APUNTES DOCENTES

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
APUNTES DOCENTES
ASIGNATURA: MECANICA
PROFESORES
LESLIE CAMELO
IDELFONSO BELLO
JOSÉ PACHECO
JULIÁN HERRERA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
II-2011
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
UNIDAD 1: VECTORES
Sistemas de coordenadas y marcos de referencia
Un sistema de coordenadas usado para especificar posiciones en el espacio consta de:
Un punto de referencia fijo. (Origen)
Un conjunto de ejes específicos o direcciones con escala e identificación.
Instrucciones para identificar un punto en el espacio respecto a los ejes y el origen.
Sistema de coordenadas cartesianas
El sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones identifica cualquier punto con
coordenadas (x,y). La x negativa hacia la izquierda del origen y la y negativa hacia abajo.
Sistema de coordenadas polares
El sistema de coordenadas polar representa un punto en el espacio en función de las coordenadas
(r,θ). Donde r es la distancia desde el origen hasta el punto de coordenadas (x,y), y θ es el ángulo
entre r y un eje fijo, que se mide generalmente en sentido contrario a las manecillas del reloj desde
el eje x positivo.
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(x,y)
Equivalencia entre sistemas
x = rcos θ
y = sen θ
tan θ = y/x
r = (x 2 + y 2) ½
Vectores y escalares
Un “escalar” es una cantidad que se especifica completamente por un número con unidades
apropiadas. Algunas cantidades escalares son: temperatura, volumen, masa, tiempo entre otras.
Una cantidad “vectorial” es una cantidad que debe especificarse en términos de una magnitud y
una dirección. Ejemplos de cantidades vectoriales son: fuerza, velocidad, aceleración, el
desplazamiento.
Operaciones con vectores
Suma: Para efectuar la suma de dos vectores A y B, primero se ubica sobre un sistema de
coordenadas uno de los vectores, y el segundo vector se ubica iniciando en la punta final del
primero. El vector resultante será el vector dibujado desde el inicio del primero y hasta el final del
segundo (método del triángulo). Otro método empleado para la suma de vectores es la ley del
paralelogramo, que consiste en ubicar en el mismo punto de origen los dos vectores y el vector
resultante es la diagonal formada con A y B como sus lados.
R
Método del triangulo
B
A
Ley del Paralelogramo
B
R
Propiedades de la suma
A
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Ley conmutativa de la suma
A+B=B+A
Ley asociativa
A + (B+C) = (A+B)+C
Negativo de un vector: El negativo de un vector A se define como aquel vector que sumado a A
da cero en la suma de vectores. A + (-A) = 0.
Diferencia de vectores: Se define la operación A – B como el vector (- B) sumado al vector A.
Multiplicación de un vector por un escalar: Si un vector A se multiplica por un escalar m puede
darse que:
o Si m es positivo, el vector mA tiene la misma dirección de A y magnitud mA.
o Si m es negativo, el vector mA tiene la dirección opuesta de A y magnitud mA.
LEY DE LOS SENOS
γ
a
sen
b
sen
c
sen
a
b
α
β
c
LEY DE LOS COSENOS
a2
b2
c2
2bcCos
b
2
a
2
c
2
2acCos
c
2
b
2
a
2
2baCos
γ
a
β
b
α
c
Componentes de un vector y vectores unitarios
La proyección de un vector a lo largo de los ejes de un sistema de coordenadas rectangular se
denomina componentes de un vector. El vector A se puede expresar como la suma de otros dos
vectores Ax y Ay, denominados vectores componentes de A.
Ax
Ay
A cos
Asen
Vector Unitario
Ay
A
θ
O Ax
Es un vector sin dimensiones y de longitud unitaria, que define la dirección de un vector. En
términos generales cualquier vector se puede expresar de la forma:
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â

A

A
A aˆ
aˆ

A
A
Donde:
Vectores en 3 dimensiones
z
k̂
y
ĵ
iˆ
x
Un vector en tres dimensiones se escribe de la forma:

A
Ax iˆ
Ay ˆj
Az kˆ
AY2
AZ2
La magnitud de A esta definida como:
AX2
A
Y se representa en el espacio como se muestra a continuación:
z
Az
Ax
Ay
y
x
Una técnica que nos permite ubicar un vector en el espacio consiste en: ubicar la coordenada x
sobre el eje respectivo, y trazar una recta paralela al eje y, luego ubicar la coordenada del eje y, y
nuevamente trazar una recta paralela pero esta vez al eje x. La intersección de las dos rectas da la
ubicación del vector sobre el plano xy, y partiendo del punto y paralelo al eje z se realiza el último
desplazamiento equivalente a la coordenada sobre el eje z.
Cósenos directores
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Para identificar el vector en el espacio es de gran ayuda conocer los ángulos que forma el vector
con cada uno de los ejes.
En el grafico α,β,γ son los ángulos formados entre el vector y los ejes x,y,z respectivamente y
están definidos por:
z
cos
cos
y
cos
x
AX
A
Ay
A
Az
A
Producto punto ó escalar
Sean:

A

B
Ay ˆj
Az kˆ
B X iˆ B y ˆj
B z kˆ
AX iˆ
Se define el producto punto de las siguientes maneras:
 
A B
A
A B cos
B
θ se mide entre los dos vectores cuando sus orígenes coinciden.
El producto punto entre dos vectores también se define como:
 
A B
AX BX
AY By
AZ Bz
El producto punto o escalar arroja como resultado una magnitud. Para ángulos entre 90° y 180° el
resultado del producto punto es negativo.
Producto vectorial o producto cruz
Sean:
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
A

B
Ay ˆj
Az kˆ
B X iˆ B y ˆj
B z kˆ
AX iˆ
Se define el producto punto de las siguientes maneras:
 
A B
A
A B sen
B
θ se mide entre los dos vectores cuando sus orígenes coinciden. Esta operación da como
resultado la magnitud del vector perpendicular a los vectores A y B. El sentido del vector se puede
obtener haciendo uso de la Regla de la mano derecha.
AxB
A
B
Otro de los métodos que se utilizan para realizar producto punto es por medio de matrices, como
se ve a continuación:
 
A B
iˆ
ˆj
kˆ
Ax
Ay
Az
Bx
By
Bz
Ay
Az
By
Bz
iˆ
Ax
Az
Bx
Bz
ˆj
Ax
Bx
Ay ˆ
k
By
EJEMPLOS:

1. Encontrar los ángulos directores A
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4iˆ 5 ˆj 3kˆ
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Magnitud

A
42
5
2
32
16 25 9
50

A
7.07
Ángulos directores
*COS
4
7.07
55.340
*COS
3
7.07
64.8 0
5
135.0 0
7.07
*COS


2. Hallar vector paralelo al plano formado por los vectores A Y B

A iˆ 3 ˆj 2kˆ
iˆ
ĵ
AxB 1
3
k̂
1
2

B
2iˆ
AxB
2
1
AxB
ˆj kˆ
3 2 iˆ
1
4 ˆj
1 6 kˆ
5iˆ 3 ˆj 7 kˆ
3. HALLAR UxV SI:
Uˆ

V
3iˆ 2 ˆj kˆ
iˆ
ĵ
2
UxV 3
4
2
k̂
1
4iˆ 2 ˆj 3kˆ
UxV
3
UxV
6 2 iˆ
9 4 ˆj
4iˆ 13 ˆj 14kˆ
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6
18 kˆ
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

3. Dos vectores A y B con A
12cm B
15cm están orientados como se muestra en la

figura y su suma vectorial es R. Determinar el R la magnitud y su dirección.
Componentes rectangulares

A
Ax
12Sen 50
9.19cm
Ay
12Cos 50
7.71cm
Bx 15Cos 150

B
By 15Sen 150
Rx
9.19 13
22.19
Ry
7.71 7.5
0.21
12.99cm
7.5cm
MAGNITUD
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R
22.19
2
0.21
2
R
492.39 0.04
R
492.43
R
22.19cm
DIRECCION
Tan
1
y
x
Tan
1
0.21
22.19
Tan
1
0.0094
0.54
VECTOR RESULTANTE

