Tema 6.Oscilaciones de sistemas con varios grados de libertad

Tema 6. Oscilaciones de sistemas con varios
grados de libertad
Primera parte: Sistema de dos masas y un muelle
1. Ecuaciones del movimiento
• Nuestro sistema está formado por dos masas, en general diferentes, m1 y m2 ,
unidas por un muelle de constante recuperadora k y longitud en reposo L0 .
Definimos sus posiciones a través de las coordenadas x1 y x2 referidas a un sistema
de ejes fijos, no estando definidas respecto al punto de equilibrio como se realizaba
hasta ahora. Las ecuaciones del movimiento son
d 2 x1
m1 2 = −k ( x1 − x2 − L0 ) + F1
dt
d 2 x2
m2 2 = k ( x1 − x2 − L0 ) + F2
dt
donde F1 , F2 son las fuerzas exteriores que actúan sobre cada una de las masas.
• Vamos a suponer que el campo exterior es constante, es decir, la aceleración
producida por la fuerza exterior es la misma para cada masa
F1 F2
=
=g
m1 m2
Entonces, el movimiento del centro de masa del sistema y el movimiento relativo de
las masas quedan desligados entre sí, y pueden estudiarse independientemente. El
movimiento del sistema será la suma de los movimientos del centro de masa y
relativo.
2. Movimiento del centro de masa
• La posición del centro de masa es
m x + m2 x 2
xcm = 1 1
m1 + m2
y satisface la ecuación del movimiento
d 2 xcm
1  d 2 x1
d 2 x2
=
m
+
m
 1 2
2
m1 + m2 
dt 2
dt
dt 2

=

1
1
( F1 + F2 ) =
( m1g + m2 g ) = g
m1 + m2
m1 + m2
Es decir, el centro de masa se mueve bajo la acción exclusiva del campo exterior. No
se ve influido por la fuerza elástica del muelle.
=
• Integrando esta ecuación obtenemos la velocidad del centro de masa
Vcm = Vcm,0 + gt
y su posición
1
xcm = xcm,0 + Vcm,0t + gt 2
2
una vez conocidos los datos iniciales de velocidad y posición
m x + m2 x2,0
xcm,0 = 1 1,0
m1 + m2
mV + m2V2,0
Vcm,0 = 1 1,0
m1 + m2
• Como el campo exterior es conservativo, la energía del centro de masa se
conserva en el tiempo, definida por la suma de la energía cinética del centro de masa
y de su energía potencial
1
2
Ecm = ( m1 + m2 )Vcm
− ( m1 + m2 ) gxcm
2
tomando como referencia de la energía potencial el origen de coordenadas.
3. Movimiento relativo
• La posición relativa de las masas queda definida por la coordenada x
x = x1 − x2
y satisface la ecuación del movimiento
 k
d 2 x d 2 x1 d 2 x2
k 
=
− 2 = − +
 ( x1 − x2 − L0 )
2
2
dt
dt
dt
 m1 m2 
k
( x − L0 )
µ
donde µ es la masa reducida del sistema, definida por
1
1
1
=
+
µ m1 m2
=−
• La solución general del movimiento relativo es un MAS
x = L0 + A cos (ω 0t + φ )
de frecuencia de oscilación
k
µ
amplitud A y fase inicial φ , que quedan definidos por las condiciones iniciales
x0 = x1,0 − x2,0 = L0 + A cos φ
y
 dx 
  = V1,0 − V2,0 = − Aω 0 sin φ
 dt 0
ω0 =
de donde se obtiene fácilmente
A = ( x1,0 − x2,0 − L0 )
2
2
V −V 
+  1,0 2,0 
 ω0

