EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA INFERENCIA SOBRE µ CON σ2 CONOCIDA Distribución de la media muestral Caso de distribuciones normales Si tenemos una variable x = N (µ ;σ 2 ) Se puede demostrar que σ2 x = N µ ; n De esta manera, todas las fórmulas que emplearemos se deducen de la siguiente expresión: z= x−µ σ = N (0;1) n Caso de Distribuciones no normales Si tenemos una variable que no cumple con el supuesto de normalidad, bajo las condiciones estipuladas por el Teorema del Límite Central; a medida que n crece, la distribución de x se aproxima a una distribución normal. Para tener un criterio que nos permita saber en que casos la aproximación es suficiente, podemos utilizar el criterio de que el coeficiente de variación de la variable x sea menor al 20%. O sea: Si tenemos una variable x = VA( µ ;σ 2 ) Se puede demostrar que σ2 σ/ n siempre que x ≅ N µ ; ≤ 0,20 n µ Intervalo de Confianza Se pretende construir un intervalo que contenga al parámetro (µ en nuestro caso) a partir de la información que brinda el estimador ( x en nuestro caso), con una confianza prefijada. Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 1 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA Se fija el nivel de confianza (NC=1-α) y con el valor muestral del estimador se calculan los extremos del intervalo de manera que la probabilidad de que el parámetro esté comprendido entre ellos sea igual a 1-α. ( P x − z(1−α / 2 ) . σ n ≤ µ ≤ x − z(1−α / 2 ) . σ n ) = 1−α Donde 1-α = NC = Nivel de Confianza α = Riesgo Esta expresión nos da un intervalo centrado en el valor de Limite Inferior x: x Límite Superior Además se definen: D = Amplitud del intervalo E = Error de muestreo o Semiamplitud. D = Límite Superior - Límite Inferior D σ E = 2 = z (1−α / 2) n Podemos determinar que tamaño de muestra es necesario para lograr un determinado Error de Muestreo a través de la siguiente expresión: Z (1−α / 2) .σ n = E 2 Ejemplo 1: Una balanza se caracteriza por presentar aleatoriedad en sus pesadas siguiendo una 2 distribución normal, de varianza 0,05 gr . a. Calcular el número de veces que se debe pesar una droga para determinar su peso con un intervalo de Semiamplitud 0,12 gr, para un nivel de confianza de 95%. b. Si luego de tomada la muestra se obtuvo una media muestral de 8,2 gr. Realice la estimación a través del intervalo de confianza. a. Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 2 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA Z (1−α / 2 ) .σ n = E 2 Para esto calculamos: σ = 0,05 = 0,2236 1 − α / 2 = 1 − 0,05 / 2 = 0,975 Z (0,975) = 1,96 Para luego reemplazar en la expresión de n: Z (1−α / 2) .σ n = E 2 2 1,96.0,2236 = = 13,33 ≅ 14 0,12 Los tamaños de muestra siempre se redondean hacia arriba de manera que la precisión no sea inferior a la deseada. b. ( P x − z(1−α / 2 ) . σ n ≤ µ ≤ x − z(1−α / 2 ) . σ n ) = 1−α Reemplazando obtenemos: 0,2236 0,2236 P 8,12 − 1,96. ≤ µ ≤ 8,12 − 1,96. = 0,95 14 14 P(8,003 ≤ µ ≤ 8,237 ) = 0,95 Observemos que el Error de Muestreo Resultante fue: E = z (1−α / 2 ) σ n = 0,117 En realidad, en el punto a) calculamos el tamaño de muestra para que el este Error de Muestreo resultara 0,12 gr. El hecho de haber redondeado el tamaño de muestra de 13,33 a 14 mejoró ínfimamente el tamaño del Error de Muestreo. Test de Hipótesis La idea general de los ensayos de hipótesis es la siguiente: 1. Planteamos una hipótesis que queremos constrastar acerca de un parámetro de una distribución. 2. Tomamos una muestra. 3. Si los valores de la muestra contradicen fuertemente la hipótesis planteada, la hipótesis planteada es rechazada y decimos que es falsa. Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 3 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA Por ejemplo: Supongamos que queremos evaluar la hipótesis de que un proceso productivo trabaja con un porcentaje de defectuosas de a lo sumo 2%: H o ) p ≤ 0,02 En este caso se trata de una hipótesis acerca del parámetro p de un proceso Bernoulli. Supongamos también que tomamos una muestra al azar de 20 piezas producidas por este proceso productivo y que de las 20 piezas, 9 son defectuosas. No es necesario hacer demasiados cálculos para darse cuenta de que es más que improbable que si el proceso productivo realmente trabaja con 2% de defectuosas, obtengamos 9 defectuosas en una muestra de 20 unidades. En este caso llegaríamos a la conclusión de que el porcentaje de defectuosas no es del 2%, rechazaríamos la hipótesis H o ) p ≤ 0,02 y diríamos que p supera el 2%. Ahora bien, si en nuestra muestra de 20 unidades hubiéramos encontrado solo 1 pieza defectuosa, la decisión no es tan obvia: un proceso que produce un 2% de defectuosas podría generar una muestra de tamaño 20 donde hay una defectuosa. Los test de hipótesis, en realidad consisten en un procedimiento que permite sistematizar este tipo de decisiones acerca del valor que puede tomar un parámetro de una distribución utilizando información extraída de una muestra. Tipos de hipótesis Por el momento vamos a trabajar tomando decisiones acerca de la media (µ) Las hipótesis posibles son: H 0 )µ ≤ µ0 H 0 )µ ≥ µ0 H 0 )µ = µ 0 Muchas veces (aunque no es necesario) se incluye la hipótesis H1, que complementa a H0: H 0 )µ ≤ µ0 vs H 1 )µ > µ 0 H 0 )µ ≥ µ0 vs H1 )µ < µ 0 H 0 )µ = µ 0 vs H1 )µ ≠ µ 0 Podemos dividir estos ensayos en: Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 4 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA Unilaterales: Bilaterales: H 0 )µ ≤ µ 0 ó H 0 )µ ≥ µ 0 H 0 )µ = µ0 Los ensayos bilaterales se utilizan cuando nos interesa conocer si la media se mantiene o no en un determinado valor (por ejemplo en casos donde quiero controlar un proceso productivo que debe fabricar ejes de un diámetro de 22 mm). Estos ensayos no ofrecen mayores complicaciones en el planteo de la hipótesis nula que siempre será del tipo H 0 )µ = µ 0 . Los ensayos unilaterales se utilizan cuando queremos verificar si el valor de la media supera o no un determinado valor. Al plantear hipótesis unilaterales, se nos presenta una aparente incongruencia: Uno puede pensar que es indiferente el planteo de hipótesis que realice, ya que plantear H 0 ) µ ≤ µ 0 y acabar rechazándola, debería ser lo mismo que plantear H 0 ) µ ≥ µ 0 y no rechazarla. El problema es que esto no es necesariamente así. Puede darse el caso de que realizando ambos ensayos, no logre rechazar ninguna de las 2 hipótesis. La razón de esto lo dejamos para cuando trabajemos con los ejemplos. Por el momento solo daremos un par de reglas que nos permitirán plantear las hipótesis dejando la justificación de las mismas para más adelante. Criterio Pesimista Se adopta en problema de inversión con riesgo económico. En este caso el sentido de la hipótesis nula se plantea de tal manera que refleje la posición pesimista, o sea en el sentido en que la media toma los peores valores. Criterio Optimista Se adopta en problemas de control de recepción o control de producción. En este caso el sentido de la hipótesis nula se plantea de tal manera que refleje la posición optimista, o sea en el sentido en que la media toma los mejores valores. Ejemplo 2 Una empresa fabrica un alimento balanceado con vitamina C. El contenido de vitamina C del alimento es una variable aleatoria que puede considerarse normal con un desvío estándar de 50 mg/kg, de acuerdo a la experiencia en la fabricación de alimentos balanceados con otros componentes y concentraciones por el mismo proceso. La empresa ha desarrollado un nuevo producto que se desea lanzar al mercado solo en el caso que el contenido medio de vitamina C supere los 200 mg/kg. Para tomar tal decisión, se ha medido el contenido de vitamina C de una muestra de 7 unidades experimentales (paquetes) con los siguientes resultados: x [mg/kg] 229 232 246 204 252 190 250 a) Analizar si el producto debe o no ser lanzado al mercado asumiendo un riesgo máximo del 5% de lanzar el producto erróneamente. b) Determinar la probabilidad de lanzar el producto al mercado si la verdadera media fuese µ=220 mg/kg. c) Dibujar la curva de Potencia del ensayo. Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 5 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA a) El planteo correspondiente a este ejercicio es un planteo Pesimista ya que se trata de una decisión que implica una inversión. Cuando hablamos de Pesimista nos referimos siempre al sentido de la hipótesis nula. En este caso, ser pesimista significa decir que la µ es menor a 200 y que la inversión no se realizará: vs H 0 ) µ ≤ 200 H 1 ) µ > 200 Al plantear esta hipótesis nula, estamos suponiendo que la media es menor o igual a 200. En el caso de que encontremos un valor de x ‘sospechosamente alto’ diremos que la Ho es falsa y lanzaremos el producto al mercado. Es decir: Si x≥xc Rechazo la Ho µ > 200 Lanzo el producto A su vez, se define α = P ( Rechazar Ho \ µ = µo ) O sea α = P ( Lanzar el producto al mercado \ µ = 200 ) = 0,05 de acuerdo con el enunciado. α=5% µo = 200 Para calcular el valor de x c =? x c, partimos de la expresión general: z= x−µ σ ⇒ Z (1−α ) = n xc − µ 0 σ n Reemplazando σ=50, n=7, 1-α=0,95 y µ0=200, nos queda: z (0,95) = xc − 200 50 ⇒ xc = 200 + z (0,95). = 231,09 50 7 7 Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 6 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA El planteo de la condición de Rechazo y Regla de Decisión, nos queda: Si x ≥ x c=231,09 mg/kg Rechazo la Ho Lanzo el producto Como en este caso tenemos el valor de x , podemos aplicar esta condición de rechazo y tomar la decisión correspondiente ( x =229 mg/kg): Como el x =229 mg/kg NO es mayor o igual que x c=231,09 mg/kg, no Rechazo la Ho y por lo tanto no se recomienza lanzar el producto al mercado. Nota: Es importante entender que al no rechazar la Ho, no la estamos tampoco aceptando. No estamos diciendo que µ ≤ 200. De hecho, la mejor estimación de la media que tenemos es x =229. ¿Por qué entonces no decimos que la media es mayor a 200 y rechazamos la Ho? Porque no estamos lo suficientemente seguros de que µ ≥ 200. Solo rechazamos la Ho si tenemos fuerte evidencia de que es falsa. Caso contrario no se rechaza. Pensémoslo de otro forma: Si fuera x =200,5 mg/kg y tengo que decidir con ese valor. ¿Cuál sería mi decisión? Seguramente que sería la de no lanzar el producto al mercado: estamos tomando esta decisión a partir de una muestra de solo 7 elementos y la diferencia de 0,5 mg/kg no me da mucha seguridad de que la verdadera media esté por encima de los 200 mg/kg. En