Dpto. Ingeniería Química M étodos para el C álculo de Métodos Cálculo Operaciones de Separaci ón Separación Multietapa en Mezclas Multicomponentes Área de conocimiento: Ingeniería Química Docencia en “Operaciones de Separación” Febrero, 2003 Prof.Dr. Juan A. Reyes-Labarta © http://iq.ua.es/~jareyes/ 1 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes © ••Termodinámica Termodinámicadel delequilibrio equilibrioentre entrefases fases(fi, (fi,ai, ai,ji, ji,gi). gi). Fase Vapor. Cálculo de coeficientes de fugacidad (Ecuación de Estado de Virial) ⎡ m ⎤ P ln ϕ i = ⎢ 2 ∑ y j B ij − B mezcla ⎥ ⎣ j=1 ⎦ RT Pv B C = z = 1 + + 2 + ... RT v v FUNDAMENTOS DE OPERACIONES OPERACIONES DE DE FUNDAMENTOS DEcoeficientes OPERACIONES DE Fase Líquida. Cálculo de de DE actividad (NRTL)OPERACIONES SEPARACIÓN SEPARACIÓN ∑ τ ji G ji x j ln γ i = j ∑ k G ki x k + ∑ j ⎛ G ij x j ⎜ ⎜ τ ij − G x ∑ kj k ⎜⎜ ⎝ k ∑ τ rj G rj x r ⎞⎟ r ⎟ G x ∑ kj k ⎟⎟ k SEPARACIÓN SEPARACIÓN ⎠ 2 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes © ••Métodos Métodosyyecuaciones ecuacionesde dediseño diseñode delas lasprincipales principalesoperaciones operacionesde deseparación separación(menor (menor n° de componentes posibles) n° de componentes posibles) Operaciones de Separación: Destilación simple Rectificación continua y discontinua Extracción líquido-líquido y líquido-sólido Adsorción, intercambio iónico y cromatografía Interacción aire-agua Secado Cristalización 3 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes © Objetivos 1. Introducir al alumno en la problemática del cálculo riguroso en sistemas multicomponentes: • Número de ecuaciones y no linealidad. • Procedimientos iterativos 2. Conocer las especificaciones y esquemas de cálculo de los principales métodos rigurosos. • Correcta utilización de los simuladores comerciales • Modificación de los esquemas de cálculo 4 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes © Índice 1. Introducción. Métodos de Simulación vs. Métodos de Diseño. Grados de Libertad. Antecedentes (métodos simplificados). 1.1. M. FUG 1.2. M. de Hengstebeck 2. Principales Métodos Rigurosos 3. Últimas tendencias 4. Ejemplo numérico 4.1. M. Punto Burbuja 1.3. M. de Grupos 2.1. M. Etapa a Etapa 2.2. M. Componente a Componente 3.1. M. Dentro-fuera 3.2. M. de Relajación 3.3. M. Homotópicos 3.4. Prog. Disyuntiva 5 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 1. MÉTODOS DE SIMULACIÓN vs. MÉTODOS DE DISEÑO Métodos de Simulación -Dadas: •Características de un equipo. •Condiciones de operación. -Se obtienen: •Perfiles de T, composiciones y caudales a lo largo del equipo. •Características de las corrientes de salida. -No se especifican las separaciones. -Cálculo del rendimiento de un equipo trabajando bajo unas condiciones determinadas. © Métodos de Diseño -Separación deseada componentes clave. de los -Proporcionan: •Nº de etapas necesarios •Posición óptima las corrientes laterales. -Diseñar los equipos necesarios para conseguir una determinada separación. -No se han desarrollado prácticamente en sistemas multicomponentes. 6 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes © Grados de Libertad = Var. – Ec. = Variables k Alimentos laterales ⇒ k·(c+3) (Caudal, P, T, c-1 composiciones y posición) q Productos laterales ⇒ q·(c+3) (Caudal, P, T, c-1 composiciones y posición) 2 Corrientes por etapa ⇒ 2·N·(c+2) (Caudal, P, T, c-1 composiciones) Nº de etapas ⇒1 2 Q (en Cal. y Cond.) ⇒ 2 Total Var.= (k+q)·(c+3) + 2·N·(c+2) +3 Ecuaciones Equilibrios Balances de Materia Balances de Energía Igualdades Prod./Piso ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ N·(c+2) (c componentes, P, T) N·c (N pisos, c-1 componentes, global) N ·1 q·(c+1) (c-1 componentes, P, T) Total Ec.= N·(c+2) + N·c + N + q·(c+1) 7 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes © Grados de Libertad G.L.= Var. – Ec. = k·(c+3) + 2·q + N + 3 9Si q=0 ⇒ G.L.= k·(c+3) + N + 3 = 2 k Alimentos laterales ⇒ k·(c+3) (Caudal, P, T, c-1 composiciones y pos.) (etapas) Presiones ⇒N Nº de pisos ⇒1 Faltan 2 variables por especificar: Normalmente D y Lo 9Si q≠0: Faltan 2+2·q variables por especificar: D, Lo y otras 2 variables por producto lateral (caudal y posición) 8 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes © 9 Especificaciones incompatibles: •2 especificaciones de pureza o reconversión para el mismo componente en 2 corrientes. •2 especificaciones de pureza o reconversión de 2 componentes distintos en una misma corriente. •Especificaciones de pureza incompatibles con caudales de producto. •Especificaciones de pureza demasiado elevadas. • Especificación simultánea de todos los caudales. • Especificación de un vapor de cabeza en un sistema que contiene incondensables. • Caudales de productos (en destilado y residuo) sin atender a las volatilidades de los componentes. • Especificación de las pérdidas/aportes de calor y reflujo/vapor generado en la caldera. 