2
y
φ = arccos
x1,0 − x2,0 − L0
A
• Como todo MAS, el movimiento relativo conserva su energía, suma de la
energía cinética relativa y energía potencial elástica
2
1  dx  1
1
2
E = µ   + k ( x − L0 ) = kA2
2  dt  2
2
4. Conclusión
• Para estudiar un sistema de dos masas y un muelle en un campo exterior
constante, lo más conveniente es dividir el movimiento en dos contribuciones que
conservan la energía por separado, el movimiento del centro de masa en el campo
exterior constante (movimiento uniformemente acelerado) y el movimiento relativo
sobre el que actúa sólo la fuerza elástica (MAS). Una vez hecho esto, el movimiento
general del sistema se obtiene como suma de estos dos de la forma siguiente.
Tenemos que despejar las coordenadas x1 y x2 de las definiciones de centro de masa
y posición relativa
( m1 + m2 ) xcm = m1 x1 + m2 x2
x = x1 − x2
resultando para la posición de la masa m1
x1 = xcm +
m2
x
m1 + m2
x2 = xcm −
m1
x
m1 + m2
y para la posición de la masa m2
• Por último, introduciendo la dependencia temporal para xcm y x obtenemos
x1 = xcm ,0 + Vcm,0t +
1 2
m2
gt +
( L + A cos (ω0t + φ ) )
2
m1 + m2 0
x2 = xcm,0 + Vcm,0t +
1 2
m1
gt −
( L + A cos (ω0t + φ ) )
2
m1 + m2 0
y
Problemas Resueltos
7.1
Un muelle ideal de masa despreciable, constante recuperadora k y
longitud natural L0 unido en sus extremos a dos masas puntuales m y M , se
encuentra suspendido del techo por el extremo de la masa m . En el instante
t = 0 , se suelta la masa m de forma que el sistema cae por acción de la
gravedad permaneciendo siempre el muelle en posición vertical.
a) Escribir las ecuaciones del movimiento de cada una de las masas, la
ecuación de movimiento del centro de masa, y la ecuación que describe
la variación temporal de la elongación del muelle
b) Calcular la frecuencia de oscilación del sistema
c) Resolver las ecuaciones para las posiciones de las masas
t=0
t >0
m
m
x2
k
k
M
M
x1
• Tomamos un sistema de referencia ligado al techo, siendo x1 y x2 las
posiciones de las masas M y m respecto al techo. Así, la gravedad actúa en la
dirección del movimiento y se toma con signo positivo. Las ecuaciones del
movimiento son
d 2 x1
M 2 = −k ( x1 − x2 − L0 ) + Mg
dt
d 2 x2
m 2 = k ( x1 − x2 − L0 ) + mg
dt
de donde obtenemos, de acuerdo con lo expuesto en la parte teórica, la ecuación para
el movimiento del centro de masa
d 2 xcm
1  d 2 x1
d 2 x2 
=
+m 2 
M
dt 2
m+M 
dt 2
dt 
1
=
( mg + Mg ) = g
m+ M
con la solución ya conocida
1
xcm = xcm,0 + Vcm,0t + gt 2
2
una vez conocidos los datos iniciales de velocidad y posición
xcm,0 =
Vcm,0 =
Mx1,0 + mx2,0
M +m
MV1,0 + mV2,0
M +m
• La ecuación de movimiento para la elongación del muelle
x = x1 − x2
está dada por
d 2 x d 2 x1 d 2 x2
k
k
 k
=
− 2 = −  +  ( x1 − x2 − L0 ) = − ( x − L0 )
2
2
µ
dt
dt
dt
 M m
donde µ es la masa reducida del sistema, definida por
1 1 1
=
+
µ M m
con la solución conocida
x = L0 + A cos (ω 0t + φ )
siendo ω 0 la frecuencia de oscilación de las masas respecto del centro de masa, dada
por la expresión
k
k
k
ω0 =
=
+
µ
M m
Además, la amplitud A y fase inicial φ están relacionadas con los datos iniciales en
la forma
A = ( x1,0 − x2,0 − L0 )
2
2
V −V 
+  1,0 2,0 
 ω0

2
y
φ = arccos
x1,0 − x2,0 − L0
A
• Las posiciones de las masas pueden expresarse en función de la coordenada
del centro de masa y de la coordenada de la posición relativa, a través de las
ecuaciones
m
x1 = xcm +
x
M +m
y
M
x2 = xcm −
x
M +m
Introduciendo las soluciones temporales halladas anteriormente para xcm y x ,
obtenemos la solución del sistema
1
m
x1 = xcm ,0 + Vcm,0t + gt 2 +
( L0 + A cos (ω0t + φ ) )
2
M +m
y
1
M
x2 = xcm,0 + Vcm,0t + gt 2 −
( L0 + A cos (ω0t + φ ) )
2
M +m
Sólo nos falta calcular cuáles son las condiciones iniciales para las posiciones de las
dos masas, y el problema quedará resuelto.
• Inicialmente, la masa m está en reposo unida al techo, por lo cual
x2,0 = 0
V2,0 = 0
y la masa M se encuentra en equilibrio en el otro extremo del muelle. Es decir, la
fuerza elástica debe contrarrestar inicialmente su peso:
k ( x1,0 − L0 ) = Mg
con lo cual
Mg
x1,0 = L0 +
k
V1,0 = 0
• De aquí, obtenemos
M 
Mg 
 L0 +