cambio, si x =350, la decisión probablemente sería otra: la diferencia es muy grande como para atribuirle a la aleatoriedad de la muestra un valor tan alto. Si cuando x =200,5 decido no realizar la inversión y cuando x =350 decido realizar la inversión, en algún punto debo haber cambiado de opinión. Ese valor es justamente x c y como es de esperar es un valor que depende del riesgo que estoy dispuesto a asumir (α). Resumiendo: Si rechazo Ho, puedo afirmar H1 con un riego máximo α de equivocarme. Si NO rechazo Ho, no puedo decir nada sobre Ho ni sobre H1. Para terminar de cerrar la idea analicemos que hubiese ocurrido en caso de que planteáramos las hipótesis en el sentido incorrecto: H 0 ) µ ≥ 200 vs H 1 ) µ < 200 En el caso de que rechazáramos la hipótesis, diríamos que µ<200 y que no habría que lanzar el producto al mercado con riego máximo α=5%. En el caso de que no rechazáramos Ho, no podríamos asegurar nada respecto de la media. De poco le puede servir a una empresa plantear el test que acabamos de analizar en vistas de lanzar el producto al mercado, ya que ninguna de los resultados posibles le da la seguridad de lanzar el producto es correcto, que es lo que en definitiva le interesa saber. Nota 2: Existen 2 formas alternativas de resolver el punto a) de este ejercicio. Cuando trabajamos en inferencia sobre la media de poblaciones normales con desvío conocido, es muy frecuente trabajar con condiciones de rechazo vinculadas a x c, pero es frecuente en inferencia sobre otros parámetros y/o poblaciones que no se trabaje de esta manera, Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 7 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA sino de las que veremos ahora. Esto se debe entre otras cosas a costumbres, comodidad o bien a la disponibilidad de tablas. De todas maneras, debe tenerse bien presente que los tres procedimientos para rechazar o no una hipótesis son totalmente equivalentes entre sí. a. Trabajando sobre el eje Z En este caso, en vez de trabajar sobre el eje x , se trabaja sobre el eje z. La Condición de Rechazo en este caso, nos quedaría: Si Zcalculado≥Z(1-α α) Rechazo la Ho Donde Z Calculado = X − µ0 σ n En este caso: 229 − 220 = 1,53 50 7 Z (1 − α ) = Z (0,95) = 1,6449 Z Calculado = Aplicando la Condición de Rechazo, diríamos que como Zcalculado=1,53 no es mayor o igual a Z(1-α)=1,6449, no puedo rechazar la Hipótesis nula. x =229 α=5% X µo = 200 x c=231,09 Zcalc=1,53 α=5% Z Z 0 Z(1-α)=1,6449 b. Utilizando el nivel de significación a posteriori En este caso, lo que se hace es calcular la P ( x ≥229 \ µo = 200). A este valor, lo llamamos α* y representa el nivel de significación a posteriori. La condición de rechazo nos queda: Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 8 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA Si α* ≤ α Rechazo Ho Realizando los cálculos: 229 − 200 = 1 − Φ (1,53) = 0,063 α * = P ( X ≥ 229) = 1 − Φ 50 7 Como α*=6,3% no es menor o igual que α=5%, no puedo rechazar la Hipótesis Nula. b) En el supuesto caso que la media valiera 220 mg/kg. ¿Cuál sería la probabilidad de que la Ho sea rechazada y la inversión se realice. Se define: π(µ µ) = P ( Rechazar Ho \ µ ) β(µ µ) = P ( NO Rechazar Ho \ µ ) Tanto π como β son funciones de µ y se cumple para todo µ que π(µ) = 1-β(µ). Si tenemos en cuenta los distintos valores de µ posibles, podemos decir que: π(µ µ) = P ( Rechazar Ho \ µ ) = ∉ Ho µ ∈ Ho µ π(µ)= P ( Rechazar Ho \ µ ) = 1 - εII π(µ) = P ( Rechazar Ho \ µ ) = εI = Error Tipo I Caso Particular µ = µ0 π(µ0) = P ( Rechazar Ho \ µ=µ0 ) = α = εI β(µ µ) = P ( NO Rechazar Ho \ µ ) = ∉ Ho µ ∈ Ho µ β(µ) = P ( NO Rechazar Ho \ µ ) = εII= Error Tipo II β(µ) = P ( NO Rechazar Ho \ µ ) = 1 - εI Caso Particular µ = µ0 β(µ0) = P ( NO Rechazar Ho \ µ=µ0 ) = 1 - α = 1 - εI Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 9 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA Esto también puede resumirse en la siguiente tabla: Rechazar H0 No Rechazar H0 µ ∈ H0 εI 1 − εI µ ∉ H0 1 - εII εII Volviendo al ejercicio, nos están preguntando: P ( Lanzar el producto al mercado \ µ = 220 ) De acuerdo con la Condición de Rechazo y la regla de decisión, el producto se lanza al mercado si se Rechaza Ho. Por lo tanto estamos frente a una probabilidad π. Por otro lado µ = 220 es un valor medio que no pertenece a Ho. P ( Rechazar Ho \ µ ∉ Ho ) = π (µ=220) Para Rechazar la Ho, se tiene que cumplir la Condición de Rechazo, es decir que x ≥ x c=231,09 mg/kg. Lo que tenemos que calcular entonces es la probabilidad de que x ≥ 231,09 teniendo en cuenta que la µ =220. Gráficamente, tenemos: α=5% µo = 200 x c=231,09 π(µ=220) = ? µ1 = 220 x c=231,09 O sea: Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 10 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA X c − µ1 231,09 − 220 π ( µ = 220) = 1 − Φ =1− Φ = 1 − Φ(0,58) = 0,28 σ 50 n 7 c) La curva de Potencia, es la curva que representa π(µ). Por el momento tenemos solamente dos valores de esta curva: π(µ=200)=α=0,05 y π(µ=220)=0,316 µ1 229 − µ 1 π ( µ1 ) = 1 − Φ 50 7 180 190 200 210 215 220 230 240 250 260 270 280 290 300 0.0035 0.0150 0.0505 0.1332 0.1986 0.2803 0.4789 0.6830 0.8426 0.9376 0.9805 0.9952 0.9991 0.9999 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 α 