R
22.19iˆ 0.21 ˆj cm
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UNIDAD 2: CINEMÁTICA
La física estudia tres clases de movimiento: rotacional, traslacional y vibratorio, un carro que se
mueva por una carretera experimenta un movimiento traslacional, el giro de la luna alrededor de la
Tierra es un ejemplo de movimiento rotacional y el movimiento hacia adelanta y hacia atrás de un
péndulo es un ejemplo de movimiento vibratorio.
En esta unidad se estudia solamente el movimiento traslacional. Aquí se considera al objeto como
una partícula sin importar su tamaño. Y una partícula se considera como una masa de tamaño
infinitesimal.
La cinemática es una rama de la Física que describe el movimiento de las partículas a través de
algunas variables como: el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, etc.
Se definirán algunas de estas variables para entender el funcionamiento de la cinemática:
DEFINICIONES
Desplazamiento: Lo representamos con la variable X que significa cambio en la posición:
ó cualquier unidad de longitud (la letra ∆, significa cambio en..). El desplazamiento es una cantidad
vectorial
X X 2 X 1 m, cm, ft donde X2 representa la posición final y X1 representa la posición inicial.
X1
X2
Distancia total recorrida D cm, m, ft :
determinado instante de tiempo.
Se refiere a todo lo que recorrió la partícula en
_
Velocidad Media V : Relaciona la posición de la partícula respecto al tiempo. Y se define como el
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cambio en la posición en la unidad de tiempo:
_
V
X
t
m cm ft
ó cualquier unidad e longitud sobre cualquier unidad de tiempo
,
,
s s s
X 2 X1
t2 t1
X(m)
X2
_
X
t
V
∆X
X1
,
La velocidad media en la gráfica
representa la pendiente de la línea de
recta que une dos puntos que pasan por
la curvatura.
∆t
t1
X 2 X1
t 2 t1
t2
t(s)
Velocidad Instantánea: Es la velocidad en cualquier instante de tiempo y se define como:
_
V
lim
t
0
X
t
dX
dt
X(m)
_
V
X2
lim
t
0
X
t
dX
dt
La velocidad instantánea en la grafica representa la
pendiente de la línea tangente, lo cual corresponde a
la derivada de la función x respecto a t.
X1
t1
t2
t(s)
Rapidez media: Se define como la distancia total recorrida y el tiempo total que lleva viajar esa
distancia. A diferencia de la velocidad promedio, la rapidez promedio no tiene dirección y, por
consiguiente, no lleva signo algebraico.
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dis tan ciatotal
tiempototal
Rapidezpromedio
Rapidez instantánea: La rapidez instantánea se define como la magnitud de su velocidad. La
rapidez instantánea no tiene dirección, y por lo tanto no tiene signo algebraico.
_
Aceleración media: a , se define como el cambio en la velocidad en la unidad de tiempo:
_
V
t
a
V2 V1
t 2 t1
m cm ft
,
,
s2 s2 s2
v(m/s))
v2
_
a
V
t
V2
t2
V1
t1
,
∆v
La aceleración media en la gráfica
representa la pendiente de la línea
recta que une dos puntos que pasan
por la curvatura.
∆t
v1
t1
t2
t(s)
Aceleración Instantánea a : Es la velocidad en cualquier instante de tiempo y se define como:
a
lim
t
0
V
t
dV
es decir, la aceleración instantánea es igual a la derivada de la velocidad
dt
respecto al tiempo.
EJEMPLO:
El movimiento de una partícula esta descrito por la siguiente ecuación x
en [m] y [t] está en s. A partir de ella encuentre:
3t 2 t 2 , donde x esta
a. El desplazamiento resultante de la partícula en el intervalo de tiempo de t= 0 s a t = 2 s.
xt
xt
X
0
2
3(0) 2
3(2)
X2
2
(0) 2
2m
(2) 2 12 m
X 1 12 m
2m
14 m
b. La velocidad media en el mismo intervalo
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_
V
X
t
X 2 X1
t 2 t1
12 m
2s
2m
0s
14m
2s
7
m
s
c. La velocidad instantánea cuando t= 1.5 s
_
V
lim
t
X
t
0
d (3t 3 t 2)
dt
dX
dt
6t 1
m
s
6(1.5) 1 10
m
s
d. La aceleración media en el intervalo de tiempo de t= 0 s a t = 2 s
_
a
V
V(t
V(t
_
a
V2 V1
t 2 t1
V
t
V(t
2)
V(t
t( t
2)
t (t
0)
m
s
6t 1
2) 6(2) 1 13
0) 6(0) 1 1
V
t
0)
m
s
2s
12
6
m
s
v V(t
m
s
2)
_ V(t
0)
13
m
s
1
m
s
12
m
s
m
s2
e. La aceleración instantánea en t= 1.5 s
a
lim
t
0
V
t
dV
dt
d (6t 1)
dt
6
m
s2
MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN
1. Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
Una partícula que se mueve con movimiento rectilíneo uniforme, se mueve en una línea recta y
con una velocidad constante, lo cual significa que la aceleración es igual a 0.
De la definición de velocidad media despejamos x2 para expresar la ecuación de la posición como
_
función del tiempo
V
X
t
X 2 X1
t2 t1
Consideramos V constante entonces la expresamos como simplemente V y al despejar X2,
tenemos:
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X2
X 1 V (t2 t1 ) Donde x está en [m] y t está en [s]
Esta ecuación es la ecuación de una línea recta donde V representa la pendiente de la línea recta
que pasa por dos puntos de la curva. (Grafica de la posición como función del tiempo)
X[m]
X2
m=pendiente=V
X
X1
t
t2
X2
X1
t1
t[s]
La grafica de la velocidad Vs Tiempo es una línea constante
V[m/s]
V
V(Constante)
t[s]
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA) ( en el eje horizontal)
La característica principal de un movimiento uniformemente acelerado es que la aceleración es
constante (diferente a 0), es decir, la partícula se mueve con velocidad variable, pero la velocidad
cambia de tal manera, que la aceleración permanece constante, las ecuaciones más importantes
del movimiento son:
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1. La de la velocidad como función del tiempo que se obtiene del concepto de aceleración
media, pero ahora considerando que la aceleración es constante la ecuación quedaría::
V2 V1
si se despeja la velocidad final V2 entonces se tiene:
t 2 t1
V2 V1 a(t2 t1 ) (1)
a
2. La de la posición como función del tiempo que la podemos obtener de la definición de
_
X
t
velocidad media V
X2
t2
X1
t1
_
_
Donde consideramos a la velocidad media ( v ) como una velocidad promedio V
Reemplazamos en la
ecuación de velocidad media y obtenemos
despejar X2 queda, X 2
X1
V2 V1
2
V2 V1
2 (1.1)
X 2 X1
(1.2), al
t 2 t1
V2 V1
donde al reemplazar la ecuación (1) que se
(t2 t1 )
2
(1.3)
obtuvo para la velocidad final se tiene la ecuación de la posición como función del tiempo para el
movimiento uniformemente acelerado
X2
X 1 V1 (t2 t1 ) 1 a(t2 t1 ) 2 .(2)
2
3. Por último la ecuación para la velocidad final como función de la posición que se obtiene
de la misma definición de velocidad media
_
X
t
V
V2
V1
2
X2
X1
X2
t2
X2
t2
X1
t1
se reemplaza (1.2) en esta ecuación y se obtiene
X1
(1.4)
t1
V2
V1
2
(t 2
t1 )(1.5)
pero ahora de la primera ecuación (1) se despeja (t2-t1) y se reemplaza en esta última y se
obtiene:
X2
V2
2
X1
V2 V1 V2 V1
2
a
(1.6) al despejar V2 se obtiene:
2
V1
2a( X 2
X1 ) (3) que es la ecuación de la velocidad como función de la posición-
En resumen las tres ecuaciones más importantes del movimiento uniformemente acelerado son:
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V2 V1 a(t2 t1 ) (1)
X2
V2
2
X 1 V1 (t2 t1 ) 1 a(t2 t1 ) 2 .(2)
2
2
V1
2a( X 2
X1 ) (3).
Estas son las gráficas características de este movimiento:
Posición vs tiempo (ecuación 2)
La grafica de la ecuación (2)
corresponde a una parábola
que abre hacia arriba
X[m)
V[m/s]
V
V(Constante)
t[s]
/s]
X1
Velocidad vs tiempo
t[s]
V[m/s)
La grafica de la ecuación (1)
corresponde a una línea recta,
donde la pendiente corresponde a
la aceleración del movimiento.
X[m]
X1
m=pendiente=V
X
X1
m]
t
t2
X2
X1
t1
V2
t[s]
m=pendiente=a
V V2 V1
V1
t
t2
El área bajo la curva representa la
posición de la partícula en ese
intervalo de tiempo
t1
t[s]
Aceleración vs tiempo
a(m/s
2
))
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a
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Ejemplos:
1. Un automovilista conduce en camino recto a una rapidez constante de 15 m/s. Justo
cuando pasa frente a un policía motociclista estacionado, este empieza a acelerar a 2 m/s 2
para alcanzarlo. Su poniendo que el policía mantiene esta aceleración, calcular:
a) El tiempo que tarda el policía en alcanzarlo:
El Automovilista se mueve con Movimiento rectilíneo uniforme
X2
X 1 V (t2 t1 ) Suponemos x =0 y t =0 entonces la ecuación quedará.
1
1
X2
V (t 2 ) y X 2
15(t 2 )
Para el policía que se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
X2
X 1 V1 (t 2
t1 )
1 a(t 2
2
t1 ) 2 .
Pero como parte del reposo X1= 0 , t1=0 y V1 =0 entonces queda: X 2
X2
1 2(t2 ) 2
2
t2
1 a(t 2 ) 2
2
2
La distancia recorrida por los dos es la misma entonces se iguala las dos ecuaciones
obtenidas
X 2 15(t 2 ) y X 2 t2 2 queda 15t2 t2 2 si se despeja t2
15 t 2 el tiempo que demora el motociclista en alcanzar el auto es de 15 s .
b) El desplazamiento del policía cuando alcanza al motociclista
Si se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones para X2 se obtiene que
X2
X2
2
t2 = 152 225 m ó en la otra ecuación
15(t 2 ) 15(15) 225 m
c) La rapidez del motociclista cuando alcanza al automovilista
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como el motociclista va con M.R.U.A entonces de la ecuación V2
V2
a(t 2 )
2(15)
30
V1 a(t2 t1 )
m
s
2. La figura representa parte de la información de desempeño del auto que posee un
orgulloso estudiante
a. A partir de la gráfica determine la distancia total recorrida .
b. ¿Cuál es la distancia que el auto recorre entre los tiempos t=10 y t=40 seg.
c.. Dibuje una gráfica de su aceleración versus el tiempo t=0 y t= 50 seg.
d. Escriba una ecuación para cada fase del movimiento.
V(m/s
50
40
30
20
10
10
20
30
40
50
t(s
)
a) Se puede encontrar la distancia total recorrida hallando el área bajo la curva de cada fase
del movimiento y luego sumando todo. En el primer intervalo de tiempo de 0 a 10 s el área
bajo la curva es un triangulo. El área de del triángulo es:
A
bxh
2
10 s x50
2
m
s
250 m
En el segundo intervalo de de tiempo de 10s a 40 s el área bajo la curva es un rectángulo.
El área del rectángulo es
A bxh 30sx50
m
1500 m
s
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Y por último en el tercer intervalo de de tiempo de 40s a 50 s el área bajo la curva es un
triángulo. El área del triángulo es:
A
bxh
2
10 s x50
m
s
2
250 m
Por lo tanto el área total bajo la curva es de 250m + 1500m + 250m = 2000 m que será la
distancia total recorrida por el auto.
b) Entre los 10 s y los 40 s recorre
A bxh 30sx50
m
1500 m
s
c) La grafica de aceleración:
En el primer intervalo la aceleración es
a
V2 V1
t 2 t1
m
m
0
s
s
10s 0s
50
m
s
10s
5
m
s2
m
s
30s
0
m
s2
y
5
m
s2
50
En el segundo intervalo
a
V2 V1
t 2 t1
m
m
50
s
s
40s 10s
50
0
En el último intervalo
a
V2 V1
t2 t1
m
m
50
s
s
50s 40s
0
m
s
10s
50
Si grafica cada uno de los intervalos se obtiene lo siguiente:
a(m/s2)
5
10
-5
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20
30
40
50
t(s
)