M +m
k 
=0
xcm,0 =
Vcm,0
y
Mg
k
φ = arccos1 = 0º
A=
• Por tanto, las posiciones de las masas en el instante t arbitrario están dadas
por sus coordenadas de posición respecto del techo
M 
Mg  1 2
m 
Mg

x1 =
cos ω 0t 
 L0 +
 + gt +
 L0 +
M +m
k  2
M +m
k

= L0 +
µg  M
 1 2
 + cosω 0t  + gt
k m
 2
y
M 
Mg  1 2
M 
Mg

cosω 0t 
 L0 +
 + gt −
 L0 +
M + m
k  2
M +m
k

µg M
1
=
(1 − cosω0t ) + gt 2
k m
2
x2 =
Dos masas m1 = 3m / 4 y m2 = m unidas por un muelle de constante
elástica k se encuentran en equilibrio y reposo sobre un suelo horizontal. Se
lanza una masa m3 = m / 4 con velocidad V0 en la dirección del eje que une las
masas de manera que choca con m1 y se adhiere a ella. Despreciando el
rozamiento, calcular la amplitud y el período con que oscilan las masas después
del choque.
7.2
• En el choque se conserva el momento lineal, pero no la energía cinética. Sin
embargo, la energía cinética incidente se transforma en energía cinética del sistema
(energía cinética del centro de masa) y en energía interna (energía elástica
almacenada por el muelle). Por tanto, después del choque, el sistema se moverá con
una velocidad del centro de masa Vcm y oscilará en torno al centro de masa con una
amplitud A , debiéndose satisfacer la ley de conservación del momento lineal
1
3
1

mV0 =  m + m + m Vcm
4
4
4

y la ley de conservación de la energía del sistema
11
11
3
 2 1 2
mV02 =  m + m + m Vcm
+ kA
24
24
4
2

Obtenemos
V
Vcm = 0
8
7 m
A=
V0
32 k
• Por último, de la teoría general, sabemos que la frecuencia de oscilación de un
sistema de dos masas y un muelle está dada por
k
ω0 =
µ
siendo µ la masa reducida del sistema
1 1 1 2
= + =
µ m m m
con lo cual
2k
ω0 =
m
y el período del movimiento de oscilación respecto del centro de masa es
2π
2m
T=
=π
ω0
k
Dos masas m 1 = m y m2 = 2m , unidas por un muelle de constante elástica
k pueden deslizar sin rozamiento por un plano horizontal estando la masa m2
apoyada sobre una pared vertical. Manteniendo la masa m2 apoyada contra la
pared vertical se desplaza la masa m1 hasta que el muelle se comprime una
distancia d . Si desde esta posición se libera al sistema, calcular
a) La distancia que se ha desplazado la masa m1 cuando la masa m2 se
empieza a mover
b) La velocidad del centro de masa a partir de ese instante
c) La amplitud de oscilación de la posición relativa de las masas a partir de
ese instante
7.3
• En el instante inicial el muelle está comprimido y la fuerza elástica creada
tiende a separar las dos masas. La masa m1 se aleja de la pared, y sobre la masa m2
actúa la normal en la pared, compensando la fuerza elástica de forma que m2 se
mantenga apoyada contra la pared. Una vez que la masa m1 se mueve una distancia
d alejándose de la pared, el muelle empieza a estirarse y así, la fuerza elástica
tiende a acercar a las masas, provocando el movimiento de m2 . Por tanto, cuando
m1 se mueve una distancia d , la masa m2 empieza a moverse.
• Una vez que ambas masas están en movimiento, podemos utilizar los
resultados obtenidos para el movimiento de dos masas unidas a un muelle, sin la
presencia de un campo externo. La velocidad del centro de masa es constante, el
movimiento del centro de masa es uniforme, y la oscilación respecto del centro de
masa se produce con una frecuencia
k
ω0 =
µ
siendo µ la masa reducida del sistema
1 1 1
3
= +
=
µ m 2m 2 m
ó
2
µ= m
3
• Sea t0 el instante en el que la masa m2 se pone en movimiento. Esto es, es el
instante a partir del cual el movimiento del sistema puede definirse como la
combinación del movimiento uniforme del centro de masa más la oscilación libre
respecto del centro de masa. Si en este tiempo, las posiciones y velocidades de las
masas respecto a un sistema ligado a la pared son respectivamente, x1,0 , x2,0 y
V1,0 ,V2,0 , entonces la velocidad del centro de masa y la amplitud de oscilación están
dadas por (según lo visto en la parte teórica)
mV1,0 + 2mV2,0
Vcm,0 =
3m
y
A = ( x1,0 − x2,0 − L0 )
2
2
V −V 
+  1,0 2,0 
 ω0