9 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes © 1. Antecedentes. Métodos Simplificados (Short cuts) 1.1. Método FUG (Fenske-Underwood-Gilliland) (diseño) Cálculo del N° de pisos mínimo Cálculo del Reflujo mínimo (Reflujo Total, conocido un perfil de composiciones del destilado y residuo) N min ⎡⎛ xLK ,0 ⎞⎛ xHK ,N ⎟⎜ log ⎢⎜⎜ ⎟⎜ ⎢⎝ xLK ,N ⎠⎝ xHK ,0 ⎣ = log( α LK ,HK )m (Según el tipo de sistema) ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟ ⎠⎦⎥ Y= Cálculo del N° Teórico de Pisos (Función del N° mínimo de pisos, el Reflujo y del Reflujo mínimo) ⎡⎛ 1 + 54.4 X ⎞⎛ X − 1 ⎞⎤ N − N min = 1 − exp ⎢⎜ ⎟⎜ 0.5 ⎟⎥ 11 117 2 . X N +1 + ⎠⎝ X ⎠⎦ ⎣⎝ a) Sist. Bin. Ideal b) Sist. Bin. No Ideal X= R − Rmin R +1 c) Sist. Mult. Clase 1 d) Sist. Mult. Clase 2 e) Sist. Mult. LLK dist. HHK no dist. 10 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 1. ANTECEDENTES. MÉTODOS SIMPLIFICADOS © 1.2. Método Gráfico de Hengstebeck (diseño) xxe,LK ==xxLK/(x + xHK)) e,LK LK/(xLK LK + x HK yye,LK ==yyLK/(y /(yLK ++yyHK)) Definición de Caudales y Composiciones Efectivas e,LK Construcción de la Curva de Equilibrio Efectiva LK LK HK ) LLe ==L(x L(xLKLK++xxHK e HK) VVe ==V(y V(yLK ++yyHK)) (Diagrama y vs x) e LK HK Aplicación equivalente del método de McCabe-Thiele Columnas de Rectificación Binaria Determinación del piso óptimo de alimentación, número de pisos Curva de Equilibrio Efectiva: LK(C3) y el HK(C4) 1,00 Utilidad de los métodos gráficos 0,90 1. La detección de pinch-points (ptos de conjunción). 3. La identificación de excesivos reflujo y/o vapor generado en la caldera. 4. Detectar adecuados interetapas. cuando resultan intercambiadores 5. Proporcionar orientación para la optimización de la columna. 0,70 Equilibrio cal. xd, z f, xb Ptos corte Recta Op. Enriq. Recta Op. Agot. Recta q Diagonal Pr.Rec. Op. Agot. Pr.Rec. Op. Enriq. Pisos Recta Op. F Pr.Rec. Op. F 0,60 y_LK 2. La identificación de puntos de alimentación inadecuados. 0,80 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 x_LK 11 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 1. ANTECEDENTES. MÉTODOS SIMPLIFICADOS © 1.3. Métodos de Grupo (Simulación) •Tratamiento global todas las etapas de la cascada. •Definición de los factores de absorción efectivos (Ae,i), y fracción de recuperación φA. •Especificaciones: Alimentos, nº de pisos y P. •Variables de entrada: LN, TN y T1 Aj,i = Lj Kj,i ⋅ Vj ( ) ; Sj,i = Aj,i −1 [ ]12 − 0.5 1 Se,i = [S1,i (SN,i +1) + 0.25] 2 − 0.5 Ae,i = AN,i (A1,i +1) + 0.25 φA,i = Ae,i −1 Ae,i N+1 −1 φS,i = Se,i −1 Se,i N+1 −1 v1,i = vN+1,i·φA,i +lo,i (1−φS,i ) •Contracción molar del vapor igual en todas las etapas •Variación de Tª del líquido proporcional al caudal de gas absorbido ⎛ V ⎞ VN = VN + 1 ⎜ 1 ⎟ ⎝ VN + 1 ⎠ 1 N TN − T1 VN + 1 − V2 = TN − To VN + 1 − V1 12 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes © 2.1. Primeros Métodos “Rigurosos” Métodos Etapa a Etapa y Ecuación a Ecuación* • Thiele-Geddes •1930 -1950 • Lewis-Matheson •Rectificación •Métodos iterativos (variables de entrada) •Empiezan por ambos extremos de la columna •Avanzando piso a piso* hasta llegar a la zona de alimentación •Únicamente aplicables para la simulación de: 3 columnas convencionales 3 todos los componentes se distribuyen •Presentaron un comportamiento muy inestable 13 © Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.1. PRIMEROS MÉTODOS “RIGUROSOS” Método de Lewis-Matheson Método de Thiele-Geddes Especificaciones: N° de pisos totales y la posición del piso de la • Número de platos en cada sector alimentación • Caudal, composición y condición térmica del alimento • Otras dos variables (D, Lo) Variables de entrada Perfil Tj Kj,i=f(T) Consideraciones Método de Simulación di , bi αi,r=ctes Método de Simulación o “diseño” Se resuelve de forma alternada y empezando por ambos extremos de la columna: Factores de Absorción y j,i / α i, r Volatilidades x j,i = c ⎛ Lj ⎞ Eq. ⎟ ⋅ v j,i = A j,i ⋅ v j,i Relativas l j,i = ⎜ y j,i / α i, r ⎜ K j,i ⋅ Vj ⎟ ⎝ ⎠ BM Composiciones i =1 ∑ v j+1,i di = l j,i di +1 Cocientes de Caudales Individuales y j+1,i = L j ⋅ x j,i Vj+1 + di Vj+1 14 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.1. PRIMEROS MÉTODOS “RIGUROSOS” Método de Thiele-Geddes © Método de Lewis-Matheson Al llegar al piso de alimentación por ambos extremos se calcula: di/bi l f −1,i + l F ,i bi di F ⋅ zi = v f ,i v F ,i di + bi F ⋅ zi b i v f ,i ,enriq . / d i Vf ⋅ y f ,i ,enriq . / d i = = d i v f ,i,agot . / b i Vf ⋅ y f ,i,agot . / b i 15 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.1. PRIMEROS MÉTODOS “RIGUROSOS” Método de Thiele-Geddes © Método de Lewis-Matheson Al llegar al piso de alimentación por ambos extremos se calcula: di/bi Calcular F ⋅ zi di = 1 + (bi / d i ) Calcular los perfil de yj,i; xj,i ⎛ v j,i ⎞ ⎜ d ⎟di i⎠ y j,i = ⎝c ⎛ v j,i ⎞ ∑⎜⎜ d ⎟⎟di i=1 ⎝ i ⎠ x j,i ⎛ l j,i ⎞ ⎜ d ⎟d i i⎠ = ⎝c ⎛ l j,i ⎞ ∑ ⎜⎜ d ⎟⎟di i =1 ⎝ i ⎠ Comprobación de: •di/bi (simulación) •yf,i calculados desde ambos extremos (diseño) Nuevo perfil de Ta y Kj,i=f(Tj) 16 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.1. PRIMEROS MÉTODOS “RIGUROSOS” Método de Thiele-Geddes © Método de Lewis-Matheson Al llegar al piso de alimentación por ambos extremos se calcula: di/bi Calcular F ⋅ zi di = 1 + (bi / d i ) Calcular los perfil de yj,i; xj,i Comprobación de: •di/bi (simulación) •yf,i calculados desde ambos extremos (diseño) Nuevo perfil de Ta y Kj,i=f(Tj) Si no se consideran los caudales molares constantes ⇒ cálculo iterativo en cada etapa de Vj. Suponer Vj → Calcular Lj con BM → → con Lj, yji, xji, Hj,i=f(Tj, yj,i), hj,i=f(Tj, xj,i) y BE comprobar Vj 17 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes © 2.2. Principales Métodos Rigurosos Métodos Componente a Componente •Cálculos generalmente de forma secuencial. •Agrupan todas las ecuaciones correspondiente a un componente, a lo largo de todas las etapas (SIMULACIÓN). Distintos métodos según: 9Forma de agrupar y resolver los sistemas de ecuaciones 9Selección de las variables de entrada Especificaciones: Métodos de punto de burbuja (BP) -Nº Pisos y presión de trabajo Métodos de suma de caudales (SR) y (SRI) -Características de todas los alimentos incluida su localización Métodos Newton 2N -Caudal yde posición de cada producto(SC) lateral extraído (no comp.) Métodos Corrección Simultánea -2 variables, normalmente D y Lo (rectif.) 