0.00 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 Ejemplo 3 Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 11 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA Una carpintería de Capital Federal recibe periódicamente grandes partidas de madera de cedro procedentes de un aserradero de Salta. Una partida se considera aceptable si la longitud media de sus tablas es mayor o igual que 4m. Al examinar una muestra de 5 tablas de una partida recién recibida, se obtuvieron los siguientes resultados en metros: 3,8 - 3,74 - 3,98 - 4,1 - 3,9. Se sabe además que la longitud de las tablas se distribuye Normalmente con un desvío estándar de 0,15m. a) ¿Considera Ud. aceptable esta partida si se establece en 5% la probabilidad de rechazarla indebidamente? Calcule el nivel de significación “a posteriori”. Justifique conceptualmente el planteo optimista de la hipótesis. b) ¿Cuál sería la probabilidad de aceptar una partida cuya longitud media fuera de 3,85m? c) Dibujar la curva de error.. d) ¿Cuántas tablas habría que medir de cada partida para que dicha probabilidad anterior valga 0,1? Por ser un muestreo de recepción periódico, debemos adoptar un planteo Optimista. Como lo que busco es que µ ≥ 4 mts, las hipótesis nos quedan: H 0 )µ ≥ 4 H1 )µ < 4 vs La hipótesis nula será rechazada en el caso de que el valor de bajo’. CR: Si x ≤ xc Rechazo la Ho x sea ‘sospechosamente Rechazo la Partida α=5% x c =? µo = 4 Partimos de la expresión general: z= x−µ σ n Recordando que σ=0,15 y n=5, nos queda: z (0,05) = −1,6449 = xc − 4 0,15 ⇒ xc = 4 − 1,6449. = 3,89 0,15 5 5 O sea: Si x ≤ x c=3,89mts Rechazo la Ho Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 Rechazo la Partida 12 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA Como en este caso, partida x =3,904 > x c = 3,89 No Rechazo la Ho No se rechaza la El nivel de significación a posteriori será: 3 , 904 − 4 = Φ(− 1,43) = 7,62% α * = P ( X ≤ 3,904 / µ 0 = 4) = Φ 0,15 5 Nota: Los problemas de control periódico de partidas, suelen tener problemas de interpretación y ello se debe a que aparentemente contradice el sentido común. Por eso analizaremos un poco mas en profundidad este caso. Si analizamos el planteo de hipótesis resultante de haber realizado un planteo optimista, observaremos que: 1. Si rechazo la Hipótesis nula, Rechazo la partida con un riesgo máximo del 5%. 2. Si no Rechazo la partida, no puedo asegurar que la media sea menor a 4 y en ese caso acepto la partida. Lo que produce la confusión es el siguiente razonamiento: “Si lo que estoy buscando es que las partidas sean buenas, ¿no sería conveniente hacer un planteo de hipótesis inverso donde si pruebo que la partida es buena la acepto y si no puedo probar que la partida es buena se la rechazo?” Veamos que sucedería en este caso: H 0 )µ ≤ 4 H1 )µ > 4 vs α=5% µo = 4 Nos hubiera quedado la siguiente regla: si Acepto la partida. x c=4,11 x ≥ 4,11 mts Rechazo la Hipótesis Nula y Para comprender porque este planteo es incorrecto, supongamos por un momento que el proveedor es honesto y produce piezas con µ = 4 mts. La distribución de x será la que corresponde con el gráfico superior. Si observamos el gráfico, podremos notar que al proveedor le estamos rechazando el 95% de las lotes que nos está enviando (dentro de especificación). Si por ejemplo obtenemos una partida con x = 4,10 mts, la decisión es rechazar la partida. En realidad esta partida no se la estamos rechazando porque sea mala. De hecho, el valor de x = 4,10 mts nos indica que probablemente la partida sea buena. Pero le estamos rechazando el lote completo, porque no estamos los suficientemente seguros de que la media poblacional sea mayor a 4 mts. Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 13 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA Es como si aceptáramos solo aquellos lotes de los que estamos muy seguros que son buenos, y ante la duda se los rechazamos. Evidentemente esta situación es insostenible en el largo plazo con cualquier proveedor. Por eso es que en estos casos se utilizan planteos del tipo optimistas. Pero también debe tenerse en cuenta que estamos suponiendo que la partida es buena. Debemos estar trabajando con un proveedor de confianza que nos permita hacer esta suposición. b. P ( Aceptar Partida \ µ = 3,85 ) P ( NO Rechazar Ho \ µ = 3,85 ∉ Ho ) El hecho de que estemos calculando la probabilidad de NO Rechazar la Ho nos indica que estamos calculando una probabilidad de tipo β, dentro de las β, estamos calculando un εII. P ( NO Rechazar Ho \ µ = 3,85 ∉ Ho ) = β (µ1=3,85) A su vez, para no rechazar la Ho, se debe cumplir la condición x ≤ x c=3,89mts: β (µ1=3,85) = P ( x ≥ x c=3,89mts \ µ = 3,85 ) α=5% x c=3,89 µo = 4 β ( µ1=3,85 ) = ? µ1 = 3,85 x c=3,89 X − µ 3 , 89 − 3 , 85 c 1 = 1 − Φ = 1 − Φ (0,596) = 0,276 β ( µ = 3,85) = 1 − Φ σ 0,15 n 5 c) Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 14 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA Al pedir la curva de error, lo que se está pidiendo es el gráfico de εI y εII en función de µ. εI = π(µ) = P ( Rechazar Ho \ µ ∈ Ho ) εII = β(µ) = P ( NO Rechazar Ho \ µ ∉ Ho ) O sea que tendremos valores de εI para valores de µ ≥ 4 y Hasta el momento se tienen, de puntos anteriores: εII para µ < 4. P ( Rechazar Ho \ µ = µ0 = 4 ) = π(µ0 = 4) = α = εI = 0,05 P ( NO Rechazar Ho \ µ1 = 3,85 ) = β(µ1=3,85) = εII µ1 3 , 89 − µ 1 π ( µ1 ) = Φ 0,15 5 3 , 89 − µ 1 β ( µ 1 ) = 1 − Φ 0,15 5 3.7 3.75 3.8 3.85 3.9 3.95 4 4.05 4.1 0.0505 0.0085 0.0009 0.0023 0.0184 0.0899 0.2755 0.5593 0.8145 - Curva de Error 1.0 0.8 0.6 ε II 0.4 0.2 0.0 εI 3.65 3.7 3.75 3.8 3.85 3.9 3.95 4 4.05 4.1 4.15 µ1 d) Nos están preguntando cuanto debe valer el tamaño de muestra para que β(µ1=3,85) = 0,10 (en vez de 18,6%). Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 15 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA Debemos tener en cuenta que como sino 2 incógnitas: n y xc = µ 0 − Z (1−α ) . σ n depende de n, no tenemos 1 x c. Para calcular estas dos incógnitas, necesitamos 2 ecuaciones: π ( µ o = 4) = 0,05 = α β ( µ = 3,85) = 0,10 O sea X − 4 = 0,05 π ( µ = 4) = Φ c 0,15 n X − 3 , 85 c = 0,10 = = − Φ β ( µ 3 , 85 ) 1 0,15 n 0,15 Xc − 4 0,15 = Z (0,05) = −1,6449 ⇒ X c = 4 − 1,6449. n n X − 3,85 0,15 c = z (0,90) = 1.2816 ⇒ X c = 3,85 + 1,2816. 0,15 n n Resolviendo las ecuaciones podemos despejar n=9 y x c=3,918 mts. Podríamos para este caso, haber empleado las siguientes fórmulas que nos permiten obtener n y x c: 2 2 Z (1 − α ) + z (1 − β ) Z (0,95) + z (0,90) n = .σ = .0,15 = 8,56 ≅ 9 µ µ − 4 − 3 , 85 0 1 0,15 X c = 4 − 1,6449. = 3,92 9 La nueva Condición de Rechazo y Regla de Decisión será: Si x ≤ x c=3,92 mts Rechazo la Ho Rechazo la Partida Ejemplo 4 Un proceso de manufactura produce piezas cuyo peso interesa controlar. Se sabe que dicho peso se distribuye normalmente con desviación estándar 1,2 gr. Se quiere que el peso medio de las piezas sea 23 gr. Por razones prácticas se ha fijado como tamaño de muestra n = 20 unidades. Se acepta como riesgo 0,10. a) Hallar los límites de promedio para la aceptación de la hipótesis µ = 23 gr. b) Hallar el tamaño del error de tipo II cuando la alternativa es µ = 23,6 gr, y explicar el significado de dicho error. En este caso, nos encontramos ante un ensayo de hipótesis de tipo bilateral, ya que lo que nos interesa saber es si la media es o no igual a 23 gr. Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 16 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA Este tipo de ensayos no requiere demasiado análisis en el planteo de la hipótesis ya que siempre se plantean de la misma manera: H 0 ) µ = 23 Rechazaremos la Ho, en caso de que el valor de o muy bajo. De esta manera: Si H 1 ) µ ≠ 23 vs x ≤ x c1 ó x ≥ x c2 x obtenido en la muestra sea muy alto Rechazo la Ho α/2 = 0,05 α/2 = 0,05 α/2=% x c1 Los valores de Paro el Proceso µo = 23 x c2 x c se obtienen a partir del riesgo α=5%: z= x−µ σ n z (0,05) = xc1 − µ 0 z (0,95) = n xc 2 − µ 0 σ σ ⇒ xc1 = 23 − 1,6449. 1,2 = 22,56 20 ⇒ xc1 = 23 + 1,6449. 1,2 = 23,44 20 n La Condición de Rechazo y Regla de Decisión, nos queda entonces: Si x ≤22,55 ó x ≥23,45 Los límites de aceptación de Rechazo la Ho Paro el Proceso x son entonces 22,55 gr y 23,45 gr. Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 17 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA b) El Error de tipo II se definía como β(µ1 = 23,6) = P ( NO Rechazar Ho \ µ=23,6 ∉ Ho) = εII En este caso sería: εII = β( µ1=23,6 ) = P ( 22,55 ≤ x ≤ 23,45 \ µ=23,6 ) α/2 = 0,025 α/2 = 0,025 α/2=5% µo = 23 x c1 x c2 εII µ1 = 23,6 x c2=23,45 23 , 45 − 23 , 6 22 , 55 − 23 , 6 − Φ = Φ(− 0,55) − Φ(− 3,91) = 0,291 − 0 = 0,291 P(22,55 ≤ X ≤ 23,45) = Φ 1,2 1,2 20 20 Ejemplo 5 En una curtiembre, el consumo diario de uno de los productos químicos principales es variable con una media de 580 lt y desvío estándar de 72 lt. El Jefe de Producción ha propuesto una modificación en una de las etapas del proceso, que implicará mayores costos, pero que se justificaría si se lograra una disminución del 10% en el consumo medio. Si así ocurriera, se desea un 90% de probabilidad de implementarla, pero si no se obtuviera resultado alguno, el riesgo se establece en un 5%. a) Indique la hipótesis nula apropiada a esta situación, calcule el tamaño de la muestra a tomar, indique la condición de rechazo y la regla de decisión correspondiente. b) Calcule la probabilidad de implementar la modificación si con ella se obtiene una disminución del 5% en el consumo medio c) Dibuje la curva de potencia del ensayo. Estos problemas de denominan de diseño de ensayos de hipótesis. Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 18 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA Se busca determinar el tamaño de muestra y y condición de rechazo. x c para poder definir una regla de decisión Como dato contamos con 2 puntos de las curvas de Potencia o Característica Operativa, que nos permitirán plantear las 2 ecuaciones de donde poder despejar las 2 incógnitas: P ( Implementar la modificación \ µ=580 ) = 0,05 P ( Implementar la modificación \ µ=522 ) = 0,90 Debido a que se trata de una decisión que implica una inversión, tomamos una posición pesimista. El siguiente paso es determinar sobre que µ debo plantear la hipótesis. Una regla bastante general, nos indica que en problemas de diseño, cuando el planteo es pesimista debe tomarse la ‘peor’ media. En cambio, cuando el criterio adoptado es optimista, la hipótesis debe plantearse con la ‘mejor’ media. En este