Control de Sistemas Subactuados mediante IDA-PBC Fabio Gómez-Estern Curso de doctorado Control no lineal 2007 Contenido 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Descripción matemática de sistemas dinámicos: Ecuaciones de Hamilton Pasividad Sistemas Hamiltonianos Generalizados Estabilidad Control mediante IDA-PBC IDA-PBC en mecánicos subactuados Ejemplos Método de solución de PDEs Fricción en IDA-PBC Estabilización de oscilaciones en PCH Descripción matemática de sistemas robóticos I l Ecuaciones de Lagrange en robótica: n g.d.l. l Función Hamiltoniana H(p,q) Hamiltoniano l Ecuaciones de Hamilton Momento generalizado Descripción matemática de sistemas robóticos II l Ecuaciones de Hamilton en variables de estado Propiedades •Descripción típica en control •H = energía sii el sistema es autónomo y está descrito en sistema de referencia inercial •En sistemas autónomos (H no depende explícitamente de t) H se conserva, la energía no siempre (ejemplos) •Trayectorias Trayectorias Sistemas Hamiltonianos mecánicos y eléctricos l Sist. Inerciales y autónomos l l Mecánicos H=T(q,p)+V(q) (Cinética+Potencial) Eléctricos H=Q+V (Carga eléctrica en condensadores+flujo magnético en inductores) l En cualquiera de los casos, las trayectorias están descritas por la estructura generalizada l Donde J es antisimétrica, R>0 es la disipación y u es el vector de fuerzas generalizadas. Ejemplos Estabilidad en sistemas Hamiltonianos l l l l Sin disipación: H es constante (dem) Con disipación: H es decreciente En sistemas Hamiltonianos con disipación, H es una candidata a Función de Lyapunov Posiblemente sea necesario el principio de invariancia de LaSalle l l l Ejemplo 1: péndulo simple (no lineal) Ejemplo 2: péndulo simple invertido (no lineal) Ejemplo 3: circuito RLC Pasividad l l l l l l En sistemas eléctricos y mecánicos autónomos, la energía se disipa por la fricción y elementos resistivos Cuando se ejercen fuerzas externas, la naturaleza disipativa de los sistemas se puede expresar como un balance entre la energía acumulada y la entregada por el actuador “Desigualdad de disipación” S es la función de almacenamiento, y s la tasa de suministro. U es la entrada e y la salida Los sistemas Hamiltonianos son pasivos Útil para estabilizar sistemas Sistemas subactuados l l l Los ejemplos mecánicos anteriores corresponden a sistemas con tantos GDL como actuadores En tales casos el problema de regulación y seguimiento de trayectorias siempre tiene solución, porque la dinámica de p es invertible (Ejemplo) En numerosos problemas reales es mayor el número de grados de libertad que de actuadores reales: l l l l Aviones:6 GDL y 3 actuadores (+ gas) Motocicletas: 5 GDL y 2 actuadores (+gas) Sistemas robóticos flexibles Ahorro tecnología en robótica