Desigualdad Isoperimétrica vs. Desigualdades de Sobolev.

Desigualdad isoperimétrica “versus”
desigualdades de Sobolev
Escuela de Análisis Funcional
Hotel Las Gaviotas,
La Manga del Mar Menor (Murcia)
16-18 de Abril de 2012
Desigualdad isoperimétrica
A boreliano acotado en Rn , ∂A su frontera
1
1
m+ (∂A) n−1 ≥ cn m(A) n
cn depende solo de n.
Caso de igualdad, la mejor constante
1
cn =
(n ωn ) n−1
1
ωnn
¿Qué es m+ ?
Area de Minkowski, m+
A, boreliano acotado en Rn , ε > 0,
Aε = A + εB = {x ∈ R : ∃ a ∈ A, |x − a| < ε}
Area de Minkowski, m+
A, boreliano acotado en Rn , ε > 0,
Aε = A + εB = {x ∈ R : ∃ a ∈ A, |x − a| < ε}
Aε
A
Area de Minkowski, m+
A, boreliano acotado en Rn , ε > 0,
Aε = A + εB = {x ∈ R : ∃ a ∈ A, |x − a| < ε}
Aε
A
entonces
m+ (A) = lı́m inf
ε→0
m(Aε ) − m(A)
m(Aε − A)
= lı́m inf
ε→0
ε
ε
Perı́metro de “Di Giorgi”, P
A boreliano acotado en Rn
Z
P(A) = kχA kBV = sup
ξ
div ξ dx
A
Perı́metro de “Di Giorgi”, P
A boreliano acotado en Rn
Z
P(A) = kχA kBV = sup
ξ
div ξ dx
A
donde ξ recorre todos los campos vectoriales de clase C 1 y soporte
compacto tales que |ξ| ≤ 1.
Perı́metro de “Di Giorgi”, P
A boreliano acotado en Rn
Z
P(A) = kχA kBV = sup
ξ
div ξ dx
A
donde ξ recorre todos los campos vectoriales de clase C 1 y soporte
compacto tales que |ξ| ≤ 1.
k · kBV es la norma para las funciones de variación acotada en Rn , f es
localmente integrable
Z
kf kBV = sup
f div ξ dx < ∞
ξ
Rn
Desigualdades de Sobolev
f : Ω → R, Ω ⊆ Rn , en general abierto y conexo
Z
kf kp =
p
|f (x)| dx
Rn
1/p
Desigualdades de Sobolev
f : Ω → R, Ω ⊆ Rn , en general abierto y conexo
Z
kf kp =
p
1/p
|f (x)| dx
Rn
Derivada débil de f de orden α
α = (α1 , . . . , αn ) multiı́ndice, |α| = α1 + · · · + αn
D α f = g si g : Ω → R, medible tal que
Z
Z
|α|
ϕ(x)g (x)dx = (−1)
D α ϕ(x)f (x)dx
Rn
∀ ϕ, C ∞ (Ω) de soporte compacto
Rn
Desigualdades de Sobolev
f : Ω → R, Ω ⊆ Rn , en general abierto y conexo
Z
kf kp =
p
1/p
|f (x)| dx
Rn
Derivada débil de f de orden α
α = (α1 , . . . , αn ) multiı́ndice, |α| = α1 + · · · + αn
D α f = g si g : Ω → R, medible tal que
Z
Z
|α|
ϕ(x)g (x)dx = (−1)
D α ϕ(x)f (x)dx
Rn
Rn
∀ ϕ, C ∞ (Ω) de soporte compacto
Z
0
ϕ(x)f (x)dx = ϕ(x)f (x)
R
(regla de integración por partes)
|∞
−∞
Z
−
R
ϕ0 (x)f (x)dx
Sea m ∈ N, p ≥ 1, Ω un dominio en Rn
Espacios de Sobolev
W m,p (Ω) = {f : Ω → R, f ∈ Lp (Ω),
D α f = gα , ∈ Lp (Ω), ∀|α| ≤ m}
kf kW m,p = kf kp +
X
kgα kp
α
W0m,p (Ω) = clausura de las funciones test en W m,p (Ω)
Teorema de inclusión. (Sobolev, Kondrashov, Il’in ∼ 1930)
Sea 1 ≤ k ≤ n, 0 ≤ ` ≤ m, 1 < p < q < ∞, Ω ⊆ Rn con la “cone
property”
k
n
= − (m − `)
q
p
entonces
W m,p (Ω) ⊂ W `,q (Ωk )
donde Ωk = Ω ∩ E , E es cualquier subespacio k-dimensional
Teorema de inclusión. (Sobolev, Kondrashov, Il’in ∼ 1930)
Sea 1 ≤ k ≤ n, 0 ≤ ` ≤ m, 1 < p < q < ∞, Ω ⊆ Rn con la “cone
property”
k
n
= − (m − `)
q
p
entonces
W m,p (Ω) ⊂ W `,q (Ωk )
donde Ωk = Ω ∩ E , E es cualquier subespacio k-dimensional
