Series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales 1. Calcula

Series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales
1. Calcula los desarrollos en series de Fourier de las extensiones periódicas de las siguientes
funciones. 0 si − π < t < 0,
a) f (t) =
1 si 0 ≤ t < π
−1 si t ∈ (−π, 0)
b) f (t) =
2
si t ∈ [0, π].
1 si t ∈ (−1, 0)
c) f (t) =
t si t ∈ [0, 1).
0 si t ∈ (−1, 0)
d ) f (t) =
t si t ∈ [0, 1).
1 si t ∈ (−2, 0)
e) f (t) =
t si t ∈ [0, 1).
0 si t ∈ (−π, 0)
f ) f (t) =
1 si t ∈ [0, 2π).
g) f (t) = t2 si t ∈ (−2, 2)
h) f (t) = cost si t ∈ (0, π)
i ) f (t) = et , −π < t < π.
2. Hallar el desarrollo en senos y cosenos de las funciones:
a) f (t) = t, 0 < t < 1.
b) f (t) = t2 , 0 < t < 1.
c) f (t) = sen t, 0 < t < π.
d ) f (t) = H(t − π), 0 < t < 4π.
e) f (t) = cos 3t, 0 < t < π/2.
t
si t ∈ (0, π/2)
f ) f (t) =
π − t si t ∈ [π/2, π).
1
si t ∈ (0, 1)
g) f (t) =
−2 si t ∈ [1, 2).
3. Calcula la respuesta estacionaria del sistema
x0 + 4x = 5e(t)
en los siguientes casos:
a) e(t) = |sent|.
b) e(t) es la extensión
c) e(t) es la extensión
d ) e(t) es la extensión
e) e(t) es la extensión
de f (t) = t,
t ∈]0, 2].
de f (t) = t,
t ∈]0, 4].
de f (t) = |t|,
t ∈ [−1, 1].
de
1
si t ∈ (−2, 0)
f (t) =
−1 si t ∈ [0, 2).
periódica
periódica
periódica
periódica
4. Considera el oscilador
x00 + 0,05x0 + 16x = e(t).
1
2
Calcula aproximadamente el factor de amplificación en norma L2 a la entrada
1
si t ∈ (−2, 0)
e(t) =
−1 si t ∈ [0, 2).
extendida periódicamente a todo R. Utiliza para ello 5 términos en el desarrollo en serie de
Fourier.
5. Haz el ejercicio anterior si la entrada es la extensión periódica de
1
si t ∈ (−1/2, 0)
e(t) =
−1 si t ∈ [0, 1/2)
utilizando el número apropiado de términos para detectar las resonancias del sistema.
6. Supongamos que la intensidad I en un circuito RLC verifica la ecuación
I 00 + 0,5I 0 + 4I = e(t)
donde e(t) es el potencial externo aplicado.
a) Compara el factor de amplificación en norma L2 entre que se le aplique un potencial
e1 (t) = sen2t y la rectificación de media onda de e1 (t).
b) Haz el apartado anterior comparando ahora el potencial sinusoidal con su rectificación
de onda completa.
7. Resuelve los siguientes problemas de valores iniciales:



u = 3uxx , 0 < x < 2π

 t
a)
u(t, 0) = 0 = u(t, 2π),



 u(0, x) = e−x
0 < x < 2π.



u = uxx − u, 0 < x < 2

 t
c)
u(t, 0) = 0 = u(t, 2),



 u(0, x) = 1
0 < x < 2.



u = 10uxx , 0 < x < π,

 t
b)
ux (t, 0) = 0 = ux (t, π),



 u(0, x) = e2x 0 < x < π.



u = 4uxx − 2u, 0 < x < 5

 t
d)
u(t, 0) = 0, u(t, 5) = 0,



 u(0, x) = x
0 < x < 5.
8. Resuelve los siguientes problemas de valores iniciales para la ecuación de ondas:



utt = 3uxx , 0 < x < 2π




 u(t, 0) = 0 = u(t, 2π),
a)
 u(0, x) = e−x ,

0 < x < 2π,




 u (0, x) = 0
0 < x < 2π.
 t


utt = uxx − u, 0 < x < 2




 u(t, 0) = 0 = u(t, 2),
c)


u(0, x) = 1
0<x<2




 ut (0, x) = 2
0 < x < 2.



utt = 10uxx , 0 < x < π,




 u (t, 0) = 0 = u (t, π),
x
x
b)
 u(0, x) = 0 0 < x < π





 ut (0, x) = 1 0 < x < π.



utt = 4uxx − 2u, 0 < x < 5




 u(t, 0) = 0, u(t, 5) = 0,
d)


u(0, x) = t
0<x<5




 ut (0, x) = 0
0 < x < 5.