1 5.1.1 Geometría, condiciones de frontera y modos de propagación

EC232 TEORIA DE ONDAS
UNIDAD 5: FIBRAS ÓPTICAS
5.1
CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LAS FIBRAS ÓPTICAS
5.1.1 Geometría, condiciones de frontera y modos de propagación en una
fibra óptica.
Una fibra óptica consta fundamentalmente de dos cilindros dieléctricos
concéntricos, el interior denominado núcleo y el exterior denominado
revestimiento. Su sección transversal se muestra en la figura 5.1.
y
b
a
0
a
b
x
Núcleo
Revestimiento
Fig. 5.1: Sección transversal de una fibra óptica
Las fibras ópticas comerciales se fabrican comúnmente con filamentos
de silicio. El revestimiento típicamente tiene un diámetro de 125 µm, mientras
que el diámetro del núcleo depende del tipo de fibra óptica, como se expone
más adelante. Un cable óptico incorpora otros elementos para proteger a las
fibras ópticas. Sin embargo, desde el punto de vista electromagnético sólo se
considera la propagación a través de la fibra óptica, que es el elemento
principal de los cables ópticos.
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En la fibra óptica básica tanto el núcleo como el revestimiento son
dieléctricos ideales, que difieren entre sí por su permitividad eléctrica. En la
literatura de las fibras ópticas se usa más el concepto de índice de refracción n
que el de permitividad eléctrica. El índice de refracción de un medio se
relaciona con su permitividad eléctrica relativa mediante la fórmula n = ε r .
Debido a que en la fibra óptica básica el núcleo y el revestimiento son
homogéneos, el índice de refracción es discontinuo en la interfaz núcleorevestimiento, por lo cual a estas fibras ópticas se las denomina fibras ópticas
de perfil de salto de índice o fibras ópticas de índice escalonado.
Las condiciones de frontera para los campos electromagnéticos en la
interfaz núcleo-revestimiento de las fibras ópticas (superficie ρ = a) establecen
la continuidad de las componentes tangenciales del campo eléctrico y del
campo magnético, como se especifica en la tabla 5.1.
Tabla 5.1: Condiciones de frontera en las fibras ópticas
Campo eléctrico
Eˆ z1 (a,φ , z ) = Eˆ z 2 (a,φ , z )
Eˆ φ1(a, φ , z ) = Eˆ φ 2 (a,φ , z )
Campo magnético
Hˆ z1 (a,φ , z ) = Hˆ z 2 (a,φ , z )
Hˆ φ1 (a,φ , z ) = Hˆ φ 2 (a,φ , z )
Rigurosamente deberían considerarse también las condiciones de
frontera en la superficie externa del revestimiento (superficie ρ = b). Sin
embargo, se supone que los campos electromagnéticos existentes en el
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revestimiento se atenúan radialmente, extinguiéndose por completo en el
interior del mismo, lo cual es equivalente a suponer que el revestimiento es
infinito.
La continuidad de los campos electromagnéticos en la interfaz núcleorevestimiento para todo valor de la coordenada z implica que las constantes de
fase de las ondas que se propagan en el núcleo y en el revestimiento sean
idénticas. Como los modos TEM se caracterizan porque las constantes de fase
de dieléctricos ideales distintos a una frecuencia de operación determinada son
distintas, en las fibras ópticas no puede propagarse el modo TEM, ya que sería
imposible cumplir las condiciones de frontera.
De acuerdo con lo anterior, los modos de propagación en una fibra
óptica a lo sumo podrían ser TE, TM o híbridos, que como se sabe son la
superposición de modos TE y TM. Sin embargo, la geometría circular de la
fibra óptica hace que tampoco puedan propagarse de manera aislada los
modos TE y TM, como en las guías de onda metálicas, por lo que sólo se
propagan modos híbridos.
5.1.2 Propagación de ondas electromagnéticas en una fibra óptica de
índice escalonado.
Como se vio en la Unidad 4, los campos electromagnéticos de los
modos TE y TM en guías de ondas metálicas pueden descomponerse como un
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haz de dos o cuatro ondas TEM que se propagan formando cierto ángulo
respecto a la dirección de propagación.
Extendiendo esta propiedad a la fibra óptica, cada modo híbrido puede
entonces descomponerse como un haz de ondas TEM que se propagan
formando un ángulo respecto a la dirección de propagación. En el caso de las
guías de ondas metálicas, como las ondas inciden sobre paredes conductoras
que se consideran ideales, se produce reflexión total para cualquier ángulo de
incidencia, lo cual hace que idealmente toda la potencia que entra por un
puerto a una guía de ondas metálica salga por el puerto opuesto.
