6 rad s- ω = = ω v A 0,06 6 cm s

Movimientos periódicos I
01. Un punto describe una trayectoria circular de 1m de radio con una velocidad de 3 rad/s.
Expresar la ecuación del movimiento que resulta al proyectar el punto sobre el diámetro
vertical:
a) El tiempo comienza cuando la sombra está en el centro.
b) El tiempo comienza cuando el punto ha recorrido 30º
 y A  A sen t  sen3t

Las ecuaciones son 


 y B  A sen(t  )  sen  3t  6 



02. Un objeto oscila según un movimiento armónico simple dado por x = A sen wt. Si el valor de
la amplitud de la oscilación es 6 cm y la aceleración del objeto cuando x = – 4 cm es 24 cm/s2,
calcular:
a) La aceleración cuando x = 1 cm
b) la velocidad máxima que alcanza el objeto.
La ecuación de la aceleración es: a   A 2 sen t  2 x , luego  
6 rad s1
para x=1cm la aceleración es a  2 x  0,06 ms2
la velocidad es v  A  cos t y el valor máximo v MAX  A   0,06 6 cm s 1
03. Un resorte de masa despreciable se estira 0,1 m cuando se la aplica una fuerza de 2,45 N. Se
fija en su extremo libre una masa de 0,085 kg y se estira 0,15 m a lo largo de una mesa
horizontal desde su posición de equilibrio
y se suelta dejándolo oscilar libremente sin
rozamiento. Calcula:
a) la constante elástica del resorte y su periodo de oscilación;
b) la energía total asociada a la oscilación y las energías potencial y cinética cuando x = 0,075 m
La constante del muelle es k 
F
m
0,085
 24,5Nm1 y su periodo T  2
 2
 0,37 s
x
k
24,5
La energía total del muelle es igual a la potencial en la posición de máximo estiramiento
1
2
1
2
EMAX  k x 2MAX  24,5 0,152  0,276 J
Cuando está en la posición x=0,075 m, las energías son
ETOT  0,276 J
E  1 kx 2  1 24,5 0,0752  0,069 J
P
2
2

EC  ETOT  EP  0,276  0,069  0,207 J
04. Un muelle de masa despreciable tiene una longitud de 20 cm. Cuando de su extremo inferior
se cuelga un cuerpo de 0,1 kg de masa la longitud del muelle es 30 cm.
a) Calcula la constante del muelle.
Partiendo de la posición de equilibrio, se desplaza M hacia arriba 10 cm, es decir, hasta que el
muelle tiene su longitud natural. A continuación se suelta M con velocidad inicial nula, de forma
que empieza a oscilar armónicamente en dirección vertical.
b) Calcula la longitud máxima del muelle, en el punto más bajo de la oscilación de M.
1
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Movimientos periódicos I
c) Calcula la amplitud y la frecuencia de la oscilación, y la velocidad de M cuando pasa por su
posición de equilibrio.
La constante del muelle es k 
F mg

 10Nm1
x
x
La longitud máxima del muelle son 30 cm
La amplitud de la oscilación son 10 cm y la frecuencia f 
1
1 k

 1,59 s1
T 2 m
1 2 1
k x  10 0,12  0,05 J que es igual a la energía
2
2
1
cinética cuando pasa por la posición de equilibrio, EC  0,05  mv 2  v  1ms1
2
La energía potencial máxima es EMAX 
05. Un cuerpo de 2 kg cae sobre un resorte elástico de constante k=4000 N m–1, vertical y sujeto
al suelo. La altura a la que se suelta el cuerpo, medida sobre el extremo superior del resorte, es
de 2 m.
a) Explicar los cambios energéticos durante la caída y la compresión.
b) Calcular la deformación máxima del resorte.
c) Calcular la aceleración de frenado del cuerpo una vez que ha tocado el muelle.
d) Representar gráficamente la velocidad frente al tiempo.
Suponemos que el cuerpo es puntual. La energía potencial del
cuerpo al principio se convierte en potencial del cuerpo y
2m
potencial del muelle al final.
1
2
E0  EF
mg(L  2)  mg(L  x)  kx 2
2000x 2  20x  40  0
L
20  400  4 40 2000
 0,147 m
4000
el muelle se comprime 14,7 cm
x
L-x
Cuando el cuerpo toca el muelle su velocidad es v  2 g h  2 10 2  6,32ms1 y después de
recorrer 0,147 m se para, luego v F2  v 20  2ae

a
v 20  v F2
6,322

 135,86 ms2
2e
2 0,147
Variación de la velocidad:
Parte 1
Acelerado a=10 ms-2
v
t=0,632 s
Parte 2
Frenado a= 135,86 ms-2 t=0,047 s
t
2
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06. Al estudiar el movimiento de un muelle se obtienen los siguientes valores:
Masa g
Longitud mm
0
70,0
2
72,0
6
76,1
10
79,9
15
84,9
20
99,2
Calcular la constante del muelle. ¿El comportamiento del muelle es elástico para todos los
valores?.
El alargamiento del muelle es proporcional a la fuerza que tira de él F  mg  k x .
mg 2 10 3 10

