtener el valor de la fem y el sentido de la corriente inducida por dos
procedimientos:
• La ley de Faraday para calcular la fem y la ley de Lenz para determinar el sentido de
la corriente inducida
• A partir de la fuerza sobre los portadores de carga positivos que se mueven con la
varilla en el seno de un campo magnético uniforme Fisica III -10
a) Usamos la ley de Faraday
Supongamos que el campo magnético B es constante y es perpendicular al plano determinado
por las guías y la varilla. El flujo del campo magnético a través del circuito de forma rectangular ABCD señalado en la figura es
Φ
B
 
= B. S = B a x
donde a * x es el área del rectángulo ABCD.
Al moverse la varilla CD la dimensión x del rectángulo aumenta o disminuye, haciendo variar
el flujo con el tiempo. De acuerdo a la ley de Faraday, la fem inducida en el circuito ABCD es:
ε = −
dΦ B
dx
= − Ba
= − Bav
dt
dt
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Sentido de la corriente inducida
Si la varilla se mueve hacia la derecha, aumenta el área S, lo mismo le ocurre al flujo
Φ, el sentido de la corriente inducida es el de las agujas del reloj. Si la varilla se mueve hacia la izquierda, el área S disminuye, lo mismo le ocurre al
flujo Φ, el sentido de la corriente inducida es contrario al de las agujas del reloj.
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b) Usamos la fuerza sobre los portadores de carga
Vamos a obtener el mismo resultado por otro procedimiento distinto, examinando las
fuerzas sobre los portadores de carga positivos existentes en la varilla.
Al moverse la varilla hacia la derecha, con velocidad v en el seno de un campo magnético uniforme B, los portadores de carga se mueven con la misma velocidad horizontal.
La fuerza sobre dichos portadores es
f = q·v x B
Como v y B son perpendiculares, el módulo de la fuerza es f=qvB
La dirección de la fuerza es la de la varilla y el sentido de D a C.
Tenemos por tanto un sistema de "bombeo" de carga positiva desde D hacia el extremo
C, análogo al del generador de Van de Graaff desde la base hacia la esfera conductora.
De menos potencial a más potencial.
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El campo E que impulsa las cargas (fuerza por unidad de carga) es E = v B y solamente existe en el tramo DC de la varilla
ε =
∫
 
E . dl =
C
∫ v B dx
= vBa
D
El campo E tiene origen magnético y es no conservativo.
La diferencia de potencial entre el extremo C y D es VC - VD = v B a, siendo a la distancia
entre las guías. Como vemos C está a un potencial mayor que D.
Al conectar C y D mediante las guías, la corriente fluye espontáneamente de C a D pasando por B y A.
Tenemos el equivalente a una batería que produce una fem
ε=vBa
Si la resistencia del circuito es R, la intensidad de la corriente inducida es:
i = ε/R = vBa/R
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Estudio energético
Cuando circula por la varilla CD una corriente i, el campo magnético B ejerce una fuerza
.


Fm = i uˆt × B L
El vector unitario ut que señala el sentido de la corriente y el campo B son mutuamente perpendiculares,
La longitud del conductor es a, por lo que el módulo de la fuerza magnética es Fm = i B a.
Su sentido es el indicado en la figura (hacia la izquierda si la varilla se mueve hacia la derecha)
Para que la varilla se mueva con velocidad constante v, hemos de ejercer una fuerza Fa igual y de sentido
contrario a Fm.
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La energía mecánica por unidad de tiempo (potencia) suministrada será :
B2 a2 v2
Pa = Fa v = i B a v =
R
i = ε/R = vBa/R
ya que
La energía por unidad de tiempo ( potencia disipada por efecto Joule) en la
resistencia será:
PR = i
2
R
⇒
B2 a2 v2
PR =
R
En el estado estacionario, la intensidad de la corriente es constante, la energía por unidad
de tiempo suministrada mecánicamente al mover la varilla, se disipa en la resistencia en
forma de calor.
La potencia suministrada por la fem será:
Si consideramos la varilla como una batería cuya fem es :
Pε = ε · i
⇒
ε =vBa
B2 a2 v2
Pε =
R
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¿Realizan trabajo las fuerzas magnéticas?
La fuerza que ejerce un campo magnético B sobre una partícula que se mueve con velocidad v es
fm = q v × B
La fuerza fm es perpendicular a la velocidad v de la partícula. Por lo que, la fuerza ejercida por el campo magnético sobre una partícula cargada no realiza trabajo alguno.
