Empresa bajo incertidumbre en el precio: Modelo con dos productos

Empresa bajo incertidumbre en el precio: Modelo con dos productos
Empresa bajo incertidumbre en el precio:
Modelo con dos productos
Rodrı́guez Puerta, Inmaculada (irodriguez@ceade.es)
Dpto. de Métodos Cuantitativos
CEADE
Álvarez López, Alberto A. (aalvarez@cee.uned.es)
Dpto. de Ec. Aplicada Cuantitativa II
UNED
RESUMEN
En este trabajo, se desarrolla un modelo para una empresa competitiva que produce
una cantidad determinada de un bien, la cual debe repartir entre dos fines distintos, para
los que se tienen diferentes precios. La empresa debe decidir la cantidad que destinará a
cada fin antes de conocer el precio para uno de ellos. Tras presentar el modelo, se determina
una condición para que la empresa decida destinar al fin incierto una cantidad positiva.
A continuación, se analiza el efecto que produce un aumento del riesgo del precio incierto
en las decisiones de la empresa.
Palabras clave: empresa competitiva; incertidumbre en el precio; dominancia estocástica
de segundo orden; función de utilidad de Bernoulli; aversión al riesgo.
Clasificación JEL (Journal Economic Literature): C00, D81.
Área temática: Programación Matemática.
XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional
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Rodrı́guez Puerta, Inmaculada; Álvarez López, Alberto A.
1.
INTRODUCCIÓN
En Sandmo (1971), el autor presenta un modelo para una empresa competitiva
que debe decidir su nivel de producción antes de conocer el precio al que se venderá su
producto en el mercado. Se trata de una empresa que produce un único bien, el cual
lleva asociado un único precio.
En este trabajo vamos a considerar una empresa que produce un único bien
pero, a diferencia del modelo de Sandmo, la cantidad que produce está determinada.
Además, la empresa puede optar por destinar su producto a dos fines distintos,
cuyos precios son, en general, diferentes. En nuestro modelo, consideraremos que la
incertidumbre proviene del precio para uno de los destinos.
En primer lugar, construiremos el modelo y daremos una condición necesaria y
suficiente para que la empresa decida destinar al fin incierto una cantidad positiva.
A continuación, determinaremos el efecto que produce un incremento del riesgo del
precio incierto sobre las decisiones de la empresa. Formalizaremos este incremento
del riesgo en el sentido de la dominancia estocástica de segundo orden.
2.
EL MODELO
Consideraremos una empresa que va a producir una cantidad qt , fijada previ-
amente, de un cierto bien, el cual puede ser destinado, posteriormente, a dos fines
distintos. La empresa debe decidir el número de unidades que destinará a cada fin.
Supondremos que se destina el total de la producción entre ambos fines. Ası́,
la empresa sólo deberá elegir el nivel de producción q (0 ≤ q ≤ qt ) que destinará al primero de ellos; la cantidad q ′ que destinará al segundo quedará determinada
por: q ′ = qt − q.
El precio del primer destino es desconocido en el momento en que se toma la
decisión. Este precio vendrá dado por una variable aleatoria no degenerada P ≥ 0 (de
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media µ), sobre la que la empresa no tiene control de ningún tipo. Por el contrario,
el precio p′ ≥ 0 del segundo destino es conocido de antemano.
Bajo estas suposiciones, el beneficio que obtiene la empresa viene dado por:
π(q) = P · q + p′ · q ′ − C = (P − p′ ) · q + p′ · qt − C,
donde C es el coste de producir las qt unidades. Supondremos que π(0) ≥ 0, o lo
que es equivalente: el precio conocido del segundo destino es mayor o igual que el
coste medio de toda la producción, es decir: p′ ≥ C/qt .
También, supondremos que la empresa es competitiva y posee aversión al riesgo.
Es más, consideraremos que posee una función de utilidad de Bernoulli u que verifica: u′ > 0 y u′′ < 0.
