Accionamientos Teoría General Control de Máquinas Herramienta Lección 1 Modelización Mecánica vf FV FRESA PIEZA FH GUIAS MESA CORONA MOTOR PIÑON HUSILLO ACOPLAMIENTO ( ) 1 1 1 J M θ&M2 + J Aθ&M2 + J Pθ&M2 + J Cθ&h2 + J hθ&h2 + M m x&2 = M e x&2 = J eθ&M2 2 2 2 2π 2π r θ&h = x& θ&M = rθ&h = x& p p T= Modelización Mecánica 2 2 2 1 2π 2π r 1 + M m x& = M e x&2 + ( J C + J h ) ( J M + J A + J P ) 2 2 p p 2 2 2π r 2π + M m + ( J C + J h ) M e = ( J M + J A + J P ) p p Je = J M + J A + J P + ( JC + Jh ) 1 p + M m 2 r 2π r TM θ M = FeM x → FeM x = TM TeCθ M = FC x → TeCθ M = FC 2π r x → p p θM 2π r 2 FeM = TM → 2π r p TeC = FC p 2π r Selección de Parámetros Mecánicos n Criterio de potencia: TM Ω n 1 ( FL + 2M m a )VC max η Aη Rη h Criterio de velocidad: Ω n M ≥ M max p ≥ VC max 2πr → p VC max ≥ 2 π r Ω M max Equilibrio dinámico: J A && J A && 2π T J J = M C &x&+ FL − ( + ) θ η − + θ M η h M M A h M p 2 2 Selección de Parámetros Mecánicos n n Aceleración &x&= 2 MC + η Aη h Condición de máximo: FL 2π = + p η Aη h TM n JM FL 2π − TM p η Aη h J Jh + A JA 2π 2 + + 2 η A p FL η Aη h TM 2 MC + η Aη h ( J M + J A 2 ) + η h ( J h + J A 2 ) Sin fuerzas externas y rendimientos unidad: (JM + 2 2π J A + J h ) = M C p Lazo Unico de Posición. Compensador P x Fp(s) R(s) 1/Mes2 KP X(s) Me KP n Ecuaciones (Inercia Pura): Fe + F p = M e &x& Fe = K P [r (t ) − x(t )] M e &x&+ K P x = K P r (t ) + F p KP X ( s) = R ( s) M e s 2 + K P X ( s) 1 = Fp ( s) M e s 2 + K P lim x ( t ) = lim sX ( s ) t→ ∞ s→ 0 M es2 1 E ( s) = R ( s) − X ( s) = R ( s ) − Fp ( s) 2 2 M es + K P M es + KP r Lazo Unico de Posición. Compensador P Fp(s) R(s) KP 1/(Mes2+Cs) X(s) C Fp x Me KP n Inercia+Resistencia Viscosa M e &x&+ Cx& + K P x = K P r (t ) + F p X ( s) KP = R ( s ) M e s 2 + Cs + K P X ( s) 1 = F p ( s ) M e s 2 + Cs + K P M e s 2 + Cs 1 − E ( s) = R ( s ) − X ( s ) = R ( s ) Fp (s ) 2 2 M e s + Cs + K P M e s + Cs + K P lim ε v ( t ) = t→ ∞ F C V− p KP KP r Lazo Unico de Posición. Compensador P Lazo Unico de Posición. PD Fp(s) R(s) 1/Mes2 KP+KDs x X(s) Me KP KD r M e &x&+ K D x& + K P x = K P r (t ) + K D r&(t ) + Fp X ( s) KDs + KP = R ( s) M e s 2 + K D s + K P ω 0 = KP Me ξ = X ( s) 1 = F p ( s) M e s 2 + K D s + K P KD 2 KPM e M es2 1 E ( s) = R ( s ) − X ( s) = R ( s ) − Fp ( s) 2 2 M es + K Ds + KP M es + KDs + KP Fp lim ε v ( t ) = − t→ ∞ KP Lazo Unico de Posición. PD Lazo Unico de Posición. PD n Amortiguamiento resistente C Fp Fp(s) R(s) 1/(Mes2+Cs) KP+KDs Me X(s) KP KDs + KP X ( s) = R ( s) M e s 2 + ( K D + C )s + K P x KD X ( s) 1 = F p ( s) M e s 2 + ( K D + C ) s + K P M e s 2 + Cs 1 E ( s ) = R ( s ) − X ( s) = R ( s ) − Fp ( s) 2 2 M e s + ( K D + C)s + K P M e s + (K D + C )s + K P lim ε v ( t ) = t→ ∞ F C V− p KP KP r Lazo Unico de Posición. PD Lazo Unico de Posición. PI Fp(s) R(s) n 1/Mes2 KP+KI/s X(s) Inercia Pura M e &x&+ K P x + K I ∫ x(τ )dτ = K P r (t ) + K I ∫ r (τ )dτ + F p t t 0 0 X ( s) KP s + KI = R ( s) M e s 3 + K P s + K I n Criterio de Estabilidad: X ( s) s = F p ( s) M e s 3 + K P s + K I a3 > 0 a2 > 0 a2 a1 > a3 a0 a0 > 0 M e s3 s E ( s) = R ( s ) − X ( s ) = R ( s ) − F p (s) 3 3 M es + KP s + KI M es + KP s + KI lim ε ( t ) = 0 t→ ∞ Consigna escalón y rampa Lazo Unico de Posición. PI Fp(s) R(s) n KP+KI/s 1/(Mes2+Cs) X(s) Masa + Resistencia Viscosa M e &x&+ Cx& + K P x + K I ∫ x(τ )dτ = K P r (t ) + K I ∫ r (τ )dτ + F p t t 0 0 X (s) KPs + KI = R ( s ) M e s 3 + Cs 2 + K P s + K I X (s) s = F p ( s) M e s 3 + Cs 2 + K P s + K I M e s 3 + Cs 2 s E ( s ) = R ( s ) − X ( s) = R ( s ) − Fp ( s ) 2 2 2 2 M e s + Cs + K P s + K I M e s + Cs + K P s + K I KI < n El término integral: K PC Me – reduce el amortiguamiento – aumenta el sobreimpulso lim ε ( t ) = 0 t→ ∞ Consigna escalón y rampa 71,06.106.1000 N KI < = 35,5.106 2000 m.s Lazo Unico de Posición. PID Fp(s) R(s) n KP+KI/s+ KDs Inercia Pura 1/Mes2 X(s) M e &x&+ K D x& + K P x + K I ∫ x(τ )dτ = K P r (t ) + K D r&(t ) + K I ∫ r (τ ) dτ + Fp t t 0 0 X ( s) K D s2 + K P s + K I = R( s) M e s3 + K D s 2 + K P s + K I n X ( s) s = F p ( s) M e s 3 + K D s 2 + K P s + K I Error M e s3 s E ( s ) = R ( s) − X ( s ) = − R ( s ) F p ( s) M es3 + K D s2 + KP s + K I M es3 + K D s2 + KP s + K I n Criterio de Estabilidad: KD KP KI < Me 755.000.71,06.106 10 N KI < = 2,683.10 2000 m.s Lazo Unico de Posición. PID Sin término integral Con término integral Lazo Unico de Posición. PID Fp(s) R(s) n KP+KI/s +KDs 1/(Mes2+Cs) X(s) Masa + Resistencia Viscosa M e &x&+ ( K D + C ) x& + K P x + K I ∫ x(τ )dτ = K P r (t ) + K D r&(t ) + K I ∫ r (τ )dτ + Fp 0 0 t X ( s) K D s2 + K P s + K I = R ( s ) M e s 3 + ( K D + C )s 2 + K P s + K I t X ( s) s = F p ( s) M e s 3 + ( K D + C )s 2 + K