La fuerza sobre los portadores de carga es f = q v B, que dicha fuerza tiene la dirección de
la varilla, y realiza un trabajo v B a sobre la unidad de carga que se mueve desde D a C,
pero en realidad esto en realidad no sucede.
La fuerza f por unidad de carga es la suma
de dos fuerzas:
• la fuerza que ejerce la
varilla sobre la carga fv
• la fuerza magnética fm
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Velocidades
Los portadores de carga se mueven horizontalmente con velocidad v y también a
lo largo de la varilla, de D a C.
La velocidad de los portadores de carga
positivos ve forma un ángulo θ, con la
varilla, así:
La componente horizontal de la velocidad
debe ser igual a la velocidad constante v
de la varilla, ve · senθ = v
Fuerzas
* fv : fuerza que ejerce la varilla sobre los portadores de carga, perpendicular a la
varilla.
* fm = q ve × B : fuerza que ejerce el campo magnético, perpendicular a la velocidad ve.
Ya que v es constante, la componente horizontal de la fuerza resultante fx debe ser cero
∑
x
CONCLUIMOS
Fx = f m cos θ − f v = 0
f m cos θ
La fuerza resultante deberá por tanto,
de estar dirigida a lo largo de la varilla,
tal como se muestra en la figura.
=
fv
 

f = fV + f m
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Trabajo de la fuerza “f ”
Cuando un portador de carga se mueve
desde D a C bajo la acción de la fuerza f
El trabajo sobre el portador de carga
po-sitiva es igual a:
Wf = f a
siendo “a” la distancia entre C y D
Como
f = fm senθ
f = q ve B sen θ
fm = q v e B
Concluímos que : f = q v B
ve · senθ = v
El trabajo de dicha fuerza es:
Wf = q v B a
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Trabajo de la fuerza “ fv ”
Mientras el portador de carga se
desplaza una distancia a desde C a D
con velocidad ve·cosθ, la varilla se
desplaza una distancia
x=vt
t = a / (ve cosθ )
x= v
a
ve cos θ
v
ve =
sen θ
x = a tg θ
El trabajo realizado por la fuerza fv que ejerce la varilla sobre los portadores de carga es
W fv = f v x
W f v = f m a sen θ
x = a tg θ
f m cos θ
=
fm = q v e B
fv
ve =
W fv = q v B a
v
sen θ
CONCLUIMOS
W f = W fm
y ya que
W f = W fv + W f m
W fm = 0
El trabajo realizado
por la fuerza magnética fm es cero.
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Fuerza de Lorentz
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Fuerzas sobre las cargas
Movimiento en un campo eléctrico
Una partícula cargada que está en una región donde hay un campo eléctrico, experimenta una
fuerza igual al producto de su carga por la intensidad del campo eléctrico Fe = q · E.
* Si la carga es positiva, experimenta una fuerza en el sentido del campo
* Si la carga es negativa, experimenta una fuerza en sentido contrario al campo
Si el campo es uniforme, la fuerza es constante y también lo es, la aceleración.
Aplicando las ecuaciones del movimiento rectílineo uniformemente variado obtenemos la
velocidad de la partícula en cualquier instante
o después de haberse desplazado una determinada distancia
Fig. 1 Movimiento en E
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De forma alternativa, podemos aplicar el principio de conservación de la energía, ya que el
campo eléctrico es conservativo
* La energía potencial q (V'-V) se transforma en energía
cinética.
* Siendo V'-V la diferencia de potencial existente entre dos puntos distantes x.
* En un campo eléctrico uniforme V‘ - V = E x
El generador de Van de Graaff se emplea para acelerar partículas.
En el terminal esférico del generador se producen
iones positivos que son acelerados a lo largo de un
tubo en el que se ha hecho el vacío, por la diferencia de potencial existente entre la esfera cargada y
tierra.
Fig. 2 Generador de Van de Graaff
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Movimiento en un campo magnético
Una partícula que se mueve en un campo magnético experimenta una fuerza Fm = q· v x B
El resultado de un producto vectorial es un vector de
* módulo igual al producto de los módulos por el seno del ángulo comprendido q v B senθ
* dirección perpendicular al plano formado por los vectores velocidad v y campo B.
* y el sentido se obtiene por la denominada regla del sacacorchos.
Si la carga es positiva el sentido es el
del producto vectorial v x B, como en
la fig.3a
Fig. 3 a Movimiento de la carga positiva en B
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Si la carga es negativa el sentido de la
fuerza es contrario al del producto
vectorial v x B, fig. 3b
Fig. 3 b Movimiento de la carga negativa en B
Una partícula cargada describe órbita circular en un campo magnético uniforme.
