PROBLEMAS DE RECTAS Y PLANOS

PROBLEMAS DE RECTAS Y PLANOS
TEMA
1. Intersección de planos. Procedimiento general
3
(Fig. 1)
La intersección de dos planos es una recta que quedará definida cuando se conozcan dos de sus puntos.
Aunque parezca paradójico, para determinar esta intersección se corta a los dos planos por un tercer
plano y se determinan las intersecciones con cada uno de ellos; estas rectas se cortan en un punto que será
de la intersección buscada; se repite la operación con un segundo plano secante auxiliar y las rectas
obtenidas se cortarán en otro punto de la intersección, que con el anterior define la misma. Los planos
auxiliares que se toman son los planos de proyección H y V o planos paralelos a ellos, cuyas intersecciones
con los planos dados son las trazas de estos planos o bien rectas horizontales o frontales de plano.
Sean, por ejemplo, los planos α y β, cuya recta intersección i se trata de hallar (Fig. 1)
1). Se toma un plano
cualquiera γ y se determinan las rectas r y s de intersección con los anteriores, las cuales se cortan en el
punto 1. Tomando otro plano ε, obtenemos las rectas r1 y s1, que se cortan en el punto 2. La recta que une los
puntos 1 y 2 es la intersección i de los dos planos.
A continuación se resuelven algunos casos de intersección de dos planos.
P.V.
i
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1
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H''
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P.H.
Fig. 1.
Fig. 2.
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA - SISTEMA DIÉDRICO
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a2
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V''
V''
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i''
i''
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Fig. 3.
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Fig. 4.
V''
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H''
V'
V'
H''
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b1
a1
i'
a1
H'
Fig. 5.
2. Intersección de dos planos cualesquiera
Fig. 6.
(Figs. 2, 3, 4 y 5).
Resolvemos el problema en el espacio (Fig. 2)
2). Sean los planos α(α1-α2), y β(β1-β2). Se observa que la recta
intersección es la que une los puntos H’ y V”, donde se cortan las trazas del mismo nombre de los dos planos.
ig. 3)
Ya en diédrico (F
(Fig.
3), si cortamos a los planos α y β por el plano H, las intersecciones son las rectas
s2(s’2-s”2) y r2(r’2-r”2) que son precisamente las trazas horizontales α1 y β1 y cuyo punto de intersección es
H’-H”. Tomando como plano auxiliar secante el plano V, éste corta a los dados según las rectas s1(s’1-s’1) y
r1(r’1-r”1) que son las trazas verticales α2 y β2 y que se cortan en el punto V’-V”.
La recta i(i’-i”) que une los puntos H(H’-H”) y V(V’-V”) es la intersección de los dos planos.
En las Figs. 4 y 5 se resuelven otros dos ejemplos de intersección de dos planos oblicuos cualesquiera.
En ambos ejemplos se buscan los puntos donde se cortan las trazas del mismo nombre de los dos planos y
estos puntos son las trazas de la recta intersección. Las trazas α1 y β1 se cortan en H’, que se refiere en H”
a L.T. y las trazas α2 y β2 se cortan en V”, que se refiere en V’ a L.T. La proyección i’ resulta al unir H’ y V’ y
la proyección i” se obtiene al unir V” y H”.
3. Intersección de un plano oblicuo con otro perpendicular al segundo
bisector (Fig. 6).
La intersección, como en el caso anterior y haciendo el mismo razonamiento, es la recta i(i’-i”) que une los
puntos H(H’ -H”) y V(V’-V”).
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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA - SISTEMA DIÉDRICO
4. Intersección de dos planos, uno proyectante horizontal y otro
proyectante vertical (Fig. 7).
La recta intersección, por pertenecer al plano β(β1-β2) se proyecta verticalmente sobre β2, ya que el plano
es proyectante vertical, y por pertenecer al plano α(α1-α2), que es proyectante horizontal, se proyecta
horizontalmente sobre α1; la intersección es, pues, la recta i(i’-i”) que se comprueba pasa por los puntos
H’-H” y V’- V”, donde se cortan las trazas del mismo nombre de los planos.
5. Intersección de un plano oblicuo y otro horizontal
(Fig. 8).
Todo plano horizontal corta a un plano cualquiera según una recta horizontal; en este caso, el plano
horizontal α(α2) corta al plano oblicuo β(β1-β2) según la horizontal i’-i” que pasa por el punto V(V’- V”) donde
se cortan las trazas verticales; la traza β1 corta a la traza α1 que es impropia, en el punto del infinito, por lo
que i’ y β1 han de ser paralelas.
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H' i'
H'
Fig. 7.
Fig. 8.
Fig. 9.