18 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS V1 © W1 Q1 Etapa 1 F1 U1 V2 L1 W2 U2 V3 L2 W3 VJ LJ-1 WJ+1 LJ VN-1 LN-2 QN-1 Etapa N-1 wJ+1 LJ UN-1 VN WN FN UJ V J+1 UN-2 WN-1 FN-1 FJ UJ VJ+1 QJ Etapa j QJ Etapa j UJ-1 LJ-1 wJ UJ-1 WJ FJ VJ Q2 Etapa 2 F2 LN-1 Etapa N QN UN LN 19 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS V1 © W1 Q1 Etapa 1 F1 L1 W2 Q2 Etapa 2 F2 VJ LJ-1 WJ LJ VN-1 F2 UN-2 WN-1 LN-2 QN-1 Etapa N-1 UN-1 VN WN Q2 Etapa 2 V3 w3 LN-1 Etapa N L1 w2 UJ VJ+1 WJ+1 U1 V2 QJ Etapa j FN F1 UJ-1 Q1 Etapa 1 L2 W3 FN-1 w1 U2 V3 FJ V1 U1 V2 U2 L2 QN UN LN 20 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS V1 © W1 Q1 Etapa 1 F1 L1 W2 Q2 Etapa 2 F2 VJ LJ-1 Etapa 1 LJ VN-1 F2 UN-2 WN-1 LN-2 QN-1 Etapa N-1 UN-1 VN WN Q2 Etapa 2 V3 w3 LN-1 Etapa N L1 w2 UJ VJ+1 WJ+1 U1 V2 0 Q1 0 QJ Etapa j FN F1 UJ-1 WJ FN-1 0 L2 W3 FJ w1 U2 V3 Alimento Directo V1 U1 V2 U2 L2 QN UN LN 21 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS V1 © W1 Q1 Etapa 1 F1 L1 W2 Q2 Etapa 2 F2 L2 W3 VJ LJ VN-1 F2 UN-2 LN-2 QN-1 Etapa N-1 UN-1 VN WN Q1 Etapa 1 U1 V2 Q2 Etapa 2 V3 w3 LN-1 Etapa N L1 w2 UJ WN-1 Condensador QJ VJ+1 WJ+1 0 0 LJ-1 Etapa j FN F1 UJ-1 WJ FN-1 w1 U2 V3 FJ V1 U1 V2 U2 L2 QN UN LN 22 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS V1 W1 Q1 Etapa 1 F1 L1 W2 Q2 Etapa 2 F2 L2 W3 VJ LJ VN-1 F2 UN-2 WN-1 LN-2 QN-1 Etapa N-1 UN-1 VN WN Etapa N Q1 U1 Destilado L1 Reflujo Q2 Etapa 2 V3 w3 LN-1 Condensador Total V2 w2 UJ 0 Etapa 1 QJ VJ+1 WJ+1 0 0 LJ-1 Etapa j FN F1 UJ-1 WJ FN-1 w1 U2 V3 FJ V1 U1 V2 © U2 L2 QN UN LN 23 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS V1 © W1 Q1 Etapa 1 F1 U1 V2 L1 W2 Q2 Etapa 2 F2 L2 W3 VJ LJ VN-1 F2 UN-2 WN-1 LN-2 QN-1 Etapa N-1 UN-1 VN WN Etapa N 0 Q1 L1 Reflujo Q2 Etapa 2 V3 w3 LN-1 U1 V2 w2 UJ Condensador Parcial Etapa 1 QJ VJ+1 WJ+1 0 0 LJ-1 Etapa j FN F1 UJ-1 WJ FN-1 w1 U2 V3 FJ Destilado V1 U2 L2 QN UN LN 24 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS V1 W1 Q1 Etapa 1 F1 L1 W2 Q2 Etapa 2 F2 L2 W3 VJ UJ Reflujo LJ VN-1 F2 UN-2 WN-1 LN-2 QN-1 Etapa N-1 UN-1 VN WN 0 Condensador Azeótropo het. Q1 Etapa 1 U1 Decantador V2 QJ VJ+1 WJ+1 0 0 LJ-1 Etapa j FN F1 UJ-1 WJ FN-1 w1 U2 V3 FJ V1 U1 V2 Etapa N 0 Q2 Etapa 2 V3 w3 LN-1 L1 w2 © U2 L2 QN UN LN 25 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS V1 © W1 Q1 Etapa 1 F1 U1 V2 Q2 Etapa 2 F2 L2 W3 VJ UJ-1 QJ Etapa j UJ VJ+1 WJ+1 UN-2 WN-1 LN-2 QN-1 Etapa N-1 FN LN-2 QN-1 Etapa N-1 UN-1 VN LN-1 Etapa N UN UN-1 VN WN FN wN LJ VN-1 FN-1 FN-1 LJ-1 WJ UN-2 wN-1 U2 V3 FJ VN-1 L1 W2 LN-1 Etapa N QN QN LN UN LN 26 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS V1 © W1 Q1 Etapa 1 F1 U1 V2 Q2 Etapa 2 F2 L2 W3 VJ UJ-1 QJ Etapa j UJ VJ+1 WJ+1 UN-2 WN-1 LN-2 QN-1 Etapa N-1 FN LN-2 WN LN-1 Etapa N QN QN-1 Etapa N-1 VN UN-1 LN-1 0 Etapa N UN-1 VN FN wN LJ VN-1 FN-1 FN-1 LJ-1 WJ UN-2 wN-1 U2 V3 FJ VN-1 L1 W2 Caldera UN 0 QN LN Residuo UN LN 27 © Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS V1 W1 Q1 Etapa 1 F1 U1 V2 Q2 Etapa 2 F2 L2 W3 VJ UJ-1 QJ Etapa j UJ VJ+1 WJ+1 UN-2 WN-1 LN-2 QN-1 Etapa N-1 FN LN-2 WN LN-1 Etapa N QN UN LN QN-1 Etapa N-1 VN UN-1 LN-1 Etapa N UN-1 VN FN wN LJ VN-1 FN-1 FN-1 LJ-1 WJ UN-2 wN-1 U2 V3 FJ VN-1 L1 W2 Vapor Directo UN 0 QN 0 LN Residuo 28 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS © Ecuaciones MESH: 1. M: c balances de materia por etapa: M j,i ≡ L j−i ⋅ x j−1,i + Vj+1 ⋅ y j+1,i + Fj ⋅ z j,i − (L j + U j ) ⋅ x j,i − (Vj + Wj ) ⋅ y j,i = 0 2. E: c relaciones de equilibrio por etapa: E j,i ≡ y j,i − K j,i ⋅ x j,i = 0 3. S: 2 ec. suma por etapa: 4. H: 1 balance de energía por etapa: c (S y ) j ≡ ∑ y j,i − 1.0 = 0 i =1 c (Sx ) j ≡ ∑ x j,i − 1.0 = 0 i =1 H j ≡ L j−1 ⋅ h L, j−1 + Vj+1 ⋅ HV, j+1 + Fj ⋅ H F, j − ( L j + U j ) ⋅ h L, j − (Vj + Wj ) ⋅ HV, j + Q j = 0 Criterio de signos “egoísta” para el calor 29 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS Ecuaciones ME (i): L j = V j+ 1 + j ∑ m =1 ( Fm − W m − U m © ) − V1 1. M: balance de materia del componente i en la etapa j: M j,i ≡ L j−i ⋅ x j−1,i + Vj+1 ⋅ y j+1,i + Fj ⋅ z j,i − (L j + U j ) ⋅ x j,i − (Vj + Wj ) ⋅ y j,i = 0 2. E: relación de equilibrio etapa j: E j,i ≡ y j,i − K j,i ⋅ x j,i = 0 A j ⋅ x j−1,i + B j ⋅ x j,i + C j ⋅ x j+1,i = D j j−1 A j = Vj + ∑ (Fm − Wm − U m ) − V1 m =1 ⎡ B j = − ⎢ V j+1 + ⎢⎣ j ∑ ( Fm − W m m =1 2≤ j≤ N ⎤ − U m ) − V1 + U j + (V j + W j )K j, i ⎥ 1 ≤ j ≤ N ⎥⎦ C j = Vj+1·K j+1,i 1 ≤ j ≤ N - 1 D j = −Fj ·z j,i 1≤ j≤ N con xio = 0, VN+1 = 0 30 © Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS Ecuaciones ME (i): Matriz tridiagonal A j ⋅x j− 1 ,i + B j ⋅x j,i + C j ⋅x j+ 1 ,i = D j Para cada componente i: ⎡ B1 C1 0 0 ⎢A B C 0 2 ⎢ 2 2 ⎢ 0 A1 B3 C3 ⎢ ⎢ ... ... ⎢ ... ... ⎢ ⎢ ... ⎢ ... ⎢ ⎢ ... ⎢ ... ⎢ ⎢ 0 ... ⎢ ⎢ 0 ... ⎢⎣ 0 ... 