El radio de dicha órbita, se obtiene a partir de la ecuación de la del movimiento
circular uniforme: fuerza igual a masa por aceleración normal.
⇒
⇒
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Movimiento en un campo eléctrico y magnéticos cruzados
El campo eléctrico está creado por las dos placas de un condensador plano-paralelo que están
separadas una distancia d y tienen una longitud L, su sentido es de la placa positiva (color
rojo) a la negativa (color azul).
El campo magnético es perpendicular al plano de la página, es positivo cuando apunta hacia
dentro y es negativo cuando apunta hacia fuera.
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1. Desviación nula de la partícula
Una carga eléctrica se mueve con velocidad v0 desconocida a lo largo del eje horizontal x.
Buscaremos las intensidades y los sentidos de los campos eléctrico y magnético que hacen que la
partícula se mueva a lo largo del eje x sin desviarse.
El campo eléctrico ejerce una fuerza : Fe = q · E
El campo magnético ejerce una fuerza : Fm = q· v x B
Las partículas no se desvían si ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario.
⇒
⇒
Por tanto, no se desviarán aquellas partículas cuya velocidad sea igual cociente E / B.
En la fig. 4 se muestran algunas configuraciones del campo eléctrico y magnético sobre cargas positivas o negativas que producen fuerzas
en sentido contrario.
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2. Movimiento bajo la acción del campo eléctrico
Cuando eliminamos el campo magnético, la partícula está bajo la acción de la fuerza eléctrica en
la región del condensador.
Como la fuerza eléctrica constante tiene dirección del eje Y, y la partícula se mueve inicialmente a
lo largo del eje x, las ecuaciones del movimiento de la partícula serán semejantes a las del tiro
parabólico (movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad)
Fig.5 Condensador de placas paralelas
Si L es la longitud del condensador, la desviación vertical y de la partícula al salir de sus placas será
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Puede ocurrir que la partícula choque con las placas del condensador. La posición x de
im-pacto se calcula poniendo y = d / 2, siendo d la distancia entre las placas del
condensador.
3. Movimiento bajo la acción de un campo magnético
En esta región, la partícula experimenta una fuerza debida al campo magnético, cuya dirección
y sentido viene dada por el producto vectorial Fm=q·v x B, y cuyo módulo es Fm=q·v B.
Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme, calculamos el radio
de la circunferencia que describe.
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La partícula cargada describe un arco de una circunferencia hasta que choca con alguna de las
pla-cas del condensador.
Fig.6 Trayectorias de la partícula cargada
Si d es la separación entre las placas. El punto de impacto x, tal como se aprecia en la figura,
se calcula del siguiente modo
r - d / 2 = r · cosθ
x = r · senθ
Si el radio r es suficientemente grande, la partícula saldría entre las placas del condensador. Su
desviación y se calcularía del siguiente modo
y = r – r · cosθ
L = r · senθ
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Fuerza magnética sobre conductor rectilíneo
Intensidad de la corriente
La intensidad de la corriente eléctrica es la carga que atraviesa la sección normal S del
con-ductor en la unidad de tiempo. El significado de flujo másico y flujo de carga o intensidad
es:
Sea n el número de partículas por unidad de
volumen, v la velocidad media de dichas partículas, S la sección del haz y q la carga de
cada partícula.
Fig.7 Movimiento de cargas dentro de un conductor
La carga Q que atraviesa la sección normal S en el tiempo t, es la contenida en un cilindro de
sección S y longitud v·t.
Carga Q = ( número de partículas por unidad de volumen n ) · ( carga de cada partícula q )
.( volumen del cilindro S v t )
Q=nqS v t
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Dividiendo Q entre el tiempo t obtenemos la intensidad de la corriente eléctrica:
i =nqvS
La intensidad es el flujo de carga o la carga que atraviesa la sección normal S en la unidad de
tiempo, que es el producto de los siguientes términos:
Número de partículas por unidad de volumen, n.
La carga de cada partícula, q.
El área de la sección normal, S.
La velocidad media de las partículas, v.
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Fuerza sobre una porción de conductor rectilíneo
Hemos estudiado la fuerza que ejerce un campo magnético sobre un portador de carga y el movimiento que produce
En la fig.8, se muestra la dirección y sentido de la fuerza que ejerce el campo magnético B sobre
un portador de carga positivo q, que se mueve hacia la izquierda con velocidad v.
Calculemos la fuerza sobre todos los portadores ( n S L ) de carga contenidos en la longitud L del
conductor.
