Lógica Computacional: Relación 1

E.T.S.I. Informática
Lógica Computacional: Relación 1
1. De las siguientes cadenas de sı́mbolos, diga cuáles son fórmulas bien formadas de la Lógica Clásica Proposicional, cuáles no y diga por qué:
p ∧ q → ¬r,
(p ∧ ¬r) → q,
¬(¬(p ∨ q)),
(q ∨ r) →,
(¬p ∧ r) → ¬(p → ¬r),
r ← (¬p ∨ q)
2. Determine los modelos y contramodelos de la fórmula A = (p ∨ ¬q) → (p ∧ q): ¿Es satisfacible la fórmula A?
¿Es válida la fórmula A?
3. Determine los modelos y contramodelos de la fórmula A = (p → ¬q) → (¬p ∨ ¬q): ¿Es satisfacible la fórmula
A? ¿Es válida la fórmula A?
4. Construya, si es posible: (a) una fórmula bien formada que NO sea válida; (b) una fórmula bien formada que
SÍ sea válida; (c) una fórmula válida que NO sea bien formada.
5. Construya, si es posible: (a) una fórmula satisfacible que NO sea válida; (b) una fórmula satisfacible que
SÍ sea válida; (c) una fórmula válida que NO sea satisfacible.
6. Determine si son insatisfacibles, satisfacibles o válidas las siguientes fórmulas:
(p → q) → p,
(p ∨ q) → ¬(q ∨ p),
(p ∧ q) → (q ∧ p),
(p ∨ q) → (p ∨ r),
(p → q) ∧ (¬p ∨ q)
7. Determine si son satisfacibles o insatisfacibles los siguientes conjuntos de fórmulas:
{p ∨ q, ¬(¬p → q)},
{p → q, (p ∧ q) → ¬p},
{p, ¬q, p ∧ q},
{p, q, p ∨ q}
8. Determine los modelos y contramodelos del conjunto de fórmulas Ω = {¬q → p, ¬p ∨ r, ¬q → r}: ¿El conjunto
Ω es satisfacible? ¿Es correcta la inferencia Ω |= q? ¿Es correcta la inferencia Ω |= r?
9. Demuestre que si I : L → {0, 1} es una interpretación de la Lógica Clásica Proposicional, se verifica que:
a) I(¬A) = 1 − I(A)
b) I(A ∧ B) = mı́n{I(A), I(B)}
c) I(A ∨ B) = máx{I(A), I(B)}
d) I(A → B) = 1 si y solo si I(A) ≤ I(B)
10. Estudie la validez del siguiente razonamiento:
Si hay petróleo en Poligonia, entonces o los expertos tienen razón o el gobierno está mintiendo. No
hay petroleo en Poligonia, o si no los expertos se equivocan. Ası́ pues, el gobierno no está mintiendo.
11. Consideremos las siguientes fórmulas: A = p → (q → r), B = (p ∧ q) → r. Determine los conjuntos Mod(A) y
Mod(B). ¿Qué relación hay entre A y B?
12. Demuestre las siguientes propiedades de Mod
a) Si Ω ⊇ Ω′ , entonces Mod(Ω) ⊆ Mod(Ω′ )
b) Mod(A ∨ B) = Mod(A) ∪ Mod(B)
c) Mod(A ∧ B) = Mod(A) ∩ Mod(B)
1
13. Sea Ω un conjunto de fórmulas y A, B y C fórmulas. Pruebe las siguientes afirmaciones:
a) Ω |= B ∧ C si y solo si Ω |= B y Ω |= C
b) Ω ∪ {A} |= A ∨ B
c) Ω ∪ {A} |= B si y solo si Ω |= A → B.
14. Exprese la fórmula (¬p ∧ ¬q) → (¬r ∧ s) de manera equivalente usando los siguientes conjuntos adecuados de
conectivas {¬, ∧}, {¬, ∨} y {¬, →}.
15. Consideramos las siguientes conectivas binarias: Nor o flecha de Peirce que se denota por ↓, Nand o barra
de Sheffer que se denota por | y la disyunción exclusiva que se denota ⊕; su semántica viene dada por las
siguientes tablas de verdad:
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p↓q
0
0
0
1
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p|q
0
1
1
1
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
a) Exprese las fórmulas p ↓ q, p | q y p ⊕ q usando los conectivos primitivos.
b) Demuestre que {↓} y {|} son conjuntos adecuados de conectivas para L.
