Escuela Tecnología Médica Universidad de Chile Procesamiento y análisis de imágenes digitales II Alejandra García, TM Centro de Estudios Moleculares de la Célula, FONDAP, Facultad de Medicina, Universidad de Chile Teorema de Convolución Kernel Una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función. H (xi,yj,r): H es un filtro lineal si cumple comutatividad y distributividad: Y -> H (a I1 + b I2) = a H I1 + b H I2 , I1/2 imágenes , a,b escalares X -> H (xi,yj,r): H (xi,yj,r) · I(x,y) Y -> X -> Mean: Simplest (Low Pass) 1 1 1 H =1/9 · 1 1 1 1 1 1 Simplest High Pass -1 -1 -1 H = -1 8 -1 -1 -1 -1 Métodos de Dominio de la Frecuencia Frecuencia Es una medida para indicar el número de repeticiones de cualquier fenómeno o suceso periódico en la unidad de tiempo. En una imagen en el dominio frecuencial se sabe dónde se encuentran los distintos rangos de frecuencias Espectro: es la representación de las frecuencias que componen una señal Transformadas de la Imagen •En la codificación por transformación, se utiliza una transformada lineal, reversible, para hacer corresponder la imagen con un conjunto de coeficientes de la transformada, que después se cuantifican y se codifican. Transformadas de la Imagen Algunos ejemplos de transformadas: 1. La transformada de Fourier. 2. La transformada discreta del coseno. 3. La transformada de Hadamard. 4. La transformada de Walsh. Transformada de Fourier • El matemático Fourier imaginó la superficie del océano como la suma de ondas sinusoidales. Las grandes ondas causadas por la marea o por los barcos (bajas frecuencias) tenían largas longitudes de onda, mientras que las pequeñas ondas causadas por el viento u objetos arrojados (altas frecuencias) tenían pequeñas longitudes de onda. • La teoría de Fourier muestra como la mayoría de las funciones reales pueden ser representadas en términos de sinusoidales. Transformada de Fourier • La transformada de Fourier de una función continua e integrable de una variable real x se define por Definiciones: • La variable ‘u’ recibe el nombre de variable de frecuencia. •El módulo de F(u), |F(u)|= (R(u)2+ I(u)2)1/2 recibe el nombre del espectro de Fourier. •Su ángulo P(u)=arctg(I(u)/R(u)) recibe el nombre de fase. Transformada de Fourier •Abarca señales de tiempo de una longitud infinita , estas son señales no repetitivas continuas. •Transformará cualquier señal continua de tiempo en forma arbitraria, en un espectro continuo con una extensión de frecuencias infinita. •FFT (Fast Fourier Transform) es un eficiente algoritmo que permite calcular la transformada de Fourier discreta (DFT) y su inversa. Fourier y su Transformada Amplitud: cuánto de cada componente sinusoidal está presente en la imagen. Fase: dónde reside cada componente sinusoidal en la imagen. http://apphys.uned.es El espectro de Fourier no debe interpretarse como una imagen, sino como el desplegado en 2D de la potencia (o amplitud) de la imagen original. Propiedades La simetría y periodicidad Ondas periódicas son aquellas ondas que muestran periodicidad respecto del tiempo, esto es, describen ciclos repetitivos. La rotación Si rotamos la función f(x,y) a un ángulo determinado, la transformada también será afectada por una rotación del mismo ángulo. Esta propiedad también se da a la inversa, es decir, si la transformada se rota en un determinado ángulo, la transformada inversa también se verá rotada ese mismo ángulo. Filtro Pasa bajo, Pasa alto y Pasa Banda Pasa Bajo. Deja pasar bajas frecuencias. Los bordes y transiciones bruscas como ruido contribuyen en el contenido de altas frecuencias: 2 410 ≤ 3193 ≤≤F F≤F≤ FF Pasa Alto. El realce consiste en dejar pasar altas frecuencias. Pasa Banda: Seleccionar los rangos de frecuencias que deseamos. F 310 FFFF= ====1 2192 1 ≤≤F 1111≤ ≤≤F≤ FFF≤ ≤≤192 239 ≤1 http://www.innovanet.com.ar/gis/TELEDETE/TELEDETE/ej4.htm Filtro Homomórfico Las imágenes consisten en luz reflejada por los objetos y están formadas por dos componentes: la cantidad de luz invidente en el objeto y la cantidad de luz reflejada: Consiste en el filtrado lineal de la imagen transformada para separar los componentes de iluminación y reflectancia http://apphys.uned.es Restauración de la Imagen Restauración v/s Mejora •Restauración: Recuperación de imágenes y suele basarse en el conocimiento de la causa de degración de la imagen. •Mejora: se basa en los aspectos psico-físicos del sistema visual humano. Técnicas de Restauración Deterministas •Se supone conocida la función que degradó la imagen •Se realiza la transformada inversa •Son válidas si tienen poco ruido Estocásticas •Se intenta buscar visualmente la función que degradó la imagen Degradaciones Sencillas Movimiento Relativo de cámara y objeto Turbulencia atmosférica Correcciones Ópticas Telescopio Hubble. Conocimiento de su óptica, permite restaurar imágenes adquiridas. Desplazamiento Lineal Uniforme Filtro de mínimos cuadrados. Weiner Es necesario conocer el espectro del ruido Si no se conoce hay varias opciones Se calcula a partir de una imagen Se estima el espectro (gaussiano, ruido, etc) Se sustituye la relación señal/ruido por una constante en la fórmula: Variando la constante obtenemos distintas calidades de restauración. A B A) Imagen borrosa B) Espectro de la T. de Fourier C) Frecuencia en respuesta al filtro de Weiner C D D) Espectro de la frecuencia de la imagen filtrada con Weiner. E) Restauración de la imagen con Weiner F) Imagen final restaurada E F Ruido Sinusoidal Filtro de rechazo de banda de radio 1 Frecuencia sinusoidal aparece como 4 puntos visibles. Eliminación de esos puntos y realizamos la transformada inversa, obtenemos la imagen restaurada Interferencia periódica Imagen satelital de los cráteres en el planeta Marte Espectro de Fouier muestra interferencia Interferencia: es cualquier proceso que altera, modifica o destruye una señal durante su trayecto. Similar al ruido sinusoidal, pero más sutil. Transformación Geométrica Determinados algoritmos permiten calcular: •Ángulos de Rotación •Flip • Zoom Introducen un pequeño grado de error que distorsionará la imagen rotada en determinados ángulos.