0 ... ... ... 0 ... ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 AN−2 BN−2 CN−2 ... ... 0 0 AN−1 BN−1 ... ... 0 0 0 AN 0 ⎤ ⎡x1 ⎤ ⎡D1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢x2 ⎥ ⎢D2 ⎥ 0 ⎥ ⎢x3 ⎥ ⎢D3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢... ⎥ ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢... ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢... ⎥ =⎢ ⋅⎢ ⎥ ⎥ ... ... ⎥ ... ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢... ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢... ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎢xN−2 ⎥ ⎢DN−2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ CN−1 ⎥ ⎢xN−1 ⎥ ⎢DN−1 ⎥ BN ⎥⎦ ⎢⎣xN ⎥⎦ ⎢⎣DN ⎥⎦ 31 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes MATRIZ TRIDIAGONAL: ALGORITMO DE THOMAS A j ⋅x j− 1 ,i + B j ⋅x j,i + C j ⋅x j+ 1 ,i = D j Etapa 1 D − C1 x i 2 x i1 = 1 B1 Etapa 2 ⎞ D 2 − A 2 q1 ⎛ C2 ⎟⎟ x i 3 x i2 = − ⎜⎜ B 2 − A 2 p1 ⎝ B 2 − A 2 p1 ⎠ D 2 − A 2q1 q2 = B 2 − A 2 p1 x i 2 = q 2 − p 2 x i3 p2 = En general q j = D j − A jq j−1 B j − A j p j−1 x ij = q j − p j x i , j+1 Etapa N x iN = q N C1 D1 q1 = p1 = B1 B1 y pj = © xi1 = q1 − p1xi 2 C2 B 2 − A 2 p1 Cj B j − A j p j−1 Por lo tanto una vez calculados qj Este algoritmo es de los gran yeficiencia pj de forma j=1 y secuencial superior desde a otras hasta N se puede recalcular las xj,i alternativas como la inversión de desde j=N hasta j=1: matrices o métodos x i, j−1 = q numéricas resolución j−1 − p j−1 ⋅ x j,i de 32 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS Método BP © Var. Entr. Perfiles Aplicación Tj(k), Vj(k) Tj(k+1) Cálculo T Burbuja Vj(k+1) Balances de Energía modificados Sistemas con un estrecho rango de {Kj,i(k)} volatilidades Vj(k+1) BM con SR Tj(k), Vj(k) {Kj,i(k)} L(jk + 1 ) = L(jk ) c ⋅ ∑ x j, i i =1 Sistemas con un amplio rango de volatilidades Tj (k+1) Balances de Energía c ⋅ ∑ x j, i Lj(k), xj(k) L(jk + 1 ) Newton 2N Tj(k), Vj(k) {Kj,i(k)} Resolución de los BE y relaciones de equilibrio simultáneamente (Newton-Raphson) SC o Newton global Tj(k), Vj(k), Resolución de todas las SRI Lj(k), yj,i(k), xj,i(k) = L(jk ) i =1 ecuaciones MESH de forma simultánea Extracción L-L. Se itera sobre las composiciones para obtener los coeficientes de actividad Sistemas con un intervalo de volatilidades intermedio Más generales y poderosos (sist. altamente no ideales, columnas alimentadas con vapor directo o sin condensador, dest. Azeotrópica) 33 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS Método BP © Var. Entr. Perfiles Aplicación Tj(k), Vj(k) Tj(k+1) Cálculo T Burbuja Vj(k+1) Balances de Energía modificados Sistemas con un estrecho rango de {Kj,i(k)} volatilidades Vj(k+1) BM con SR Tj(k), Vj(k) {Kj,i(k)} L(jk + 1 ) = L(jk ) c ⋅ ∑ x j, i i =1 Sistemas con un amplio rango de volatilidades Tj (k+1) Balances de Energía SRI Lj(k), xj(k) Newton 2N Tj(k), Vj(k) SC o Newton global Tj(k), Vj(k), {Kj,i(k)} Lj(k), yj,i(k), xj,i(k) c + ( k 1 ) ( k ) 9 L jMuy =sensibles L j ⋅ ax los j, i i =1 ∑ Extracción L-L. Se itera sobre las puntoscomposiciones iniciales de partida (opt. loc.). para obtener los coeficientes de actividad 9 Aplicación de otro método riguroso para encontrar Resolución de los BE y buenas estimaciones iniciales. relaciones de equilibrio Sistemas con un intervalo de simultáneamente volatilidades intermedio 9 Se pueden agrupar de distintas formas las ecuaciones: (Newton-Raphson) c elevado N pequeño ⇒ ec. tipos (BM, BE, Eq) Máspor generales y poderosos Resolución deytodas las (sist. altamente no ideales, columnas ecuaciones de c pequeñoMESH y N elevado ⇒ ec. por etapas alimentadas con vapor directo o sin forma simultánea condensador, dest. Azeotrópica) 34 © Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS Métodos Punto de Burbuja (BP) Métodos Suma de Caudales (SR) Suponer perfil de Tj(k), Vj(k) y Kj,i(k) Métodos Calculo xj,i ( c sistemas tridiagonales) (BP) (SR) Newton 2N Normalizar las xj,i Cálculo de Tj (k+1) e yj,i (N Ptos de burbuja) Cálculo de Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i) Cálculo de Vj(k+1) Cálculo de L(jk + 1 ) = L(jk ) c ⋅∑ x i =1 j, i Cálculo de Vj(k+1) (BM piso j) Normalizar xj,i BE modific. (Matriz bidiagonal) ♦ Cálculo yj,i (Kj,i(k)) Cálculo de Kj,i(k+1) =f(Tj, yj,i, xj,i) Cálculo de Tj(k+1) k=k+1 No BE, Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i) Tj(k) =Tj(k+1) Vj(k) =Vj(k+1) Si Fin V j = L j−1 − j −1 ∑ ( Fm m =1 − W m − U m ) 35 − V1 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS Métodos Punto de Burbuja (BP) © Métodos Suma de Caudales (SR) Suponer perfil de Tj(k), Vj(k) y Kj,i(k) Calculo xj,i ( c sistemas tridiagonales) (BP) Métodos Normalizar las xj,i Cálculo de Tj (k+1) e yj,i (N Ptos de burbuja) Cálculo de Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i) Cálculo de Vj(k+1) BE modific. (Matriz bidiagonal) ♦ Cálculo de Kj,i(k+1) =f(Tj, yj,i, xj,i) Newton 2N Cálculo de Tj(k+1) y Vj(k+1) resolviendo simultáneamente los BE, relaciones de equilibrio k=k+1 No Tj(k) =Tj(k+1) Vj(k) =Vj(k+1) Si Fin 36 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS © Métodos Punto de Burbuja (BP) Cálculo de Vj(k+1) BE modific. (Matriz bidiagonal) H j ≡ L j−1 ⋅ h L j−1 + Vj+1 ⋅ H Vj+1 + Fj ⋅ H Fj − ( L j + U j ) ⋅ h L j − ( Vj + W j ) ⋅ H Vj − Q j = 0 L j −1 = V j + j−1 ∑ ( Fm m =1 − W m − U m ) − V1 α jVj + β jVj+1 = γ j α j = h L j−1 − H Vj β j = H Vj+1 − h L j ⎡ j−1 ⎤ γ j = ⎢ ∑ (Fm − Wm − U m ) − V1 ⎥ ( h L j − h L j−1 ) + Fj ( h L j − H Fj ) + W j ( H Vj − h L j ) + Q j ⎢⎣ m =1 ⎥⎦ 37 Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS © Métodos Punto de Burbuja (BP) Cálculo de Vj(k+1) BE modific. (Matriz bidiagonal) α jVj + β jVj+1 = γ j ⎡β 2 0 ⎢α β 3 ⎢ 3 ⎢ 0 α4 ⎢ ⎢ ... ... ⎢ ... ... ⎢ ⎢ ... ⎢ ... ⎢ ⎢ ... ⎢ ... ⎢ ⎢ 0 ... ⎢ ⎢ 0 ... ⎢⎣ 0 ... 