Cálculo del seno del ángulo entre dos vectores

Cálculo del seno del ángulo entre dos vectores
Como el coseno entre dos vectores no nulos está dado por
cos α =
~u · ~v
,
k~uk k~v k
por la identidad trigonométrica fundamental,
sen2 α
1 − cos2 α
=
=
1−
(~u · ~v )2
.
k~uk2 k~v k2
Veamos qué sucede en coordenadas. Para ello escribimos
~u = [u1 , u2 , u3 ]
y
~v = [v1 , v2 , v3 ]
y remplazamos en la identidad. Obtenemos
k~uk2 k~v k2 sen2 α
=
k~uk2 k~v k2 − (~u · ~v )2
=
(u21 + u22 + u23 )(v12 + v22 + v32 ) − (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 )2
=
u21 v12 + u21 v22 + u21 v32 + u22 v12 + u22 v22 + u22 v32 + u23 v12 + u23 v22 + u23 v32
−(u21 v12 + u22 v22 + u23 v32 + 2u1 u2 v1 v2 + 2u1 u3 v1 v3 + 2u2 u3 v2 v3 ).
Los monomios que tienen el mismo color se cancelan y por lo tanto, cuando
simplificamos y agrupamos, nos queda
(u21 v22
+
u22 v12
(u21 + u22 + u23 )(v12 + v22 + v32 ) − (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 )2 =
− 2u1 u2 v1 v2 ) + (u22 v32 + u23 v22 − 2u2 u3 v2 v3 ) + (u21 v32 + u23 v22 − 2u1 u3 v1 v3 ) =
(u1 v2 − u2 v1 )2 + (u2 v3 − u3 v2 )2 + (u1 v3 − u3 v1 )2
Es decir,
k~uk2 k~v k2 sen2 α =
(u1 v2 − u2 v1 )2 + (u2 v3 − u3 v2 )2 + (u1 v3 − u3 v1 )2
Recordando la definición de producto vectorial,
k~uk2 k~v k2 sen2 α = k~u × ~v k2 .
Finalmente
sen α =
k~u × ~v k
k~ukk~v k2
Observación: No hay problema de signos puesto que α está entre 0 y π.