 20 Nm1 .
x
2 10 3
Cuando la masa es de 20 g se ha superado el límite de elasticidad del muelle.
Con los cinco primeros valores tenemos que k 
07. Una masa m está suspendida de un muelle. ¿Qué masa deberíamos añadirle para que el
periodo de oscilación se duplique?
m
, para que se duplique la masa debería ser
k
cuádruple, luego hay que añadirle tres veces la masa que tiene.
El periodo de oscilación del muelle es T  2
08. Dos masas m y M se cuelgan de dos muelles idénticos de constante k. Cuando se ponen en
movimiento, la frecuencia de M es tres veces la de m. Calcular la relación entre las masas.
m
k
T  2

f
1 k
2 m

fM
m
3
fm
M

m
9
M
09. De un hilo muy fino pendiente del techo de una sala colgamos una masa puntual de plomo.
La distancia entre su centro y el suelo es de 14,2 cm. La hacemos oscilar y realiza 50
oscilaciones en 345 s. Si acortamos el hilo, cuando la masa está a 2,20 m del suelo, tarda 314 s.
Calcular la altura de la sala y el valor de la gravedad es ese lugar.
Se trata de dos péndulos.
Péndulo 1
50 osc en 345 s
Péndulo 2
50 osc en 314 s
Si dividimos el valor de los periodos:
T1  6,9 s
L1  h  0,142
T2  6,28 s
L 2  h  2,20
T1
L1
6,9



T2
L2
6,28
la gravedad será T  2
h  0,142
 h  12 m
h  2,20
L
4 2L
 g  2 , sustituyendo para cualquiera de los dos g  9,8ms2
g
T
10. Un reloj de péndulo que funciona correctamente en un punto donde g = 9,80 ms-2 atrasa 10s
diarios a una altura h. Calcular h.
Supongamos que el péndulo tiene un periodo de 1 s. En la nueva posición atrasa 10 s diarios
luego el nuevo periodo es T  1 
10
 1,000116 s
86400
Si dividimos el valor de los dos periodos:
3
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TX

T0
2
2
L
gX
L
g0
g0
 1,000116  g X  9,7977 ms2
gX

Sabemos que la gravedad varía con la altura g  G
MT
h
(R T  h)2
GM T
 R T  10452,92m
g
11. Un péndulo simple tiene un período en la superficie terrestre. Cuando se pone a oscilar en la
superficie del planeta X el período se reduce a la mitad. Calcular la velocidad con la que llega al
suelo un cuerpo en el planeta X si se deja caer desde 100m de altura.
Relacionando los periodos,
TX

TT
2
2
L
gX
L
gT

gT
1

 g X  4 g T  40 ms2
gX
2
la velocidad de llegada al suelo es v  2 g h  2 40 100  89,44 ms1
12. Agujereamos la Tierra de polo a polo y dejamos caer por ese tubo un objeto de masa m.
¿Cómo es el movimiento? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al mismo punto? ¿Cuál es la ecuación
del movimiento? ¿Con qué velocidad pasará por el centro de la Tierra?
a=+9,8
El movimiento es periódico. Acelerado desde el inicio hasta el
centro de la Tierra (el valor de a disminuye) y decelerado desde
el centro de la Tierra hasta el punto final (la aceleración de
frenado cada vez mayor).
a=0
Mm
4
 G  R m  k R
2
3
R
4
k  G  m
3
La fuerza de atracción es F  G
a=-9,8
La energía en los puntos A y B es la misma
E A  EB
4
3

G  m R 2T  m v 2
EP  EC

1
k R 2T
2

1
2
 m v2
4
3
v  G   R 2T  7894,4 ms1
m
3
 2
 5067 s
k
4G 
13. Una masa de 50 g se cuelga de una cinta de goma de masa despreciable que se alarga 0,1 m.
El tiempo de una oscilación completa es el periodo T  2
Calcular:
a) la constante elástica de la goma.
b) la frecuencia característica de oscilación del sistema
c) Si la masa se desplaza 5 cm por debajo de su posición de equilibrio y se suelta ¿qué velocidad
lleva al pasar por la posición de equilibrio?
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La constante es k 
1
1 k
F
 5Nm1 y la frecuencia de oscilación f  
 1,59 s1
T 2 m
x
Para calcular la velocidad igualamos las energías
1 2 1
k x  mv 2  v 
2
2
k
x  0,5ms1
m
14. Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico
simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia
de 3,3 Hz. Determine:
a) El período del movimiento y la constante elástica del muelle.
b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto.
m
4  2m
1
 0,3s y la constante T  2
k 
 1095,5Nm1
2
f
k
T
kA
La aceleración es máxima en los extremos F  k A  ma  a 
 21,91ms2 y calculamos la
m
k
1
1
velocidad igualando energías k A 2  mv 2  v 
A  1,05ms1
2
2
m
El periodo es T 
15. Se engancha un muelle de 30 cm de longitud y constante elástica 5,0 N cm-1 a un cuerpo de
masa 2,0 kg, y el sistema se deja colgando del techo.
a) ¿En qué porcentaje se alargará el muelle?
b) Se tira ligeramente del cuerpo hacia abajo y se suelta; ¿cuál es el período de oscilación del
sistema?
c) Se desengancha el muelle del techo y se conecta a la pared, poniendo el muelle horizontal y
el cuerpo sobre una mesa; si se hace oscilar de nuevo el cuerpo sobre la mesa, siendo el
coeficiente de rozamiento entre ambos despreciable, ¿cuál será el nuevo período de oscilación?
mg
20

 0,04 m lo que representa el 13,3%.
k
500
m
2
El periodo de oscilación es T  2
 2
 0,397 s
k
500
El alargamiento es P  F  k x

x
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