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MÓDULO 1
La medición
Versión 1.1
Cátedra de Física FFYB - UBA
Nos preguntamos….
¿Qué significa “medir” algo?
¿El valor experimental en una medición es el verdadero?
¿Las medidas están afectadas de error?
¿Qué es veracidad? ¿Qué es precisión?
¿Qué es exactitud?
¿Cómo se expresan los resultados?
¿Qué es la medición?
Es un proceso que consiste en obtener
experimentalmente uno o varios valores
que pueden atribuirse “razonablemente”
a una magnitud*.
*según Vocabulario Internacional de Metrología (VIM, 2008)
¿Qué es Medir?
Es asignar “un valor” a una magnitud o
propiedad del objeto por comparación con
un “patrón” o una “referencia” donde dicha
magnitud o propiedad es certeramente
conocida.
¿Qué elementos interactúan en una medición?
•
•
objeto
(mensurando)*
instrumento
operador
¿Qué se obtiene de este hecho?
una “medida” o “resultado”
¿Ese resultado es un valor único o es una franja
de valores?
* “mensurando” es la magnitud que se quiere medir del objeto
En la medición debemos tener en cuenta…
 El instrumento debe ser adecuado para la magnitud que
se desea medir.
 Hay limitaciones del instrumento de medida.
ej: mínima división del instrumento: regla, termómetro,
tensiómetro.
 La perturbación del objeto por parte del instrumento
debe ser mínima, de lo contrario el resultado puede ser
seriamente alterado.
ej: distinta presión al colocar el objeto a medir entre los
topes de un calibre.
 Las limitaciones de nuestros sentidos.
ej: vista: solo permite apreciar hasta algunas décimas de
milímetro; tiempo de reacción del operador con un
cronómetro.
Antes de medir…¡hay que Calibrar!
¿Qué elementos interactúan en una calibración?
•
•
•
material de
referencia
instrumento
operador
La calibración establece qué cantidad de magnitud
corresponde a la unidad de lectura del instrumento de
medida, por ello se realiza con un material cuyo valor de
magnitud es conocido.
¿Qué es un patrón?
Es el que define la unidad de una magnitud,
tiene un valor determinado de magnitud y una
incertidumbre de medida asociada.
Ej: Metro = longitud del trayecto recorrido en el vacío
por la luz durante 1/299.792.458 segundos
Un patrón debe ser “inalterable” y “reproducible”
a través del tiempo.
¿Qué es un material de referencia?
Es un material o sustancia que tiene un
comportamiento conocido respecto de la magnitud
a medir y lleva una incertidumbre asociada mayor
que el patrón.
Permite la calibración de un instrumento o sistema
de medición.
Ej: peso de pesas para calibrar un tensiómetro,
temperatura de ebullición del agua, para calibrar
un termómetro.
Algunas unidades fundamentales
MAGNITUD
UNIDAD
SIMB.
LONGITUD
metro
m
longitud del trayecto recorrido en
el vacío por la luz durante
1/299.792.458 segundos.
TIEMPO
segundo
s
9.192.631.770 períodos de
radiación correspondiente a la
transición entre 2 niveles
hiperfinos del estado fundamental
del isótopo 133 del Cesio (133Cs),
medidos a 0 K.
MASA
kilogramo
kg
Masa de un cilindro patrón de
platino e iridio (único patrón que es
un objeto).
DEFINICIÓN
Evolución del patrón METRO
AÑO
ORGANISMO
1795
Asamblea
Francesa
1799
Asamblea
Francesa
1889
DEFINICIÓN
1/10.000.000 del cuadrante del meridiano terrestre.
Materialización del valor anterior en una regla, a
extremos, de platino depositada en los archivos de
Francia..
Francia
1.ª C.G.P. y M
M.. Patrón material internacional de platino iridiado, a trazos,
depositado en el BIPM.
Es llamado metro internacional.
1960
11.ª C.G.P. y M. 1.650.763,73 long. de onda en el vacío de la radiación
del Kriptón 86 (transición entre los niveles 2p10 y 5d5.
(Incertidumbre 1·10-8)
1983
17.ª C.G.P. y M. Longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz
durante 1/299.792.458 segundos. (Incertidumbre 1·1010). Derivación del seg.
C.G.P. Y M: CONFERENCIA GENERAL DE PESOS Y MEDIDAS,
BIPM: BUREAU INTERNATIONAL DES POIDS ET MESURES
¿Qué es la Incertidumbre?
Nos preguntamos…
¿Cuánto puede variar la magnitud de un “patrón”?
¿Dicha variación está asociada a la “incertidumbre”?
La Incertidumbre* es un parámetro asociado al
resultado de una medición que caracteriza al rango
de valores que podrían ser razonablemente
asignados a un mensurando.
*Definida por la Organización Internacional para la Estandarización (ISO)
Incertidumbre …
 Es un intervalo, que representa una estimación
adecuada de una zona de valores entre los
cuales se supone que se encuentra el valor
verdadero del mensurando.
 El valor de la incertidumbre es el primer índice
de la calidad de una medida.
 Cuanto menor sea la incertidumbre de la
medida, ésta tendrá mejor calidad.
Trazabilidad
¿Porqué podemos usar material de referencia en lugar de
patrones?
La trazabilidad está relacionada con la “historia del resultado de
una medición”…
La trazabilidad es la propiedad del resultado de una medida
o del valor de un patrón donde éste pueda estar relacionado
con referencias especificadas, usualmente patrones nacionales
o internacionales, a través de una cadena continua de
comparaciones todas con incertidumbres especificadas (ISO)
La cadena ininterrumpida de comparaciones se denomina
“cadena de trazabilidad”
Trazabilidad
incertidumbre
Patrón internacional
Organismo internacional
MR Primario
Organismo Nacional
MR Secundario
Empresas Privadas
MR Terciario
(Calibrador)
Laboratorios Usuarios
Controles internos
Laboratorios Usuarios
Tipos de medida