caso, como el planteo es pesimista debe tomarse la peor media, o sea µ=580 ya que se trata de un consumo. Otra forma de determinar con que media se debe plantear la hipótesis es observar los significados de las probabilidades asociadas a cada media. Si la µ=522 quiero implementar las modificaciones con una probabilidad de 90%, digamos que en este caso tenemos una posición optimista. En cambio, si miramos la µ=580, la probabilidad de realizar la implementación es solo del 5%. Tenemos en este último caso una visión pesimista del problema. Adoptamos la µ=580 ya que es la que corresponde con una visión pesimista que es la que elegimos para realizar este problema. H 0 ) µ ≥ 580 vs H 1 ) µ < 580 La condición de Rechazo y Regla de decisión serán: Si x≤xc Rechazo la Ho Implemento el cambio Por otro lado tenemos las probabilidades del enunciado: P ( Implementar la modificación \ µ=580 ) = 0,05 P ( Implementar la modificación \ µ=522 ) = 0,90 Que ahora que tenemos planteada la Ho podemos decir que: P ( Rechazar Ho \ µ0 = 580 ) = π( µ=580 ) = 0,05 = α P ( Rechazar Ho \ µ1 = 522 ) = π( µ=522 ) = 0,90 Gráficamente: Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 19 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA α = 5% xc µo = 580 π(µ1=522) =0,90 µ1 = 522 xc A partir de estos datos, podemos plantear las siguientes ecuaciones: X − 580 = 0,05 α = π ( µ = 580) = Φ c 72 n X c − 522 ( 522 ) π µ = = Φ = 0,90 72 n Que pueden ser expresadas como: X c = 580 + z (0,05). X c = 522 + z (0,90). 72 n 72 n Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: n = 14 x c = 548,3 Estos valores también pueden obtenerse a través de las siguientes expresiones: 2 2 Z (1 − α ) + z (1 − β ) Z (0,95) + z (0,90) n = .σ = .72 = 13,2 ⇒ n = 14 580 − 522 µ 0 − µ1 72 X c = 580 − 1,6449. = 548,3 14 La condición de Rechazo y Regla de decisión serán: Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 20 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA Si x ≤ x c=548,3 lt Rechazo la Ho Implemento el cambio b) P ( Implementar la modificación \ µ=551 ) P ( Rechazar Ho \ µ1 = 551 ) = π( µ=551 ) 548 , 3 − 551 = Φ(− 0,14) = 44% π ( µ = 551) = Φ 72 14 c) La curva de potencia queda representada por: π( µ=580 ) = P ( Rechazar Ho \ µ ) µ1 548,3 − µ1 π ( µ1 ) = Φ 72 14 500 510 530 540 550 560 570 580 590 600 0.9940 0.9767 0.8292 0.6669 0.4648 0.2716 0.1297 0.0497 0.0151 0.0036 Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 21 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA Curva de Potencia 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 480 500 520 540 560 580 600 620 µ1 Nota: Podríamos haber planteado el ejercicio de otra manera: Cuando analizamos las dos probabilidades que nos dan en el enunciado, elegimos plantear el problema de modo pesimista, pero perfectamente, podríamos haber planteado el problema en su versión optimista, utilizando la media µ=522. Esto sería: H 0 ) µ ≤ 522 vs H 1 ) µ > 522 La condición de Rechazo y regla de decisión serían: Si x≥xc Rechazo la Ho No implemento el cambio En este caso las probabilidades nos hubieran quedado planteadas de la siguiente manera: P ( Implementar la modificación \ µ=580 ) = 0,05 P ( Implementar la modificación \ µ=522 ) = 0,90 Que ahora que tenemos planteada la Ho podemos decir que: P ( NO Rechazar Ho \ µ1 = 580 ) = β( µ=580 ) = 0,05 P ( NO Rechazar Ho \ µ0 = 522 ) = β( µ=522 ) = 0,90 = 1-α Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 22 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA α = 5% µ1 = 522 xc β(µ=580) = 5% xc µo = 580 Las ecuaciones para este planteo son exactamente las mismas que las ecuaciones para resolver el planteo pesimista que hicimos inicialmente, y por lo tanto nos darán los mismos resultados. n = 14 x c = 548,3 La condición de Rechazo y Regla de decisión nos quedará: Si x ≥ x c=548,3 Rechazo la Ho No implemento el cambio Si comparamos, lo que queda expresado en esta regla es totalmente equivalente con lo expresado en el planteo pesimista. En el caso de la probabilidad del punto b) también nos queda el mismo resultado: P ( Implementar la modificación \ µ=551 ) P ( NO Rechazar Ho \ µ1 = 551 ) = β( µ=551 ) 548 , 3 − 551 = Φ(− 0,14) = 0,44 β ( µ = 551) = Φ 72 14 La única diferencia en este caso es que la probabilidad que quedaba representada por π, pasa a estar representada por β. En cuanto a la curva de potencia si podemos decir que sufre cambios considerables: Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 23 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA µ1 548,3 − µ1 π ( µ1 ) = 1 − Φ 72 14 500 510 530 540 550 560 570 580 590 600 0.0060 0.0233 0.1708 0.3331 0.5352 0.7284 0.8703 0.9503 0.9849 0.9964 Curva de Potencia 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 480 500 520 540 560 580 600 620 µ1 Si bien la curva de potencia nos queda inversa a la curva realizada con el planteo pesimista esto no debe preocuparnos, ya que en realidad, lo que realmente debe importarnos es lo que representan dichas probabilidades. Por ejemplo, podemos ver que bajo la hipótesis Ho) µ≥522, π(µ=560)=0,7284 representa la probabilidad de NO implementar cambio. Este es exactamente el mismo significado que β(µ=560) bajo la Ho) µ≤580 Ejercicios Propuestos 1) Una máquina llenadora de latas de café