(W `,q (Ωk ) son las restriciones de las funciones a E )
Caso k = n, m = 1, ` = 0
1
1 1
= −
q
p n
1≤p<n
entonces
⇒
n
≤q<∞
n−1
Caso k = n, m = 1, ` = 0
1
1 1
= −
q
p n
1≤p<n
⇒
n
≤q<∞
n−1
entonces
kf kq ≤ cn,p k∇f kp
Caso k = n, m = 1, ` = 0
1
1 1
= −
q
p n
1≤p<n
⇒
n
≤q<∞
n−1
entonces
kf kq ≤ cn,p k∇f kp
es decir,
W 1,p (Ω) ⊂ Lq (Ω)
Casos extremos, p = n
1 1
1
= −
q
p n
p = n,
q=∞
W 1,n (Ω) * L∞ (Ω)
Casos extremos, p = n
1 1
1
= −
q
p n
p = n,
q=∞
W 1,n (Ω) * L∞ (Ω)
Hay extensiones cambiando L∞ (Ω) por espacios más grandes e incluso
clases de funciones
Caso p = 1
q=
n
n−1
n
k∇f k1 ≥ cn kf k n−1
Caso p = 1
q=
n
n−1
n
k∇f k1 ≥ cn kf k n−1
n
W 1,1 (Ω) ⊆ L n−1 (Ω)
Caso p = 1
q=
n
n−1
n
k∇f k1 ≥ cn kf k n−1
n
W 1,1 (Ω) ⊆ L n−1 (Ω)
Sobolev intuyó que esta desigualdad era equivalente a la desigualdad
isoperimétrica, haciendo f = χA (que no está en W 1,1 (Rn ) !)
Hay que extender el concepto de gradiente
Federer&Fleming, Maz’ja (1960)
Son equivalentes con la misma constante:
i) Para toda función C ∞ de soporte compacto f : Rn → R
Z
|∇f (x)|dx ≥ C kf kn/(n−1)
Rn
ii) Para todo conjunto A, boreliano acotado de Rn ,
m+ (∂A) ≥ Cm(A)1−1/n
Federer&Fleming, Maz’ja (1960)
Son equivalentes con la misma constante:
i) Para toda función C ∞ de soporte compacto f : Rn → R
Z
|∇f (x)|dx ≥ C kf kn/(n−1)
Rn
ii) Para todo conjunto A, boreliano acotado de Rn ,
m+ (∂A) ≥ Cm(A)1−1/n
Lo anterior es equivalente a
iii)
Z
Rn
|∇f (x)|dx ≥ C kf kn/(n−1)
para toda función Lipschitz de soporte compacto f : Rn → R
1er. ingrediente: Funciones Lipschitz
Sea f : Rn → R diferenciable en x0 , su gradiente o diferencial es
∂f
∂f
(x0 ), . . . ,
(x0 )
∇f (x0 ) =
∂x1
∂x1
y
lı́m
y →x0
f (y ) − f (x0 ) − h∇f (x0 ), y − x0 i
=0
|y − x0 |
En consecuencia
f (y ) − f (x0 )
f (y ) − f (x0 ) − h∇f (x0 ), y − x0 i
y − x0
=
+ h∇f (x0 ),
i
|y − x0 |
|y − x0 |
|y − x0 |
↓ y → x0
0
y por tanto
|∇f (x0 )| = lı́m sup
y →x0
|f (y ) − f (x0 )|
|y − x0 |
Si f : Rn → R es Lipschitz, se puede definir
|∇f | : Rn → [0, ∞)
mediante
|∇f (x)| = lı́m sup
y →x
y esta función |∇f (·)| es medible
|f (y ) − f (x)|
|y − x|
Aproximación
Si f : Rn → R es una función Lipschitz de soporte compacto
∞ y soporte compacto
existe una sucesión {fn }∞
n=1 de funciones C
tales que
lı́mn→∞ fn (x) = f (x), uniformemente en x ∈ Rn
Z
Z
lı́m
n→∞ Rn
|∇fn (x)|dx =
|∇f (x)|dx
Rn
Si j0 : Rn → R es una función “test” (C ∞ y soporte compacto), j0 ≥ 0,
Z
j0 (x)dx = 1
Rn
jm (x) = mn j0 (mx)
Z
fm (x) = f ∗ jm (x) =
Z
jm (x − y )f (y )dy =
Rn
f (x − y )jm (y )dy
Rn
2o ingrediente: Fórmula de la coárea
Sean dos dominios Ωn ⊆ Rn , Ωk ⊆ Rk y f : Ωn → Ωk de clase C r . Si
g : Ωn → R medible ≥ 0 o integrable, entonces
Z
g (x)|J f (x)|dx =
Ωn
|J f (x)| =
p
| det Jf (x)Jf (x)t |
2o ingrediente: Fórmula de la coárea
Sean dos dominios Ωn ⊆ Rn , Ωk ⊆ Rk y f : Ωn → Ωk de clase C r . Si
g : Ωn → R medible ≥ 0 o integrable, entonces
!