6. Intersección de dos planos proyectantes respecto al mismo plano
de proyección (Fig. 9)
Si los planos α y β son los dos proyectantes horizontales, es decir, perpendiculares al plano H, la intersección
resultará también vertical, recta i’-i”, cuya proyección i’ está confundida con su traza H’, donde se cortan α1,
y β1. La proyección vertical pasa por el punto donde se cortan α2 y β2, es decir, por el punto del infinito de
ellas, ya que son paralelas.
Si los dos planos son proyectantes verticales, la intersección es una recta perpendicular al plano vertical.
7. Intersección de un plano oblicuo con otro paralelo a L.T.
(Fig. 10)
Razonando como en el caso de dos planos oblicuos, la recta intersección pasa por los puntos H’-H” y V’V” donde se cortan las trazas del mismo nombre de los planos, y estos puntos, como en todos los casos, son
las trazas de la recta i(i’-i”).
8. Intersección de dos planos, uno paralelo a L.T. y otro que la contiene
(Fig. 11)
El plano α(α1-α2) es paralelo a L.T. y el plano β(β1-β2) pasa por ella y por el punto A(A’-A”) del primer
diedro. Se corta por un plano de perfil y se obtienen los planos en tercera proyección según las rectas α y β,
las cuales se cortan en el punto i; este punto es la tercera proyección de la intersección, que resulta paralela
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA - SISTEMA DIÉDRICO
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a la línea de tierra y que se devuelve a proyecciones, según i’-i”. Obsérvese que las trazas del mismo nombre
de los dos planos son paralelas y la intersección también resulta paralela a ellas, es decir a L.T.
b2
b
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Fig. 10.
Fig. 1
1.
11.
9. Intersección de dos planos que pasan por el mismo punto de la L.T.
(Fig. 12)
Razonando como en el caso general, un punto de la intersección es el 2’-2”, donde se cortan las trazas de
los planos y que está en la L.T.; para hallar otro punto, se corta a los planos α y β por un plano horizontal δ (δ2)
que corta a los anteriores según las horizontales r(r’-r”) y s(s’-s”). Las proyecciones horizontales r’ y s’ se
cortan en 1’, que referido a δ2 es decir, a r” y s”, nos da 1”. El punto 1’-1” es otro punto de la intersección,
quedando con ello definida por dos puntos. La recta 1’-2’ es i’ y la 1”-2” es la i”.
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b1
b1
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H'
Fig. 12.
Fig. 13.
Fig. 14.
10. Intersección de un plano oblicuo con otro de perfil
(Fig. 13)
La intersección del plano α, oblicuo, y del β, de perfil, es la recta de perfil i(i’-i”), cuyas trazas son H’-H” la
horizontal y V’-V” la vertical; sus proyecciones están confundidas con las trazas β1-β2 del plano de perfil. En
la figura, se ha pasado la recta i a tercera proyección, con ayuda de los puntos H y V.
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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA - SISTEMA DIÉDRICO
11. Intersección de dos planos cuando sus trazas horizontales o
verticales son paralelas (Fig. 14)
Los planos α1-α2 y β1-β2 tienen sus trazas horizontales α1 y β1 paralelas; quiere decir esto que i’ también
será paralela a ellas, pues concurren en el punto impropio; otro punto de la intersección es el V-V” donde se
cortan las trazas verticales. La recta intersección i’-i” resulta horizontal.
En él caso de ser paralelas las trazas verticales de los planos, la intersección sería una recta frontal que
pasaría por el punto de encuentro de las trazas horizontales de los planos.
12. Intersección de dos planos paralelos a L.T.
(Figs. 15 y 16)
Primer procedimiento. (Fig. 15)
Siguiendo el procedimiento general, cortamos a los planos dados α y β por un plano γ, oblicuo cualquiera.
Los planos α y γ se cortan según la recta r(r’-r”) y los planos β y γ, según la recta s(s’-s”); estas dos rectas
se cortan en el punto 1(1’-1”) que es de la intersección; como los planos son paralelos a L.T., su intersección
también resulta paralela a L.T., por lo que basta trazar por 1’-1” las paralelas a L.T. para obtener las
proyecciones i’ e i” de la intersección buscada.
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b1
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Fig. 15.
Fig. 16.
Segundo procedimiento. (Fig. 16)
Cortando a los dos planos por un plano de perfil, se ven éstos según las rectas α y β, que se cortan en i,
proyección tercera de la recta intersección; las proyecciones de la intersección i’-i” se obtienen al proyectar
i sobre los dos planos.
13. Intersección de un plano cualquiera con el segundo plano bisector
(Fig. 17)
Este problema ya se estudió al tratar de relacionar las proyecciones de una figura plana. Recuérdese que
la recta intersección era el eje de afinidad utilizado para obtener una proyección a partir de la otra.