El vector unitario ut = v / v tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad, o el
sentido en el que se mueven los portadores de carga positiva.
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En el caso de que el conductor no sea rectilíneo, o el campo magnético no es constante, se ha
de calcular la fuerza sobre un elemento de corriente dl
* Las componentes de dicha fuerza dFx y dFy
* Se ha de comprobar si hay simetría de modo que alguna de las componentes sea nula
* Finalmente, se calculará por integración las componentes de la fuerza total F
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Medida de la relación ¨e / m¨ de un electrón
En este parte, se ha tratado de reproducir las características esenciales del experimento real
llevado a cabo por Thomson a finales del siglo XIX. El objetivo del experimento era describir la
naturaleza corpuscular de los denominados rayos catódicos.
El experimento constaba de dos fases
1.
La determinación de la velocidad del haz de electrones mediante un campo eléctrico y
otro magnético perpendiculares entre sí. Se ajusta la magnitud de los campos hasta
conseguir que el haz no se desvíe.
2.
Una vez conocida la velocidad de los electrones, se procede a la determinación de la
relación carga/masa, midiendo la desviación del haz bajo la acción del campo eléctrico
existente entre las placas del condensador.
Fisica III - 10
Medida de la velocidad del haz de electrones -
SELECTOR DE V
El selector de velocidades es una región en
la que existen un campo eléctrico y un campo magnético perpendiculares entre sí y a la
dirección de la velocidad de los electrones.
En esta región, los electrones de una
deter-minada velocidad no se desvían, si se
ajusta convenientemente, la intensidad de
los cam-pos eléctrico y magnético
• El campo eléctrico ejerce una fuerza en la dirección del campo pero en sentido contrario, ya
que
la carga es negativa.
El módulo de la fuerza es : Fe = q · E
• El campo magnético ejerce una fuerza cuya dirección y sentido vienen dados por el producto
vectorial .
Fm=q·v x B cuyo módulo es : Fm=q·v·B
De nuevo, por ser negativa la carga, el sentido de la fuerza es contrario al del producto
vectorial v x B.
Fisica III - 10
Los electrones no se desvían, si ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario. Por tanto, atravesarán el selector de velocidades sin desviarse, aquellos electrones cuya velocidad v sea igual cociente E / B.
⇒
⇒
Medida de la relación carga/masa
Movimiento entre las placas del condensador
El electrón se mueve bajo la acción de la
fuerza eléctrica F = q E constante en la región
del con-densador perpendicular a la dirección
inicial de su velocidad.
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Utilizamos las ecuaciones del movimiento curvilíneo bajo aceleración constante
⇒
⇒
⇒
⇒
Si L es la longitud del condensador, la desviación vertical y de la partícula al salir de sus placas será :
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Movimiento fuera de las placas del condensador
Una vez que el electrón ha salido de las placas del condensador, sigue un
movimiento rectilíneo uniforme, hasta que llega a la pantalla. La desviación total del haz en la
pantalla situada a una distancia D del condensador es:
donde vy y vx son las componentes del
vector velocidad en el instante en el que
el electrón abandona la región situada entre las placas del condensador x = L.
Por tanto, despejando q / m se
obtiene :
d vo2
q
=
L
m
EL (
+ D)
2
⇒
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El espectrómetro de masas
El espectrómetro de Bainbridge es un dispositivo que separa iones que tienen la misma velocidad. Después de atravesar las rendijas, los iones pasan por un selector de velocidades, una
región en la que existen un campo eléctrico y otro magnético cruzados.
Los iones que pasan el selector sin
desviarse, entran en una región donde
el campo magnético les obliga a
des-cribir una trayectoria circular.
El radio de la órbita es proporcional a
la masa, por lo que iones de distinta
masa impactan en lugares diferentes
de la placa.
El objetivo del uso del espectrómetro consiste en contar el número de isótopos de un
elemento y hallar sus masas en unidades u.m.a.
Para ello, se deberá seleccionar cuidadosamente la magnitud del campo eléctrico y del campo
magnético, y medir sobre la escala graduada los diámetros de sus trayectorias
semicirculares..
Fisica III - 10
El selector de velocidades
El selector de velocidades es una región en la que existe un campo eléctrico y un campo magnético
perpendiculares entre sí y a la dirección de la velocidad del ión. En esta región los iones de una determinada velocidad no se desvían.
El campo eléctrico ejerce una fuerza en la dirección
del campo. El módulo de dicha fuerza es F e = q·E
El campo magnético ejerce una fuerza cuya dirección
y sentido vienen dados por el producto vectorial
Fm = q · v x B, cuyo módulo es Fm= q.v.B
El ión no se desvía si ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario. Por tanto, atravesarán el
selector de velocidades sin desviarse, aquellos iones cuya velocidad sea igual al cociente entre la
intensidad del campo eléctrico y del campo magnético.