Z
Z
Z
g (x)|J f (x)|dx =
g (y )dy dz
Ωn
Ωk
|J f (x)| =
p
{y ∈Ωn ;f (y )=z}
| det Jf (x)Jf (x)t |
2o ingrediente: Fórmula de la coárea
Sean dos dominios Ωn ⊆ Rn , Ωk ⊆ Rk y f : Ωn → Ωk de clase C r . Si
g : Ωn → R medible ≥ 0 o integrable, entonces
!
Z
Z
Z
g (x)|J f (x)|dx =
g (y )dy dz
Ωn
{y ∈Ωn ;f (y )=z}
Ωk
|J f (x)| =
p
| det Jf (x)Jf (x)t |
Ωn
g
R
f
z
Ωk
Cuando n = k es la fórmula del cambio de variable, incluso si J f (·)
degenera
Para k = 1 (integral por superficies de nivel)
!
Z
Z
Z
∞
g (x)|∇f (x)|dx =
g (y )dy
−∞
Ωn
{y ∈Ωn ;f (y )=t}
Ωn
R
g
f
R
t
Si f (x) = hx, v i es la fórmula de Cavalieri
dt
Demuestra la fórmula de integración en polares en Rn
Z
g (x)dx =
Rn
Z
0
∞Z
S n−1
r n−1 g (r θ)dσS n−1 (θ)dr
Demuestra la fórmula de integración en polares en Rn
Z
Z
|∇|x| | ·
g (x)dx =
Rn
Rn
Z
0
∞Z
S n−1
g (x)
dx
|∇|x| |
r n−1 g (r θ)dσS n−1 (θ)dr
Demuestra la fórmula de integración en polares en Rn
Z
Z
g (x)
dx =
|∇|x| | ·
g (x)dx =
|∇|x| |
Rn
Rn
Z
0
∞Z
S n−1
Z
0
∞
Z
|x|=r
r n−1 g (r θ)dσS n−1 (θ)dr
g (x)
dx
|∇|x| |
!
dr
Demuestra la fórmula de integración en polares en Rn
Z
Z
g (x)
dx =
|∇|x| | ·
g (x)dx =
|∇|x| |
Rn
Rn
Z
∞ Z
Z
rS n−1
0
∞Z
S n−1
0
∞
Z
|x|=r
=
0
Z
g (x)dσrS n−1 (x) dr
r n−1 g (r θ)dσS n−1 (θ)dr
g (x)
dx
|∇|x| |
!
dr
Demuestra la fórmula de integración en polares en Rn
Z
Z
g (x)
dx =
|∇|x| | ·
g (x)dx =
|∇|x| |
Rn
Rn
Z
∞ Z
0
∞
Z
|x|=r
g (x)
dx
|∇|x| |
=
rS n−1
0
Z
g (x)dσrS n−1 (x) dr
Como
dσrS n−1 (rA) = r n−1 dσS n−1 (A)
si A ⊆ S n−1 es un boreliano, entonces
Z
Z
g (x)dσrS n−1 (x) =
S n−1
rS n−1
g (r θ)r n−1 dσS n−1 (θ)
y
Z
0
∞Z
S n−1
r n−1 g (r θ)dσS n−1 (θ)dr
!