dosifica cantidades variables con distribución Normal de desvío estándar 15 gramos. A intervalos regulares se toman muestras de 10 envases con el fin de estimar la dosificación media. Una de estas muestras arrojó una media de 246 gramos. a) Calcular los límites de confianza para la dosificación media con un 10% de riesgo. b) ¿Cuántos envases más habría que pesar para poder obtener una estimación cuyo error de muestreo fuera 5 gramos? RTA: a) 246 ± 7,8 b) 15 envases mas. 2) Una empresa dedicada a la fabricación de envases de vidrio, cuenta con un plantel numeroso de operarios, y desea estimar el tiempo medio de tardanza de los mismos. El Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 24 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA estudio se realizará sobre la base de las tarjetas horarias, estableciendo que: a) El máximo error muestral admitido debe ser de 2 minutos; b) el nivel de confianza del 99%; c) el desvío estándar poblacional es de 5 minutos, conocido por ensayos anteriores. a) Calcular el tamaño adecuado de muestra. b) Se toma la muestra y se obtiene que la tardanza media es de 15 minutos. Calcular los límites de confianza. RTA: a) 42 b) 15 ± 2. 3) En una fábrica de materiales eléctricos se desea estimar el peso promedio del último lote de rollos de alambre de cobre salido de producción. Para ello se eligió al azar una muestra de 20 que arrojó un promedio de 38 kg. Se conoce además, de registros históricos, el desvío poblacional, que vale 4,2 kg. a) Estimar el peso medio de los rollos con un 95% de confianza. b) ¿Cuántos rollos más habría que pesar para poder obtener una estimación cuyo error de muestreo fuera 1 kg? RTA: a) 38 ± 1,84 b) 48 rollos mas. 4) Una carpintería de Capital Federal recibe periódicamente grandes partidas de madera de cedro procedentes de un aserradero de Salta. Una partida se considera aceptable si la longitud media de sus tablas es mayor o igual que 4m. Al examinar una muestra de 5 tablas de una partida recién recibida, se obtuvieron los siguientes resultados en metros: 3,8 - 3,74 - 3,98 - 4,1 - 3,9. Se sabe además que la longitud de las tablas se distribuye Normalmente con un desvío estándar de 0,15m. a) ¿Considera Ud. aceptable esta partida si se establece en 5% la probabilidad de rechazarla indebidamente? Calcule el nivel de significación “a posteriori”. Justifique conceptualmente el planteo optimista de la hipótesis. b) ¿Cuál sería la probabilidad de aceptar una partida cuya longitud media fuera de 3,85m? c) Dibujar las curvas característica operativa y de potencia. d) ¿Cuántas tablas habría que medir de cada partida para que dicha probabilidad anterior valga 0,1? RTA: a) Si, es aceptable. α*=0,076 b) 0,277 d) 9 5) Un cliente recibe habitualmente una partida de medidores eléctricos que, según las especificaciones del contrato, el promedio de las pérdidas debe ser menor o igual a 1 watt. Una muestra de 10 medidores, de una partida recién recibida, arroja una pérdida media de 1,06 watts. Se sabe además, por experiencia anterior, que las pérdidas se distribuyen Normalmente con un desvío de 0,1 watts. a) Asumiendo en un 10% la probabilidad de rechazarla indebidamente, ¿puede aceptarse la misma? Calcule el nivel de significación “a posteriori”. b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar una partida cuya pérdida media sea de 1,05 watts? c) ¿Cuál debería ser el tamaño de muestra si se pretende que dicha probabilidad valga 10%? RTA: a) No. α*=0,029 b) 0,38 c)27 Medidores. 6) En una curtiembre, el consumo diario de uno de los productos químicos principales es variable con una media de 580 lt y desvío estándar de 72 lt. El Jefe de Producción ha propuesto una modificación en una de las etapas del proceso, que implicará mayores costos, pero que se justificaría si se lograra una disminución del 10% en el consumo medio. Si así ocurriera, se desea un 90% de probabilidad de implementarla, pero si no se obtuviera resultado alguno, el riesgo se establece en un 5%. a) Indique la hipótesis nula apropiada a esta situación, calcule el tamaño de la muestra a tomar, indique la condición de rechazo y la regla de decisión correspondiente. b) Calcule la probabilidad de implementar la modificación si con ella se obtiene una disminución del 5% en el consumo medio y dibuje la curva de potencia del ensayo, marcando claramente los valores numéricos de abscisa y ordenada de 3 puntos al menos. c) Si se decidiera hacer el ensayo de hipótesis dos veces, cada una con una muestra de n días, y el consumo hubiera disminuido en un 5%, ¿cuál sería la probabilidad de que ninguna de las muestras lo detecte? RTA: a) Ho) µ ≥ µ0 = 580 ; n=14; CR: Si x ≤ x c=548,3 se rechaza la Ho y se implanta la modificación b) 0,436 c) 0,32 Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 25 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA 7) La resistencia a la rotura de cierto tipo de alambre tiene distribución Normal con media 280kg y desvío estándar 20kg. Se cree que un proceso de fabricación recién desarrollado puede aumentar la resistencia sin modificar el desvío estándar, pero sólo se lo implantará si se tiene una razonable seguridad de que efectivamente es así. Se ha establecido en un 5% la probabilidad de implantar el nuevo método cuando