Fisica III - 10
Región semicircular
A continuación, los iones pasan a la región donde el
campo magnético hace que describan
trayectorias semicirculares hasta que alcanzan la placa
superior en la que quedan de-positados.
En esta región, el ión experimenta una fuerza debida al
campo magnético, cuya dirección y sentido viene dada por
el producto vectorial Fm = q· v x B, y cuyo módulo es :
Fm = q.v.B.
Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme, hallamos el radio de la trayectoria circular.
⇒
⇒
Fisica III - 10
Acelerador de partículas cargadas. El ciclotrón
El método directo de acelerar iones utilizando la diferencia de potencial presentaba grandes
dificul-tades experimentales asociados a los campos eléctricos intensos.
El ciclotrón evita estas dificultades por medio de la aceleración múltiple de los iones
hasta alcanzar elevadas velocidades sin el empleo de altos voltajes.
La mayoría de los actuales aceleradores de partículas de alta energía descienden del primer
ciclotrón de protones de 1 MeV construido por Lawrence E. O. y Livingstone M. S. en
Berkeley (California).
El artículo original publicado en la revista Physical Review, volumen 40, del 1 de abril de
1932, titulado "Producción de iones ligeros de alta velocidad sin el empleo de grandes voltajes", describe este original invento.
Fisica III - 10
El ciclotrón
El estudio del ciclotrón se ha dividido en dos partes:
1.
En el primero se tratará de visualizar la trayectoria seguida por un ión en un ciclotrón, y
conocer los factores de los que depende la energía final.
2. En el segundo programa, se tratará de determinar la frecuencia de resonancia del
ciclotrón. Es decir, la frecuencia del potencial oscilante para que el ión sea siempre acelerado.
Descripción
El ciclotrón consta de dos placas semicirculares huecas, que
se montan con sus bordes diametrales adyacentes dentro de
un campo magnético uniforme que es normal al plano de las
placas y se hace el vacío. A dichas placas se le aplican
oscila-ciones de alta frecuencia que producen un campo
eléctrico oscilante en la región diametral entre ambas.
Como consecuencia, durante un semiciclo el campo eléctrico
acelera los iones, formados en la región diametral, hacia el interior de uno de los electrodos, llamados 'Ds', donde se les
o-bliga a recorrer una trayectoria circular mediante un
campo magnético y finalmente, aparecerán de nuevo en la
región in-termedia.
Fisica III - 10
El campo magnético se ajusta de modo que el tiempo que se necesita para recorrer la trayectoria
semicircular dentro del electrodo sea igual al semiperiodo de las oscilaciones. En consecuencia,
cuando los iones vuelven a la región intermedia, el campo eléctrico habrá invertido su sentido y los
iones recibirán entonces un segundo aumento de la velocidad al pasar al interior de la otra 'D'.
Como los radios de las trayectorias son proporcionales a
las velocidades de los iones, el tiempoque se necesita
para el recorrido de una trayectoria semicircular es independiente de sus velocidades.
Por consiguiente, si los iones emplean exactamente medio ciclo P1/2 en una primera semicircunferencia, se comportarán de modo análogo en todas las sucesivas y, por tanto, se moverán en
espiral y en resonancia con el campo oscilante hasta que alcancen la periferia del aparato.
Su energía cinética final, será tantas veces mayor que la que corresponde al voltaje aplicado a los
electrodos multiplicado por el número de veces que el ión ha pasado por la región intermedia entre
las 'Ds'.
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Movimiento circular
Una partícula cargada describe una semicircunferencia en un campo magnético uniforme. La
fuerza sobre la partícula viene dada por el producto vectorial Fm=q· v x B, Su módulo es
Fm=q.v.B, su dirección radial y su sentido hacia el centro de la circunferencia
Aplicando la segunda ley de Newton al
movimiento circular uniforme, obtenemos el radio de la
circunferencia.
⇒
El tiempo que tarda en describir una semicircunferencia es por tanto, independiente del radio r
de la órbita
Fisica III - 10
Aceleración del ión
El ión es acelerado por el campo eléctrico existente entre las D's. Incrementa su energía cinética en una cantidad igual al producto de su carga por la diferencia de potencial existente entre
las D's.