Para maximizar la potencia transmitida en una fibra óptica mediante
ondas que se propagan reflejándose internamente en sus paredes se requiere
también que haya reflexión total. Al estar la fibra óptica constituida por dos
dieléctricos, para obtenerse reflexión total el ángulo de incidencia de las
ondas sobre la interfaz núcleo-revestimiento debe ser igual o mayor que el
ángulo crítico, como se vio en la Unidad 3.
En la Unidad 3 se vio también que cuando hay reflexión total las ondas
que existen en el medio de transmisión se propagan en dirección paralela a la
interfaz. Además, en el caso de que se incide con un ángulo mayor que el
ángulo crítico se obtiene que los campos en el medio de transmisión se
atenúan en dirección normal a la interfaz, por lo que si el revestimiento tiene
el grosor suficiente puede lograrse que haya extinción total de los campos en
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su interior, lo cual es útil porque se elimina la interferencia electromagnética
entre fibras ópticas adyacentes.
En conclusión, la propagación eficiente de ondas electromagnéticas a
través de las fibras ópticas de índice escalonado se basa en los siguientes
principios:
a)
Se excitan modos híbridos en el núcleo, los cuales se descomponen
en haces de ondas TEM.
b)
La relación entre la frecuencia de corte de los modos y la frecuencia
de operación es tal que los haces de ondas TEM inciden con un
ángulo mayor que el ángulo crítico en la interfaz núcleorevestimiento.
c)
La incidencia con un ángulo mayor que el ángulo crítico hace que
haya reflexión total de las ondas en el núcleo y que las ondas
transmitidas en el revestimiento se propaguen en la dirección de
propagación y se atenúen en dirección radial, extinguiéndose
eventualmente en el interior del revestimiento.
En la figura 5.2 de la siguiente página se muestra la propagación
longitudinal de un haz de ondas TEM en una fibra óptica de índice
escalonado.
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θi>θic
θ=90°−θi
z
Núcleo
Revestimiento
Fig. 5.2: Propagación longitudinal de un haz de ondas TEM en una fibra
óptica de índice escalonado.
Como se vio en la Unidad 3, para que exista reflexión total en un
sistema de dos dieléctricos es necesario que v1 < v2 , siendo v la magnitud de
la velocidad de propagación de las ondas TEM. Suponiendo que ambos
dieléctricos son ideales, la condición anterior implica que ε1 > ε 2 . En
términos del índice de refracción la condición para reflexión total en una fibra
óptica es:
n1 > n2
(5.1)
donde n1 es el índice de refracción del núcleo y n2 el del revestimiento.
Las fibras ópticas se utilizan fundamentalmente para transmitir
información digital porque presentan distorsión de amplitud, como cualquier
estructura que propaga modos TE, TM y/o híbridos. Dicha información digital
se transmite en forma de pulsos, los cuales poseen un espectro frecuencial
cuya extensión depende de la forma de los pulsos.
Si se propagara un solo modo, al transmitirse un pulso a cada
componente espectral le corresponde un ángulo de incidencia, como se deduce
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a continuación. De acuerdo con lo estudiado en la Unidad 3, la relación entre
el ángulo de la dirección de propagación de las ondas TEM con respecto al eje
z, la frecuencia de corte y la frecuencia de operación es sen θ = f c f .
Suponiendo que el pulso tiene un espectro finito con f inf ≤ f ≤ f sup , y
considerando que θ = 90° − θ i , a cada componente espectral del pulso le
corresponde un ángulo de incidencia:
(
)
arcsen f c f sup ≤ θ ≤ arcsen( f c f inf )
(
arccos( f c f inf ) ≤ θ i ≤ arccos f c f sup
)
(5.2a)
(5.2b)
La diversidad de ángulos con que se propaga cada componente espectral
del pulso hace que cada componente espectral recorra una distancia distinta
entre uno y otro extremo de un tramo de fibra de longitud dada, como puede
apreciarse en la figura 5.3 para tres frecuencias distintas.
