Trigonometría Plana - Facultad Regional Trenque Lauquen

M ÓDULO 7:
T RIGONOMETRÍA P LANA
Física
Los ángulos y sus medidas. Funciones trigonométricas.
Cuadrantes. Teorema de Pitágoras. Áreas. Volúmenes.
UTN – Facultad Regional Trenque Lauquen
29/01/2015
UTN – Facultad Regional Trenque Lauquen
Física – Ingreso 2015
MÓDULO 7: TRIGONOMETRÍA PLANA
Física
Los ángulos y sus medidas
Con objeto de estudiar los ángulos y
su medida consideraremos que un
ángulo es un recorrido en la
circunferencia con centro el origen y
de radio unidad o circunferencia
goniométrica, el punto de partida de
estos recorridos se situará en el
punto de coordenadas (1,0) y la
medida de un ángulo será la medida
de ese recorrido.
Los ángulos pueden tener sentido
positivo o negativo según sea el de
su recorrido; si es contrario al de las
agujas del reloj será positivo y si es
igual, negativo.
Radianes
Medir un ángulo es medir su recorrido
en la circunferencia. Como la medida de
toda la circunferencia es
,
resulta conveniente tomar como unidad
de medida el radio.
En las figuras, los ángulos se
representan en una circunferencia de
radio 1, ello no significa que el radio
mida 1 cm o 1 pie o 1 m, sino que el
radio es la unidad de medida tomada.
Por razones evidentes a esta unidad se le llama radián. Su símbolo es rad.
Grados sexagesimales
Ya conoces el sistema sexagesimal de medida de ángulos.
Al dividir la circunferencia en 360 partes iguales, obtenemos un grado, a su
vez cada grado se compone de 60 minutos y cada minuto de 60 segundos.
Así un ángulo se mide en: gradosº minutos’ segundos’’
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De grados a radianes y de radianes a grados
Dijimos que en una circunferencia tenemos
, y también que la misma
circunferencia podríamos dividirla en 360 grados. Por lo tanto allí tenemos
una relación para convertir los ángulos medidos en radianes a ángulos en
grados, y viceversa:
Ejercicios
1. Dibuja en la circunferencia goniométrica los ángulos de 120º, -50º y 315º.
a) Para el ángulo de 120º
2. Dibuja en la circunferencia goniométrica el ángulo de
rad.
,
,y
a) Para el ángulo de
3. Pasa a radianes: a) 150º, b) 210º, c) 270º, d) 60º
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4. Pasa a grados: a)
rad, b)
, c)
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, d)
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el
triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las
longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los
ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con
y
. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son
semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales.
Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC
obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo
el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero
si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas
posibilidades:
Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos
distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo
mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la
longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox
0.64).
A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto
al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y
se escribe
.
Definición de las razones trigonométricas de ángulos agudos
En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor
obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud
de la hipotenusa.
Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la
longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
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Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al
valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la
longitud del cateto contiguo.
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Cuadrantes
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes llamados
cuadrantes. Tenemos así,
el primero (I), segundo (II),
tercero (III) y cuarto (IV)
cuadrante. Observa que los
cuadrantes se definen en
sentido contrario a las
agujas del reloj.
A partir de asignar a los catetos los signos de acuerdo a los valores de los
ejes de las ordenadas y las abscisas, obtenemos los signos de las ecuaciones
trigonométricas de acuerdo al cuadrante al que pertenece el ángulo bajo
estudio.
Usando la calculadora
Teorema de Pitágoras
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de sus catetos”.
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Áreas y Volúmenes
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