Resolución Numérica de Problemas de Transmisión de Calor. Método de las diferencias finitas. 1. División del espacio considerado en una serie de elementos cuyas propiedades vienen representadas por un punto central (nodo). 2. Aplicación de balances de energía a cada elemento, obteniendo la ecuación característica para cada nodo. 3. Resolución simultánea de todos los balances, para obtener el perfil de temperaturas. 4. Si el caso lo requiere cálculo del flujo de calor con la ley de Fourier y el perfil de temperaturas. 1. División del espacio considerado en una serie de elementos cuyas propiedades vienen representadas por un punto central (nodo). Tipos de nodos a) Nodos en elementos centrales . . . . . . . . . i, j+1 Δy i-1, j i, j Δy i+1, j Δx i, j-1 Δx Tipos de nodos b) Nodos en elementos laterales . . . . . . i, j+1 i, j i, j-1 Δy i+1, j Δx/2 c) Nodos en elementos de esquina i, j i, j-1 i+1, j . Δy/2 Δx/2 2. Aplicación de balances de energía a cada elemento, obteniendo la ecuación característica para cada nodo. E+G=S+Ac Entrada-Salida Conducción, convección... Generación: Acumulación: Régimen estacionario y Régimen no estacionario 3. Resolución simultánea de todos los balances, para obtener el perfil de temperaturas. Microsoft Excel Referencia circular Fórmulas que hacen referencia a sus propias celdas Cuando una fórmula hace referencia a su propia celda, directa o indirectamente, se denomina referencia circular. Para calcular esta fórmula, Microsoft Excel deberá calcular cada celda implicada en la referencia circular utilizando los resultados de la iteración anterior. Si no se cambia el valor predeterminado de la iteración, Excel detendrá los cálculos tras 100 iteraciones o después de que todos los valores en la referencia circular cambien menos de 0,001 entre iteraciones, independientemente de cuál sea la primera. 4. Si el caso requiere el cálculo del flujo de calor con la ley de Fourier o la ley de Newton del enfriamiento y el perfil de temperaturas. Q = −k A Ti +1, j − Ti , j ΔT dT ≅ −k = −k (WΔy ) Δx dx Δx Q = h A(T∞ − Ti , j ) Caso 1: Conducción en estado estacionario. Hállese la distribución de temperatura en los nodos de la placa representada en la figura (5 cm X 10 cm), suponiendo que en las esquinas la temperatura es el valor medio del de las dos caras en las que se encuentran. Determínese también el flujo de calor que atraviesa el plano central vertical si la conductividad de la placa es de 1 W/mºK. T=100 ºC T=100 ºC T=600 ºC T=900 ºC T=400 ºC Δy= Δx=1 cm T=600 ºC T=900 ºC T=400 ºC Caso 1: Conducción en estado estacionario Q1 = Ti , j +1 − Ti , j Δy k (WΔx ) Ti −1, j − Ti , j Q3 = Δx k (WΔy ) Δy Δx Q4 = Ti , j −1 − Ti , j Δy k (WΔx ) Q2 = Ti +1, j − Ti , j Δx k (WΔy ) Caso 1: Conducción en estado estacionario E+G=S+Ac (E-S)+G=Ac Estado estacionario sin generación G=Ac=0 Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 0 Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Ti −1, j − Ti , j Ti , j −1 − Ti , j =0 + + + Δy Δx Δx Δy k (WΔy ) k (WΔy ) k (WΔx ) k (WΔx ) Ti , j +1 − Ti , j + Ti +1, j − Ti , j + Ti −1, j − Ti , j + Ti , j −1 − Ti , j = 0 Ti , j +1 + Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j −1 − 4Ti , j = 0 Ti , j = Ti , j +1 + Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j −1 4 2. Estructurar la hoja de Cálculo e incluir condiciones de contorno Ti , j = Ti , j +1 + Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j −1 4 Caso 2: Conducción en estado estacionario con convección. En la figura se muestra la sección transversal de una viga de hierro (ρ=7880 kg/m3, cp=1257 J/(kg K) y k=35.1 W/(m K)) de dimensiones 20 x 10 cm (y longitud muy larga) situada en el suelo y cubierta parcialmente de nieve.La nieve hace que la temperatura de las paredes laterales sea de 0ºC (incluir las 4 esquinas) La parte superior de la viga está en contacto con aire a 15ºC. El coeficiente individual de transferencia de energía entre la parte superior de la viga y el aire es de 100 W/(m2K) La parte inferior de la viga puede considerarse aislada 1) Obtener el perfil de temperaturas del sistema. 2) Determinar el flujo de calor por unidad de longitud de viga que pierde o gana la viga a través de la superficie superior en contacto con el aire. Resuélvase el problema por métodos numéricos. Tómese un valor de 2 cm para los incrementos de x e y. Aire T=15ºC 20 cm Nieve T= 0ºC VIGA 10 cm Nieve T= 0ºC La viga está aislada del suelo Nodos de temperatura conocida: T=0ºC Nodos en elementos centrales, con transporte de calor por conducción por sus cuatro caras Nodos en elementos laterales, con transporte de calor por conducción por tres caras; una de ellas está aislada térmicamente. Nodos en elementos laterales, con transporte de calor por conducción por tres caras, y transporte de calor por convección por la cuarta Nodos en elementos centrales, con transporte de calor por conducción por sus cuatro caras Q1 = Ti , j +1 − Ti , j Δy k (WΔx ) T −T Q3 = i −1, j i , j Δx k (WΔy ) Δy Δx Q4 = Ti , j −1 − Ti , j Δy k (WΔx ) Q2 = Ti +1, j − Ti , j Δx k (WΔy ) Conducción en estado estacionario E+G=S+Ac (E-S)+G=Ac Estado estacionario sin generación G=Ac=0 Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 0 Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Ti −1, j − Ti , j Ti , j −1 − Ti , j =0 + + + Δy Δx Δx Δy k (WΔy ) k (WΔy ) k (WΔx ) k (WΔx ) Ti , j +1 − Ti , j + Ti +1, j − Ti , j + Ti −1, j − Ti , j + Ti , j −1 − Ti , j = 0 Ti , j +1 + Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j −1 − 4Ti , j = 0 Ti , j = Ti , j +1 + Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j −1 4 Nodos en elementos laterales, con transporte de calor por conducción por tres caras; una de ellas está aislada térmicamente. Ti , j +1 − Ti , j Q1 = Δy k (ΔxW ) Ti −1, j − Ti , j Q3 = Δx ⎛ Δy ⎞ k ⎜W ⎟ 2 ⎝ ⎠ Δy/2 Δx Q4 = 0 Ti +1, j − Ti , j Q2 = Δx ⎛ Δy ⎞ k ⎜W ⎟ ⎝ 2 ⎠ E+G=S+Ac (E-S)+G=Ac Estado estacionario sin generación G=Ac=0 Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 0 Ti −1, j − Ti , j Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j + + +0 =0 Δx Δx Δy ⎛ Δy ⎞ ⎛ Δy ⎞ k (WΔx ) k k ⎜W ⎜W ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Ti , j +1 − Ti , j + Ti , j +1 + Ti +1, j − Ti , j 2 Ti +1, j + Ti −1, j Ti , j = 2 Ti , j +1 2 + + Ti −1, j − Ti , j 2 − 2Ti , j = 