Como la recta ha de estar en el segundo bisector, sus proyecciones estarán confundidas. En la figura, un
punto de la intersección es el punto 2’-2”, donde el plano a corta a L.T. Sabiendo que los puntos del segundo
bisector tienen las proyecciones confundidas, se toma una horizontal r’-r” del plano α y sus proyecciones,
prolongadas, se cortan en el punto 1’-1” del segundo bisector. La recta que une los puntos 1 y 2 es la i’-i”,
intersección del plano α con el segundo bisector.
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA - SISTEMA DIÉDRICO
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14. Intersección de dos planos perpendiculares al segundo bisector (Fig. 18)
La recta intersección resulta también perpendicular al segundo bisector, es decir, será de perfil, y tiene
sus dos trazas H’ y V” en el punto donde se cortan las trazas confundidas de los dos planos. Los puntos V’
y H” están en L.T. Como comprobación, cortando por un plano horizontal γ(γ2), las rectas r’-r” y s’-s” de
intersección de γ con α y β, se cortan en el punto 1’-1” de la intersección.
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Fig. 17.
Fig. 18.
15. Intersección de dos planos, uno dado por sus trazas y el otro por
dos rectas
Tenemos un plano α(α1-α2) y el otro dado por las rectas r’-r” y s’-s” que se cortan en el punto M. Tomamos
como plano auxiliar secante el horizontal β(β2) éste corta al plano α según la horizontal h’-h” y al plano
definido por las dos rectas, según la recta f’-f” que pasa por los puntos 1’-1” y 2’-2”; las horizontales h” y f”
se cortan en proyección horizontal en A’ y este punto se refiere a h” y f”, es decir, a β2, en A”. El punto A’-A”
es un punto de la intersección buscada.
Cortando por otro plano horizontal ε2 y repitiendo las mismas operaciones, las horizontales h’1-h” 1 y
f’1-f”1 se cortan en el punto B’ -B”, que unido con A’-A”, nos da la recta intersección i’-i”.
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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA - SISTEMA DIÉDRICO
Fig. 20.
3'
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Fig. 19.
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h'' n''
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16. Intersección de dos planos, uno dado por una de sus l.m.p. y el
otro por dos rectas (Fig. 20)
Un plano está definido por la recta r’-r” que es una línea de máxima pendiente de él, y el otro por las rectas
s’-s” y t’-t” que se cortan en el punto P’-P”.
Tomando el plano horizontal α2 como auxiliar secante, se obtienen las horizontales h’-h”, que pasa por el
punto 1’-1”, y n’-n” que pasa por los puntos 2'-2” y 3’-3”. Estas horizontales se cortan en el punto A’-A” de la
intersección. La proyección h’ es perpendicular a r’, por ser la recta r línea de máxima pendiente.
Se corta por otro plano horizontal β2 que nos proporciona las horizontales h’1-h”1 y n’1-n”1, las cuales se
cortan en el punto B’-B”. La rectaAB es i’-i”, intersección de los dos planos.
17. Intersección de dos planos, definidos, uno por una l.m.p. y el otro,
por una l.m.i. (Fig. 21)
La línea de máxima pendiente es r’-r” y la de máxima inclinación es la s’-s”.
Cortando con un plano horizontal α(α2), obtenemos en s el punto 2’-2” y al plano definido por la r le corta
según la horizontal h’-h” que parte del punto 1’-1” y de la cual sabemos que h’ es perpendicular a r’.
Cortando ahora con el plano β(β1) paralelo al V, obtenemos en r el punto 4’-4” y al plano definido por la s’-s”
le corta según la frontal f’-f” que parte del punto 3’-3”.
La horizontal h’-h” corta al plano β1 en el punto 5’-5”; este punto unido con 4’-4” nos proporciona la frontal
t’-t” que se corta con la f’-f” en el punto A’-A” de la intersección pedida.
De la misma forma, la frontal f’-f” corta al plano α2 en el punto 6’-6”; este punto unido con el 2’-2” nos da
la horizontal t’1-t”1 que corta a la h’-h” en el punto B’-B” también de la intersección.
La recta i(i’-i”) que une los puntos A y B es la intersección de los dos planos así definidos.
i''
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Fig.21.
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h'1
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Fig. 22.
18. Intersección de dos planos, definido cada uno de ellos por dos rectas
(Fig. 22)
Las rectas p(p’-p”) y q(q’-q”) que se cortan en A’-A” definen un plano y las rectas r(r’-r”) y s(s’-s”) que son
paralelas, definen el otro plano.
Tracemos un plano auxiliar secante α2, horizontal. Obtenemos los puntos 1’-1” y 2’-2” en p y q y que
definen la horizontal f’-f” y los puntos 3’-3” y 4’-4” en r y s que definen otra horizontal h’-h”. Estas dos
horizontales se cortan en un punto B’-B” de la intersección.
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