P23.62 Cuatro cargas puntuales idénticas cada una con carga +q están fijas en las esquinas de un cuadrado de lado d. Una quinta carga puntual -Q está a una distancia z del cuadrado, a lo largo de la línea que es perpendicular al plano del cuadrado y que pasa por su centro. a. Muestre que la fuerza jercida sobre -Q por las otras cuatro cargas es : F=− Advierta que esta fuerza está es positiva o negativa. 4k l qQz k d 2 3/ 2 2 dirigida hacia el centro del cuadrado si z (z + ) 2 b. Si z<<d la expresión anterior se reduce a F -(const)zk. ¿Porqué este resultado implica que el movimiento de -Q es armónico simple y cuál sería el periodo de este movimiento si la masa de -Q es m2 ? Respuesta : La distancia de cada esquina al centro del cuadrado es : ((d/2)2 + (d/2)2)1/2 = ((d2 /2)1/2 La distancia de cada carga positiva a -Q es (z2 + d2 / 21/2). Cada carga positiva ejerce una fuerza k e qQ 2 z + d 2 / 2 dirigida en dirección a la línea que une q y -Q. z Esta línea forma un ángulo con el eje z cuyo coseno es ( z + d 2 / 2 ) 1/ 2 2 Las cuatro cargas juntas ejercen fuerzas cuyas componentes en x e y, se anulan, mientras que en z producen : 4k qQ( − k ) e ( z 2 + d 2 / 2 ) 3/2 b. Para z <<d F≅ − 4( 2 3 / 2 )k e qQ = maz d3 La aceleración del objeto es directamente opuesta a su desviación del equilibrio, y en az = −ω2 z magnitud proporcional a ella. Esta es la condición para el MAS, con 128k e qQ 4π 2 ω = = 2 md 3 T 2 π md 3 • T = 1/4 8 k e qQ 1/2