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d) Teniendo en cuenta los datos la ecuación para lo posición de la partícula en cada fase del
movimiento será:
A) X 2
V1 =0
B) X 2
C) X 2
1 at2 2
2
1 5t2 2
2
5 t2
2 2
en el primer intervalo, recordando que X1= 0 , t1=0 y
X 1 v(t2 t1 ) 250 50(t2 10) en el segundo intervalo, porque es un M.R.U.
1750 50(t 2 40) 1 5(t 2 40) 2 Porque es un movimiento rectilíneo
2
uniformemente acelerado con aceleración negativa (movimiento desacelerado)
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (en el eje vertical)
Caída libre
Se sabe que en ausencia de aire todos los cuerpos que caen libremente hacia la superficie de la
Tierra desde determinada altura caen con la misma aceleración, debido a la fuerza de atracción
que ejerce la Tierra sobre todos los cuerpos que están sobre o cerca a su superficie llamada la
fuerza de atracción gravitacional.
Quien demostró y originó estas ideas fue Galileo Galilei (1564-1642), según la leyenda el demostró
que al dejar caer dos cuerpos de diferente masa desde determinada altura (la Torre inclinada de
Pisa), caen al mismo tiempo. Con muchos otros experimentos el encontró que la aceleración con
la que caen los cuerpo es constante y que tiene un valor de 9.8 m/s 2 como valor absoluto y que
puede variar relativamente en todos los puntos de la superficie de la Tierra desde 9.78 m/s2 a 9.81
m/s2, dependiendo de varios factores como la densidad de masa de la tierra en el lugar, o la altura
donde nos encontremos respecto al nivel del mar. A esta aceleración la llamaremos de ahora en
adelante g o aceleración de la gravedad.
Como la aceleración es constante para un objeto que cae libremente, se considera este
movimiento como un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el eje vertical con
velocidad inicial cero (0), por lo tanto las ecuaciones que usamos son las mismas que utilizamos
anteriormente en el movimiento acelerado en el eje horizontal, cambiando la X por Y y la
aceleración a por g ó aceleración de la gravedad y a t2 lo llamaremos simplemente t.
Las ecuaciones quedan entonces así
V2
y2
V2
2
gt (1)
1 gt 2 .(2)
2
2 g ( y 2 y1 ) (3).
Lanzamiento vertical hacia arriba
Es un movimiento en el eje vertical en el cual se imprime velocidad inicial (V 1) a la partícula hacia
arriba. Es un movimiento uniformemente acelerado y por lo tanto las ecuaciones son las mismas
pero con velocidad inicial (V1). Consideramos t1=0
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La aceleración se toma negativa porque va hacia abajo pues es producida por la fuerza de
atracción gravitacional
V2
V1
y2
y1
V2
gt (1)
V1t 1 gt 2 .(2)
2
2
2
V1
2g ( y2
y1 ) (3).
En este movimiento se tiene en cuenta que lo máximo que sube la partícula es hasta cuando
pierde toda la velocidad, es decir V2= 0 por lo tanto la altura máxima quedará de la ecuación (3).
2
0 V1
2g ( y2
2 gy2
2
y1 ) si despeja Y y suponiendo Y =0 quedará entonces
2
1
2
V1
y2
V1
2g
y max
Lanzamiento vertical hacia abajo
Es un movimiento en el eje vertical en el cual se imprime velocidad inicial (V 1) a la partícula pero
hacia abajo. Es un movimiento uniformemente acelerado y por lo tanto las ecuaciones son las
mismas pero con velocidad inicial (V1). Consideramos t1=0
V2
V1
y2
y1
V2
2
gt (1)
V1t 1 gt 2 .(2)
2
2
V1
2g ( y2
y1 ) (3).
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
1. Lanzamiento de proyectiles o tiro Parabólico
Es un movimiento bidimensional pues se realiza en el plano, se considera un movimiento
rectilíneo uniforme en eje horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el eje
vertical, por lo tanto en el eje horizontal la aceleración es cero (0) y en el eje vertical la aceleración
es la aceleración de la gravedad (g).
En este movimiento no se lanza completamente horizontal, ni vertical, sino formando un ángulo ϴ
con la horizontal como indica la figura.
y(m)
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V1
Y(maX)
ϴ
x(m)
x(maX)
Teniendo en cuenta lo anterior las ecuaciones del movimiento son:
x x1 v1t cos (1)
y
y1
v1tsen
vy
v1 sen
vx
v1 cos (4)
1 2
gt (2)
2
gt (3)
A partir de estas 4 primeras ecuaciones se obtienen las siguientes incluyendo la ecuación de la
parábola
2
X max
V1 sen2
(5)
g
2
V1 sen 2
Ymax
( 6)
2g
V1 sen
ts
(7 )
g
2V1 sen
ts
(9)
g
Y
x tan
1
gx 2
2 v1 2 cos2
(9) Ecuación de la parábola
2. Movimiento Circular Uniforme
V2
ϴ
V1
El movimiento circular es un movimiento periódico pues se repite en el espacio y en el tiempo por
lo tanto se miden magnitudes como, el periodo (T), la frecuencia(f), la velocidad angular(w) y la
amplitud del movimiento(r), que para el caso del movimiento circular uniforme, es el radio de la
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trayectoria circular.
Periodo(T). Es el tiempo que la partícula se demora en realizar una vuelta. El periodo se da en
segundos en el sistema internacional o M.K.S.
T
t s
n 1
s
n es el número de vueltas
Frecuencia (f). Es el número de vueltas realizadas en la unidad de tiempo
f
n 1
t s
s
1
Hertz
Hz
Velocidad Angular (W): Es el espacio angular recorrido en la unidad de tiempo. Las unidades de
medida en el sistema internacional o M.K.S son (rad/s)
W
2
T
rad
s
En un movimiento circular Uniforme la aceleración es radial y la velocidad es tangente a la
trayectoria curvilínea.
La velocidad tangencial se le denomina también la velocidad lineal
V
Wr
rad
m
s
m
s
donde W es la velocidad angular
A la aceleración radial también se le llama aceleración centrípeta porque está dirigida hacia el
centro de la trayectoria
m2
2
V
m
s2
ac
r
m
s2
ac w 2 r
La aceración centrípeta también se puede expresar en función de la velocidad angular.
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UNIDAD 3: DINÁMICA
La dinámica es la parte de la física que estudia el movimiento de los objetos y de su respuesta a
las fuerzas. Las descripciones del movimiento comienzan con una definición cuidadosa de
magnitudes como el desplazamiento, el tiempo, la velocidad, la aceleración, la masa y la fuerza,
describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación a las causas que provocan los
cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los
factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones
de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema.
Los científicos actuales consideran que las leyes que formuló Newton dan las respuestas correctas
a la mayor parte de los problemas relativos a los cuerpos en movimiento, pero existen
excepciones. En particular, las ecuaciones para describir el movimiento no son adecuadas cuando
un cuerpo viaja a altas velocidades con respecto a la velocidad de la luz o cuando los objetos son
de tamaño extremadamente pequeños comparables a los tamaños moleculares.
La comprensión de las leyes de la dinámica clásica le ha permitido al hombre determinar el valor,
dirección y sentido de la fuerza que hay que aplicar para que se produzca un determinado
movimiento o cambio en el cuerpo. Por ejemplo, para hacer que un cohete se aleje de la Tierra,
hay que aplicar una determinada fuerza para vencer la fuerza de gravedad que lo atrae; de la
misma manera, para que un mecanismo transporte una determinada carga hay que aplicarle la
fuerza adecuada en el lugar adecuado.
Hay tres conceptos que se usan todo el tiempo en dinámica. Estos conceptos son los de fuerza,
masa y aceleración.
1. CONCEPTO DE FUERZA
Se le llama fuerza a cualquier acción o influencia capaz de
modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo, o de
producir variación en su forma es decir, de imprimirle una
aceleración modificando la velocidad, la dirección o el sentido de
su movimiento, incluso su forma física.
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TIPOS DE FUERZAS
Fuerzas Fundamentales
Fuerzas fundamentales son aquellas fuerzas del Universo que no se pueden explicar en función de
otras más básicas. Las fuerzas o interacciones fundamentales conocidas hasta ahora son cuatro:
gravitatoria, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil.
La gravitatoria es la fuerza de atracción que una masa ejerce sobre otra, y afecta a todos
los cuerpos. La gravedad es una fuerza muy débil y de un sólo sentido, pero de alcance
infinito.
La fuerza electromagnética afecta a los cuerpos eléctricamente cargados, y es la fuerza
involucrada en las transformaciones físicas y químicas de átomos y moléculas. Es mucho
más intensa que la fuerza gravitatoria, puede tener dos sentidos (atractivo y repulsivo) y su
alcance es infinito.
La fuerza o interacción nuclear fuerte es la que mantiene unidos los componentes de los
núcleos atómicos, y actúa indistintamente entre dos nucleones cualesquiera, protones o
neutrones. Su alcance es del orden de las dimensiones nucleares, pero es más intensa que
la fuerza electromagnética.
La fuerza o interacción nuclear débil es la responsable de la desintegración beta de los
neutrones; los neutrinos son sensibles únicamente a este tipo de interacción. Su intensidad
es menor que la de la fuerza electromagnética y su alcance es aún menor que el de la
interacción nuclear fuerte.
FUERZAS MECANICAS ESPECIALES
a) PESO DE UN CUERPO: El peso es la medida de la fuerza que ejerce la gravedad sobre un
cuerpo. Cerca de la superficie de la tierra, la aceleración de la gravedad es aproximadamente
constante; esto significa que el peso de un objeto material es proporcional a su masa.
Realmente, dado que la intensidad de la fuerza gravitatoria varía según la posición, en los polos es
igual a 9,83 m/s², en la línea ecuatorial es igual a 9,79 m/s² y en latitud de 45° es igual a 9.8 m/s²,
el peso depende de la ubicación. Si no se especifica lo contrario, se entiende que se trata del
peso provocado por una intensidad de la gravedad definida como normal, de valor 9,81 m/s² .Al
estado en el que un cuerpo tiene peso nulo, se le llama ingravidez.
El peso, al ser una fuerza, se mide con un
dinamómetro (báscula o romana) y su unidad en el
sistema internacional es el newton (N). El
dinamómetro está formado por un resorte con un
extremo libre y posee una escala graduada en
unidades de peso. Para saber el peso de un objeto
sólo se debe colgar del extremo libre del resorte, el
que se estirará; mientras más se estire, más pesado
es el objeto.
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A diferencia de la masa, el peso depende de la posición relativa del objeto o de su distancia a la
Tierra, y de la aceleración con que se mueve. También depende del planeta u otro cuerpo masivo
que actúa sobre el objeto. En las proximidades de la Tierra, y mientras no haya una causa que lo
impida, todos los objetos caen animados de una aceleración de la gravedad, g, por lo que están
sometidos a una fuerza constante, que es el peso.
Los objetos diferentes son atraídos por fuerzas gravitatorias de magnitud distinta. La fuerza