P s + K I M e s 3 + Cs 2 s E ( s) = R( s) − X ( s) = R s F p ( s) ( ) − M e s 2 + ( K D + C )s 2 + K P s + K I M e s 2 + ( K D + C )s 2 + K P s + K I KI < KP ( KD + C ) Me lim ε ( t ) = 0 t→ ∞ Consigna escalón y rampa Lazo de Velocidad. PID Fp(s) Rv(s) n KP+KI/s+ KDs 1/Mes V(s) Inercia pura (Me + K D )v&+ t t 0 0 K P v + K I ∫ v(τ )dτ = K P rv (t ) + K D r&v (t ) + K I ∫ r (τ )dτ + F p V ( s) KDs2 + KP s + KI = Rv ( s) ( M e + K D )s 2 + K P s + K I V ( s) s = F p ( s ) ( M e + K D )s 2 + K P s + K I M es2 s E ( s ) = Rv ( s ) − V ( s ) = R ( s ) − Fp (s) v 2 2 M es + KP s + KI M es + KP s + KI lim ε ( t ) = 0 t→ ∞ Consigna escalón y rampa Lazo de Velocidad. PID ω 0 KI M e + KD = KP ξ = = 2 K I ( M e + K D ) 2ω KP 0 ( M e + KD ) Para una ω 0= 30 Hz, suponiendo KD=0 KI = ω 2 0 (Me + K D ) = ( 2π .30 ) 2000 = 71,06.10 6 2 Para un amortiguamiento ξ =1, suponiendo C=0 K P = 2ξ ω 0(Me + K D ) = 2.2π .30.2000 = 753.982 N m/s N m Lazo de Velocidad. PID Fp(s) Rv(s) n KP+KI/s+ KDs 1/(Mes+C) V(s) Inercia + Resistencia viscosa (Me + K D )v&+ ( K P + C )v + t t 0 0 K I ∫ v(τ )dτ = K P rv (t ) + K D r&v (t ) + K I ∫ r (τ )dτ + Fp V ( s) KD s2 + KP s + K I = Rv ( s) ( M e + K D )s 2 + ( K P + C )s + K I V ( s) s = F p ( s ) ( M e + K D )s 2 + ( K P + C )s + K I M e s 2 + Cs s E ( s ) = Rv ( s ) − V ( s ) = R ( s ) − Fp (s) v 2 2 M es + KP s + KI M es + KP s + KI lim ε ( t ) = 0 t→ ∞ Consigna escalón lim ε ( t ) = t→ ∞ C A KI Consigna rampa Lazo de Velocidad. PID ω 0 = KI M e + KD KP + C KP + C ξ = = 2 K I ( M e + K D ) 2ω 0 ( M e + K D ) Para una ω 0= 30 Hz, suponiendo KD=0 N K I = ω 0 ( M e + K D ) = ( 2π .30 ) 2000 = 71,06.10 m Para un amortiguamiento ξ =1, suponiendo C=1000 2 2 6 N K P = 2ξ ω 0 ( M e + K D ) − C = 2.2π .30.2000 − 1000 = 752.982 m/s Suponiendo una rampa con máxima aceleración a=2,094 m/s2 lim ε ( t ) = t→ ∞ C 2000 − 5 A= 2 , 094 = 5 , 894 . 10 m / s = 58,94 µ m / s 6 71.06.10 KI Lazo de Velocidad. Compensador PI Fp(s) Rv(s) KP+KI/s V ( s) KP s + KI = Rv ( s ) M e s 2 + ( K P + C )s + K I ω0= KI Me ξ = 1/(Mes+C) V(s) V ( s) s = Fp ( s) M e s 2 + ( K P + C )s + K I KP + C K + C = P 2 K I M e 2ω 0 M e K I = ω 02 M e K P = 2ξ ω 0 M e − C M e s 2 + Cs s E ( s) = Rv ( s) − V ( s) = R ( s ) − Fp ( s) v 2 2 M e s + ( K P + C )s + K I M e s + ( K P + C )s + K I lim ε ( t ) = 0 t→ ∞ Consigna escalón lim ε v ( t ) = t→ ∞ C A KI Consigna rampa Lazo de Velocidad. Compensador P Fp(s) Rv(s) KP 1/(Mes+C) V ( s) 1 = Fp ( s) M e s + K P + C V ( s) KP = Rv ( s) M e s + K P + C Constante de tiempo E ( s ) = Rv ( s ) − V ( s ) = lim ε v ( t ) = t→ ∞ V(s) τ = Me KP + C M es + C 1 Rv ( s) − Fp (s) M es + KP + C M es + KP + C C 1 V− F KP + C KP + C Consigna escalón Lazo de Velocidad. Compensador P Constante de tiempo τ =1/(2π.30) τ = Me KP + C KP = → KP = Me − C τ 2000 − 1000 = 375.991 N /( m / s) 1 ( 2π .30) Consigna escalónV= 1,5 m/s lim ε v ( t ) = t→ ∞ C 1000 V = 1,5 = 3,979.10 − 3 m / s = 0,239 m / min KP + C 375.991 + 1000 Fuerza de corte F= 1000 N lim ε v ( t ) = − t→ ∞ 1 1000 = − 2,653.10 − 3 m / s = − 0,159 m / min F= − KP + C 375.991 + 1000 Lazo de Velocidad. Resumen n n n Ki define la frecuencia natural del lazo Kp define el amortiguamiento o la constante de tiempo (si no existe Ki) Errores permanentes – Si Ki>0 no existe error permanente debido a fuerzas ni error se seguimiento de consigna escalón – Si Ki=0 existen ambos errores n Kd no aporta gran cosa Doble Lazo: Posición y Velocidad R(s) n Lazo de Velocidad Ideal X ( s) C ( s) = R ( s) s + C ( s ) n Compensador proporcional C(s)=KP n 1 → Constante de tiempo τ = KP s E ( s) = R ( s) − X ( s) = R( s) s + KP Consigna rampa Vref (s) C(s) 1/s X(s) X ( s) KP = R( s) s + K P K P = 2π .30 = 188,5 (m / s) / m V 1,5 lim ε ( t ) = = = 7,96 mm t→ ∞ K P 188,5 Lazo de Velocidad Ideal. Compensador PID n X ( s) K D s2 + K P s + KI = R ( s) (1 + K D )s 2 + K P s + K I Compensador PID ω0= KI 1+ KD ξ = KP KP = 2 K I (1 + K D ) 2ω 0 (1 + K D ) s2 E ( s ) = R ( s ) − X ( s) = R( s) 2 (1 + K D )s + K P s + K I n Compensador PI s2 E ( s) = R( s) − X ( s) = 2 R ( s) s + KP s + KI ω0= ξ = KI → KP K = P 2 K I 2ω 0 KI = ω → 2 0 lim ε ( t ) = 0 t→ ∞ X ( s) K s + KI = 2 P R( s) s + K P s + K I lim ε ( t ) = 0 t→ ∞ Consigna escalón y rampa = (2π .30) 2 = 35.531 ( m / s) /(m.s) K P = 2ξ ω 0 = 2.1.2π .30 = 376,991 ( m / s) / m Doble Lazo: Posición y Velocidad Rv(s) n Lazo de Velocidad X v ( s) Cv ( s )G ( s) = Rv ( s) 1 + Cv ( s)G ( s) R(s) n Lazo doble Cd(s) Cv(s) Fp(s) G(s) Xv(s) X v ( s) G ( s) = F p ( s) 1 + Cv ( s)G ( s ) Cv(s) Fp(s) G(s) 1/s X(s) Doble Lazo: Posición y Velocidad Fp(s) n X ( s) Gv ( s ) = v Rv ( s ) n GFv(s) Denominando X (s) GFv ( s) = v Fp ( s) Inercia pura