Fig. 5.3: Diferencia de recorridos para la propagación de tres componentes
espectrales y un solo modo
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Puede apreciarse en la figura 5.3 que las componentes espectrales cuyo
ángulo con respecto al eje z es menor (según la ecuación 5.2a, las
componentes de mayor frecuencia) recorren una menor distancia para llegar al
extremo derecho, y por lo tanto tardan menos tiempo que las componentes
cuyo ángulo con respecto al eje z es mayor (las de menor frecuencia), ya que
todas las componentes espectrales se propagan a la misma velocidad con
relación a su dirección de propagación TEM.
La diferencia de retardos entre las distintas componentes espectrales del
pulso produce el ensanchamiento del pulso en el extremo receptor, efecto que
se conoce como dispersión modal.
5.1.3 Características de los tipos principales de fibras ópticas.
Las fibras ópticas se diferencian por sus características de dispersión,
por el número de modos que propagan y por su atenuación. En la fibra óptica
de índice escalonado el índice de refracción varía de manera abrupta entre el
núcleo y el revestimiento. En este tipo de fibra óptica, si el diámetro del
núcleo es relativamente grande, típicamente de 62,5 µm, las frecuencias de
corte de los diversos modos son muy cercanas entre sí. Por lo tanto, cuando se
transmiten pulsos a través de una fibra óptica de núcleo grueso se excitan
múltiples modos, por lo que se denominan fibras ópticas multimodo.
Como cada modo tiene una frecuencia de corte distinta, a cada uno le
corresponde un intervalo de ángulos de propagación distinto (ecuación 5.2a)
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para el conjunto de frecuencias contenidas en el espectro del pulso. Esto se
muestra en la figura 5.4 con dos frecuencias y tres modos, donde se usó un
color distinto para identificar a cada modo, con un tono claro y un tono oscuro
para cada frecuencia.
Fig. 5.4: Recorridos de las ondas TEM correspondientes a dos frecuencias y
tres modos en una fibra óptica multimodo de índice escalonado
Puede deducirse de la mayor diferencia de distancias recorridas que el
ensanchamiento del pulso transmitido es mayor en una fibra óptica multimodo
que en una fibra óptica que propague un solo modo.
Debido a que el ensanchamiento de los pulsos en el extremo receptor
limita la tasa de transmisión para una longitud dada de fibra óptica (si el ancho
del pulso recibido es mayor que el período se produce interferencia
intersimbólica), se ha desarrollado una fibra óptica que propaga un solo modo
y que minimiza la diferencia de retardos entre las componentes de mayor y
menor frecuencia del espectro, lo cual minimiza el ensanchamiento de los
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pulsos y permite el uso de mayores tasas de transmisión. Dicha fibra óptica es
la fibra óptica monomodo de índice escalonado.
La fibra óptica monomodo de índice escalonado tiene un diámetro del
núcleo muy pequeño, típicamente inferior a 10 µm, y además su ángulo crítico
es cercano a los 90° para que las ondas TEM se propaguen casi paralelas a la
dirección de propagación. Para lograr esto último es necesario que la
diferencia entre los índices de refracción del núcleo y del revestimiento sea
muy pequeña.
Otro parámetro que caracteriza a los distintos tipos de fibra óptica es su
ángulo de aceptación α, que es el ángulo máximo que puede tener la dirección
de propagación con respecto al eje z de las ondas electromagnéticas que entran
a la fibra óptica para garantizar que éstas incidan con un ángulo mayor que el
ángulo crítico sobre la interfaz núcleo-revestimiento. El lugar geométrico de
los rayos cuyo ángulo de propagación a la entrada del núcleo es menor o igual
que el ángulo de aceptación es un cono imaginario de ángulo α denominado
cono de aceptación, como se muestra en la figura 5.5.
Revestimiento
α
α
Núcleo
z
Cono de aceptación
Fig. 5.5: Cono y ángulo de aceptación de las fibras ópticas
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En la tabla 5.2 se presentan los valores típicos del diámetro del núcleo,
relación entre índices de refracción, ángulo crítico y ángulo de aceptación para
las fibras ópticas multimodo y monomodo de índice escalonado.
Tabla 5.2: Valores típicos de los parámetros relevantes de las fibras
ópticas multimodo y monomodo de índice escalonado [1].