gravitatoria que actúa sobre un objeto de masa m se puede expresar matemáticamente por la
expresión.
P
m.g
Donde: P = peso, m = masa y g= aceleración de la gravedad (aproximadamente
2
9,8m/s )
No se debe confundir el peso con la masa ya que, según la ecuación expresada en la parte
superior, la masa es igual: m
P
g
En el uso moderno del campo de la mecánica, el peso y la masa son cantidades
fundamentalmente diferentes: la masa es una propiedad intrínseca de la materia mientras que el
peso es la fuerza que resulta de la acción de la gravedad en la materia
Ejemplos:
1. ¿Cuánto pesa un hombre que tiene una masa de 100Kg?
Variables conocidas
m= 100Kg
g = 9,8m/s2
Como P m.g , reemplazando se tiene
P
100 Kg
9 ,8m / s 2
variables desconocidas
P=?
980 N
2. ¿Cuál es la masa de un cuerpo que pesa un cuerpo que pesa 432 N?.
Variables conocidas
P= 432N
g = 9,8m/s2
Como m
P
g
432Kg.m/s 2
9,8m/s 2
variables desconocidas
m=?
44,08Kg
b) FUERZA NORMAL (N): La fuerza normal, es la fuerza ejercida por
una superficie sobre un cuerpo que se encuentra apoyado en ella, se
aprecia también como la reacción del plano o fuerza que ejerce el
plano sobre el cuerpo y depende del peso del cuerpo, la inclinación del
plano y de otras fuerzas que se ejerzan sobre el cuerpo. Supongamos
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que un bloque de masa m está en reposo sobre una superficie horizontal, las únicas fuerzas que
actúan sobre él son el peso mg y la fuerza y la fuerza normal N. De las condiciones de equilibrio se
obtiene que la fuerza normal N es igual al peso m.g.
N
m.g
Si ahora, el plano está inclinado un ángulo θ,
el bloque está en equilibrio en sentido
perpendicular al plano inclinado por lo que la
fuerza normal N es igual a la componente del
peso perpendicular al plano, N m.g. cos
c) FUERZA ELÁSTICA RECUPERADORA: La ley de Hooke
Se entiende por elasticidad a la propiedad que poseen los
cuerpos de recuperar su forma original una vez deformados
por el efecto de una fuerza externa. Todos los cuerpos en
mayor o menor grado son elásticos, dependiendo dicha
elasticidad de factores tales como la estructura molecular
interna y la fuerza exterior que se aplique. A las fuerzas de
restauración, originadas en la parte interna del material,
que tienen a regresar el cuerpo a su posición original y que
están aplicadas sobre el cuerpo que origina la deformación
se llaman Fuerzas Elásticas. Una fuerza puede deformar
un resorte, como alargarlo o acortarlo. Cuanto mayor sea la
fuerza, mayor será la deformación del resorte (Δx), en
muchos resortes, y dentro de un rango de fuerzas limitado,
es proporcional a la fuerza:
Fe
k. x
k: Constante que depende del material
y dimensiones del resorte.
Δx: Variación del resorte o estiramiento
con respecto a su longitud normal.
d) FUERZA DE ROZAMIENTO: La fuerza de rozamiento es una fuerza que aparece cuando hay
dos cuerpos en contacto y es una fuerza muy importante cuando se estudia el movimiento de los
cuerpos. Es la causante, por ejemplo, de que podamos andar (cuesta mucho más andar sobre
una superficie con poco rozamiento, hielo, por ejemplo, que por una superficie con rozamiento
como, por ejemplo, un suelo rugoso).
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Existe rozamiento incluso cuando no hay
movimiento relativo entre los dos cuerpos que
están en contacto. Hablamos entonces de Fuerza
de rozamiento estática.
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Por ejemplo, si queremos empujar un armario muy grande y hacemos una fuerza pequeña, el
armario no se moverá. Esto es debido a la fuerza de rozamiento estática que se opone al
movimiento. Si aumentamos la fuerza con laque empujamos, llegará un momento en que
superemos está fuerza de rozamiento y será entonces cuando el armario se pueda mover. Una vez
que el cuerpo empieza a moverse, hablamos de fuerza de rozamiento dinámica. Esta fuerza de
rozamiento dinámica es menor que la fuerza de rozamiento estática.
Existe rozamiento incluso cuando no hay movimiento relativo entre los dos cuerpos que están en
contacto. Hablamos entonces de Fuerza de rozamiento estática. Por ejemplo, si queremos
empujar un armario muy grande y hacemos una fuerza pequeña, el armario no se moverá. Esto es
debido a la fuerza de rozamiento estática que se opone al movimiento. Si aumentamos la fuerza
con laque empujamos, llegará un momento en que superemos está fuerza de rozamiento y será
entonces cuando el armario se pueda mover. Una vez que el cuerpo empieza a moverse,
hablamos de fuerza de rozamiento dinámica. Esta fuerza de rozamiento dinámica es menor que
la fuerza de rozamiento estática.
La experiencia nos muestra que:
la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos no depende del tamaño de la superficie de
contacto entre los dos cuerpos, pero sí depende de cuál sea la naturaleza de esa superficie
de contacto, es decir, de que materiales la formen y si es más o menos rugosa.
la magnitud de la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos en contacto es proporcional a la
.N
normal entre los dos cuerpos, es decir: Fr
Donde
es lo que conocemos como coeficiente de rozamiento.
Hay dos coeficientes de rozamiento: el estático s y el cinético k , siendo el primero mayor que el
segundo:
s
>
k
En el caso de deslizamiento en seco, cuando no existe lubricación, la fuerza de rozamiento es casi
independiente de la velocidad. La fuerza de rozamiento tampoco depende del área aparente de
contacto entre un objeto y la superficie sobre la cual se desliza. El área real de contacto (la
superficie en la que las rugosidades microscópicas del objeto y de la superficie de deslizamiento
se tocan realmente) es relativamente pequeña. Cuando un objeto se mueve por encima de la
superficie de deslizamiento, las minúsculas rugosidades del objeto y la superficie chocan entre sí,
y se necesita fuerza para hacer que se sigan moviendo. El área real de contacto depende de la
fuerza perpendicular entre el objeto y la superficie de deslizamiento. Frecuentemente, esta fuerza
no es sino el peso del objeto que se desliza. Si se empuja el objeto formando un ángulo con la
horizontal, la componente vertical de la fuerza dirigida hacia abajo se sumará al peso del objeto. La
fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza perpendicular total.
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Coeficientes de rozamiento estático y cinético
Superficies en contacto
s
Cobre sobre acero
Acero sobre acero
Aluminio sobre acero
Caucho sobre concreto
Madera sobre madera
Madera encerada sobre nieve
húmeda
Teflón sobre teflón
k
0.53
0.74
0.61
1.0
0.25-0.5
0.14
0.36
0.57
0.47
0.8
0.2
0.1
0.04
0.04
e) FUERZA DE TENSION
Es la ejercida por una cuerda considerada de masa despreciable e inextensible, sobre un cuerpo
que está ligado a ella.
f) FUERZA GRAVITATORIA
Uno de los aportes más importantes de Newton, fue la deducción
teórica de las leyes observadas experimentalmente del
movimiento de los planetas y de la Luna. Esta deducción, se
basaba en las tres leyes del movimiento y en una cuarta ley que
propuso para la fuerza gravitatoria, conocida como Ley de
Gravitación Universal. Esta ley establece que todos los objetos
del universo se atraen entre sí con una fuerza directamente
proporcional a las masas de ambos objetos e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
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Masas de los
cuerpos en kg
La expresión matemática de esta ley es:
F
G
mM
d2
Fuerza de atracción
gravitatoria.
Si
se
consideran
cuerpos
grandes
la
fuerza
apunta hacia el centro
de los mismos.
Distancia entre los cuerpos en
metros. Si son cuerpos
grandes la distancia se toma
entre los centros.
Combinando la Ley de Gravitación con
F = m a, podemos deducir cuál será la
aceleración con que se mueve un
cuerpo situado en la superficie de un
planeta sometido a la acción de la
fuerza gravitatoria:
m
F
R
R
Constante de Gravitación Universal. Tiene el mismo valor
para todo el Universo.
2
Para el S.I:
G
6,67 10
Debido a la pequeñez de la constante de gravitación
la fuerza de gravedad sólo es apreciable entre
cuerpos cuya masa sea muy grande (planetas,
estrellas…)
El peso de un cuerpo vale: P = m . g y se mide en newtons (N)
Para la Tierra g = 10 m/s
Para Marte
ma ; F
ma G
Nm
kg 2
Llamamos peso a la fuerza con que los cuerpos son
atraídos por la Tierra (u otro planeta)
M
F
11
mM
R2
G
; a
mM
R2
g G
M
R2
2
g = 3,7 m/s
2
Diferencia claramente entre masa y peso. La masa es una
propiedad del cuerpo; el peso, depende del valor de g. Como
éste es distinto para cada planeta el peso de un cuerpo, o
fuerza con que es atraído, varía de un planeta a otro. Un
cuerpo de 1 kg de masa tendría la misma masa aquí y en
Marte, pero su peso sería de 10 N en la Tierra y de 3,7 N en
Marte. Marte lo atrae más débilmente.
Los conceptos de masa y peso se confunden en el lenguaje
normal.
Observa que el valor de la aceleración, no
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depende de la masa del cuerpo, sino de
datos propios del planeta que consideremos
tales como su masa y su radio.
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Ejemplo1.
Calcular la fuerza con que se atraen dos masas de 100 y 1000 kg. situadas a una distancia
de 20 m.
Solución:
F
mM
G 2
d
6,67 10
11
Nm
kg
2
100 kg 1000 kg
2
2
20 m
1,67 10 8 N
2
Como se puede observar debido a la pequeñez de la constante de gravitación, la
fuerza de atracción es muy débil, prácticamente inapreciable.
Ejemplo2.
Calcular la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo de 50 kg. situado en su superficie.
Datos: MTierra= 6 10 24 Kg ; RTierra = 6400 km
Solución:
m
F
R
R
Como se puede apreciar en la figura, siempre
que la altura a la que se encuentre el cuerpo
sea despreciable frente al valor del radio de la
Tierra, se puede tomar d = RTierra
M
F
mM
G 2
R
6,67 10
11
Nm
kg
2
2
50 kg 6 1024 kg
488,5 N
(6,4 106 )2 m 2
En este caso, y debido a que la masa de la Tierra es muy grande, la fuerza de atracción es
considerable. Observar que, en realidad, la ecuación que da el valor de la fuerza de
gravedad se puede escribir separando la masa del cuerpo de los datos propios del planeta
(en este caso la Tierra) de esta manera:
F m G
M
R2
50 kg 6,67 10
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11
Nm
kg
2
2
6 1024 kg
6 2
(6,4 10 ) m
2
50 kg 9,8
m
s2
488,5 N
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El término encerrado entre paréntesis, tiene un valor fijo e igual a 9,8 m/s2, que es el valor
de la aceleración de la gravedad o, también llamado, valor del campo gravitatorio.
De aquí que la fuerza con que un cuerpo es atraído por la Tierra (u otro planeta), peso,
puede escribirse de forma más sencilla: P = m g, donde g es el valor de la aceleración de la