R(s) Cd(s) Gv(s) 1/s X(s) 1 G( s ) = Mes X ( s) Cd ( s )Gv ( s) = R ( s ) s + Cd ( s )Gv ( s) Cv ( s ) X ( s) Cd ( s )Cv ( s ) M e s + Cv ( s ) = = Cv ( s ) M e s 2 + sCv ( s ) + Cd ( s)Cv ( s ) R ( s ) s + C ( s) d M e s + Cv ( s ) X ( s) GFv ( s) = Fp ( s) s + Cd ( s )Gv ( s) 1 X ( s) M e s + Cv ( s ) 1 = = F p ( s ) s + C ( s ) Cv ( s ) M e s 2 + sCv ( s ) + Cd ( s )Cv ( s ) d M e s + Cv ( s ) Cd ( s ) Doble Lazo: Posición y Velocidad n Compensadores PD en ambos lazos ( KvP KdD + KvD KdP )s + KvP K dP X ( s) = R ( s ) [M e + K vD (1 + K dD )]s 2 + [K vP (1 + K dD ) + K vD K dP ]s + K vP K dP X (s) 1 = F p ( s ) [M e + K vD (1 + K dD )]s 2 + [K vP (1 + K dD ) + K vD K dP ]s + K vP K dP ω0= K vP K dP M e + K vD (1 + K dD ) E ( s) = X ( s) − R ( s) = [M e + {[M ξ = K vP + K vP K dD + K vD K dP 2 K vP K dP [M e + K vD (1 + K dD )] } 2 + K ( 1 + K ) ] s + K vP s R ( s) − Fp ( s) e vD dD K vD (1 + K dD )]s 2 + [K vP (1 + K dD ) + K vD K dP ]s + K vP K dP V F lim ε ( t ) = − t→ ∞ K dP K vP K dP Doble Lazo: Posición y Velocidad n Compensadores P en ambos lazos X ( s) K vP K dP = R ( s ) M e s 2 + K vP s + K vP K dP X ( s) 1 = F p ( s) M e s 2 + K vP s + K vP K dP ω0= K vP K dP Me ξ = lim ε ( t ) = t→ ∞ 1 KvP 1 ω0 = 2 M e K dP 2 K dP V F − K dP K vP K dP KvP Fp x Me KvPKdP r Doble Lazo: Posición y Velocidad. Compensadores P ξ = 1 2 ω0= K vP 1 ω0 = M e K dP 2 K dP K vP K dP Me → Consigna rampa de velocidad V=1,5 m/s Fuerza de 1000 N → KdP = K vP = ω 20 M e K dP ω0 = π .30 = 94,248 (m / s ) / m = 5,655 (m / min ) / mm 2ξ = 2ξ ω 0 M e = 2.1.(2π .30).2000 = 753.982 N /( m / s ) V 1,5 lim ε ( t ) = = = 0,0159 m t→ ∞ K dP 94,248 lim ε ( t ) = − t→ ∞ F 1000 = − = 0.014 mm K vP K dP 753982.94,248 Doble Lazo: Posición y Velocidad n Compensadores PD en lazo posición y P en velocidad K vP K dD s + K vP K dP X ( s) = R ( s ) M e s 2 + K vP (1 + K dD ) s + K vP K dP X ( s) 1 = F p ( s) M e s 2 + K vP (1 + K dD ) s + K vP K dP ω 0 = K vP K dP K vP (1 + K dD ) = Me 2ξ M e ξ = 1 (1 + KdD ) KvP = 1 ω 0 (1 + KdD ) 2 M e K dP 2 K dP V F lim ε ( t ) = − t→ ∞ K dP K vP K dP Doble Lazo: Posición y Velocidad. Compensadores PD ξ = ω 0 1 ω0 (1 + KdD ) → 2 K dP = K vP K dP Me → Consigna rampa de velocidad V=1,5 m/s K dP ω = 0 = π .30 = 94,248 (m / s ) / m = 5,655 ( m / min ) / mm 1 + K dD 2ξ K vP = ω 02 M e K dP lim ε ( t ) = t→ ∞ = 2ξ ω 0 M e 2.1.