Medidas únicas

(un solo resultado)
 Medidas directas
 Medidas indirectas

Más de una medida
(varios resultados del mismo mensurando)
 Medidas directas
 Medidas indirectas
Tipos de medida


MEDIDA DIRECTA
•
MEDIDA INDIRECTA
UNA INTERACCIÓN
•
n INTERACCIONES
CÁLCULO

RESULTADO
RESULTADO
Errores en las Mediciones
 El “Valor Verdadero” de una medida es algo abstracto e
imposible de medir y conocer.
 Se denomina ERROR a la diferencia entre el valor
verdadero y el valor obtenido.
 Para una medida única debe informarse el resultado y
será acompañado por su error como “un indicador de
calidad” de la medida.
 Para varias medidas de un mismo mensurando el
resultado se acompaña con indicador de calidad distinto.
Medidas únicas
Tipos de errores:
 Error absoluto
 Error relativo
 Error relativo porcentual
Error Absoluto
Es la diferencia entre el valor medido y el valor
verdadero de la magnitud medida.
EA = X m – Xv
En general XV no se conoce, entonces tampoco
puede calcularse EA.
El EA se “estima” mediante la sensibilidad, franja
de indeterminación o error de apreciación del
instrumento de medida.
Sensibilidad
Mínima cantidad de magnitud que puede
diferenciar un sistema de medida.
Cuanto menor sea la cantidad de magnitud que
discrimina un sistema de medida decimos que dicho
sistema es más sensible.
 en una balanza: mínima cantidad de masa para que esta
registre una lectura
 en un amperímetro: la mínima cantidad de intensidad de
corriente eléctrica que circule por el circuito para que
la aguja del display indique una lectura
Apreciación o Aproximación
Mínima cantidad de magnitud que es capaz de
asignar un instrumento de medida
Es la mínima cantidad que se aprecia con el instrumento.