0 0 0 ... ... ... 0 0 0 ... ... ... β 4 0 0 ... ... ... ... ... 0 α N −3 β N −3 α N −2 ... ... 0 0 ... ... 0 0 0 0 β N −2 α N −1 0 ⎤ ⎡ V3 ⎤ ⎡γ 2 − α 2V2 ⎤ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎢⎢ V4 ⎥⎥ ⎢⎢ γ 3 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎢ V5 ⎥ ⎢ γ 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⋅ = ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢VN − 2 ⎥ ⎢ γ N −3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢VN −1 ⎥ ⎢ γ N − 2 ⎥ β N −1 ⎥⎦ ⎢⎣ VN ⎥⎦ ⎢⎣ γ N −1 ⎥⎦ 38 © Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS Métodos de Suma de Caudales Isotermos (SRI) Suponer perfil de LjII(k) Tj(k) Suponer xj,i ¾¾ I ¾¾ Calcular xj,i (BM) II Cálculo de γj,iI, γj,iII y Kj,i=xj,iII/xj,iI= γj,iI/γj,iII Cálculo xj,iI ( c sistemas tridiag.) xj,iI(Sup.) =xj,iI (Cal.) No Si k=k+1 No = Extracción Extracción Líquido-Líquido Líquido-Líquido L (γ(γ L i ). ). i Calcular xj,iII= Kj,i·xj,iI Norm. y Calc. γj,iII, Kj,i c ⋅ ∑ x IIj, i i =1 LjII(k+1) = LjII Si Todas j Todas las las TT j especificadas especificadas Calcular γj,iI, Kj,i Cálculo de LjII(k+1) LIIj ( k ) Aplicable Aplicable en en operaciones operaciones isotermas. isotermas. Normalizar xj,iI Calcular xj,iII= Kj,i·xj,iI L IIj ( k + 1 ) ¾¾ (k) Fin 39 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes © Índice 1. Métodos de Simulación vs. Métodos de Diseño 2. Principales Métodos Rigurosos 3. Últimas tendencias 3.1. M. Dentro-fuera 4. Ejemplo numérico 3.2. M. de Relajación 3.3. M. Homotópicos 3.4. Prog. Disyuntiva 40 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes © 3. Últimas tendencias 3.1. Métodos Dentro-Fuera (Inside-Out) ¾ Reducir los esfuerzos para resolver el problema al evitar calcular las K y H con modelos termodinámicos complejos. ¾ Se componen de dos bucles: •bucle interno, se resuelven las ecuaciones MESH (utilizando el método BP, SR, SC… y modelos termodinámicos sencillos) •bucle externo, se calculan los parámetros específicos de modelos más sencillos. Kj,i = exp(Aj,i-Bj,i/Tj) HV,j=HV,j°+∆HV,j con ∆HV,j=cj-dj(Tj-Tref) hL,j = hL,j° +∆hL,j con ∆hL,j = ej - fj (Tj-Tref) 41 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 3. ÚLTIMAS TENDENCIAS (Método Inside-Out) Suponer perfil de Tj(k) y Vj(k) Calculo xj,i ( c matrices tridiag.) (BP) Cálculo de Tj(k+1) e yj,i (N Ptos burb.) (SR) c ( k +1) = L(jk ) ⋅ ∑ x j,i Cálculo de L j i =1 Cálculo de Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i) © Bucle Interno modelos Kj,i , Hj,i , hj,i sencillos Cálculo de Vj(k+1) (BM piso j) Cálculo de Vj(k+1) Normal. xj,i BE modific. (Matriz bidiag.) Cálculo yj,i (Kj,i a Tj(k)) Cálculo de Tj(k+1) utilizando Newton-Raphson y BE, Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i) k=k+1 No Tj(k) =Tj(k+1) Vj(k) =Vj(k+1) Fin Si Bucle Externo Parámetros modelos sencillos Con xj,i, yj,i, Tj Calcular γj,i, ϕj,i, Kj,i , Hj,i , hj,i con modelos termodinámicos complejos r=r+1 Obtener los parámetros de modelos sencillos para Kj,i, Hj,i y hj,i No Parámet.(r)=Parámet.(r-1) Si Fin 42 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 3. ÚLTIMAS TENDENCIAS © 3.2. Métodos de Relajación • Utiliza ecuaciones diferenciales en estado no estacionario para los balances de energía y de materia de los componentes. d(Mj ⋅ x j,i ) Lj−i ⋅ x j−1,i + Vj+1 ⋅ y j+1,i + Fj ⋅ z j,i − (Lj + Uj ) ⋅ x j,i − (Vj + Wj ) ⋅ y j,i − 0 Lj−1 ⋅ hL, j−1 + Vj+1 ⋅ HV, j+1 + Fj ⋅ HF, j − (Lj + Uj) ⋅ hL, j − (Vj + Wj) ⋅ HV, j + Qj − dt =0 d(Mj ⋅ hL, j) 0 dt =0 • A partir de un conjunto supuesto de las variables de entrada, se resuelven las ec. para diferentes intervalos de tiempo, hasta llegar a la convergencia (régimen estacionario) donde el término acumulación será nulo. • La velocidad de convergencia disminuye al aproximarnos a la solución. • Interesante combinar la elevada velocidad de convergencia en las primeras vueltas de los métodos de relajación, con la estabilidad y robustez del método SC en las siguientes iteraciones. 43 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 3. ÚLTIMAS TENDENCIAS © 3.3. Métodos Homotópicos o de Continuación • Consisten en una deformación sistemática “homotópica” hacia la solución deseada. • La función homotópica: combinación de la solución buscada y una solución conocida del problema. H(x,t) = t·F(x) + (1-t)·G(x) • • de la función Parámetro de homotopía t t=0 ⇒ Sol. conocida H(x)=G(x) • ∆t t=1 ⇒ Sol. buscada H(x)=F(x) • Modificaciones progresivas en las variables 44 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 3. ÚLTIMAS TENDENCIAS © 3.3. Métodos Homotópicos o de Continuación ⎤ ⎡ γ i ⋅ Pi0 ⎤ ⎡ Pi0 H( x, t ) = t ⋅ ⎢ ⋅ x i ⎥ + (1 − t ) ⋅ ⎢ ⋅ x i ⎥ ϕ P ⋅ ⎦⎥ ⎣⎢ i ⎦⎥ ⎣⎢ P t=0 t=0 t=1 y T e m p e r a t u r e t=1 x x 45 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 3. ÚLTIMAS TENDENCIAS © 3.4. Programación Disyuntiva (MINLP) • Alternativa para el diseño y simulación en sistemas multicomponentes, incluyendo optimización secuencias de equipos. • Resolución simultánea de las ecuaciones MESH. • Novedades: 3Todo tipo de restricciones: continuas o discontinuas. 