Cuando el ión completa una semicircunferencia en el tiempo constante P1/2, se invierte la
polaridad por lo que es nuevamente acelerado por el campo existente en la región intermedia. De
nuevo, in-crementa su energía cinética en una cantidad igual al producto de su carga por la
diferencia de po-tencial existente entre las D's.
La energía final del ión es n q V, siendo n el número de veces que pasa por la región entre las D's.
Fisica III - 10
Ejemplo:
. Se elige como partícula el protón m = 1.67·10-27 kg
. Campo magnético B=60 gauss = 60·10-4 T
. Diferencia de potencial entre las D's, V = 100 V
1. El ión parte del reposo y se acelera por la diferencia de potencial existente entre las dos D's
Fisica III - 10
2. La partícula describe una trayectoria semicircular de radio r1
3. La diferencia de potencial alterna cambia de polaridad y la partícula se acelera
4. La partícula describe una trayectoria semicircular de radio r2
5. y así, sucesivamente...
La energía final de la partícula cuando sale del ciclotrón es
Ek=4·qV=4·1.6·10-19·100 J = 400 eV, ya que es acelerada
cuatro veces al pasar por la región comprendida entre las
dos D's
Fisica III - 10
Frecuencia de resonancia del ciclotrón
Ahora analizamos el papel del periodo de la fem alterna conectada a las dos D's. En el apartado
anterior, el semiperiodo de la fem alterna coincidía con el tiempo que tarda el ión en describir una
semicircunferencia que es independiente de su radio r
Vamos a ver cómo cambia la trayectoria del ión cuando estos dos tiempos no coinciden
A partir del dato de la intensidad del campo magnético, podemos obtener el valor de P1/2
tenien-do en cuenta que
. El campo magnético está en gauss (un gauss = 0.0001 T)
. Una unidad de masa atómica vale 1.67·10 -27 kg.
. La carga del ión vale 1.6·10-19 C
Ejemplo:
. Se elige como partícula el protón m = 1.67·10-27 kg y carga q = 1.6·10-19 C
. Campo magnético B = 200 gauss = 200·10-4 T
. Diferencia de potencial entre las D's, V = 500 V
. El semiperiodo de la fem alterna 1.0 μs = 1.0·10-6 s
Fisica III - 10
1.
La partícula cargada parte del reposo v0 = 0, y
se acelera por la diferencia de potencial V
exis-tente entre las dos D’s, ganado una
energía qV.
La partícula describe una trayectoria semicircular de
radio r1
El tiempo t1 que tarda la partícula en recorrer la semicircunferencia es:
Fisica III - 10
2. Como el periodo de la fem alterna es de 2·1.0 = 2.0 μs. Cuando la partícula completa su trayectoria
semicircular encuentra que el campo existente entre las dos D’s acelera la partícula cargada, ganando una energía qV.
Su velocidad v2 es:
La partícula describe una trayectoria semicircular de radio r1
El tiempo que tarda en describir la semicircunferencia es
Completa la segunda semicircunferencia en el instante 2 · 1.64 = 3.28 μs
Fisica III - 10
3. En este instante, el campo existente entre las dos D’s se opone al movimiento de la partícula, perdiendo una energía qV. Como la energía de la partícula es qV, su velocidad es
v3 = v1, describe una semicircunferencia de radio r3 = r1 empleando un tiempo de 1.64 μs
en completarla
Completa la tercera semicircunferencia
en el instante : 3 · 1.64 = 4.92 μs
4. En este instante, el campo existente entre las dos D’s se opone al movimiento de la partícula, perdiendo la energía qV que le quedaba, su velocidad final es v4 = 0. Fisica III - 10
Movimiento en campos eléctrico y magnético cruzados (opcional)
Vamos a estudiar el movimiento de una partícula de masa m, y carga q, sometida a la acción
simultánea de un campo eléctrico E, y de un campo magnético B, ambos uniformes y perpendiculares entre sí.
Ecuaciones del movimiento
Supongamos que el campo magnético B tiene la dirección del eje Z, el campo eléctrico E la
dirección del eje Y, y el vector velocidad v está en el plano XY.
La partícula cargada parte de la posición inicial (x0, y0) con velocidad inicial (v0x, v0y)
La fuerza que ejerce el campo eléctrico E
sobre una carga q es
Fe = q·E.
La fuerza que ejerce el campo magnético B sobre una partícula de carga q
cuya velocidad es v es
Fm = q · v x B
La fuerza de Lorentz está definida por:
⇒



FLorentz = Fe + Fm
Fisica III - 10
La ecuación del movimiento de es
Las componentes de E, B y v son
⇒
B (0, 0, B)
E (0, E, 0)
v (v0x, v0y, 0,)
Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales
La velocidad a lo largo del eje Z es
constante e igual a la velocidad inicial, vz = v0z = 0
Fisica III - 10
Se denomina frecuencia de giro ω al cociente ω = q B / m, que es la v
elocidad angular de un partícula cargada en un campo magnético uniforme.