dr
Demostración de D. Sobolev, para 1 < p < n
Es consecuencia de:
la desigualdad isoperimétrica
la fórmula de la coárea
las desigualdades de Hardy
Si f : Rn → R medible, entonces f ∗ : (0, ∞) → R (reordenamiento no
creciente de f )
f ∗ (t) = ı́nf{λ > 0; |{x ∈ Rn ; |f (x)| > λ}| ≤ t}
f∗
f
0
0
f ◦ : Rn → R (simetrizada de Schwarz)
f ◦ (x) = f ∗ (|x|n ωn )
f◦
0
f , f ∗ , f ◦ tienen los mismos conjuntos de nivel
Cómo demostrar las desigualdades de Soblolev
1≤p<n
=⇒
kf kq ≤ cp,n k∇f kp
Cómo demostrar las desigualdades de Soblolev
1≤p<n
kf kq ≤ cp,n k∇f kp
=⇒
Primer paso
kf kq = kf ◦ kq
desigualdades
de
Hardy
≤
k∇f ◦ kp
Cómo demostrar las desigualdades de Soblolev
1≤p<n
kf kq ≤ cp,n k∇f kp
=⇒
Primer paso
kf kq = kf ◦ kq
desigualdades
de
Hardy
≤
k∇f ◦ kp
Segundo paso
k∇f ◦ kp
desigualdad
isoperimétrica
+ coárea
≤
k∇f kp
(Polya-Szego)
Desigualdad de Hardy
Si f : (0, ∞) → (0, ∞) es una función medible positiva y p > 1,
Z
0
∞
1
x
Z
f (t)dt
0
1/p
p
x
dx
p
≤
p−1
Z
∞
p
f (x) dx
0
1/p
Desigualdad de Hardy
Si f : (0, ∞) → (0, ∞) es una función medible positiva y p > 1,
Z
0
∞
1
x
Z
1/p
p
x
f (t)dt
dx
0
p
≤
p−1
Z
∞
f (x) dx
0
kF 0 kp controla a la norma kx −1 F kp
Variaciones con pesos y diferentes exponentes p, q
Se conocen las mejores constantes
p
1/p
Veamos
k∇f ◦ kp ≤ k∇f kp
(Polya-Szegö)
f ∈ C 1 y la fórmula de la co-área de Federer implican
Z
Rn
|∇f (x)|p dx =
Z
∞
!
Z
0
donde
dµ(x) =
|∇f (x)|p dµ(x) dt
{|f |=t}
dx
|∇f (x)|
Pero
Z
Z
∞
Z
−
dµ(x) =
{|f |=t}
t
{|f |=s}
Z
= (por co-área) =
dx
|∇f (x)|
!0
−
dx
!0
!
ds
= |M 0 (t)|
{|f |≥t}
M(t) es la función de distribución. Entonces
Z
∞
Z
p
|∇f (x)| dx =
Rn
0
Z
∞
≥ (by Jensen) ≥
0
Z
∞
!p
Z
=
dx
0
{|f |=t}
!
dµ(x)
|∇f (x)|
|M 0 (t)|dt
0 (t)|
|M
{|f |=t}
!p
Z
dµ(x)
|M 0 (t)|dt
|∇f (x)| 0
|M (t)|
{|f |=t}
Z
|M 0 (t)|1−p dt
p
Z
∞
≥ (D.I.) ≥
M(t)p(n−1)/n |M 0 (t)|1−p dt
0
Z ∞
=
s p(n−1)/n |(f ∗ )0 (s)|p ds
0 Z
= cp,n
|∇f ◦ (x)|p dx
Rn
Bibliografı́a
S. Bobkov, C. Houdré, Some connections between Isoperimetric
and Sobolev-type Inequalities. Memoirs A.M.S., 616 (1997).
I. Chavel, Isoperimetric Inequalities. Cambridge Tracts in
Mathematics, Cambridge University Press 145 (2001).
H. Federer, W. Fleming, Normal integral currents, Ann. Math.
72, (1960), 458–520.
J. Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis,
http://www.math.jyu.fi/research/reports/rep100.pdf
V. Maz’ja, Classes of domains and embedding theorems for function
spaces, Dokl. Akad. Nauk. SSSR 133, (1960), 527–530.
V. Maz’ja, Sobolev Spaces. Springer-Verlag (1985).