El objetivo de la empresa será maximizar la utilidad esperada del beneficio. Es
decir, la empresa busca el nivel óptimo de unidades q ∗ que debe destinar al primer
fin, donde q ∗ satisface:
U (q ∗ ) = máx U (q),
q∈[0,qt ]
siendo U la función de utilidad de von Neumann-Morgenstern correspondiente, que
viene dada por:
U (q) = E u π(q) = E u (P − p′ ) · q + p′ · qt − C .
Se trata pues, de un problema de maximización, en la variable q, sobre el intervalo
cerrado [0, qt ].
Las derivadas primera y segunda de U viene dadas por:
U ′ (q) = E[u′ (π) · (P − p′ )] y U ′′ (q) = E[u′′ (π) · (P − p′ )2 ].
Obsérvese que U ′′ (q) < 0 (pues u′′ < 0); por lo tanto, U posee un único máximo q ∗
sobre el intervalo [0, qt ]. Además se cumplirá que U ′ (q ∗ ) = 0 si q ∗ es interior al
intervalo, U ′ (q ∗ ) ≤ 0 si q ∗ = 0, y U ′ (q ∗ ) ≥ 0 si q ∗ = qt .
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A continuación, veremos una condición necesaria y suficiente para que la empresa decida destinar al primer fin una cantidad no nula. Antes, necesitamos el siguiente
lema auxiliar:1
Lema 1. Si φ es una función numérica estrictamente decreciente sobre R, y X es
una variable aleatoria no degenerada de esperanza finita, entonces:
E X · φ(X) < φ(0) · E[X].
Se tiene la siguiente caracterización:
Proposición 1. Una condición necesaria y suficiente para: 0 < q ∗ ≤ qt es: µ > p′ .
Demostración. Si suponemos que 0 < q ∗ ≤ qt , se tiene:
0 ≤ U ′ (q ∗ ) = E[u′ (π) · (P − p′ )] < u′ (p′ · qt − C) · (µ − p′ ),
donde la última desigualdad se obtiene aplicando el lema 1 a la variable aleatoria X = P − p′ y a la función φ(s) = u′ (s · q + p′ · qt − C), que es estrictamente
decreciente, pues φ′ (s) = q · u′′ (s · q + p′ · qt − C) < 0. Como u′ > 0, se concluye
que µ > p′ .
Para la otra implicación, procedemos por contraposición: si suponemos: q ∗ = 0,
entonces π(q ∗ ) = p′ · qt − C, que no es aleatorio, de donde:
0 ≥ U ′ (q ∗ ) = E[u′ (π) · (P − p′ )] = u′ (p′ · qt − C) · (µ − p′ ),
y µ ≤ p′ .
En consecuencia, la empresa sólo invierte en el primer destino posible de su
bien, que es incierto, si su precio esperado es mayor que el precio, conocido, del
segundo destino.
1
4
Para una demostración de este lema, cf. Lippman–McCall (1981).
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De aquı́ en adelante, se considerará que la empresa destina al primer fin una
cantidad no nula y distinta del total: 0 < q < qt ; en particular, estaremos suponiendo
entonces que µ > p′ . Nótese que, en este caso, el beneficio esperado es positivo; sin
pérdida de generalidad, podemos suponer que π(q) > 0 para cada elección posible q.
3.
EFECTO DEL INCREMENTO DEL RIESGO
En este apartado vamos a analizar cuál es el efecto de un incremento del riesgo
en el precio del primer destino. Para ello, emplearemos un razonamiento basado en
el modo de proceder de Lippman-McCall (1981), que analiza las consecuencias del
aumento del riesgo en el sentido de la dominancia estocástica de segundo orden.
Previamente, será necesario hacer un estudio de la función: f (s) = su′ (s), s ≥ 0.
Proposición 2. Sobre R+ se verifica:2 si f es convexa, entonces u′ es estrictamente
convexa, y si u′ es cóncava, entonces f es estrictamente cóncava.