Despejamos vy en la primera ecuación y la introducimos en la segunda. Obtenemos la ecuación diferencial de segundo orden.
La solución de esta ecuación diferencial es de la forma
vx = C · cos ( ω · t ) + D · sen ( ω · t ) + c
Introduciendo vx en la ecuación diferencial determinamos la solución particular c de la ecuación diferencial de segundo orden.
Calculamos la componente vy de la velocidad de la partícula
Fisica III - 10
Las constantes C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t = 0, las
componentes de la velocidad de la partícula son (v0x, v0y).
Para simplificar y generalizar las expresiones de las componentes de la velocidad,
denominados velocidad de deriva
cuyo significado ya hemos visto en el selector de velocidades. Las expresiones de vx y vy
quedarán como sigue
vx = ( v0x – vd ) · cos ( ω · t ) + v0y · sen ( ω · t ) + vd
vy = - ( v0x – vd ) · sen( ω · t ) + v0y · cos (ω · t )
Fisica III - 10
Sabiendo que en el instante t = 0, la posición de la partícula es (x0, y0), calculamos la coordenada
x del centro de la partícula integrando la expresión de la velocidad vx en función del tiempo, lo
mismo para la ordenada y.
Podemos escribir de forma alternativa esta ecuación de la forma
Se trata de la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (a, b) y tiene radio Rc
( x – a )2 + ( y – b )2 = Rc2
donde
Fisica III - 10
El centro de la circunferencia se mueve a lo largo del eje X (no a lo largo del plano inclinado)
con velocidad vd
Cicloide
Ejemplo
. Posición inicial de la partícula: y0 = 0, x0 = - 0.8
. Velocidad inicial v0 =0.3, φ = 90º o bien, vx0 = 0, vy0 = 0.3
. Velocidad angular: ω = qB / m = 1.0
. Velocidad deriva vd = E / B = 0.05
. Carga positiva
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Casos particulares
• Movimiento circular
Cuando el campo eléctrico es nulo E = 0, vd = 0
La partícula describe una circunferencia en el campo magnético, cuyo centro y radio son:
Ejemplo
. Posición inicial de la partícula: y0 = 0, x0 = 0.4
. Velocidad inicial v0 = 0.3, φ = 90º o
bien, vx0 = 0, vy0 = 0.3
. Velocidad angular: ω = qB / m = 1.0
. Velocidad deriva vd = E / B = 0.0
. Carga positiva
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Movimiento rectilíneo
Si v0y = 0, y v0x = vd = E / B
⇒
x = x0 + vd · t
y = y0
La partícula se mueve a lo largo del eje X con velocidad constante igual al cociente entre la intensidad del campo eléctrico E y la intensidad del campo magnético B. Este es el fundamento de un
selector de velocidades.
Ejemplo
. Posición inicial de la partícula: y0 = 0, x0 = - 0.4
. Velocidad inicial v0 = 0.1, φ = 0º o bien, vx0 = 0.1, vy0 = 0.0
. Velocidad angular: ω = q B / m = 1.0
. Velocidad deriva vd = E / B = 0.1
. Carga positiva
Fisica III - 10
. Cuando la partícula parte del reposo
v0x = v0y = 0 desde el origen x0 = 0, y0 = 0
Estas son las ecuaciones paramétricas de una cicloide generada por un punto del borde de un disco de radio:
⇒
R = vd / ω = E / (ωB)
que rueda sin deslizar, girando alrededor de su eje con velocidad angular ω y cuyo centro se mueve con velocidad constante
v = R · ω = E / B.
Ejemplo
Posición inicial de la partícula: y0=0, x0=-0.8
Velocidad inicial v0 = 0.0
Velocidad angular: ω = qB / m = 1.0
Velocidad deriva vd = E / B = 0.1
Carga positiva
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APENDICE
Fisica III -10
La experiencia en el aula
Con una bobina, un amperímetro y un imán se realizan las siguientes experiencias:
1. Se sitúa el imán en reposo dentro del solenoide.
2. Se introduce despacio/deprisa el imán en el solenoide.
3. Se saca despacio/deprisa el imán del solenoide.
Se observa el movimiento de la aguja del amperímetro
Se aplica la ley de Lenz, para determinar el sentido de la
corriente inducida.