mínima división de una regla o de una pipeta
 diferencia en un calibre entre una división de la escala
principal y una del vernier
Cuando se realiza una medida directa, donde se puede
considerar que el método consta únicamente de la
interacción del instrumento con el mensurando,
sensibilidad y apreciación están representados por un
mismo parámetro. A su vez, a mayor sensibilidad, menor
será el error de apreciación.
Expresión del resultado
Una sola medida (Directa o Indirecta)
El valor de la magnitud se expresa como:
Xm  EA
Donde:
EA se expresa con una sola cifra significativa y el
último dígito del valor de la magnitud debe ser del
mismo orden de magnitud que el del EA. El EA es
el indicador de calidad para medidas únicas.
Error Relativo
Es la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero
de la medida relacionado con el valor verdadero:
ER = (Xm – XV) / XV
Como el valor verdadero no lo conocemos y asumimos que la
diferencia con el valor experimental es pequeña, en la práctica
se calcula como:
ER = EA / Xm
Multiplicando por 100 obtenemos el ER porcentual
ER% = (EA / Xm) x 100
 Variará en función del valor del mensurando
 Permite comparar métodos para medir un mismo mensurando
Si tenemos que medir un volumen A de 50 ml y otro B de 10 ml,
con una probeta de 50 ml
¿En cuál de las dos medidas se cometerá menor error al medir?
Si nos referimos al error de apreciación en ambas está dado por la
mínima división de la probeta, es decir 1 ml
La expresión correcta para cada mensurando será:
o A = (50 ± 1) ml y B = (10 ± 1) ml
Si relacionamos el EA con el valor de cada medida porcentualmente:
ERA% = 1ml / 50 ml x 100 = 2%
ERB% = 1ml / 10ml x 100 = 10%
Por lo tanto, el ER y el ER% dependerán del valor medido además del
EA del material volumétrico utilizado. Siendo mayor en B que en A.
¿Cómo disminuimos el ER en B?
Utilizando un material volumétrico más sensible
o Por ej. si disponemos de una pipeta de 10.0 ml y otra de
1.00 ml ¿cuál utilizamos?
o con la pipeta de10.0 ml
o ERB% = 0.1 ml /10.0 ml X 100 = 1%
Efectivamente el ER% disminuye al aumentar la sensibilidad
del instrumento de medida
¿y con la pipeta de 1.00 ml? tenemos que cargar la pipeta 10
veces ¿cómo influye esto el ER%?
Para responderlo primero nos preguntamos
¿la medida con la pipeta de 1.00 ml qué tipo de medida es?
o
Medidas indirectas
o ¿Cómo informamos dicha medida? ¿Cómo se estima el EA?
o Para hallar un valor que exprese la calidad de una medida
indirecta se aplica “la teoría de propagación del error”.
 Permite establecer la relación formal entre el error de la
medida indirecta y los errores de las medidas directas
involucradas.
 Permite también evaluar cuál es la incidencia que tienen los
errores asociados a la obtención de cada magnitud directa
en la calidad de la medida indirecta.
En el caso de que la medida indirecta sea una suma la
“teoría de propagación del error” predice:
En una medida indirecta, que sea el resultado de una suma
o resta de medidas directas, el error absoluto será la suma
de los errores absolutos de cada una de las medidas
directas. En todos los casos estos errores absolutos deben
considerarse con el mismo signo.
Entonces, para la pipeta de 1.00 ml, al medir 10 veces 1 ml,
con la misma pipeta el EAB se calculará como:
10 x 0.01ml = 0.1 ml
y el ERB% = 0.1ml / 10ml x 100 = 1%
Es decir el ER es el mismo en ambos casos, entonces
¿cuál elegimos?¿por qué?
Si la medida indirecta no es una suma ¿qué predice la teoría?
supongamos que M es una medida indirecta y se calcula según:
M = a2 / b
M será función de las medidas directas a y b:
M = f (a y b)
Cuando a experimente una variación da, tomará un valor:
a + da, y entonces resultará para M una variación M + dM.
Lo mismo sucederá con la variable b
Matemáticamente, diferenciando:
M
M
dM 
da 
db
a
b
Esta expresión toma sentido físico reemplazando los
diferenciales por deltas:
M 
M
M
a 
b
a
b
Donde a y b son los indicadores de calidad de las medidas
directas a y b, respectivamente.
Para la magnitud M aplicando derivadas parciales la expresión
será:
2a
a2
ΔM = —— Δa - —— Δb
b
b2
Ahora considerando el error máximo posible el signo negativo
de la contribución de b se transformará en positivo y si además
dividimos todo por la variable M, reemplazando nos quedará la
expresión del ERM:
ΔM
Δa Δb
 2