gravedad:
g
G
M
R2
A partir de esta ecuación podemos calcular el valor de g para cualquier cuerpo
celeste si conocemos sus datos. Por ejemplo para Marte:
R Marte= 3400 km
MMarte = 6,5 10 23 g
Marte
M
G 2
R
6,67 10
11
Nm
kg
2
2
6,5 1023 kg
(3,4 106 )2 m
2
3,5
m
s2
2. MASA
La masa, en física, es la medida de la inercia, que únicamente para algunos casos puede
entenderse como la magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un cuerpo. La unidad de
masa, en el Sistema Internacional de Unidades es el kilogramo (kg). Es una cantidad escalar y no
debe confundirse con el peso, que es una cantidad vectorial que representa una fuerza. Ya que
este último varía de un lugar a otro del espacio según el campo de gravedad en el que se
encuentra inmerso. Por ejemplo el peso de un cuerpo en la Luna es apenas 1/6 con respecto al
del mismo cuerpo situado en la superficie terrestre mientras la masa del propio cuerpo permanece
idéntica en cualquier lugar. La masa es por lo tanto una magnitud invariable, que no depende de
ningún modo de la situación física en la que se encuentra el cuerpo.
3. ACELERACIÓN
La aceleración es una cantidad que me dice qué tan
rápido está aumentando o disminuyendo la velocidad de
un cuerpo. Digamos que si un objeto tiene una
aceleración de 10 m/s 2, eso querrá decir que su
velocidad aumenta en 10 m /s por cada segundo que
pasa. (Es decir, si al principio su velocidad es cero,
después de un segundo será de 10 m/s, después de 2
seg será de 20 m/s, etc.).
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
Las leyes fundamentales de la mecánica, que rigen los fenómenos del mundo macroscópico
fueron enunciadas por Isaac Newton (1643-1727) en el año 1687 con la publicación de su libro
Philosophiae naturalis principia matemática, marcando la culminación de una de las
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revoluciones científicas más grandes de la historia de la Física.
1º Principio: PRINCIPIO DE INERCIA
"Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme a menos que alguna
fuerza actúe sobre él y lo obligue a cambiar de estado".
Es decir, si un objeto se viene moviendo con MRU, va a seguir moviéndose con MRU a menos que
sobre el actúe una fuerza.
Para entender esto imagínate que vienes empujando un carrito de compras y de golpe lo soltaste.
Si no hay rozamiento, el carrito va a seguir por inercia.
La forma matemática de escribir la primera ley es:
Si F = 0 → a = 0 ( V = cte )
1ra LEY
En otras palabras, si un objeto está en reposo, seguirá indefinidamente en ese estado excepto que
alguna fuerza actúe sobre él para ponerlo en movimiento. De la misma manera, un objeto en
movimiento libre de fricción, seguirá en esa condición a menos que actúe una fuerza externa que
modifique su estado de movimiento. La masa de un cuerpo, es una medida de su inercia: cuanto
más masa tiene un objeto, más inercia tiene. Basta con probar patear una lata de gaseosa vacía y
una piedra. ¿Cuál de las dos se moverá más rápido?. Dentro de este concepto podemos
distinguir dos tipos de inercia:
Inercia del reposo: un cuerpo en reposo permanece quieto si ninguna fuerza actúa
sobre él.
Inercia del movimiento: un cuerpo en movimiento rectilíneo uniforme permanece en
movimiento si ninguna fuerza actúa sobre él.
Ambos tipos de inercia dependen de la masa del objeto, denominada masa inercial que es una
medida de la cantidad de materia que tiene el objeto.
Recordemos que cuando definimos movimiento en el módulo anterior, siempre lo hacíamos
respecto de un sistema de referencia: un objeto se mueve respecto de algo. El principio de inercia
es válido para sistemas de referencia que no están acelerados, denominados sistemas inerciales.
2º Principio: PRINCIPIO DE MASA.
'Todo cuerpo sometido a la acción de una fuerza, recibe una aceleración proporcional a su
intensidad y de la misma dirección y sentido'
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F = m.a
Imaginemos una caja de 50 kg (masa) en reposo sobre el piso, libre de rozamiento: ¿Qué fuerza
deberíamos aplicar para ponerla en movimiento a razón de 2 m/seg 2?
F
50 Kg
De acuerdo con el segundo principio, la fuerza necesaria sería:
F = m . a = 50 kg . 2 m/seg2 = 100 kg.m/seg2 = 100 Newton ( 100 N )
Veamos cuáles son las unidades de fuerza, masa y aceleración en los tres sistemas:
Sistema
Técnico
Masa
u.t.(m)
Aceleración
m/seg2
2
M.K.S.
Kg
m/seg
C.G.S.
gr
cm/seg2
Unidad de
Fuerza
Masa x aceleración
u.t.(m).m/seg2
Kg.m/seg
2
gr.cm/seg2
Kg
Newton (N)
Dina (Dyn)
1 Kgf = 9,8 Newtons
3º Principio: PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN
'Cuando un cuerpo ejerce una fuerza, denominada acción, sobre otro cuerpo, éste ejerce sobre
el primero una fuerza igual y de sentido contrario denominada reacción.
Imaginemos el siguiente dispositivo: un carrito en cuyas paredes opuestas se colocan dos imanes
de diferente poder con sus polos iguales enfrentados como muestra la figura:
¿Se moverá el carrito?
La respuesta es no. ¿Por qué?. Si representamos las fuerzas de repulsión que ejercen
mutuamente los imanes, veremos que son iguales y de sentido contrario:
Como ambas fuerzas están aplicadas a objetos distintos, unidos entre sí por el carrito, la resultante
del sistema sobre éste es nula.
Veamos un ejemplo más simple que nos permitirá individualizar mejor este par de fuerzas de
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interacción llamas acción y reacción: cuando ejercemos fuerza con la mano sobre una pared, ¿Por
qué la pared no se mueve?, la respuesta la tiene la Tercera Ley de Newton: porque la pared ejerce
sobre la mano una fuerza igual y contraria sobre la mano, llamada reacción.
Si alguna vez disparaste un rifle de aire comprimido, habrás notado que al efectuar el disparo, el
rifle retrocede: la fuerza que el rifle ejerce sobre el balín de plomo (acción) es exactamente igual a
la fuerza que ejerce este último sobre el rifle (reacción). Entonces: ¿por qué el rifle no se acelera
con la misma intensidad que la bala?, piensen en la segunda ley de Newton y encontrarán la
respuesta.
“Es importante recordar que ambas fuerzas, acción y reacción, actúan sobre cuerpos
diferentes.”
Estos principios enunciados por Newton significaron un avance muy importante en la comprensión
del mundo natural y ejercieron una gran influencia sobre la ciencia y la manera de entenderla.
Durante dos siglos, las leyes de Newton del movimiento fueron la base de la mecánica. En el siglo
XX, los fenómenos del mundo microscópico demostraron que estas leyes no podían explicar el
comportamiento atómico. Surge así una barrera muy importante entre la física clásica (o física
newtoniana) y la física cuántica del siglo XX.
No obstante esto, los principios de Newton son un marco fundamental para la interpretación de los
fenómenos macroscópicos del mundo que nos rodea.
Ejemplo:
Una persona desea patear una pelota de plomo que pesa 10 Kgf. ¿ En donde le va a doler más el
pie ? :
a) - En la Tierra. ( P = 10 Kgf )
b) - En la Luna. ( P = 1,66 Kgf )
b) - En una nave espacial donde la pelota no pesa nada.
Patear una pelota significa acelerarla hasta que adquiera una
determinada velocidad. En los tres casos el pie le va a doler lo
mismo. Lo que importa es la masa del objeto, no su peso.
Los objetos solo tienen peso en la Tierra o en los planetas. Pero la
masa es la cantidad de materia que tiene el cuerpo. Siempre tiene la
misma cantidad de partículas.
El dolor que la persona siente depende de la masa de lo que quiera
patear, y la masa de un cuerpo no depende de en qué lugar del
universo esté.
EJERCICIOS RESUELTOS
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II-2011
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1. Un cuerpo de m = 250 g es empujado hacia la derecha con una fuerza de 1,5 N. Si el coeficiente
de rozamiento entre el cuerpo y el plano es de 0,4. Calcular:
a) El valor de la fuerza de rozamiento.
b) La aceleración con que se mueve.
c) El valor de la fuerza con que se debe empujar si se quiere que deslice con velocidad
constante de 1 m/s
N
Solución:
a) Diagrama de fuerzas actuantes: Froz
F
P
Eje Y : N – P = 0 ; N = P = m g
Cálculo de la fuerza de rozamiento: F roz =
N
m g = 0,4 . 0,250 kg . 10 m/s2 = 1
N=
1,5 1 N
F Froz
2 m / s2
m
0,250 kg
c) Según la primera ley de Newton para que un cuerpo se mueva con velocidad constante
la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él debe de ser nula:
b) Eje X : F – F roz = m a ; a
La resultante de las que actúan según el eje Y es nula ya que : : N – P = 0
Para que sea nula la de las que actúan según el eje X habrá de cumplirse: F – Froz
= 0. Por tanto: F = Froz = 1 N. La fuerza deberá equilibrar a la fuerza de
rozamiento.
Para lograr que la velocidad se mantenga invariable en 1 m/s se comunicaría esa
velocidad al cuerpo y entonces se haría F = 1 N.
2. Si el coeficiente de rozamiento es el mismo en los dos casos:
a) ¿Para cuál de los cuerpos será mayor la fuerza de rozamiento?
b) ¿Cuál frenará antes?
N
Froz
N=
m = 0,5 kg
Froz
P
a) Froz =
N
m = 1 kg
m g ; Froz =
P
mg
Como la fuerza de rozamiento depende del valor de la masa, será doble para el
cuerpo de 1 kg.
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b) Calculemos la aceleración de frenada (debida a la fuerza de rozamiento)
Froz = m a ;
N=ma ;
mg=ma; a=
g
Como se observa en la ecuación deducida, la aceleración de frenada es independiente de la masa,
luego ambos cuerpos tardarán lo mismo en frenar (y recorrerán la misma distancia)
3. Un ascensor que sube acelerando a razón de 0,5 m/s2 lleva, apoyada en el piso, una caja que
pesa 200 N ¿ que fuerzas actúan sobre la caja? ¿Cuánto valen cada
una?
Este tipo de problemas, conviene, para resolverlos realizar un diagrama
de fuerzas, esto es:
F
c
a
Aquí visualizamos las fuerzas que están actuando sobre el cuerpo:
Estas son: el peso P (la fuerza con que la tierra lo atrae) y la fuerza de
contacto que el piso del ascensor ejerce sobre el cuerpo Fc.
De acuerdo con la ecuación de Newton y considerando positivas a
todas las fuerzas que acompañan al movimiento, en este caso hacia arriba:
P
Fc – P = m . a
Despejando:
Fc = m . a + P
Para calcularlo debemos conocer la masa del cuerpo, su peso y la aceleración:
P = 200 N
a = 0,5 m/s2
m
P
g
200 N
9,8 m/s 2
20,4 kg
Sustituyendo estos valores, tenemos:
Fc = 20,4 kg . 0,5 m/s2 + 200 N = 210, 2 N
4. - Calcular la aceleración del sistema de la figura y la tensión en la cuerda.
Datos:.
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Hacemos un diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos:
Para cada diagrama se plantea la ecuación de Newton. Ahora resolver el sistema de 2 x 2 que me
quedó. Tengo lo siguiente:
T
fROZ d
mA a
PB T
;
mB a
Ecuaciones
Ahora sumo estas 2 ecuaciones para que se vaya la tensión.
T