3Toma de decisiones (variables binarias y modelización matemática de restricciones lógicas). Si la variables binarias α, β, γ estuvieran asociadas a la existencia de un condensador total, parcial o una alimentación de un reflujo directo respectivamente, la selección de una y solo una de las opciones se modelaría: α + β + γ =1 β =1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ L ⎛ ⎞ ⎡ α =1 ⎤ ⎢ ⎤ ⎜1+ D ⎟ ⋅ y1,i ⎥ ⎡ γ = 1 ⎥ ∨⎢ ⎢x = y ⎥ ∨ ⎢ ⎥ ⎝ D⎠ = x x = x L L , i RD , i , i 1 , i L , i ⎣ D ⎦ ⎢ D ⎦ LD ⎥ ⎣ D 1+ ⎢ ⎥ KD,i ⋅ D ⎦⎥ ⎣⎢ 46 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 3. ÚLTIMAS TENDENCIAS © 3.4. Programación Disyuntiva (MINLP) • Alternativa para el diseño en sistemas multicomponentes, incluyendo optimización secuencias de columnas… • Resolución simultánea de las ecuaciones MESH • Novedades: 3 Todo tipo de restricciones: continuas o discontinuas 3 Toma de decisiones (variables binarias y modelización matemática de restricciones lógicas). Si la variables binarias α, β, γ estuvieran asociadas a la existencia de un condensador total, parcial o una alimentación de un reflujo directo respectivamente, la selección de una y solo una de las opciones se modelaría: α + β + γ =1 − M ·( 1 − α ) ≤ x L D , i − y 1, i ≤ M ·( 1 − α ) Si α =1 ⇒⎡ 0 ≤ xLβD,i=−1 y1,i ≤ 0 ⎤⇒ xLD,i = y1,i No ⎛ ⎛ L DL ⎞ ⎞ ⎜1 +⎜ 1 + D⎟·y⎟ ·1y,i1,i ⎢ ⎥ ⎛ LD ⎞ ⎝− ⎝ D D⎠ ⎠ ·β≤+Mx ·(1 − ·βγ) ⎡ α =1 ⎤ ⎢ ⎤ −x M ·( 1 − β ) ≤ x = y · α + ⎜1+ ⎟ ⋅ y1,i ⎥ ⎡ γ = 1 L , i L D ,i 1,i RD ,i LD L ⎥ ∨⎢ D⎠ ⎢x = y ⎥ ∨ ⎢ ⎥ ⎝ K + D xL ,i = xRD,i ⎦ K D,iD+,i D ⎥ ⎣ L ,i 1,i ⎦ ⎢xL ,i = ⎣ L D 1+ D ⎥ ⎢ D D D Si α = 0 ⇒ −M≤ xLDK ,i − y⋅1D ,i ≤ M ⎢⎣ D,i ⎥⎦ D − M ·( 1 − γ ) ≤ x L D , i − x RD , i ≤ M ·( 1 − γ ) 47 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 3. ÚLTIMAS TENDENCIAS © 3.4. Programación Disyuntiva (MINLP) Subproblemas NLP Iniciales Conjunto de soluciones conocidas (con variables binarias fijadas) que juntas contemplan todas las posibilidades de la superestructura. Linealización de todas las ecuaciones no lineales en todas las anteriores NLP soluciones MILP master problem Aproximacion lineal del problema original modelando las disyunciones como inecuaciones relajadas Nuevo conjunto de variables binarias (cota inferior de la F.O.) Nuevo subproblema NLP Cota superior Stop? 48 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes © Índice 1. Métodos de Simulación vs Métodos de Diseño. 2. Principales Métodos Rigurosos 3. Últimas tendencias 4. Ejemplo numérico 4.1. Método Punto Burbuja 49 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes © 4. Ejemplo Numérico Simulación de una columna de rectificación con 5 componentes mediante el método BP •Calcular los perfiles de T, caudales y composiciones a lo largo de una columna de rectificación, así como las características de los productos obtenidos y los calores intercambiados en la caldera y condensador. Especificaciones iniciales: •Alimento (líquido saturado a 1 atm y 101 ºC): etano 3.0; propano 20.0; n-butano 37.0; n-pentano 35.0; n-hexano 5.0 kmol/h. Para este a 1 =atm, valores de Klay pérdida las entalpías pueden calcularse •Presión desistema la columna 1 atmlos (despreciamos de carga). dentro de un intervalo de temperatura de 10 a 180 ºC mediante las siguientes •Condensador parcial ecuaciones polinómicas, utilizando las constantes que se indican. •Caudal de destilado = 23 kmol/h Ki = αi + βi·T + χi·T2 + δi·T3 •Reflujo = 150 kmol/h HVi = Ai + Bi·T + Ci·T2 •N° de etapas de equilibrio (excluidos caldera y condensador) = 15 hLi = ai + bi·T + ci·T2 •El alimento se introduce en la etapa intermedia 50 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 4. EJEMPLO NUMÉRICO V1 V=D 1 W1 Q1 Etapa 1 F1 V2 V2 =LD+D L1 W2 Q2 Etapa 2 F2 UJ-1 F9 UJ VJ+1 WJ+1 L8 QJ Etapa j LJ VN-1 Etapa N-1 UN-1 VN LN-1 Etapa N QN UN LN L9 LN-2 QN-1 Etapa N-1 WN V10 VN-1 LN-2 VN Etapa 9 100 kmol/h UN-2 WN-1 FN V9 LJ-1 WJ FN-1 V3 L2 VJ FJ Etapa 2 L2 W3 Q 1=QCond.Parcial L1 =LD 150 kmol/h 173 kmol/h U2 V3 23 kmol/h Etapa 1 U1 © LN-1 N=17 Etapa N LN=R QN=QCaldera 51 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 4. EJEMPLO NUMÉRICO Matriz tridiagonal A j ⋅x j− 1 ,i + B j ⋅x j,i + C j ⋅x j+ 1 ,i = D © j Para cada componente i: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ 0 ⎤ ⎡x1 ⎤ ⎡ D1 ⎢ ⎥ ⎢ B2 C2 0 0 ... ... ... 0 ⎥⎥ ⎢x2 ⎥ ⎢ D2 A3 B3 C3 0 ... ... ... 0 ⎥ ⎢x3 ⎥ ⎢ D3 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ... ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ... ... ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ... ⎥⎢ ⎥ ⎢ j ... ... ... = − ⎡ V j + 1 + ∑ ( F m − W m − U m ) − V 1 + U j + (V j + W j )K⎥⋅i,⎢j ⎤ 1 ⎥≤=j⎢ ≤ N ⎢⎣ ⎥⎦ ⎥ ⎢ m =1 ⎢ ⎥ ... ... ... ⎥⎢ ⎥ ⎢ = − ( V 2 + ( F1 − W 1 − U 1 ) − V1 + U 1 + (V 1 + W 1 )·K 1, i ) ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ... D 0 D 0 LD+D 0 0 0 ... ⎥ ⎢⎢... ⎥⎥ ⎢⎢ ... ⎥ ...·40. 70A)N−=2 − B CN−2 0 ⎥ ⎢xN−2⎥ ⎢ DN−2 = − ... ( L D + D ·K 1, i )= − (150 ... N−2. 09 + 23 258 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ... ... ... 