(2π .30).2000 753.982 N /( m / s) = = 1 + K dD 1 + K dD 1 + K dD V 2ξ V 2.1.1,5 0,0159 m = = = K dP ω 0 (1 + K dD ) 2π .30(1 + K dD ) 1 + K dD Se consigue una mejora con relación al resultado obtenido sin KD Fuerza de 1000 N F 1000 lim ε ( t ) = − = − = 0,014mm t→ ∞ K vP K dP 753982.94,248 Es el mismo resultado obtenido sin KD Doble Lazo: Posición P y Velocidad PI X ( s) K vP K dP s + K vI K dP = R ( s ) M e s 3 + K vP s 2 + ( K vI + K vP K dP ) s + K vI K dP X (s) s = Fp ( s) M e s 3 + K vP s 2 + ( K vI + K vP K dP ) s + K vI K dP 2 K vP K vI < M e − K vP K dP K vP > KdP M e → 753.982 > 94,248.2000 = 188496 E ( s ) = R ( s ) − X ( s) = lim ε ( t ) = t→ ∞ V K dP o bien (M s e 3 ) + K vP s 2 + K vI s R ( s) − sFp ( s) M e s 3 + K vP s 2 + ( K vI + K vP K dP ) s + K vI K dP Error idéntico a los casos anteriores No hay error debido a la fuerza de corte Doble Lazo: Posición PI y Velocidad P X ( s) K vP K dP s + K vP K dI = R ( s ) M e s 3 + K vP s 2 + K vP K dP s + K vP K dI X (s) s = F p ( s) M e s 3 + K vP s 2 + K vP K dP s + K vP K dI K dI < n K vP K dP 753982.94,25 = = 35.531 ( m / s) /( m.s ) Me 2000 El compensador integral del lazo de posición es más crítico que el del lazo de velocidad E ( s) = R ( s ) − X ( s ) = n (M s e 3 ) + K vP s 2 R ( s) − sFp ( s) M e s 3 + K vP s 2 + K vP K dP s + K vP K dI Error permanente nulo a escalón y a rampa Doble Lazo: Posición PID y Velocidad P X ( s) K vP K dD s 2 + K vP K dP s + K vP K dI = R ( s) M e s 3 + K vP (1 + K dD ) s 2 + K vP K dP s + K vP K dI X ( s) s = F p ( s) M e s 3 + K vP (1 + K dD ) s 2 + K vP K dP s + K vP K dI K dI < K vP K dP (1 + K dD ) Me E ( s) = R ( s) − X ( s) = (M s e 3 ) + K vP s 2 R ( s) − sFp ( s ) M e s 3 + K vP (1 + K dD ) s 2 + K vP K dP s + K vP K dI Doble Lazo Posición y Velocidad. Resumen n n n n Un controlador P-P da lugar a un sistema de 2º orden en que pueden ajustarse w0 y ξ . Un término D en el lazo de posición mejora el amortiguamiento del conjunto y permite incrementar KdP lo que reduce el error de seguimiento En el lazo de velocidad el término I elimina el error de fuerzas pero no el debido a una consigna en rampa En el lazo de posición el compensador I elimina ambos errores pero empeora más la estabilidad Elasticidad del Accionamiento K n Ecuaciones M1 M 1 &x&1 + C ( x&1 − x&2 ) + K ( x1 − x2 ) = f1 M 2 &x&2 + C ( x&2 − x&1 ) + K ( x2 − x1 ) = f 2 M2 C X1 X2 X1 M 2 s 2 + Cs + K = F1 M 1M 2 s 4 + ( M 1 + M 2 )Cs3 + ( M 1 + M 2 )Ks 2 X2 Cs + K = F1 M 1M 2 s 4 + ( M 1 + M 2 )Cs 3 + ( M 1 + M 2 )Ks 2 n Realimentación con v1 V1 ( s) = Rv ( s) ( M 1 M 2 + M 2 K D ) s 3 + n [( M 1 + ( K P + K D s )( M 2 s 2 + Cs + K ) M 2 )C + M 2 K P + K D C ]s 2 + [( M 1 + Sistema siempre estable M 2 )K + K D K + K P C ]s + K P K Elasticidad del Accionamiento n Realimentación con la velocidad de la masa 2 V2 ( s ) = R ( s ) M 1M 2 s 3 + n [( M 1 + M 2 )C + ( K P + K D s )( Cs + K ) K DC ]s 2 + [( M 1 + M 2 )K + K P C + K D K ]s + K P K Aplicando Routh a2 a1 − a3a0 > 0 → [( M 1 + M 2 )C + K D C ][( M 1 + M 2 )K + K P C + K D K ] > M 1M 2 K P K ( M 1 + M 2 + K D ) 2 KC KP < M 1M 2 K − ( M 1 + M 2 + K D )C 2 n n Si C=0 el sistema es siempre inestable La realimentación y control con masas diferentes resulta difícil de estabilizar Elasticidad del Accionamiento K n Ecuaciones M1 M 1 &x&1 + C ( x&1 − x&2 ) + K ( x1 − x2 ) = f1 M2 C M 2 x&&2 + C ( x&2 − x&1 ) + K ( x2 − x1 ) = f 2 X1 X2 X1 M 2 s 2 + Cs + K = F1 M 1M 2 s 4 + ( M 1 + M 2 )Cs 3 + ( M 1 + M 2 )Ks 2 X2 Cs + K = F1 M 1M 2 s 4 + ( M 1 + M 2 )Cs 3 + ( M 1 + M 2 )Ks 2 n Realimentación con x1 X 1 ( s) = R ( s ) M 1M 2 s 4 + n [( M 1 + M 2 )C + ( K P + K D s )( M 2 s 2 + M 2 K D ]s 3 + [( M 1 + M 2 )K + Cs + K ) M 2 K P + K DC ]s 2 + ( K D K + K P C )s + K P K Sistema estable siempre que C o KD sean no nulos Elasticidad del Accionamiento n Realimentación con la masa 2 X 2 ( s) = R ( s ) M 1M 2 s 4 + ( M 1 + M 2 )Cs 3 + n ( KP + [( M 1 + K D s )( Cs + K ) M 2 )K + K DC ]s 2 + ( K D K + K P C )s + K P K Aplicando Routh a2a3 − a1a4 > 0 → [( M 1 + M 2 )K + K DC ]( M 1 + M 2 )C − ( K D K + K P C )M 1M 2 > 0 M + M2 [( M 1 + M 2 )K + K DC ]− K D K KP < 1 M 1M 2 C ( M1 + M 2 ) K − M 1M 2 K P KD < C 2 M 1M 2 K − ( M 1 + M 2 )C 2 a1 ( a2a3 − a1a4 ) − a32a0 > 0 → ( KD K + n n K P C ){[( M 1 + M 2 )K + K DC ]( M 1 + M 2 )C − ( K D K + K P C )M 1M 2 }− ( M 1 + M 2 ) C 2 K P K > 0 2 Si C=0 el sistema es siempre inestable La realimentación y control con masas diferentes resulta difícil de estabilizar Accionamiento Elástico. Respuesta Dinámica Kvp=754 kN/(m/s), Kvi =71,0 MN/m Kdp =125,7 (m/s)/m Kvi =71,0 MN/m Kdp =62,8 (m/s)/m x1 x2 Kdi=0 Kvi =0 MN/m Kdp =125,7 (m/s)/m Kvi =0 MN/m Kdp =62,8 (m/s)/m