Demostración. Se tiene: f ′′ (s) = 2u′′ (s) + su′′′ (s), donde el sumando 2u′′ (s) es negativo. Si f ′′ ≥ 0, entonces u′′′ > 0; y si u′′′ ≤ 0, entonces f ′′ < 0.
Antes de enunciar el teorema mediante el cual se determina el efecto de la
incertidumbre en el precio del primer destino, vamos a ver un lema previo, cuya
demostración omitiremos3 . En este lema se considera que F y G son las funciones
de distribución de las variables aleatorias X e Y , respectivamente, que verifican:
F (0) = 0, G(0) = 0, F (x0 ) = 1 para algún x0 y G(y0 ) = 1 para algún y0 . La
notación X ≻2 Y significa que Y es estrictamente más arriesgada que X en el
sentido de la dominancia estocástica de segundo orden.
2
3
Denotamos por R+ el conjunto de los números reales no negativos.
El lector interesado puede pedir los detalles de esta prueba a los autores. En un contexto
diferente, hay una prueba en Hadar–Russell (1969).
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Lema 2. Supongamos que X ≻2 Y (en sentido estricto), con E(X) = E(Y ), y sea h
una función numérica. Se tiene:
a) si h es estrictamente cóncava, entonces E[h(X)] > E[h(Y )];
b) si h es estrictamente convexa, entonces E[h(X)] < E[h(Y )].
Teorema 1. Sea qi∗ , con 0 < qi∗ < qt , la cantidad óptima que se debe destinar al
primer bien cuando el precio P tiene la misma distribución que la variable aleatoria
Pi (i ∈ {1, 2}), y supongamos que P1 es estrictamente más arriesgada que P2 en el
sentido de la dominancia estocástica de segundo orden (esto es: P2 ≻2 P1 en sentido
estricto), con E(P1 ) = E(P2 ). Se tiene:
a) si f es estrictamente cóncava y u′ es estrictamente convexa, entonces q1∗ < q2∗ ;
b) si f es estrictamente convexa y p′ = C/qt , entonces q1∗ > q2∗ .
Demostración. Denotaremos por πi y Ui el beneficio y la utilidad esperada del beneficio, respectivamente, cuando P = Pi , es decir:
πi (q) = (Pi − p′ ) · q + p′ · qt − C
y Ui (q) = E u πi (q) ,
para i ∈ {1, 2}. Entonces:
′
′
U1 (q) − U2 (q) = E[(P1 − p′ ) · u′ (π1 )] − E[(P2 − p′ ) · u′ (π2 )].
Si en el segundo miembro de la igualdad anterior multiplicamos y dividimos por q
ambos sumandos, se obtiene:
1
1
· E[(P1 − p′ ) · q · u′ (π1 )] − · E[(P2 − p′ ) · q · u′ (π2 )].
q
q
Sumando y restando (1/q)E[(p′ · qt − C) · u′ (πi )] para cada i, y agrupando convenientemente, llegamos a:
1
1
· E (P1 − p′ ) · q + p′ · qt − C · u′ (π1 ) − · E[(p′ · qt − C) · u′ (π1 )]
q
q
1
1
− · E (P2 − p′ ) · q + p′ · qt − C · u′ (π2 ) + · E[(p′ · qt − C) · u′ (π2 )],
q
q
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de donde, teniendo en cuenta la definición de πi y que π(0) = p′ ·qt −C para cualquier
variable aleatoria P , resulta:
1
1
1
1
· E[π1 · u′ (π1 )] − · E[π(0) · u′ (π1 )] − · E[π2 · u′ (π2 )] + · E[π(0) · u′ (π2 )].
q
q
q
q
Como f (πi ) = πi · u′ (πi ) para cada i, se obtiene finalmente:
π(0) 1 · E[f (π1 )] − E[f (π2 )] −
· E[u′ (π1 )] − E[u′ (π2 )] .
q
q
(1)
Si f es estrictamente cóncava y u′ es estrictamente convexa, lo mismo son, respectivamente, las funciones:
s 7→ f (s − p′ ) · q + p′ · qt − C
y s 7→ u′ (r − p′ ) · q + p′ · qt − C ;
como P2 ≻2 P1 y E(P1 ) = E(P2 ) por hipótesis, de acuerdo con el lema 2, se obtiene
que Ef (π1 ) < E2 f (π2 ) y E[u′ (π1 )] > E[u′ (π2 )]; al ser π(0) ≥ 0, de (1) se deduce:
′
′
U1 (q) < U2 (q).