0 0 AN−1 BN−1 CN−1⎥ ⎢xN−1 ⎥ ⎢ DN−1 f(T1=101 ºC) ... ... ... 0 0 0 AN BN ⎥⎦ ⎢⎣xN ⎥⎦ ⎢⎣ DN B1 C1 -258.09 A2 0 ... ... ...B j ... ...B 1 ... 0B 1 0 0 0 0 0 ... ... ... ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 52 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 4. EJEMPLO NUMÉRICO Matriz tridiagonal A j ⋅x j− 1 ,i + B j ⋅x j,i + C j ⋅x j+ 1 ,i = D © j Para cada componente i: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ 0 ⎤ ⎡x1 ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ A2 B2 C2 0 0 ... ... ... 0 ⎥⎥ ⎢x2 ⎥ ⎢ 0 A3 B3 C3 0 ... ... ... 0 ⎥ ⎢x3 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ... ... ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ... ... ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ...C = V K ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ j j+ 1 i , j+1 1 ≤ j ≤ N - 1 ⋅⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ... ... ... ⎢ ⎥ ⎢ C 1 = V 2 ·K 2, i = ( L D + D ) ·K 2, i = (150 + 23 )· 4 . 70 = 813 . 01 ⎥ ... ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ... ... ⎥ ⎢⎢... ⎥⎥ ⎢⎢ f(T2=101 ºC) ⎥ 0 ... ... ... 0 AN−2 BN−2 CN−2 0 ⎥ ⎢xN−2⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 0 ... ... ... 0 0 AN−1 BN−1 CN−1⎥ ⎢xN−1 ⎥ ⎢ 0 ... ... ... 0 0 0 AN BN ⎥⎦ ⎢⎣xN ⎥⎦ ⎢⎣ B1 C1 -258.09 813.01 0 0 0 ... ... ... D1 D2 D3 ... ... ... ... ... ... DN−2 DN−1 DN ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 53 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 4. EJEMPLO NUMÉRICO Matriz tridiagonal A j ⋅x j− 1 ,i + B j ⋅x j,i + C j ⋅x j+ 1 ,i = D © j Para cada componente i: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ B1 C1 -258.09 813.01 A2 0 ... B2 A3 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... ... C2 B3 0 C3 0 ... ... 0 ... ... 0 ⎤ ⎡x1 ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ ... 0 ⎥⎥ ⎢x2 ⎥ ⎢ ... 0 ⎥ ⎢x3 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ... ... ⎢ D j = − F j z ij ⎥⋅ ⎢1 ≤ j ⎥≤=N ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ D 1 = − F1 · z⎥1,i = 0 ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢⎢... ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥ BN−2 CN−2 0 ⎥ ⎢xN−2⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ AN−1 BN−1 CN−1⎥ ⎢xN−1 ⎥ ⎢ 0 AN BN ⎥⎦ ⎢⎣xN ⎥⎦ ⎢⎣ ... ... 0 0 ... ... ... ... 0 AN−2 ... ... 0 0 0 ... ... ... 0 0 D 01 D2 D3 ... ... ... ... ... ... DN−2 DN−1 DN ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 54 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 4. EJEMPLO NUMÉRICO Matriz tridiagonal A j ⋅x j− 1 ,i + B j ⋅x j,i + C j ⋅x j+ 1 ,i = D © j Para cada componente i: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ B1 C1 -258.09 813.01 A 150 2 0 ... B2 A3 ... 0 0 0 ... ... C2 B3 0 C3 0 ... ... 0 ... ... ... ... j−1 ... A j = V j + ∑ ( F m − W m − U m ) − V1 2 ≤ j≤ N m =1 ... ...A 2 = V 2 + ( F1 − W1 − U 1 ) − V1 = L D = 150 ... LD+D 0 0 ... 0 ... 0 ... 0 0 D ... ... 0 AN−2 BN−2 ... ... 0 0 AN−1 ... ... 0 0 ⎤ ⎡x1 ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ ... 0 ⎥⎥ ⎢x2 ⎥ ⎢ ... 0 ⎥ ⎢x3 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ⋅⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ... ... ⎥⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢⎢... ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥ CN−2 0 ⎥ ⎢xN−2⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ BN−1 CN−1⎥ ⎢xN−1 ⎥ ⎢ AN BN ⎥⎦ ⎢⎣xN ⎥⎦ ⎢⎣ ... 0 0 D 01 D2 D3 ... ... ... ... ... ... DN−2 DN−1 DN ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 55 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 4. EJEMPLO NUMÉRICO © Resolución Matriz bidiagonal α jVj + β jVj+1 = γ j 0 0 0 ... ... ... 0 ⎤ ⎡ V3 ⎤ ⎡γ 2 − α 2 V2 ⎤ ⎡β 2 0 α = − H H ⎢αj β L j−1 0 V0j 0 ... ... ⎥ ⎥ ⎢ V ⎥ ⎢ ... 0 γ 3 4 3 3 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢β 0j = H ⎥ ... 0 ⎥ ⎢ V5 ⎥ ⎢ αV4j+1 −βH γ4 4 L j0 0 ... ... ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ j−1 ... ... ... ... ... ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ H F⎥j ) ⎢+ W ⎢γ... ⎥ Vj ⎢− H L...j ) + Q⎥j j = ⎢ ... (Fm − Wm − U m ) − V1 ⎥ (H L j − H L j−1 ) + Fj (H L j −... ...j (H ⎣m=1 ⎦ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ γ − α ·( L + D ) ... 2... ⎥D ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎢ ... ⎥ β 2 ·V3 = γ 2 − α 2 ·V2 ⇒ V3 = 2 = ⋅ ⎥ ⎢ ... β 2 ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ... ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ LD+D ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... γ − α · V ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... j j j ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ V = ⎢ 0 ... j+1 ... ... 0 α N− 3 β N− 3 0 0 ⎥ ⎢ VN− 2 ⎥ ⎢ γ N− 3 ⎥ β ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ j0 0 ... ... ... 0 0 V α β γ N− 2 N− 2 N− 2 ⎥ ⎥ ⎢ N−1 ⎥ ⎢ ⎢ ... ... 