Segundo parcial resuelto.

Astronáutica y Vehı́culos Espaciales
Ingenieros Aeronáuticos
Duración: 2 horas 15 minutos
o
N DNI
Curso 11/12
1er Apellido
Escuela Superior de Ingenieros
Universidad de Sevilla
17/1/14
2do Apellido
2o “Parcialito”
Nombre
Valor total:10 puntos.
La NASA decide diseñar una misión interplanetaria para visitar Neptuno ([). Para ello se pide comparar tres posibles
escenarios, todos los cuales tienen una salida tangente de la órbita de la Tierra:
1. Viaje directo a Neptuno mediante una trayectoria tipo Hohmann.
2. Viaje a Saturno (Y) mediante una trayectoria tipo Hohmann, se realiza una maniobra asistida por gravedad (a una
altitud de 7 veces el radio de Saturno) y se continúa hacia Neptuno.
3. Viaje a Júpiter (X) mediante una trayectoria que interseca la órbita de Júpiter con θ = 170o (pista: recordar p =
a(1 − e2 ) = a(1 + e)(1 − e)), se realiza una maniobra asistida por gravedad (a una altitud de 9 veces el radio de
Júpiter), se continúa hasta Saturno, se realiza otra maniobra asistida por gravedad (a una altitud de 7 veces el radio
de Saturno) y finalmente se continúa hacia Neptuno.
Nota: Si no se puede hallar la cónica inicial entre la Tierra y Júpiter del apartado c, tomar a = 3,25 AU.
En todos los escenarios se supondrá que los planetas por los que se pasa están en el sitio adecuado (el primer cruce de la
sonda con la órbita de los planetas en torno al Sol).
Suponiendo que se parte de una órbita geocéntrica de aparcamiento a 150 kilómetros de altitud, calcular para los tres casos
si el escenario es viable (es decir si se puede llegar a Neptuno por dicho procedimiento), el ∆V empleado, el tiempo total
de vuelo y el ángulo de fase que debe tener Neptuno el dı́a del lanzamiento. Calcular también para cada escenario el ∆V
adicional que serı́a necesario para dejar la sonda interplanetaria en una órbita circular en torno a Neptuno con un radio
igual a 10 veces el radio del planeta (denotado como ∆Vcirc ). Rellenar con los resultados la siguiente tabla:
Escenario
1
2
3
¿Viable o no viable?
SÍ
NO
SÍ
∆V (km/s)
8.2481
Tvuelo (años)
30.8
ψ (o )
113.17o
∆Vcirc (km/s)
3.2107
6.3709
13.53
270.93o
9.5422
Para simplificar cálculos, se hará uso de las hipótesis simplificativas usuales, es decir, las órbitas de los planetas se
suponen coplanarias en el plano de la eclı́ptica y circulares, de radio igual a su radio medio. Los datos se pueden extraer
de la siguiente tabla:
Planeta
Mercurio
Venus
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
Plutón
Sı́mbolo
'
♀
♂
X
Y
Z
[
\
µ (km3 /s2 )
22032.1
324858.8
42828.3
126711995.4
37939519.7
5780158.5
6871307.8
1020.9
Radio planetario (km)
2439.7
6051.8
3397
71492
60268
25559
24764
1195
Distancia media al Sol (AU)
0.387098
0.723327
1.52372
5.2033
9.58078
19.2709
30.1927
39.3782
Instrucciones: Se debe entregar esta hoja con los resultados numéricos y adjuntar los cálculos realizados y todos los
triángulos de velocidades que se hayan empleados.
Solución:
L⊕ +L
[ = 15,5963 AU. El tiempo hasta
El primer escenario, al ser tipo Hohmann, es seguro viable. Se emplea una a1 =
2
r
a3
el encuentro será T1 = π µ 1 = 193,5015 UT = 30,8 años. El ángulo de fase será ψ = 180o − n[ T1 = 113,17o . Por
⊕
otro lado a la salida de la Tierra v∞
= V0H − V⊕ = 0,3914 UV = 11,6565 km/s donde V0H es la velocidad de la órbita
de transferencia justo a la salida
de la Tierra enqel sistema de referencia heliocéntrico, luego el impulso en la órbita de
q
2µ⊕
µ⊕
⊕ 2
aparcamiento serı́a ∆V = rpark + (v∞
= 8,2481 km/s. De forma similar a la llegada a Neptuno, al ser
) − rpark
[
tangente, v∞ = V[ −V1H = 0,1359 UV = 4,048 km/s, luego el impulso para circularizar la órbita eligiendo rp = 10R[
r
r
2µ
µ
[ 2
[
[ = 3,2107 km/s.
+ (v ) −
serı́a ∆V
=
circ
rp
∞
rp
L⊕ +L
Y
Para el segundo escenario se tiene una trayectoria tipo Hohmann hasta saturno. Luego a2 =
= 5,2904 AU.
2
Y
Y
H
Al ser llegada tangente en el encuentro v1 = v∞ = VY − V1 = 0,1826 UV = 5,4390 km/s. Con los datos
o
H
de
r la maniobra, ∆V = 7,9059 km/s y δ = 93,233 . Para este triángulo α = δ, por lo que obtenemos V2 =
Y
Y
V 2 + (v∞ )2 − 2v∞ VY cos α = 0,38 UV, y del teorema del seno γ2H = 28,6743o . Por lo que calculando la cónica
Y
correspondiente a21 = 15,5341 AU, e21 = 0,5859, cuyo radio de afelio es ra = 24,6358 AU < L[ , por lo que no puede
llegar a Neptuno y por tanto el escenario no es viable.