M
a
b
Donde éste dependerá de los ER de las dos variables según:
ERM = 2 . ERa + 1. ERb
El factor 2 y el 1 que multiplican al error relativo de a y b
respectivamente provienen del exponente al que está elevada
cada variable en la ecuación de cálculo de M y recibe el nombre de
factor de propagación.
Éste es un indicador de cómo influye en el cálculo del error la
potencia a la que esté elevada la magnitud medida. En éste caso
indica que la contribución de error de a duplica a la de b y esto se
deberá considerar a la hora de elegir el instrumento adecuado para
cada medida.
Varias medidas de un mismo
mensurando …
¿Qué ocurre si se mide un mismo mensurando
varias veces?¿El valor del resultado será el mismo?
No, obtendré una serie de resultados dispersos pero
semejantes entre sí.
¿Hay alguno que sea más representativo?
Si, la Media
¿Cuál será la expresión final del resultado?
Será expresado mediante la Media y un indicador de calidad
obtenido a partir del tratamiento estadístico de los resultados
experimentales.
Parámetros representativos en varias medidas:
La Media e indicadores de calidad de la medida
En estos casos el valor de la medida será expresado a
través de la media (XM) que es el promedio aritmético de
los N valores medidos Xi
y el valor de la incertidumbre, que siempre debe
acompañar a la XM, será estimado mediante el cálculo
estadístico. Aquí el indicador de calidad es distinto al de
las medidas únicas.
Estadística
 Es la disciplina que se ocupa del manejo de
series de datos
 Permite extraer “información” de un conjunto de
datos y evaluar propiedades de los sistemas
que no pueden obtenerse con un sola medida
 La estadística es una herramienta que brinda un
criterio para tomar decisiones, en un ambiente
de incertidumbre, con un riesgo controlado
 Población o Universo
Número total de datos posibles de obtener
 Muestra
Cantidad finita de datos que pertenecen al
Universo o Población
La muestra es un subconjunto del Universo y
debe ser “representativa” de la población
Histograma de distribución de frecuencias
Para realizar un estudio estadístico, se debe saber si la
distribución de los datos “es” o “no es” estadística.
 Si la distribución es estadística, los valores oscilan
alrededor de un único valor central.
 Con los valores experimentales, esto se puede visualizar
mediante la confección del Histograma de distribución de
frecuencias.
Histograma de distribución de frecuencias
7
Frecuencia
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
cc(g/ml)
17
8
9
10
Si “N” aumenta y x→0, el área del histograma se asemeja al
área debajo de la curva que describe el tratamiento de datos
de la distribución de Gauss o “Normal”.
Distribución de Gauss o Normal
 El área total bajo la curva es igual a 1
 El desvío cero corresponde a la frecuencia máxima
 La curva es simétrica respecto de este máximo
 La curva es asintótica al eje X
Parámetros Estadísticos
 N: Es el número de datos que conforman la
muestra
 Media Poblacional (  ): Es la media de la
población. Se estima con la media ( xM ) de la
muestra
 Desvío Estándar de la población (  ): Se
estima con la desviación estándar ( S ) de la
muestra
Indica la dispersión de los datos alrededor del
valor medio
Ecuaciones Estadísticas
Media de la Muestra
Desvío Estándar de
la Muestra
Curva normal o de Gauss
Curva normal o de Gauss
El área bajo la curva (integral) representa la probabilidad de que un
valor de xi esté comprendido entre:
-1 a +1 = 0,683
-2 a +2 = 0,955
-3 a +3 = 0,997
La Estadística …
 Nos permite expresar la dispersión en dos
formas:
 - mediante la desviación estándar
 - mediante el intervalo de confianza
 En el intervalo de confianza se encuentra el
valor medio muestral con una determinada
probabilidad.
Expresión del resultado…
Expresaremos el resultado de varias medidas
de un mismo mensurando así:
 ± kS
Donde k = 2 para expresar que el valor medio se
encuentra comprendido en ese intervalo con una
probabilidad de 0,955 o una confianza del 95,5 %.
k.S se expresa con dos cifras significativas y el último
dígito del XM debe ser del mismo orden de magnitud
que el cifra menor del indicador de calidad.
Error sistemático
Error espurio o equivocación
Error aleatorio o casual
Error sistemático
Es un corrimiento constante de una franja de
indeterminación siempre en la misma dirección y sentido
Se puede conocer. Una vez determinado son empleado
para corregir el valor obtenido en la medición
Hay tres tipos:
 Instrumental: Error de cero en el calibre