0 0 0 α N−1 β N−1 ⎥⎦ ⎢⎣ VN ⎥⎦ ⎢⎣ γ N−1 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 ... ∑ 56 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 4. EJEMPLO NUMÉRICO © Cálculo de Tª de burbuja f iV = fi P · y i ·ϕi = Suponer yi L Suponer T pio , ϕi , γ i 0 p i ·γ i ·x i yi,cal = ϕi = f (P, T, y i ) γ i = g (P, T , x i ) p i0 = h ( T ) NO pi0 ·γ i ·x i P·ϕi ∑ yi,cal = 1 SI y i ,sup = y i ,cal NO SI FIN 57 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 4. EJEMPLO NUMÉRICO © Cálculo de Tª de burbuja Vapor ideal f iV = fi P · y i ·ϕi = L Líquido ideal Suponer yi Suponer T pio , ϕi , γ i 0 p i ·γ i ·x i 1 1 ϕi = f (P, T, y i ) γ i = g (P, T , x i ) p i0 = h ( T ) yi,cal = NO pi0 ·γ i ·x i P·ϕi ∑ yi,cal = 1 SI y i ,sup = y i ,cal NO SI FIN 58 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 4. EJEMPLO NUMÉRICO © Fase Vapor no ideal: Cálculo de coeficientes de fugacidad (Ecuación de Estado de Virial) ⎡ m ⎤ P ln ϕ i = ⎢ 2 ∑ y j B ij − B mezcla ⎥ ⎣ j=1 ⎦ RT Pv B C = z = 1 + + 2 + ... RT v v B mezcla = ∑ ∑ y i y j B ij i B ij = RTcij Pcij f j [f (T ( NP) Bij = B ji ( NP ) Rij ] ) , ωijH + f ( µ ) (TRij , µ Rij ) + f ( AS ) (TRij , ηij ) 0 si µRi≤4 0 ⎡ 0.330 0.1385 0.0121 0.46 0.50 0.097 0.0073⎤ = 0.1445− − 2 − 3 + ωi ⎢0.073 + − − 3 − 8 ⎥ TRi TRi TR2 TRi TRi TRi TRi ⎥⎦ ⎢⎣ i ( ) ( f (µ ) TR i , µ R i = −5.237220 + 5.665807 ln µ R i − 2.133816 ln µ R i ( si µRi≥4 ) 0.2525373 ln µ R i ( ) ( 2.283270 ln µ R i [ ( 3 ) 2 + 2 + [ 1 5.769770 − 6.181427 ln µ R i + TR i ( − 0.2649074 ln µ R i f (AS) TR i , ηi = −ηi exp 6.6 0.7 − TR i ) )] )] 3 59 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 4. EJEMPLO NUMÉRICO © Fase Líquida no ideal: Cálculo de coeficientes de actividad (NRTL) ∑ τ ji G ji x j ln γ i = j ∑ G ki x k + ∑∑ j k k ( G ji = exp − α ji τ ji τ ji = g ji − g ii RT = ⎛ ⎜ ⎜ τ ij − G kj x k ⎜ ⎜ ⎝ G ij x j ) ∑ τ rj G rj x r ⎞⎟ r ⎟ G x ∑ kj k ⎟⎟ k ⎠ α ij = α ji A ji T A ji = A cji + A Tji (T − 273 .15 ) α ji = α cji + α Tji (T − 273 .15 ) Dependencia de los parámetros y de la constante de ordenación con la temperatura 60 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 4. EJEMPLO NUMÉRICO © Evolución: Iteración 0, 1, 2, 5, 10, 20, 40 y 100 Perfiles de T 140 130 120 110 T (ºC) 100 90 80 70 60 50 40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Piso 61 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 4. EJEMPLO NUMÉRICO © Evolución: Iteración 0, 1, 2, 5, 10, 20, 40 y 100 Perfiles de Caudales de Vapores 220 200 180 kmol/h 160 140 120 100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Piso 62 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 4. EJEMPLO NUMÉRICO © Evolución: Iteración 0, 1, 2, 5, 10, 20, 40 y 100 Perfiles de xj (LK) 1 0.9 xj (Clave ligero) 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Piso 11 12 13 14 15 16 17 18 63 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes 4. EJEMPLO NUMÉRICO © Evolución: Iteración 0, 1, 2, 5, 10, 20, 40 y 100 Perfiles de yj (LK) 1.2 yj (Clave ligero) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Piso 11 12 13 14 15 16 17 18 64 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes © Ejemplo Numérico 2 •Utilizando el método BP de Wang-Henke, calcúlese la composición de los productos, temperaturas de las etapas, composiciones y flujos de las corrientes de vapor y líquido interetapas, composiciones y flujos de las corrientes de vapor y líquido interetapas, servicio del ebullidor y servicio del condensador que resultan, para las especificaciones de la siguiente columna de destilación : •Alimentación (líquido saturado a 250 psia y 213.9ºF) . Componente lbmol/h: acetona 30.0; n-hexano 5.0; n-heptano 35.0 •Presión de la columna = 250 psia (despreciamos la pérdida de carga). •Condensador parcial y ebullidor parcial •Caudal de destilado = 23.0 lbmol/h •Reflujo = 150 lbmol/h •N° de etapas de equilibrio (excluidos el condensador y el ebullidor) = 15 •La alimentación se introduce en la etapa intermedia 65 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes Nomenclatura 0 j=1 0 j=f © D caudal molar de destilado Vj caudal de vapor que abandona el piso j Lo reflujo externo caudal de vapor que llega al piso j-1 V’j B caudal molar de residuo Vj = V’j si no se introduce ninguna corriente de Piso 0 vapor condensador entre los pisos j y j-1 Piso primer plato que de la columna el(cabeza) de líquido abandona piso j Lj 1 caudal j=N B N+1 Conclusiones Piso pisodedelíquido alimentación que llega al piso j+1 L’j f caudal Piso Nj si entre último lospiso pisosdej ylaj+1 columna no se (base) introduce Lj = L’ ningún líquido Piso N+1 caldera 1. Se ha realizado una revisión y análisis de los métodos para el cálculo de operaciones de separación multicomponentes. 2. Se conocen los fundamentos de los métodos utilizados por los simuladores comerciales con lo que se ha obtenido un conocimiento crítico para su utilización. 66 Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes © Temporalización • Clases de teoría 9h • Problemas en Sala de Ordenador 6h Bibliografía 1. Holland, C.D. “Fundamentals of Multicomponent Distillation”. McGrawHill. New York (1981). 2. King, C.J. Separation Processes. Chemical Engineering Series, Mc. Graw Hill. NY, 1988 3. Kister, H.Z. Distillation Design, McGraw-Hill, Inc. NY, 1992. 4. McCabe, W.L., Smith, J.C. & Harriot, P. “Unit Operations in Chemical Engineering”. 5ª ed. McGraw-Hill. New York (1993). 5. Seader, J.D. & Henley, E.J. “Separation Process Principles”. John Wiley & Sons, New York (1998). 6. Van Winkle, M. “Distillation”. McGraw-Hill. New York (1968). 67 Dpto. Ingeniería Química M étodos Rigurosos para el Métodos C álculo de Operaciones de Cálculo Separaci ón Multietapa en Separación Mezclas Multicomponentes Área de conocimiento: Ingeniería Química Docencia en “Operaciones de Separación” Febrero, 2003 Prof.Dr. Juan A. Reyes-Labarta © http://iq.ua.es/~jareyes/ 68