Parámetro
Fibra multimodo
Fibra monomodo
Diámetro del núcleo (2a)
50 µ m ≤ 2a ≤ 100 µ m
6 µ m ≤ 2a ≤ 12 µ m
Relación n1/ n2
1,01 ≤ n1 / n2 ≤ 1,02
1,001 ≤ n1 / n2 ≤ 1,002
Ángulo crítico θ ic
78,6 ° ≤ θ ic ≤ 81,9 °
84 ° ≤ θ ic ≤ 87 °
Ángulo de aceptación α
14 °
≈ 0°
Los parámetros de las fibras ópticas monomodo las hacen mucho más
costosas que las fibras ópticas multimodo, ya que las tolerancias de su proceso
de fabricación son más críticas. Adicionalmente, como el ángulo de
aceptación de las fibras ópticas monomodo es casi 0 °, deben ser excitadas con
un láser, mientras que las fibras ópticas multimodo pueden excitarse con un
LED infrarrojo acoplado a un lente convergente.
Existe un tercer tipo de fibra óptica, la fibra óptica multimodo de índice
gradual. En este tipo de fibra el índice de refracción en el revestimiento es
constante, pero en el núcleo disminuye gradualmente desde el centro hasta ser
continuo en la interfaz núcleo-revestimiento. La fibra óptica multimodo de
índice gradual tiene un núcleo relativamente grueso, lo cual hace que también
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propague múltiples modos. Sin embargo, la reducción gradual del índice de
refracción hace que los rayos se curven en vez de viajar en línea recta, como
se muestra en la figura 5.6 para dos frecuencias y tres modos.
Fig. 5.6: Propagación de dos frecuencias y tres modos a través de una fibra
óptica multimodo de índice gradual
Puede verse en la figura 5.6 que la forma curva de las trayectorias de las
ondas TEM en la fibra óptica multimodo de índice gradual reduce la
diferencia de retardos entre las distintas componentes espectrales y los
distintos modos, en comparación con la que se obtiene con una fibra óptica
multimodo de índice escalonado.
La fibra óptica multimodo de índice gradual conlleva un proceso de
fabricación delicado que las hace bastante más costosas que las fibras ópticas
multimodo de índice escalonado, aunque no tanto como las fibras ópticas
monomodo de índice escalonado.
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Debido a que cada uno de los tres tipos de fibra descrito exhibe distintas
características de dispersión, para cada una hay una relación de compromiso
entre la máxima tasa de transmisión y la máxima longitud de tramo de fibra,
de tal manera que al aumentar una la otra disminuye.
La figura 5.7 representa de manera aproximada el compromiso entre la
máxima tasa de transmisión y la longitud de tramo máxima para los tres tipos
básicos de fibra óptica.
Tasa
máxima de
transmisión
A: Fibra óptica multimodo
de índice escalonado
B: Fibra óptica multimodo
de índice gradual
C
C: Fibra óptica monomodo
de índice escalonado
B
A
Longitud
máxima
de tramo
Fig. 5.7: Compromiso entre la tasa de transmisión y la longitud de tramo para
los tres tipos básicos de fibra óptica
En la figura 5.7 se supone que la fibra tipo “C” puede operar en las
regiones “A” y “B”, y que la fibra tipo “B” puede operar en la región “A”. Sin
embargo, considerando las diferencias de costo de los tres tipos de fibra, lo
mejor es operar a cada tipo de fibra óptica exclusivamente en su región.
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La figura 5.8 muestra el diagrama de bloques de un enlace genérico de
comunicaciones ópticas punto a punto.
Tramo de fibra 1
Emisor
Repetidor
1
Repetidor
N-1
Tramo de fibra N
Receptor
Fig. 5.8: Diagrama de bloques de un enlace genérico de comunicaciones
ópticas punto a punto
Los repetidores son necesarios para poder regenerar una señal de pulsos
estrechos y amplitud suficiente antes de que la interferencia intersimbólica
producida por la dispersión, o el bajo nivel de señal producido por la
atenuación, introduzcan errores de detección. Dichos repetidores pueden
operar pasando la señal óptica a señal eléctrica y luego de nuevo a señal
óptica, o más recientemente directamente sobre la señal óptica.
La elección del tipo de fibra óptica adecuado para un enlace específico
de comunicaciones ópticas depende de la tasa de transmisión requerida, la
longitud total del enlace, la longitud máxima que puede tener cada tramo de
fibra para la tasa de transmisión especificada, y el balance entre el costo de
cada repetidor y de cada tramo de fibra óptica, con sus correspondientes
conectores y dispositivos de excitación, considerando la atenuación de la fibra
óptica como un factor implícito en la longitud máxima del tramo de fibra. La
discusión de los criterios específicos de selección y dimensionamiento de las
fibras ópticas queda fuera del alcance del presente curso de Teoría de Ondas.
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