′
′′
′
Dado que U1 y U2 son funciones decrecientes (pues Ui < 0), se concluye:
q1∗ < q2∗ .
Si suponemos que f es estrictamente convexa y p′ = C/qt , se anula el segundo
sumando de (1), y se deduce que el primero es positivo aplicando el lema 2. En este
caso, razonando de igual modo se obtiene: q1∗ > q2∗ .
El caso f estrictamente convexa y u′ estrictamente cóncava, para el cual ambos
sumandos son positivos, no es posible por la proposición 2.
Por lo tanto, si f es estrictamente cóncava y u′ es estrictamente convexa, un
aumento del riesgo en el precio del primer fin lleva a la empresa a una reducción de
la cantidad que destina a este fin y, en consecuencia, a un aumento de la cantidad
que destina al segundo. Por otro lado, si f es estrictamente convexa y el precio
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del segundo destino es igual al coste medio, un aumento del riesgo en el precio del
primer fin lleva a la empresa a un incremento de la cantidad que destina a este fin,
y en consecuencia a una reducción de la cantidad que destina al segundo. Cuando
p′ es suficientemente próximo a C/qt , la cantidad que se destina al primer fin crece
o decrece dependiendo únicamente de si f es estrictamente convexa o estrictamente
cóncava, respectivamente.
4.
CONCLUSIONES
Una empresa, con un determinado nivel de producción y dos destinos posibles,
solamente invertirá en el primero de ellos, cuyo precio es incierto, si el precio esperado
de este primer destino es mayor que el precio conocido y seguro del segundo.
Si suponemos que la cantidad óptima que la empresa debe destinar al primer
fin bajo incertidumbre es no nula y distinta de la producción total, entonces, cuando
el precio conocido del segundo destino es igual o suficientemente próximo al coste
medio, el incremento del riesgo del precio del primer destino puede llevar tanto
a un aumento como a una reducción de la cantidad que se destina al primer fin,
dependiendo ello únicamente de si la función f que hemos definido en la sección
anterior es estrictamente convexa o estrictamente cóncava, respectivamente.
Actualmente, estamos en una lı́nea de trabajo con la que tratamos de cuantificar,
mediante la medida de Aumann-Serrano (2006), la variación de riesgo necesaria para
que la solución óptima varı́e.
Otra futura lı́nea de trabajo consiste en la generalización del modelo considerando más de dos fines para el bien producido.4
4
Esta lı́nea de trabajo ha sido sugerida por el revisor del artı́culo. Queremos agradecerle par-
ticularmente esta sugerencia.
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5.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AUMANN, ROBERT J. y SERRANO, R. (2006). “An Economic Index of
Riskiness”. Working Paper 2006-20, Department of Economics, Brown University.
HADAR, J. y RUSSELL, W.R. (1969). “Rules for Ordering Uncertain Prospects”. The American Economic Review, Vol. 59, No. 1,pp. 25-34.
LIPPMAN, STEVEN. A. y McCALL, JOHN. J. (1981). “The Economics of
Uncertainty: Selected Topics and Probabilistic Methods”. Handbook of Mathematical Economics. Arrow and Intriligator, North-Holland, Cap. 6, pp. 247260.
MAS-COLELL, A., WHISTON, M.D. y GREEN, J.R. (1995). “Microeconomic
Theory”. Oxford University Press, New York, Cap. 6, pp. 167-215.
SANDMO, A. (1971). “On the Theory of the Firm Competitive Under Price
Uncertainty”. The American Economic Review, Vol. 61, No. 1, pp. 65-73.
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