fROZ d
PB
T – froz d + PB – T = mA. a + mB. a
PB T
mA a
mB a
– fm
PB = a( mA + mB ). a
roz d + m
f
A
B
ROZ d
m
m
5 Kg 9 ,8 2 0 ,2 10 Kg 9 ,8 2
s
s
49
N
–
19,6
N
=
15
kg
.
a
m
m
49 Kg 2 19
15 Kg a
 ,6Kg 2
s
15 kg . a s= 29,4 kg.m/s2
15 Kg a
10 Kg
5 Kg a
m
29
 ,4 Kg
a = 1,96
m/s2
s2
Aceleración
¿ Cómo calculo ahora la tensión en la cuerda ? a 1 ,96 m s
del sistema.
Bueno, sólo tengo que reemplazar esta aceleración en cualquiera de las ecuaciones del principio y
despejar T. Por ejemplo:
PB T mB a
T PB mB a
2
T
mB g
T
T
5Kg
mB
g
m
9,8 2
s
T
mB a
a
m
1,96 2
s
39,2 N
Tensión en la cuerda
Para verificar este resultado se reemplaza la aceleración en la otra ecuación.
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5. Calcular la aceleración de los cuerpos y la tensión en la soga para el sistema de la figura. ( No
hay rozamiento).
Un inconveniente y es que no sabemos si el
sistema va para la derecha o para la izquierda. A
es más pesado que B, pero el ángulo del plano
inclinado es más pequeño, de manera que a
simplemente no se puede saber la dirección de
del desplazamiento de los cuerpos.
Tomamos un sentido arbitrario para la aceleración y vemos qué pasa. Al final, los resultados del
ejercicio dirá si la aceleración va en ese sentido o al revés. ¿ Cómo me doy cuenta de esto ?.
Rta: Por el signo. Si el resultado es de signo menos es que va al revés.
En este caso suponemos que el sistema va a la derecha
y el B baja. Los diagramas de cuerpo libre quedan así:
, es decir, que el cuerpo A sube
Diagramas de
cuerpo libre.
Las ecuaciones:
Para A:
Para B :
T
Px A
mA a
PxB T
mB a
Ecuaciones
Estas 2 ecuaciones forman un sistema de 2 por 2.
T – PA. sen 30 º = m A . a
P B. sen 45 – T = m B . a
Sumando las ecuaciones.
T – P A . sen 30 º + P B. sen 45 – T = m A . a + m B . a
Las tensiones se simplifican porque una es positiva y la otra es negativa.
Entonces :
– P A . sen 30 º + P B. sen 45 = ( m A + m B ) . a
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Despejo a :
PA
a
8Kg
a
0,5
mA
10 m s 2
0,5
8Kg
PB 0,707
mB
5Kg 10 m s 2
5Kg
m
a
m0357 2
s
a = - 0,357 2
0,707
Aceleración
del sistema
s
La aceleración dio negativa !. ¿ Qué significa eso ?. quiere decir que la aceleración va al
contrario de como se tomo inicialmente. Asumimos que iba para la derecha, pues no va para la
derecha sino para la izquierda. (Es decir, A baja y B sube).
Ahora calculo la tensión en la cuerda. Reemplazo la
ecuaciones del principio:
a
que obtuve en cualquiera de las
T – PA . Sen 30 º = m A . a
Se reemplaza la aceleración pero con el signo obtenido.. ( Es decir, negativo ). Entonces
2
reemplazo a por –0,375
T P m/s
sen: 30
m a
A
T
A
80 N 0 ,5
T
8 Kg
37 ,14 N
0 ,357
m
s2
Tensión en la cuerda
Verifico reemplazando la aceleración en la otra ecuación:
PB sen 45
T
PB. sen 45 – T = mB . a
mB a
T
PB 0 ,707
T
50 N 0 ,707
T
mB a
37 ,14 N
5 Kg
0357
(Verifica)
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m
s2
Recomendación: Toda la solución del
problema consistió en hacer los
diagramas de cuerpo libre. Una vez
que los diagramas están hechos
plantear
las ecuaciones es más
sencillo. Si un problema no sale,
revisamos el diagrama de cuerpo libre.
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UNIDAD 4: TRABAJO, POTENCIA Y ENERGIA
TRABAJO MECÁNICO
Es aquella magnitud escalar que nos indica que una o más fuerzas realizan trabajo mecánico
cuando vencen la resistencia de otro agente y lo hacen mover de un punto a otro.
Matemáticamente podemos decir: “El trabajo es igual al producto del desplazamiento por la
componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento”.
Podemos realizar trabajo mecánico con fuerza constante o con una fuerza variable (forma
integral).
Casos con fuerza constante
1. Si la fuerza es aplicada en el sentido del movimiento ( = 0°)
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2. Si la fuerza es aplicada perpendicular al movimiento ( = 90°)
3. Si la fuerza es aplicada en sentido contrario al movimiento ( = 180°)
Unidades de Trabajo
SISTEMA UNIDADES
S.I.
M.K.S.
C.G.S.
F.P.S.
F
Newton
Newton
dina
Poundal
d
metro
metro
centímetro
Pie
W
Joule (J)
Joule (J)
ergio
poundal-pie
POTENCIA
Es aquella magnitud escalar que nos indica la rapidez con la que se puede realizar trabajo.
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La potencia en términos de la velocidad está dada como:
P = F.V
Unidades de Potencia
SISTEMA UNIDADES
S.I.
M.K.S.
C.G.S.
F.P.S.
W
Joule
Joule
ergio
poundal-pie
t
segundo
segundo
segundo
segundo
P
Watt = Vatio (W)
Watt = Vatio (W)
ergio/s
poundal-pie/s
ENERGIA
La energía es una magnitud física que se muestra en múltiples manifestaciones. Definida como la
capacidad de realizar trabajo y relacionada con el calor, se percibe fundamentalmente en forma de
energía cinética, asociada al movimiento, y potencial, que depende sólo de la posición o el estado
del sistema involucrado.
Existen diferentes tipos de energía, en este capítulo nos ocuparemos sólo de la energía mecánica
(cinética y potencial).
Energía Cinética (Ek)
Es una forma de energía que depende del movimiento relativo de un cuerpo con respecto a un
sistema de referencia, será por lo tanto energía relativa.
Está definida como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa dada desde el
reposo hasta la velocidad que posee. Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el
cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su rapidez, cuando un cuerpo está en
movimiento posee energía cinética ya que al chocar contra otro puede moverlo y por lo tanto,
producir un trabajo.
Para que un cuerpo adquiera energía cinética o para ponerlo en movimiento, es necesario aplicarle
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una fuerza, cuanto mayor sea el tiempo que esté actuando dicha fuerza, mayor será la velocidad
del cuerpo y por lo tanto, su energía cinética será también mayor, otro factor que influye en la
energía cinética es la masa del cuerpo.
EK= mv2
E K = Energía cinética
m = masa
v = velocidad
Por ejemplo, en las montañas rusas la Energía Cinética es la que está representada por la masa y
la velocidad, esta energía es la que permite que un cuerpo continúe su desplazamiento, y es la
que permitirá que el tren de la montaña rusa llegue a una cima.
Por eso, podemos decir que entre más velocidad tenga un tren, mayor energía cinética conserva.
En el caso 1 se puede observar que el tren conserva mayor velocidad que el tren del caso 2, por
ello podemos decir que en el primer caso, se tiene mayor energía cinética.
Energía Potencial (Ep)
Es una forma de energía que depende de la posición de un cuerpo con respecto a un sistema de
referencia. Es decir, es aquel tipo de energía que posee un cuerpo debido a la altura a la cual se
encuentra, con respecto al plano de referencia horizontal, considerado como arbitrario. Por lo
tanto podemos afirmar que es una energía relativa.
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E p = mgh
Energía Mecánica (EM)
Es la suma de la energía cinética y la energía potencial.
E M = E K + EP
Principio de Conservación de la Energía
“La energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma”.
Conservación de la Energía Mecánica
Cuando las fuerzas que actúan en un cuerpo son conservativas, la energía mecánica del cuerpo
permanece constante.
Relación entre Trabajo y Energía
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es un vector
mientras que la masa es un escalar. Como resultado obtenemos un vector con la misma dirección
y sentido que la velocidad.
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La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que tengan la misma
velocidad, pero distinta masa. El de mayor masa, a la misma velocidad, tendrá mayor cantidad de
movimiento.
P = m.V
m = Masa
V = Velocidad (en forma vectorial)
P = Vector cantidad de movimiento
IMPULSO
El impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada. Es una
magnitud vectorial. El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en
el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por Δt,
mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que
se quiera conocer el impulso.
RELACIÓN ENTRE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
El impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento, por lo cual el
impulso también puede calcularse como:
I = ∆p
Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante un tiempo
provoca una determinada variación en la cantidad de movimiento, independientemente de su
masa:
F ∆t = ∆p
CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es una magnitud vectorial, que
se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado.
La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de
movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y
cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el
tiempo.
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Enunciando la Ley de conservación de la cantidad de movimiento dice: En cualquier sistema o
grupo de cuerpos que interactúen, la cantidad de movimiento total, antes de las acciones, es igual
a la cantidad de movimiento total luego de las acciones.
Por ejemplo si con un cuerpo de masa m 1 y velocidad v 1 se aplica una fuerza a otro cuerpo de
masa m2 y velocidad v 2, como por ejemplo, en un saque de tenis, en ese instante es aplicable el
principio de acción y reacción y tenemos que m1.v1 = m2.v2, es decir la masa de la raqueta por su
velocidad, en el momento del choque, debe ser igual a la masa de la pelota de tenis por la
velocidad que adquiere, por lo tanto:
Siendo pf la cantidad de movimiento al final del intervalo y p0 al inicio del
intervalo.
Cabe aclarar que en la práctica podemos aplicar el principio de conservación de la cantidad de
movimiento durante los choques, siempre que el tiempo que dura el impacto sea muy pequeño.
COLISIONES
Es una aceleración o desaceleración repentina causada por un impacto, por una gota de agua, una
explosión, o cualquier otro tipo de contacto directo, pero lo que lo caracteriza es la duración del
contacto que es muy corta y también es cuando se transmite la mayor cantidad de energía entre
los cuerpos.
En una colisión intervienen dos objetos que se ejercen fuerzas mutuamente. Cuando los objetos
se encuentran cerca, interaccionan fuertemente durante un intervalo breve de tiempo. La fuerzas
de éste tipo reciben el nombre de fuerzas impulsivas y se caracteriza por su acción muy intensa y
su brevedad.
Cómo las las fuerzas que se ejercen mutuamente son iguales y de sentido contrario, la cantidad de
movimiento o Momento Lineal un instante después se conserva siempre y cuando sea un sistema
aislado, como ya se había dicho antes. De hecho, según la segunda ley de Newton la fuerza es
igual a la variación del momento lineal con respecto al tiempo. Si la fuerza resultante es cero, el
momento lineal es constante. Ésta es una ley general de la Física y se cumplirá ya sea el choque
elástico o inelástico. En el caso de un choque.
Esta formula supone, en el caso especial del choque, que el momento lineal
interacción será igual al momento lineal
antes de la
posterior al choque.
Para caracterizar la elasticidad de un choque entre dos masas se define un coeficiente de
restitución.
Coeficiente de Restitución
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Es una medida del grado de conservación de la energía cinética en un choque entre partículas
clásicas.
En una colisión frontal alineada de dos esferas sólidas (como las que experimentan las bolas de
billar) las velocidades después del choque (velocidades relativas de alejamiento) están
relacionadas con las velocidades antes del choque (velocidades relativas de acercamiento), por la
expresión:
Donde "e" es precisamente el coeficiente de restitución, que toma valores entre 0 y 1. El valor 1
se da en un choque perfectamente elástico, donde se conserva tanto el momento lineal como la
energía cinética del sistema. El valor 0 se da en un choque perfectamente inelástico, donde sólo
se conserva el momento lineal, una porción de la energía cinética inicial de las partículas se
"consume" durante el choque, convirtiéndose en energía de deformación plástica y en sonido. Si