en realidad la resistencia no se modifica, y en un 15% la probabilidad de no implantarlo si se incrementa en 10kg. a) Establezca la hipótesis nula, la condición de rechazo y la regla de decisión. b) ¿Cuál es la probabilidad de implantar el nuevo método si la resistencia media aumenta en 5kg? RTA: a) Ho) µ ≤ µ0 = 280 ; CR: Si x ≥ x c=286 se rechaza la Ho y se implanta el nuevo proceso b) 0,38 8) Una compañía debe diseñar un sistema de muestreo periódico para controlar la recepción de grandes partidas de un producto. El proveedor desea tener la seguridad de que le rechacen a lo sumo el 5% de las partidas buenas, que son aquellas que cumplen con la especificación de que la resistencia media mínima es de 1250kg. A su vez, el cliente desea rechazar al menos el 90% de las partidas malas, que son aquellas cuya resistencia media es inferior a 1100kg. Ambos firman un contrato en el cual constan las condiciones anteriores y se establece que la decisión de rechazar o aceptar una partida se tomará en función del resultado de una muestra de n unidades elegidas al azar de la misma. Existen registros históricos por los cuales se sabe que el desvío de la resistencia a la rotura es de 180kg. a) Indicar la hipótesis nula apropiada, su condición de rechazo y la regla de decisión. b) Calcular la probabilidad de detectar que una partida dada resiste en promedio 1200 kg. RTA: a) Ho) µ≥ µ0 = 1250 ; CR: Si x ≤ x c=1168 se rechaza la Ho y se rechaza la partida b) 0,261 9) El control de recepción de las partidas de hilado que llegan a una tejeduría se efectúa a través de una muestra de 10 ovillos midiéndose en cada uno la resistencia del hilado, cuyo valor medio para toda la partida debe ser de 25kg por lo menos. El proveedor acepta un riesgo máximo del 5% de recibir de vuelta una partida buena y el comprador, a su vez, desea rechazar el 99% por lo menos de las partidas malas. Se sabe que la resistencia a la rotura de este hilado es una variable Normal con un desvío de 2,2kg. a) ¿Cuál es la resistencia media muestral mínima para aceptar una partida? b) ¿Cuál es la resistencia media poblacional de las partidas consideradas malas por el comprador? c) Dibujar la curva que describe las probabilidades de detectar partidas malas. RTA: a) 23,86 b) 22,2 10) Las piezas producidas por dos máquinas herramienta se encuentran en el almacén de un taller metalúrgico. La dimensión principal de una de estas piezas es una variable aleatoria Normal con parámetros µ1=10,15mm y σ1=0,05mm para la máquina 1 y µ2=10,20mm y σ2=0,04mm para la máquina 2. Se ha recibido un pedido y se preparó con todas piezas producidas por la misma máquina, perdiéndose el dato de qué máquina era. Para recuperar esa información, se decide realizar un ensayo de hipótesis sobre la dimensión de las piezas del pedido preparado, basado en la dimensión media de las piezas de una muestra. Diseñe el ensayo de tal manera que la probabilidad de decidir que las piezas son de una máquina cuando en realidad no lo son es la misma para ambas máquinas. Formule las hipótesis y establezca la regla de decisión. Demuestre que el 2 tamaño de muestra está dado por la siguiente expresión: [(Z1-ασ1+Z1-βσ2)/(µ1-µ2)] y calcúlelo para que el error de concluir erróneamente sobre el origen de las piezas valga 1%. RTA: a) Ho) µ ≤ 10,15 ; n=18 Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 26 de 27 EJERCICIOS DE INFERENCIA SOBRE µ CON σ² CONOCIDA 11) Considere la siguiente situación. Ud. recibe una caja con 10 unidades de una pieza y desea ensayar la hipótesis: [Ho) Las 10 piezas son buenas], extrayendo una única unidad de la caja. La condición de rechazo, obvia, es que la pieza extraída sea defectuosa. Si la pieza extraída es buena, Ud. no puede rechazar la hipótesis, pero en modo alguno puede aceptarla ¿verdad? Calcule la probabilidad de cometer error de tipo II (ß) para las alternativas de que haya 1, 2, ..., R piezas defectuosas en la caja. Este es un caso sencillo para ilustrar los conceptos básicos del tema de ensayo de hipótesis; en el Capítulo 9 veremos una teoría general para tratar problemas de cajas o poblaciones finitas. RTA: 1-R/10 12) Los rodamientos a bolilla tienen duración variable con la siguiente función de distribución derecha de Weibull: G ( x) = e x β b donde b=1,2 para estas piezas y ß=1/λ es un parámetro de escala que depende de la aleación y de las condiciones de carga del rodamiento. Se considera la posibilidad de utilizar una nueva aleación que supuestamente dará mejores resultados que la actual y se desea diseñar un ensayo de prueba. Dado que la distribución de la variable no es Normal, no se considera en este caso prudente utilizar los procedimientos canónicos de la Inferencia Estadística. El parámetro que se desea incrementar es ß y se desea tener una razonable seguridad de que con la nueva aleación, será superior a 4,3 (millones de revoluciones), a efectos de lo cual se hará una prueba con 10 rodamientos y si todos superan la duración crítica Dc, se adoptará definitivamente la aleación; se establece en 0,01 la probabilidad de tomar dicha decisión, cuando ß=4,3. Calcule el valor de Dc y la probabilidad de tomar la decisión correcta cuando ß=5. Mariano Bonoli 71.03 ESTADÍSTICA TÉCNICA, INGENIERÍA, UBA. Oct2006 27 de 27