2
• Por tanto, para resolver el problema sólo tenemos que determinar las
posiciones y velocidades de las masas en el instante t0 . Para la masa m2 es fácil ya
que se encuentra en reposo junto a la pared:
x2,0 = 0
V2,0 = 0
Para la masa m1 , debemos conocer su ley de movimiento antes de que se mueva m2 .
Antes del instante t0 , sobre m1 actúa la fuerza elástica de un muelle de constante k ,
con un extremo fijo en la pared, a través de m2 . Como m1 parte del reposo, cuando
el muelle está comprimido una distancia d , su posición respecto de la pared antes de
t0 viene dada por
x1 = L0 − d cos ω1t
siendo ω1 la frecuencia de oscilación libre del muelle cuando sólo actúa sobre m1
ω1 =
k
k
=
m1
m
Su velocidad viene dada por
dx1
= ω1d sin ω1t
dt
De aquí, ya podemos obtener la posición y velocidad de la masa m1 en el instante t0 ,
cuando el muelle alcanza su longitud natural, y comienza a estirarse. En ese instante
x1,0 = L0
con lo cual
cos ω1t0 = 0
V1 =
sen ω1t0 = 1
V1,0 = ω1d
• Conocidos ya los datos iniciales, la velocidad del centro de masa es
1
1 k
Vcm =
mω1d =
d
3m
3 m
y la amplitud de oscilación es
ω
A= 1 d
ω0
• Como se puede comprobar en este ejemplo, la energía no se conserva.
Inicialmente, la energía es igual a la energía elástica de compresión
1
Ei = kd 2
2
y cuando la masa m2 se pone en movimiento, la energía es suma de la energía
cinética del centro de masa, y la energía elástica del centro de masa
2
1  1 k  1 ω12 2 1 2 1 2 5 2
E f = 3 m 
d + k
d = kd + kd = kd
2  3 m  2 ω 02
3
2
6
El defecto de energía (cinética en este caso) es igual al trabajo de la fuerza normal
en la pared sobre el sistema, necesario para mantener en reposo a la masa m2
durante el movimiento inicial de la masa m1 .
7.4
Un muelle de constante k , al que está enganchado una masa M cuelga
verticalmente estando el sistema en equilibrio. Una partícula de masa m con
una velocidad V0 golpea desde abajo a la masa M . Determinar la amplitud del
movimiento subsiguiente después del choque suponiendo que éste es elástico o
totalmente inelástico (las masas quedan unidas).
• Cuando el choque es elástico se conserva el momento lineal y la energía. Si V
y v son las velocidades de M y m después del choque, se satisface
1
1
1
mV02 = MV 2 + mv 2
2
2
2
mV0 = mv + MV
Resolviendo estas ecuaciones obtenemos la velocidad con que sube inicialmente la
masa M
2m
V=
V0
m+M
Ya que se produce en el punto más bajo de la trayectoria, esta es la velocidad
máxima del movimiento de M . La energía cinética correspondiente será la energía
cinética máxima del movimiento y debe coincidir con la energía potencial elástica
máxima (nos olvidamos de la energía potencial gravitatoria, ya que nos referimos a
desplazamientos respecto del punto de equilibrio). Por tanto, la amplitud A satisface
1 2 1
kA = MV 2
2
2
ó
M
M 2m
A=
V=
V0
k
k M +m
• Cuando el choque es totalmente inelástico, sólo se conserva el momento
lineal, y la velocidad V de ambas masas después del choque satisface
mV0 = ( m + M )V
m
V0
M +m
Sin embargo, ahora la posición de equilibrio no es la misma antes y después del
choque. Tomando como referencia el nuevo punto de equilibrio, la energía total
después del choque, es decir, la energía cinética después del choque más la energía
potencial elástica respecto del nuevo punto de equilibrio, es igual a la energía
potencial elástica máxima. Por un lado, el punto de equilibrio se encuentra a una
distancia
V=
mg
k
del punto de equilibrio inicial
k ( l − L0 ) = Mg
Entonces, la amplitud de oscilación de ambas masas satisface en este caso
2
1
1 mg
1
( m + M ) V 2 + k   = kA2
2
2  k  2
de donde obtenemos
A=

mg 
kV02
 1+
−
1

k 
m + M )g2 
(


Problema Propuesto
Dos masas m1 = m y m2 = 2m , unidas por un muelle de constante elástica
k y longitud natural L0 , se sitúan de forma vertical. En el equilibrio, la masa
m2 está en contacto con el plano horizontal, y la masa m1 se encuentra en
equilibrio a una cierta altura H e . Se desplaza hacia abajo la masa m1 hasta que
se encuentra a una altura H 0 , y se abandona el sistema sin velocidad inicial.
Determinar
a) La altura inicial de equilibrio H e de la masa m1
b) El valor máximo de H 0 para que la masa m2 despegue del suelo
c) La posición y velocidad de la masa m1 cuando despega la masa m2 ,
suponiendo que se satisface el apartado b
d) La posición del centro de masa en cualquier instante, una vez que
despega m2
7.5
Solución:
mg
k
4mg
b) H 0 < L0 −
k
2mg
z1,0 = L0 +
k
a) H e = L0 −
1/2
c) V1,0




2 2
9m g
k 
mg  

=
H
−
L
+
1
−
0
0
2

m 
k  
mg


2
 k  H 0 − L0 +


k  


1
1
1
d) zcm = z 1,0 + V1,0t − gt 2
3
3
2