el valor de “e” está comprendido entre 0 y 1(0<e<1) se considera un choque inelástico.
Choque elástico
Se denomina choque elástico o perfectamente elástico a una colisión entre dos o más cuerpos en
la que éstos no sufren deformaciones permanentes durante el impacto. En una colisión elástica se
conservan tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema, y no hay intercambio de
masa entre los cuerpos, que se separan después del choque. Las colisiones en las que se
producen deformaciones permanentes de los cuerpos se denominan inelásticas.
Para el caso particular que ambas masas sean iguales, se desplacen según la misma recta y que
la masa chocada se encuentre inicialmente en reposo, la energía se transferirá por completo
desde la primera a la segunda, que pasa del estado de reposo al estado que tenía la masa que la
chocó.
En otros casos se dan situaciones intermedias en lo referido a las velocidades de ambas masas,
aunque siempre se conserva la energía cinética del sistema. Esto es consecuencia de que el
término "elástico" hace referencia a que no se consume energía en deformaciones plásticas, calor
u otras formas.
Los choques perfectamente elásticos son idealizaciones útiles en ciertas circunstancias, como el
estudio del movimiento de las bolas de billar, aunque en ese caso la situación es más compleja
dado que la energía cinética tiene una componente por el movimiento de traslación y otra por el
movimiento de rotación de la bola.
Velocidades de igual sentido
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Durante el choque cada cuerpo recibe una cantidad de movimiento que es igual a la velocidad
perdida por el otro. Al recuperar su forma inicial, cada uno pierde o gana respectivamente, la
cantidad de movimiento ganada o perdida en el momento del choque, la velocidad final de cada
uno será:
v1f = (v2f + v2i).m2/m1 + v1i
ó
v1f = v2f + v2i - v1i
Velocidades de distinto sentido
Las dos partículas chocan de frente y luego se alejan del lugar de la colisión con diferentes
velocidades V1F y V2F. En este caso los cuerpos literalmente rebotan, y la velocidad final de cada
uno será:
v1f = (v2f - v2i).m2/m1 + v1i
Choque inelástico
Un choque inelástico es un tipo de choque en el que la energía cinética no se conserva. Como
consecuencia, los cuerpos que colisionan pueden sufrir deformaciones y aumento de su
temperatura. En el caso ideal de un choque perfectamente inelástico entre objetos macroscópicos,
éstos permanecen unidos entre sí tras la colisión.
La principal característica de este tipo de choque es que existe una disipación de energía, ya que
tanto el trabajo realizado durante la deformación de los cuerpos como el aumento de su energía
interna se obtiene a costa de la energía cinética de los mismos antes del choque. En cualquier
caso, aunque no se conserve la energía cinética, sí se conserva el momento lineal total del
sistema.
Choque perfectamente inelástico
De un choque se dice que es "perfectamente inelástico" (o "totalmente inelástico") cuando disipa
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toda la energía cinética disponible, es decir, cuando el coeficiente de restitución ”e” vale cero. En
tal caso, los cuerpos permanecen unidos tras el choque, moviéndose solidariamente (con la misma
velocidad).
La energía cinética disponible corresponde a la que poseen los cuerpos respecto al sistema de
referencia de su centro de masa. Antes de la colisión, la mayor parte de esta energía corresponde
al objeto de menor masa. Tras la colisión, los objetos permanecen en reposo respecto al centro de
masa del sistema de partículas. La disminución de energía se corresponde con un aumento en
otra(s) forma(s) de energía, de tal forma que el principio de conservación de la energía se cumple
en todo caso.
Velocidades de igual dirección y sentido.
Supongamos un cuerpo 1 de masa m1 y velocidad v 1 que se dirige a hacia el cuerpo 2 de masa m2
y velocidad v 2, siendo ambas velocidades de igual dirección y sentido. Sobre cada cuerpo actuó
en el momento del choque, el impulso que le provocó el otro cuerpo, entonces hay dos acciones
de igual intensidad y sentido contrario, en consecuencia ambas cantidades de movimiento serán
iguales y de sentido contrario. Luego del choque ambos cuerpos continúan juntos con una
velocidad final común a ambos.
La velocidad final será: m 1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f
cómo v 1f y v2f son iguales porque ambos cuerpos siguen juntos:
v1f = v2f = vf
m1.v1i + m2.v2i = (m1 + m2).vf
vf = (m1.v1i + m2.v2i)/(m1 + m2)
Velocidades de igual dirección y sentido contrario
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En este caso los cuerpos poseían velocidades de igual dirección pero de sentido contrario antes
del choque, como en el caso anterior luego del impacto continúan juntos, con una velocidad final
que estará dada por la diferencia de las cantidades de movimiento. La velocidad final será:
m1.v1i - m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f
como v 1f y v2f son iguales porque ambos cuerpos siguen juntos:
v1f = v2f = vf
m1.v1i - m2.v2i = (m1 + m2).vf
vf = (m1.v1i - m2.v2i)/(m1 + m2)
La velocidad final mantendrá la misma dirección pero tendrá el sentido de la velocidad del cuerpo
que antes del choque tenga más cantidad de movimiento.
EJERCICIOS
1. Un cuerpo de 15 kg se deja caer desde una altura de 10 metros. Calcular el trabajo realizado
por el peso del cuerpo.
W = F.e = P.h = m.g.h = 15 * 9,8 * 10 = 1470 J
2. Sobre un cuerpo de 10 kg de masa actúa una fuerza de 100N que forma un ángulo de 30º con
la horizontal que hace que se desplace 5 m. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y
el suelo es 0,2, calcular el trabajo realizado por la normal, el peso, la fuerza de rozamiento y la
fuerza aplicada sobre el cuerpo.
N
F
Fy
Fr
Fx
P
La normal y el peso son perpendiculares a la dirección del desplazamiento y, por tanto, no realizan
trabajo. La fuerza de rozamiento se opone al movimiento del cuerpo, por lo que realiza un trabajo
negativo. Para calcular la fuerza de rozamiento necesitamos conocer la normal “N”.
De la figura se deduce que N + FY=P, de donde: N=P-Fy.
Aplicando la definición de seno y coseno de un ángulo se deduce que: FY=F.sen30º y Fx=F.cos30º.
El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento será igual a:
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W=-FR e=-
N e=-
(P-Fy ) e=-
(m g-F sen30º) e=-0,2 (10 9,8-100 0,5) 5=-48 J
Sólo realiza trabajo la componente FX de la fuerza aplicada sobre el cuerpo:
W=FX e=F cos 30º e=100 0,866 5 433 J
3. Un cuerpo de 20 kg de masa que se mueve a una velocidad 2 m/s se somete a una
aceleración de 2 m/s2 durante 5 s. Calcular el trabajo efectuado sobre el cuerpo.
El trabajo efectuado sobre el cuerpo es igual a la variación que experimenta su energía cinética.
W= EC
1
m v2
2
1
m vO2
2
Conocemos todos los datos excepto la velocidad del cuerpo después de los 5 s. Utilizamos la
ecuación de un movimiento uniformemente acelerado para calcular esta velocidad:
v=v0 a t=2+2 5=12 m/s
Sustituimos los datos en la ecuación de arriba:
W= EC
1
20 122
2
1
20 22 1400 J
2
4. El conductor de un coche de 650 kg que va a 90 km/h frena y reduce su velocidad a 50 km/h.
Calcular:
a) La energía cinética inicial.
b) La energía cinética final.
c) El trabajo efectuado por los frenos.
90 km/h son 25 m/s y 50 km/h son 13,9 m/s.
1
m v02 0,5 650 252 203125 J
2
1
b) Ec= m v2 0,5 650 13,92 62793,3 J
2
140331, 7 J
d) W= E C Ec Ec0 62793,3 203125
a) Ec=
5. Se dispara una bala de 10 gr con una velocidad de 500 m/s contra un muro de 10 cm de
espesor. Si la resistencia del muro al avance de la bala es de 3000 N, calcula la velocidad de la
bala después de atravesar el muro.
El muro opone una resistencia al paso de la bala por lo que realiza un trabajo negativo:
W= EC ; -F e
1
m v2
2
1
m vO2
2
Sustituimos:
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-3000 0,1
1
0, 01 v 2
2
1
0, 01 5002
2
Despejamos “v” y calculamos y obtenemos una velocidad de 435,9 m/s.
6. Desde una altura de 10 m se deja caer un cuerpo de 5kg. Calcula su velocidad al llegar al
suelo.
Al principio, el cuerpo sólo tiene energía potencial y, a medida que va cayendo, esta se va
transformando en energía cinética. Cuando el cuerpo llega al suelo su energía cinética será igual a
la energía potencial que tenía al principio.
Em1
Em2 ; Ep1
Ec2 ; m.g.h =
1
.m.v2 ; 5 9,8 10=0,5 5 v2
2
de donde: v= 14 m/s.
7. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Determina la altura
máxima que alcanzará.
La energía mecánica inicial será igual a la energía cinética del cuerpo ya que se encuentra en el
suelo. A medida que asciende, la energía cinética se va transformándose en energía potencial. En
la altura máxima, la energía mecánica será igual a la energía potencial ya que la energía cinética
vale cero al estar el cuerpo parado.
Em1
Em2 ; Ec1
Ep2 ;
1
.m.202 =m.9,8.h ; h=20,4 m
2
8. Desde una altura de 5 metros desliza por un plano inclinado un cuerpo de 2 kg de masa que
parte del reposo. Calcula la velocidad del cuerpo cuando abandona el plano inclinado
suponiendo:
1. Qué no hay de rozamiento.
2. Qué hay rozamiento y el trabajo realizado por esta fuerza es de 15 J.
a) La energía potencial del cuerpo se transforma en energía cinética:
Em1
Em2 ; Ep1
Ec2 ; 2 9,8 5 =
1
2 v2 ;
2
v =9,9 m/s
b) Si consideramos que hay rozamiento la energía mecánica no se conserva, porque parte de esa
energía pasa al suelo y al cuerpo en forma de energía térmica. La energía mecánica final será
igual a la energía mecánica inicial menos el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.
Em1 WFr
Em2 ; Ep1 15 Ec2 ; 2 9,8 5-15 =
1
2 v2 ;
2
v =9,1 m/s
9. En una atracción de la feria se deja caer desde una altura de 20 m una vagoneta con cuatro
personas con una masa total de 400 kg. Si el rizo tiene un diámetro de 7 m y suponemos que
no hay rozamiento calcula:
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a)
b)
c)
d)
La energía mecánica de la vagoneta en el punto A.
La energía cinética de la vagoneta en el punto B.
La velocidad de la vagoneta en el punto C.
La fuerza que tiene que realizar el mecanismo de frenado de la atracción si la vagoneta se
tiene que detener en 10 m.
a) La energía mecánica en A será igual a su energía potencial:
EP
m g h= 400 9,8 20=78400 J
b) La energía cinética en B será igual a la energía potencial arriba : Ec= 78400 J
c) En el punto C la energía mecánica será igual a la suma de la energía cinética y de la
energía potencial:
EmA
EmC ; EpA = m.g.h C +
1
.m.vC2 ; 78400=400 9,8 7 0,5 400 v2 ; v=15,9 m/s
2
d) Cuando la vagoneta llega abajo, toda su energía potencial se ha transformado en energía
cinética como ya hemos visto en el apartado b).
Ec=
1
m v2 ; 78400 = 0,5 400 v 2 ; v = 19,8 m/s
2
El mecanismo de frenado de la atracción realiza un trabajo que se opone al movimiento y que hace
que la velocidad pase de 19,8 m/s a 0 m/s.
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W= EC ; -F e
1
m v2
2
1
m vO2 ; -F 10
2
1
400 02
2
1
400 19,82 ; F = 7840,8 N
2
En la ecuación anterior podíamos poner (F) en vez de (-F) y al despejar la fuerza saldría negativa.
Como ya hemos tenido en cuenta el sentido de la fuerza al poner el signo negativo en la ecuación,
al despejar F lo que obtenemos es la intensidad de la fuerza (su módulo, su valor numérico).
10. Calcular la velocidad que debe llevar un cuerpo en el punto A de la Fig 1 para que se detenga
al llegar a B,si el coeficiente de rozamiento es µ=0,2.
Bastará aplicar la conservación de la energía entre el punto de partida (A) y el de llegada (B),
teniendo en cuenta la existencia de fuerzas disipativas (Rozamiento),y tomando como origen de
energía potencial el punto de partida del móvil.El punto de llegada tiene h=10 m.
simplificando por m ,sustituyendo valores y teniendo en cuenta que
resulta: vA=17,12 m/s
11. Un bloque comienza a desplazarse con velocidad v=7 m/s sobre una superficie horizontal
rugosa. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es µ=0,3. Después de
recorrer una distancia de 2 m encuentra una rampa inclinada 40 respecto a la horizontal y con