2
p⊕q
0
1
1
0
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Lógica Computacional: Ejercicios propuestos (1)
1. Formalizar los siguientes razonamientos:
a) Si no hay control de nacimientos, entonces la población crece ilimitadamente. Pero si la población crece
ilimitadamente, aumentará el ı́ndice de pobreza. Por consiguiente, si no hay control de nacimientos,
aumentará el indice de pobreza.
b) Si Valdés ha instalado calefacción central, entonces ha vendido su coche o ha pedido dinero prestado al
banco. Por tanto, si Valdés no ha vendido su coche, entonces no ha instalado calefacción central.
2. Escriba cinco fórmulas con tres variables proposicionales distintas y grado mayor que cinco. Diga cuáles son
insatisfacibles, cuáles son satisfacibles y cuáles son válidas.
3. Razone con ((exactitud)) sobre la veracidad de las siguientes afirmaciones:
a) Si una fórmula no es válida, su negación sı́ lo es.
b) Si una fórmula no es satisfacible, su negación sı́ lo es.
c) Si una fórmula no es consecuencia de un conjunto de fórmulas, su negación sı́ lo es.
d) Si una fórmula no es consecuencia de un conjunto de fórmulas, su negación tampoco.
e) Si un conjunto de fórmulas es satisfacible, cada elemento del conjunto también es satisfacible.
f ) Si cada elemento de un conjunto de fórmulas es satisfacible, el conjunto también es satisfacible.
g) Si Ω |= A, es posible que exista Ω′ ⊃ Ω tal que Ω′ 6|= A.
h) Si Ω 6|= A, es posible que exista Ω′ ⊃ Ω tal que Ω′ |= A.
4. Demuestre que si I es una interpretación, se verifica que:
a) I(A ∧ B) = I(A)I(B)
b) I(A ∨ B) = I(A) + I(B) − I(A)I(B)
c) I(A → B) = 1 − I(A) + I(A)I(B)
d) I(A↔B) = 1 − |I(A) − I(B)|
5. Demuestre que las siguientes fórmulas son tautologı́as:
p → (q → p)
(p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))
(p → q) → (¬q → ¬p)
6. Sea Ω un conjunto de fórmulas y sean A, B y C fórmulas. Pruebe las siguientes afirmaciones:
a) A ∧ B |= A,
A ∧ B |= B
b) Ω ∪ {A, B} |= A ∧ B
c) A |= A ∨ B y B |= A ∨ B
d) Si Ω |= A ∨ B, Ω ∪ {A} |= C y Ω ∪ {B} |= C, entonces Ω |= C
e) Si Ω ∪ {A} |= C y Ω ∪ {B} |= C, entonces Ω ∪ {A ∨ B} |= C.
f ) A, A → B |= B.
g) Si Ω |= A y Ω |= A → B, entonces Ω |= B.
3
h) Si Ω |= B y Ω ∪ {A} |= ¬B, entonces Ω |= ¬A.
i) A ∨ B, ¬A ∨ C |= B ∨ C.
7. Demuestre las siguientes propiedades de Mod
a) Mod(Ω ∪ Ω′ ) = Mod(Ω) ∩ Mod(Ω′ )
b) Mod(¬A) = I rMod(A) = Mod(A)c
8. Demuestre las equivalencias básicas.
9. Sean B y C dos fórmulas. Defina recursivamente la aplicación [B/C] : L → L tal que:
Si B ⊑ A, A[B/C] es la fórmula que se obtiene al sustituir todas las apariciones de la subfórmula
B en A por C.
10. Demuestre el teorema de equivalencia: si A, B y C son fórmulas tales que B ⊑ A y C ≡ B, entonces
A ≡ A[B/C]. Indicación: use inducción sobre el grado de A para demostrar que I(A) = I(A[B/C]) para toda
interpretación I.
11. Demuestre el Principio de sustitución: Si p es una variable proposicional que aparece en A, entonces, A es
válida si y solo si para toda fórmula B, A[p/B] es válida.
Indicación: para demostrar la condición necesaria (⇒), considere, para cada interpretación I, la interpretación
I ∗ definida como: I ∗ (p) = I(B), I ∗ (q) = I(q) si q 6= p; pruebe entonces por inducción sobre el grado de A que
I(A[p/B]) = I ∗ (A).)
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