Para simular la experiencia, emplearemos una bobina de N espiras apretadas de radio R que es
atravesada por un imán, tal como se muestra en la figura. El imán se mueve con velocidad constante v sobre un carril de aire
Fisica III -10
La representación gráfica, el fujo Ф(z) es una función discontinua en
x = 0, o bien, en z = L / 2 y z = - L / 2,
cuando los polos del imán pasan por el centro de las espiras, respectivamente.
Sin embargo, la fem є es una función continua
Como podemos apreciar en la
figura, cuando la pendiente de
la función flujo Ф(z) es positiva
la fem є es negativa y viceversa.
Fisica III -10
Suponemos que el imán es similar a un dipolo magnético, es decir una espira de radio a
por el que circula una corriente de intensidad i . Su momento magnético es m = π a2 i.
Cálculo
Hemos calculado el campo magnético producido por una espira en un punto fuera de su eje. En
particular, para aquellos puntos alejados de la espira en comparación a su radio a, las componentes del campo tienen una expresión más simple (para alumnos que deseen profundizar).
El flujo del campo producido por el imán a través de una bobina de radio b formada por de N
espiras apretadas es.
Fisica III -10
El elemento diferencial de superficie dS, es el área de un anillo de radio y y de espesor dy, su valor es dS = 2π y · dy
⇒
Aplicando la ley de Faraday
dΦ
dΦ dz
dΦ
3 µ 0 m N b2
zv
ε = −
= −
= −
(− v) =
dt
dz dt
dz
2
(b 2 + z 2 )5 / 2
ε
εmax
La velocidad del imán es negativa v < 0
Para z > 0 la pendiente dФ/dz es positiva, la
fem ε > 0 es positiva
Para z < 0 la pendiente dФ/dz es negativa,
la fem ε < 0 es negativa
Fisica III -10
Esta función tiene dos extremos (un máximo y un mínimo) que calculamos haciendo dε / dz = 0 y
se sitúan en z = ± b /2 , como podemos comprobar fácilmente.
dε
3 µ 0 m N b2 v ( b2 − 4 z 2 )
=
dz
2
( b 2 + z 2 )7 / 2
El valor máximo de la fem es
ε max =
24 µ 0 m N v
( 5 )5 b 2
El valor máximo de la fem ε es más
grande para bobinas de menor radio b.
Fisica III -10
Ejemplo
- En la experiencia descrita se usa un imán de 1.0 cm de espesor y de 0.9 cm de radio.
- Se determina experimentalmente su momento magnético m, midiendo el campo magnético en
distintas posiciones a lo largo de su eje Z.
- Poniendo r = z en la expresión de la componente Bz del campo magnético producido por el imán.
- El valor experimental del momento dipolar magnético es de m = 2.35 Am2.
- El campo magnético producido por el imán atraviesa una bobina de N = 400 espiras con una velocidad constante del orden de 70-90 cm/s. Los radios de las bobinas empleadas son del orden de
3
cm.
Ejemplo:
Supongamos que la bobina tiene b = 3 cm de radio y la velocidad del imán es de v = 80 cm/s.
El valor máximo de la fem es de
ε max
24 ∗ 4π ∗ 10 − 7 ∗ 2.35 ∗ 400 ∗ 0.8
=
= 0.45 V
( 5 ) 5 ∗ 0.032
Fisica III -10
Introducir los valores de los parámetros siguientes:
* La velocidad constante del imán v en cm/s, en el control de edición titulado Velocidad.
* El radio b de la bobina en cm en el control de edición titulado Radio.
* El momento dipolar magnético se ha fijado en m = 2.35 Am2.
* El número de espiras de la bobina se ha fijado en N = 400.
Se observa el imán acercándose a la bobina, el campo magnético se incrementa rápidamente
cuando el imán se encuentra cerca de la bobina. Se representa mediante un vector el flujo del
campo magnético producido por el imán a través de las espiras de la bobina.
El movimiento de los puntos de color rojo situados sobre la bobina nos señala el sentido de la
corriente inducida. El sentido antihorario se toma como positivo y el sentido horario como
negativo.
Finalmente, se representa la fem (en color rojo) y el flujo (en color azul) en función de z, la
distancia entre el imán y la bobina. Podemos observar que el máximo se sitúa en la posición z
= - b / 2, y el mínimo en la posición simétrica z = b / 2. La separación entre el máximo y el
míni-mo es igual al radio de la bobina.
El alma que hablar puede con los ojos también puede besar con la mirada.
Gustavo Adolfo Bécquer
Fisica III - 10
FIN