el mismo coeficiente de rozamiento anterior. Hallar: a) Velocidad del bloque cuando alcanza la
base de la rampa b) La distancia que recorrerá sobre la rampa antes de quedar
momentáneamente en reposo.
1. Bastará aplicar la conservación de la energía entre el punto de partida A y la base de la
rampa B (Fig 2) (Sistema no conservativo debido a la fuerza de rozamiento) teniendo en
cuenta la referencia elegida para la energía potencial:
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Sustituyendo valores se obtiene para la velocidad en B:
2. Utilizando de nuevo la conservación de la energía bajo el mismo supuesto que en a
apartado anterior, ahora entre los puntos B y C, resulta:
donde puede observarse la relación
que sustituida en la anterior y para los valores
numéricos dados:
12. Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una velocidad de 40 m/s
cuando es golpeada por un bate que invierte su dirección adquiriendo una velocidad de 60
m/s, ¿qué fuerza promedio ejerció el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5 ms?
Datos: m = 0,15 kg vi = 40 m/s
t = 5 ms = 0,005 s
vf = - 60 m/s (el signo es negativo ya que cambia el sentido)
Δp = I
pf - pi = I
m.vf - m.v i = F.t
F = m.(v f - vi)/t
F = 0,15 kg.(- 60 m/s - 40 m/s)/0,005 s
F = 0,15 kg.(- 100 m/s)/0,005 s
F = - 3000 N
13. Una fuerza actúa sobre un objeto de 10 kg aumentando uniformemente desde 0 hasta 50 N
en 4 s. ¿Cuál es la velocidad final del objeto si partió del reposo?.
Datos: m = 10 kg
vi = 0 m/s
Fi = 0 N
Ff = 50 N
t=4s
Para el impulso debe usarse la fuerza media, por lo tanto:
F = (Ff + Fi)/2
F = (50 N + 0 N)/2
F = 25 N
Δp = I
pf - pi = I
m.vf - m.v i = F.t
vf = 25 N.4 s/10 kg
m.(vf - vi) = F.t
vf - vi = F.t/m
vf = F.t/m
vf = 10 m/s
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14. Una partícula A de masa mA se encuentra sujeta por medio de un resorte comprimido a la
partícula B de masa 2.mA, si la energía almacenada en el resorte es de 60 J ¿qué energía
cinética adquirirá cada partícula luego de liberarlas?.
Datos: mA
mB = 2.mA
E ci = 60 J
v Ai = v Bi = 0 m/s
Δ pi = Δ pf
p Ai + p Bi = p Af + p Bf
mA.v Ai + mB.v Bi = mA.v Af + mB.v Bf
mA.v Ai + 2.mA.v Bi = mA.v Af + 2.mA.v Bf
Como v Ai = v Bi = 0 m/s
0 = mA.v Af + 2.mA.v Bf
mA.(v Af + 2.v Bf) = 0
Δ Ec = 0
Ec i = Ec f Ec i = Ec Af + Ec Bf
Ec i = mA.vA f ²/2 + 2.mA.vB f ²/2
v Af + 2.v Bf = 0
vA f = - 2.vB f (1) pero:
Ec i = mA.v Af ²/2 + mB.vB f ²/2
Reemplazando por (1):
Ec i = mA.vA f ²/2 + 2.mA.(- vA f/2) ²/2
Ec i = mA.vA f ²/2 + mA.vA f ²/4
Ec i = 2.mA.vA f ²/4 + mA.vA f ²/4
2.Ec i = 3.mA.vA f ²/2
Pero:
mA.v Af ²/2 = Ec Af
3.Ec Af = 2.E ci
Ec i = Ec Af + Ec Bf
Ec Bf = Ec i - Ec Af
Ec Af = 2.60 J/3
Ec Af = 40 J
Ec Bf = 60 J - 40 J
Ec Bf = 20 J
15. Mediante un palo de golf se aplica a una pelota una fuerza de 242,2 N y adquiere una
velocidad de 95 m/s. Si la masa de la pelota es de 0,05 kg, ¿durante cuánto tiempo actuó el
palo sobre la pelota?.
Datos: m1 = 0,05 kg
v1 = 95 m/s
F = 242,2 N
Según la definición de impulso:
I = F.t = m.v
F.t = m1.v1
t = m1.v1/F
t = 0,05 kg.(95 m/s)/242,2 N
t = 0,0196 s
16. Una pelota de futbol de 850 g de masa adquiere una velocidad de 40 m/s mediante un
puntapié de 0,2 s de duración, ¿qué fuerza recibió la pelota?.
Datos:
m1 = 850 g = 0,85 kg
v1 = 40 m/s
t = 0,2 s
Según la definición de impulso y de la cantidad de movimiento:
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F.t = m1.v1
F = m1.v 1/t
F = 0,85 kg.(40 m/s)/0,2 s
F = 170 N
17. Dos masas idénticas chocan una contra otra y se acoplan juntas. Cuales son las velocidades
de las masas inmediatamente después del acoplamiento si:
a) Una masa en movimiento se aproxima a una estacionaria con una velocidad de 10 km/h
b) Dos masas se aproximan una a la otra con velocidades de 20 km/h hacia la derecha y 15
km/h hacia la izquierda respectivamente
c) Las dos masas se mueven en la misma dirección con velocidades de 20 km/h y 15 km/h
a) V1 = 10 km/h
m1
m2
V2= 0
m1 m2
+
mv1
+
mv1
=2
=
mv2
como la velocidad 2 es cero (0) se cancela
mv
b) V1 = 20 km/h
m1
= mv
m2
=V
v= 5 km/h
V2= 15km/h
m1 m2
-
=
mv1 - mv2
= 2mv
=V
c) V1 = 20 km/h
m1
v=
m2
+
mv1 + mv2
v=
v= 2.5 km/h
V2= 15km/h
m1 m2
=
= 2mv
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m (m1 + m2) = 2 mv
=V
v=
v= 17.5 km/h
18. Un automóvil de 1500 kg. De masa choca contra un muro, como se ve en la figura. La
Velocidad inicial Vi = - 15 m/seg y la velocidad final
VF = 2.6 m/seg
Si el choque dura 0,15 seg. ¿Encuentre el impulso debido
a este y la fuerza promedio ejercida sobre el automóvil?
Momento inicial
Pi = m Vi
Pi = 1500 * (- 15)
Pi = - 22500 kg. m/seg
Momento final
Pf = m Vf
Pf= 1500 * (-2,6)
Pf= 3900 kg. m/seg
El impulso es: I = ΔP = Pf - Pi
I = 3900 – (- 22500)
I = 3900 + 22500
I = 26400 Newton * seg
La fuerza promedio ejercida sobre el automóvil es:
Fprom =
=
Fprom = 176000 Newton
19. Una masa de 1 kg con una rapidez de 4.5 m/sg choca con una masa estacionaria de 2 kg, si la
colisión es completamente inelástica.
a) Cual es la rapidez de cada una de las masas después de la colisión.
b) Que % de Eci debe tener después de la colisión.
c) Cual es la cantidad de movimiento total después de la colisión
a) V1 = 10 km/h
m1
m2
V2= 0
m1 m2
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+
mv1
mv1
=
mv2
+
=2
= mv
mv
b) Ecf =
=V
v=
v= 1.5 km/h
* Eci
Ecf =
* Eci
Ecf = Eci
c)
como la velocidad 2 es 0 se cancela
Ecf = * 100 Eci
= mv
Ecf = 33.33 Eci
= 3 kg * 1.5 m/seg
= 4.5 kg* m/seg
20. Una pelota de 0.3 kg con una rapidez de 2 m/seg en la dirección positiva de las x tiene una
colision frontal elástica con otra pelota estacionaria de 0.7 kg localizado en X=0 ¿Cuál es la
distancia de separación de los objetos 2.5 seg después de la colisión?
Vi1 = 2 m/seg
Vi2= 0
m1= 0.3 kg
m2= 0.7 kg
V1=
V2=
Vi1
Vi1
X1 = V 1 t
X1 = - 0.8
X2 = V 2 t
X2 = 1.2
* 2.5 seg
* 2.5 seg
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* 2 m/s
V1= -0.8 m/seg
* 2 m/s
V2= 1.2 m/seg
X1 = - 2 m
X2 = 3 m
Distancia De Separación
=5m
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21. Un pez de 8 kg está nadando a 0,5 m/s hacia la derecha. Se traga otro pez de 0,25 kg que
nada hacia él a 1,5 m/s. Calcular la velocidad del pez grande inmediatamente después de
tragarse al pequeño.
m1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f
como v 1f y v2f son iguales porque ambos cuerpos siguen juntos entonces:
m1.v1i + m2.v2i = (m1 + m2).vf
vf =
vf =
VF = 0.53 m/s
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UNIDAD 4: ESTÁTICA
CONCEPTO DE ESTATICA EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS: La estática es la parte de la
mecánica que estudia, el equilibrio de los cuerpos. analiza métodos, sistemas ó procesos que
permitan la solución de los esfuerzos y deformaciones a los cuales son sometidos dichos cuerpos
u objetos.
En la estática también se estudian los materiales, las estructuras, las vigas ó todos aquellos
cuerpos que estén sometidos a esfuerzos de tracción , torsión, compresión, cortadura y flexión.
EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS: Reposo y Equilibrio
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Una partícula está en reposo cuando su velocidad es cero (0)
Una partícula está en equilibrio cuando su aceleración es cero (0)
Un cuerpo puede estar en reposo y equilibrio al mismo tiempo, pero también puede estar en
equilibrio (a =0) y velocidad constante.
TEOREMAS TIPOS DE EQUILIBRIO
1) Dos fuerzas iguales y directamente contrarias aplicada a un mismo punto ó dos puntos de un
mismo cuerpo forman un sistema en equilibrio ∑ F = 0 equivale a decir F 2 – F1 = 0
F1
F2
2) El estado de un cuerpo no se altera por que se introduzca ó se suprima en el cuerpo un sistema
de fuerzas en equilibrio
F1
F2
F3
∑F = F1 + F2+ F3+ F4 - F1’- F2’ - F3’- F4’=0
∑F = 0
F
F4’
F4
F3’
F2’
F1’
3) Una fuerza actuando sobre un cuerpo puede desplazarse a lo largo de su línea de acción sin
que se altere el efecto que produce sobre el cuerpo.
∑F = F2 – F1 = 0
F1
F2
∑F = 0
4) En todo sistema de fuerzas en equilibrio, una cualquiera de las fuerzas es igual y directamente
contraria a al resultante de las demás.
5) Cuando un cuerpo que tiene un punto fijo está sometido a una fuerza, el equilibrio requiere que
la dirección de la fuerza pase por punto fijo.
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F2
F3
F1
∑F = F1 + F2+ F3+ F? - F1’- F2’ - F3’- F?=0
∑F = 0
?
¿
F3’
F1’
F2’
TIPOS DE EQUILIBRIO
Condiciones de equilibrio: Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio, se requiere que la
sumatoria de todas las fuerzas o torques que actúan sobre él sea igual a cero. Se dice que todo
cuerpo tiene dos tipos de equilibrio, el de traslación y el de rotación.
1.- TRANSLACIONAL: Es aquel que surge en el momento en que todas las fuerzas que actúan
sobre el cuerpo se nulifican, o sea, la sumatoria de las mismas sea igual a cero.
∑Fx = 0
∑Fy = 0
2.- ROTACIONAL: Es aquel que surge en el momento en que todas las torques o momentos de
torsión que actúan sobre el cuerpo son nulos, o sea, la sumatoria de los mismos sea igual a cero.
∑Mx= 0
∑My= 0
EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS SUSPENDIDOS Y APOYADOS
Un cuerpo puede encontrarse en equilibrio en tres condiciones diferentes.
1.- Equilibrio Estable
2.- Equilibrio Inestable
3.- Equilibrio Indiferente
PAL ANC AS
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La palanca es una máquina simple que tiene como función transmitir una fuerza. Está compuesta
por una barra rígida que puede girar libremente alrededor de un punto de apoyo llamado fulcro.
Puede utilizarse para amplificar la fuerza mecánica que se aplica a un objeto, para incrementar su
velocidad o la distancia recorrida, en respuesta a la aplicación de una fuerza.
Tipos de palanca: Las palancas se dividen en tres tipos o géneros, dependiendo de la posición
relativa del fulcro (punto de apoyo) y los puntos de aplicación de las fuerzas: potencia y
resistencia. El principio de la palanca es válido indistintamente del tipo, pero el efecto y forma de
uso de cada tipo de palanca cambia considerablemente.
PALANCA DE PRIMER GÉNERO: También llamada intermóvil. Se caracteriza porque el fulcro o
punto de apoyo se sitúa entre la fuerza resistente (resistencia) y la fuerza motriz (potencia). Un
ejemplo es la balanza romana. La fuerza obtenida puede ser mayor o igual que la fuerza aplicada.
F
Q
df
dq
En este tipo de palanca la potencia puede ser menor que la resistencia, aunque a costa de
disminuir la velocidad transmitida y la distancia recorrida por la resistencia. Para que esto suceda,
dp ha de ser mayor que dr.
Cuando lo que se requiere es ampliar la velocidad transmitida a un objeto (o la distancia recorrida),
se ha de situar el fulcro más próximo a la potencia (fuerza aplicada), de manera que dp sea menor
que dr.
Ejemplos de este tipo de palanca son el balancín, las tijeras, las tenazas o los alicates. Los remos
o la catapulta (para ampliar la velocidad). En el cuerpo humano se encuentran varios ejemplos de
primer género, como el conjunto: tríceps braquial - codo - antebrazo.
PALANCA DE SEGUNDO GÉNERO: También llamada interresistente. Se caracteriza porque la
resistencia se encuentra situada entre el fulcro y la potencia.
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F
df
dq
Q
En este tipo de palanca la potencia es siempre menor que la resistencia, aunque a costa de
disminuir la velocidad transmitida y la distancia recorrida por la resistencia. Ejemplos de este tipo
de palanca son la carretilla y el cascanueces.
PALANCA DE TERCER GÉNERO: También llamada interpotente.
potencia se encuentra situada entre el fulcro y la resistencia.
Se caracteriza porque la
Q
dq
df
F
En este tipo de palanca la fuerza aplicada debe ser mayor que la fuerza obtenida. Este tipo de
palancas se utiliza cuando lo que se requiere es ampliar la velocidad transmitida a un objeto o la
distancia recorrida por él.
Ejemplo de este tipo de palanca es el quitagrapas y la pinza de cejas. En el cuerpo humano, el
conjunto: codo - bíceps braquial - antebrazo, también la articulación temporomandibular.
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