 Personal: Error de paralaje, criterio de enrase

 Del Método: No considerar el peso de la columna de

líquido en el método del Tensiómetro de

Lecomte du Noüy
Error espurio o equivocación
Es una acción cometida durante el proceso de medición
que no se corresponde con el protocolo que se debía
seguir
 En general surge a partir de una falla humana o de mal
funcionamiento del instrumento.
Por ej: trasposición de dígitos, una burbuja de aire
dentro de la celda de un espectrofotómetro que
contiene la solución líquida a medir, no se respetó el
orden de los pasos en una metodología determinada.
 Un dato afectado por este error, invalida la medición por
lo que debe ser descartado (si no es posible corregirlo).
 Pueden aplicarse test para detectar datos dudosos
Error aleatorio o casual
 Es el error que aparece de manera aleatoria
 Es indeterminado (su valor puede estimarse
mediante la estadística)
 Es inherente al proceso de medición
 Puede reducirse, pero no anularse
 Solo puede estimarse haciendo varias medidas
del mismo mensurando
Precisión
Grado de concordancia entre resultados de
mediciones sucesivas del mismo mensurando*
Clases de Precisión:
Repetibilidad*
Se mantienen todas las condiciones de medida de un mismo
mensurando.
Reproducibilidad*
Cambia alguna de las condiciones de medida de un mismo
mensurando.
Ej.: El operador, el instrumento o el lugar es distinto.
* ISO 5725
Veracidad o Justeza
Grado de concordancia entre el promedio de una
gran serie de mediciones y el valor del
mensurando*
*ISO 5725
Exactitud
Grado de concordancia entre el resultado de “una”
medición y el valor de un mensurando*
Exactitud = Precisión + Veracidad
“una” no debe interpretarse como cantidad.
Advertir que la exactitud sintetiza dos cualidades
que corresponden a varias medidas.
*ISO 5725
Tiremos al Blanco
¿Cómo es el perfil de este tirador?
Es PRECISO
Es VERAZ
Es EXACTO
Tiremos al Blanco
¿Cómo es el perfil de este tirador?
Es PRECISO
NO es VERAZ
NO es EXACTO
Tiremos al Blanco
¿Cómo es el perfil de este tirador?
NO es PRECISO
Es VERAZ
NO es EXACTO
Medida de la Incertidumbre (U)
 En el enfoque actual, la incertidumbre (U) es un índice de
calidad de la medición
 Conocer la incertidumbre implica incrementar la confianza
en la validez del resultado de la medición U está asociada
a un rango de valores donde se considera se encuentra el
valor verdadero con cierto grado de confianza (95%)
 Para el cálculo de la U se evalúan precisión y trazabilidad
de la medición. Cuanto mayor sean ambas menor será U y
mejor la calidad de la medida
Para tener en cuenta…
Error de Apreciación
(una sola medida)
menor error de
apreciación
Error Sistemático
(varias medidas)
franja de
indeterminación
constante,
se puede corregir
Error Casual
(varias medidas)
Mayor concordancia
de datos
(menor dispersión)
mayor sensibilidad
relacionado con la
veracidad de la
medida
mayor precisión
Error Absoluto
(1 cifra significativa)
Directas
Franja de indeterminación
Mínima división del
aparato
Error Absoluto o
Error de
Apreciación
Sensibilidad
del instrumento
Error Absoluto
Una Medida
Xm  EA
(1 cifra significativa)
Indirectas
Resultado de la
propagación del error
medida directa
medida indirecta
Comparar
métodos para medir un mismo mensurando
Error Relativo %
ER% = (EA/ Xm) x 100
Medir
Estadística
 ± 2S
Error Casual
o Aleatorio
Desvío estándar
(2 cifras signif.)
Varias Medidas
Medidas Directas
Medidas Indirectas
Precisión
Comparar S con valor de
referencia (S de otro
método o límite impuesto
por el operador)
Exactitud
Intervalo de Confianza
Error Sistemático
Veracidad
Comparar Media con valor de
referencia
Incertidumbre (U)
Trazabilidad
A modo de cierre…
 En toda medida se van a cometer errores cuya magnitud
dependerá de los medios de que se disponga y de los
factores que pueden influir en la estimación realizada.
 En términos cuantitativos la medida perfecta no existe
pero podemos aproximarnos a ella, reduciendo los
errores sistemáticos mediante el uso de patrones
trazados; y los errores aleatorios minimizando los
efectos de las magnitudes de influencia.
Sitios de consulta
www.cem.es
www.european-accreditation.org
www.bipm.fr
www.iram.com.ar
www.inti.gov.ar
www.sim-metrologia.org.br/docs/span_VIM.pdf