Para el tercer escenario en primer lugar necesitamos calcular la cónica inicial. Los datos son que en el corte con Júpiter
a (1−e2 )
θ1H = 170o , es decir, LX = 1+e3 3 cos3θH y que la tierra está en el perihelio (salida tangente), es decir, L⊕ = a3 (1 − e3 ).
1
Combinando las dos ecuaciones obtenemos
a3 (1 − e23 )
L⊕ (1 + e3 )
LX =
=
H
1 + e3 cos θ1
1 + e3 cos θ1H
→
e3 =
LX − L⊕
= 0,6863
L⊕ − LX cos θ1H
H
⊕
Despejando a3 obtenemos a3 = 3,1881 AU. Para calcular el impulso inicial, a la salida de
qla Tierra v∞ = V0q− V⊕ =
µ⊕
⊕ 2
⊕
0,2986 UV = 8,8934 km/s, luego el impulso en la órbita de aparcamiento serı́a ∆V = r2µ
+ (v∞
) − rpark
=
park
6,3709 km/s.
H
H
o
X
Por
q otro lado, las condiciones a la llegada a Júpiter serı́an V1 = 0,2659 UV y γ1 = 20,1905 . Luego v1 =
V 2 + (v1H )2 − 2v1H VX cos γ1H = 0,2099 UV = 6,2513 UV. Con los datos de la maniobra, ∆V = 10,2485 km/s y δ =
X
q
X )2 − 2v X V cos α =
110,02o . Calculando β = 25,92o , obtenemos α = β + δ = 135,95o . Por tanto V2H = V 2 + (v∞
∞ X
X
H
o
0,6071 UV, y del teorema del seno γ2 = 13,9142 . La cónica resultante tiene a31 = 63,2 AU y e31 = 0,9226, por lo
que a la salida de Júpiter θ2H = 29,0219o .
No es necesario calcular el radio de afelio para ver si llega o no a Saturno ya que a31 > LY . Las condiciones a la llegada
Y q
a Saturno serán θ3H = 91,1640o , V3H = 0,4392 UV y γ3H = 43,2303o . Luego v3 = V 2 + (v3H )2 − 2v3H VY cos γ3H =
Y
0,3009 UV = 8,9611 km/s. Con los datos de la maniobra, ∆V = 8,8702 km/s y δ = 59,3302o . Calculando β =
89,4207o . Obtenemos α = β + δ = 148,7509o . Por tanto V4H = 0,6009 UV, y del teorema del seno γ4H = 15,0542o . La
cónica resultante tiene a32 = −6,5643 AU y e31 = 2,3893, es decir, una hipérbola, y a la salida de Saturno obtenemos
θ4H = 21,295o . Al ser una hipérbola, evidentemente llega a Neptuno, por lo que el escenario es viable.
Las condiciones a la llegada a Neptuno serán θ5H = 89,431o , V5H = 0,4675 UV y γ5H = 66,8055o . A la llegada a
q
[
Neptuno, obtenemos v∞ = V 2 + (v5H )2 − 2v5H V[ cos γ5H = 0,4297 UV = 12,7998 km/s, luego el impulso para
[
r
r
2µ
µ
[ 2
[
[
circularizar la órbita eligiendo rp = 10R[ serı́a ∆Vcirc =
+
(v
)
−
∞
rp
rp = 9,5422 km/s (es muy grande
porque la trayectoria viene con mucha energı́a, por ellos serı́a muy difı́cil frenarla).
Para calcular los tiempos usemos las leyes horarias. Entre θ0H = 0o y θ1H = 170o en la primera cónica del tercer escenario
transcurre T31 = ∆T (170o ) = 14,0825 UT. Entre θ2H y θ3H en la segunda cónica del tercer escenario transcurre T32 =
∆T (θ3H ) − ∆T (θ2H ) = 16,6278 UT. Finalmente, usando las leyes horarias de la hipérbola, entre θ4H y θ5H en la segunda
cónica del tercer escenario transcurre T33 = ∆T (θ5H ) − ∆T (θ4H ) = 54,2661 UT. Luego T3 = T31 + T32 + T33 =
84,9764 UT = 13,5247 años. Para concluir, el ángulo de fase será ψ = θ1H + θ3H − θ2H + θ5H − θ4H − n[ T3 = 270,9308o
2
1
2
3
¯
Ã
Figura 1: Trayectorias heliocéntricas de los diferentes escenarios (hipotéticas: en realidad el escenario 2 no alcanza Neptuno) y definición del ángulo de fase ψ.
vH
2
vH2
v
P
2
¢V
®
v
P
1
VSATURNO
H
2
°
vP2
¢V
®
VJUPITER
vH1
°H
2
H
P
¯ v1 v1
±
°H
1
vH
v1
°H
VNEPTUNO
Figura 2: Triángulos de velocidades para los escenario 1 y 3. Arriba-izquierda: maniobra asistida por gravedad en Saturno
para el escenario 1. Arriba-derecha: maniobra asistida por gravedad en Júpiter para el escenario 3 (la maniobra en Saturno
es análoga aunque con diferentes ángulos). Abajo: llegada a Neptuno genérica para todos los escenarios (en el escenario
1 el triángulo colapsa a una lı́nea puesto que γ H = 0o ).
3