0 Ti +1, j + Ti −1, j 4 =0 Nodos en elementos laterales, con transporte de calor por conducción por tres caras, y transporte de calor por convección por la cuarta. Q1 = Ti −1, j − Ti , j Q3 = Δx ⎛ Δy ⎞ k ⎜W ⎟ 2 ⎝ ⎠ Ti , j +1 − Ti , j 1 h(ΔxW ) Δy/2 Δx Ti , j −1 − Ti , j Q4 = Δy k (ΔxW ) Ti +1, j − Ti , j Q2 = Δx ⎛ Δy ⎞ k ⎜W ⎟ ⎝ 2 ⎠ E+G=S+Ac (E-S)+G=Ac Estado estacionario sin generación G=Ac=0 Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 0 Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Ti −1, j − Ti , j Ti , j −1 − Ti , j + + + =0 Δx Δx Δy 1 h(WΔx ) ⎛ Δy ⎞ ⎛ Δy ⎞ k (WΔx ) k ⎜W k ⎜W ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Ti −1, j − Ti , j Ti , j −1 − Ti , j + + + =0 1 1 1 1 h(Δx ) k ⎛k⎞ ⎛1⎞ k⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ k Ti +1, j − Ti , j k Ti −1, j − Ti , j h(Δx ) Ti , j +1 − Ti , j + + + k Ti , j −1 − Ti , j = 0 2 2 [ Ti , j ] [ ] [ ] [ ] ⎡ Ti +1, j + Ti −1, j ⎤ ⎡ Ti +1, j + Ti −1, j ⎤ + Ti , j −1 ⎥ Bi Ti , j +1 + ⎢ + Ti , j −1 ⎥ h(Δx )Ti , j +1 + k ⎢ 2 2 ⎣ ⎦= ⎣ ⎦ = h(Δx ) + 2k Bi + 2 T=0ºC Ti , j = Ti , j = Ti , j Ti , j +1 + Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j −1 Ti , j +1 2 + 4 Ti +1, j + Ti −1, j 4 ⎡ Ti +1, j + Ti −1, j ⎤ + Ti , j −1 ⎥ Bi Ti , j +1 + ⎢ 2 ⎣ ⎦ = Bi + 2 Caso 3: Conducción en estado estacionario con convección en bloques de distintos materiales. En la figura se muestra una estructura muy profunda (profundidad= W) adosada a un horno cuya pared está a 500ºC. Consta de : a) una lámina de acero (k= 40 W/mK) de 2 cm de espesor que sirve de soporte a otros dos materiales b) un bloque de material (k = 10 W/mK) de 8 cm de altura y 10 cm de anchura, unido a la superficie del horno El sistema, excepto por la zona unida a la pared del horno está totalmente rodeado de aire a 20ºC. El aire de alrededor circula rápidamente de modo que el coeficiente de convección entre el aire y los distintos materiales es lo suficientemente alto para considerar que la temperatura superficial de éstos es 20ºC. A través del acero circula una corriente eléctrica que libera una energía de 15 000 W/m3. a) obtener el perfil de temperaturas del sistema b) determinar el flujo de calor por unidad de anchura del sistema que se pierde al aire Resuélvase el problema por métodos numéricos. Tómese un valor de 1 cm para los incrementos de x e y. Condición de contorno. T= 500ºC Condición de contorno. T= 20ºC Conducción por las 4 caras. Un único material Conducción por las 4 caras. Un único material Conducción por las 4 caras. Elemento constituido por dos materiales Conducción en estado estacionario Q1 = Ti , j +1 − Ti , j Δy k (WΔx ) Ti −1, j − Ti , j Q3 = Δx k (WΔy ) Δy Δx Q4 = Ti , j −1 − Ti , j Δy k (WΔx ) Q2 = Ti +1, j − Ti , j Δx k (WΔy ) Conducción en estado estacionario E+G=S+Ac (E-S)+G=Ac Estado estacionario Ac=0 Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Generacion = 0 Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Ti −1, j − Ti , j Ti , j −1 − Ti , j + + + + φΔxΔyW = 0 Δy Δx Δx Δy k (WΔy ) k (WΔy ) k (WΔx ) k (WΔx ) Ti , j +1 − Ti , j + Ti +1, j − Ti , j + Ti −1, j − Ti , j + Ti , j −1 − Ti , j + Ti , j +1 + Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j −1 + φ Ti , j = k φ k Δx − 4Ti , j = 0 2 k Δx Ti , j +1 + Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j −1 2 4 φ Δx 2 = 0 Conducción en estado estacionario Ti , j +1 − Ti , j Q1 = Δy k1 (WΔx ) Ti −1, j − Ti , j Q3 = Δx k (WΔy ) k = Δy Δx k1 + k 2 2 Q4 = Ti , j −1 − Ti , j Δy k2 (WΔx ) Q2 = Ti +1, j − Ti , j Δx k (WΔy ) Conducción en estado estacionario E+G=S+Ac (E-S)+G=Ac Estado estacionario Ac=0 Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Generacion = 0 Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Ti −1, j − Ti , j Ti , j −1 − Ti , j Δy + + + + φΔx W = 0 Δy Δx Δx Δy 2 k (WΔy ) k (WΔy ) k1 (WΔx ) k 2 (WΔx ) Δy k1 Ti , j +1 − Ti , j + k Ti +1, j − Ti , j + k Ti −1, j − Ti , j + k 2Ti , j −1 − Ti , j + φΔx W = 0 2 ( ) ( Ti , j = ) ( ) ( ) k1Ti , j +1 + k2Ti , j −1 + k Ti +1, j + Ti −1, j + φΔx k1 + k2 + 2 k Δy 2 Celdas en elementos laterales con convección por una de sus caras Ti , j +1 − Ti , j Q1 = Δy ⎛ Δx ⎞ k⎜ W ⎟ ⎝ 2 ⎠ Ti −1, j − Ti , j Q3 = 1 h(WΔy ) Δy Δx/2 Ti , j −1 − Ti , j Q4 = Δy ⎛ Δx ⎞ k⎜ W ⎟ ⎝ 2 ⎠ Q2 = Ti +1, j − Ti , j Δx k (WΔy ) E+G=S+Ac (E-S)+G=Ac Estado estacionario Ac=0 + Q + Q4 T=i , j0−1 − Ti , j Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Q1 T+i −Q Δx 1, 2j − Ti ,3j +φ ΔyW = 0 + + + 1 Δx Δy Δy 2 ( ) h W y Δ ( ) k W y Δ ⎛ Δx ⎞ ⎛ Δx ⎞ k ⎜W k ⎜W ⎟ ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Ti −1, j − Ti , j Ti , j −1 − Ti , j φΔx 2 + + + + =0 1 1 1 1 2 k (1) h(Δx ) ⎛1⎞ ⎛1⎞ k⎜ ⎟ k⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ ⎡ Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Ti , j −1 − Ti , j ⎤ φΔx 2 k⎢ + + ⎥ + h(Δx ) Ti −1, j − Ti , j + 2 = 0 2 1 2 ⎣ ⎦ [ ] ⎡ Ti , j +1 + Ti , j −1 ⎤ φΔx 2 k⎢ + Ti +1, j − 2Ti , j ⎥ + h(Δx ) Ti −1, j − Ti , j + =0 2 2 ⎣ ⎦ [ ] ⎛ φΔx 2 ⎞ ⎡ Ti , j +1 + Ti , j −1 ⎛ φΔx 2 ⎞ ⎡ Ti , j +1 + Ti , j −1 ⎤ ⎤ ⎟⎟ ⎢ ⎟⎟ + Ti +1, j ⎥ + h(Δx )Ti −1, j + ⎜⎜ + Ti +1, j ⎥ + Bi Ti −1, j + ⎜⎜ k⎢ 2 2 2 2 k ⎦ ⎦ ⎝ ⎠=⎣ ⎝ ⎠ Ti , j = ⎣ 2k + h(Δx ) 2 + Bi Celdas en elementos laterales con convección por dos de sus caras Ti , j +1 − Ti , j Q1 = Δy ⎛ Δx ⎞ k⎜ W ⎟ ⎝ 2 ⎠ Q3 = Ti −1, j − Ti , j 1 ⎛ Δy ⎞ h⎜W ⎟ 2 ⎝ ⎠ Δy/2 Δx/2 Ti , j −1 − Ti , j Q4 = Δy ⎛ Δx ⎞ k⎜ W ⎟ ⎝ 2 ⎠ Ti +1, j − Ti , j Q2 = Δx ⎛ Δy ⎞ k ⎜W ⎟ ⎝ 2 ⎠ E+G=S+Ac (E-S)+G=Ac Estado estacionario Ac=0 Q3i ,+j Q4 = 0Ti , j −1 − Ti , j Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Q1 +TQi −21, + Δx Δy j −T + + + +φ W =0 Δx 1 Δy 1 2 2 ⎛ Δx ⎞ ⎛ Δy ⎞ ⎛ Δy ⎞ ⎛ Δx ⎞ h⎜W h⎜W k ⎜W ⎟ ⎟ ⎟ k ⎜W ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ ⎠ 2 Ti , j +1 − Ti , j Ti +1, j − Ti , j Ti −1, j − Ti , j Ti , j −1 − Ti , j Δx + + +φ =0 + 1 1 1 1 4 ⎛1⎞ ⎛ Δx ⎞ ⎛1⎞ ⎛ Δx ⎞ h⎜ ⎟ k⎜ ⎟ h⎜ ⎟ k⎜ ⎟ 2 2 2 2 Ti , ⎝j +1 − T⎠i , j Ti +1, j⎝ − T⎠i , j Ti −1, j⎝− Ti ,⎠j Ti , j −1 −⎝Ti ,⎠j Δx 2 + +φ =0 + + 1 1 1 1 4 hΔx hΔx k k [ ] hΔx Ti , j +1 + Ti −1, j − 2Ti , j + [ ] [ hΔx Ti , j +1 + Ti −1, j + k Ti +1, j + Ti , j −1 Ti , j = 2hΔx + 2k φΔx 2 ] 4 [ ] + k Ti +1, j + Ti , j −1 − 2Ti , j = 0 ⎛ φΔx 2 ⎞ ⎛ φΔx 2 ⎞ ⎟⎟ Bi Ti , j +1 + Ti −1, j + Ti +1, j + Ti , j −1 + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ 4 4 k ⎝ ⎠= ⎝ ⎠ 2 Bi + 2 [ ] [ ]