Guía para el maestro

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L
MENTA
F UNDA O G R A D O
SEGUN
D
Guía para el maestro
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Adriana Beltrán Fernández SUBDIRECCIÓN EDITORIAL Tania Carreño King GERENCIA
Aurora Saavedra Solá GERENCIA DE DISEÑO Renato Aranda COORDINACIÓN EDITORIAL
Jannet Vázquez Orozco EDICIÓN Raúl Zamora Márquez y Javier Jiménez Alba ASISTENCIA EDITORIAL
José Antonio Gay tán García, Karina Islas Ríos, Carlos Martínez Lara y Milosh Trnka Rodríguez
CORRECCIÓN
DE ESTILO Y LECTURA DE PRUEBAS Jorge Sánchez y Gándara HERRAMIENTAS Yaneli Bianey
García Flores EVALUACIÓN PISA Higinio Barrón Rodríguez EVALUACIÓN ENLACE Carlos Baltazar
Vicencio REVISIÓN TÉCNICA Luz Arely Carrillo Olivera y Eréndira Itzel García Islas COLABORACIÓN
Karina Islas Ríos, Érika López Galbraith, Carlos Martínez Lara, Nancy Soto Abraham y Valeria Villamil
DISEÑO DE LA SERIE Gustavo Hernández DISEÑO DE PORTADA Renato Aranda y Gustavo Hernández
SUPERVISIÓN DE DISEÑO Gabriela Rodríguez
COORDINACIÓN
DE DISEÑO Gustavo Hernández y Federico
Gianni DIAGRAMACIÓN Itzel Ramírez Osorno, RAM y Alejandra Núñez SUPERVISIÓN DE IMAGEN Teresa
Leyva Nava ILUSTRACIÓN Fernando David Ortiz Prado, Sebastián Hernández, Gustavo Hernández
e Ismael Silva Castillo FOTOGRAFÍA Víctor Manuel Gutiérrez Walther, Gerardo González López,
AFP, Latinstock, Sutterstock, Thinkstock, Banco de imágenes Ediciones Castillo DIGITALIZACIÓN
Y RETOQUE DIGITAL DE IMÁGENES Juan Ortega Corona
GERENCIA DE PRODUCCIÓN
Alma Orozco
COORDINACIÓN
DE PRODUCCIÓN Ulyses Calvillo
DIRECCIÓN
EDITORIAL
DE SECUNDARIA
Primera edición: noviembre de 2012
Matemáticas 2
Texto D.R. © 2012 Carlos Baltazar Vicencio, Eric Ruiz Flores González
y Luis Fernando Ojeda Ánimas
D.R. © 2012, Ediciones Castillo, S.A. de C.V.
Castillo ® es una marca registrada
Insurgentes Sur 1886, Col. Florida,
Deleg. Álvaro Obregón,
C.P. 01030, México, D.F.
Tel.: (55) 5128-1350
Fax: (55) 5128-1350 ext. 2899
Ediciones Castillo forma parte del Grupo Macmillan
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infocastillo@grupomacmillan.com
Lada sin costo: 01 800 536-1777
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria
Editorial Mexicana, Registro núm. 3304
ISBN de la serie: 978-607-463-567-6
ISBN: 978-607-463-765-6
Prohibida la reproducción o transmisión parcial o total de esta obra en cualquier
forma electrónica o mecánica, incluso fotocopia, o sistema para recuperar
información, sin permiso escrito del editor.
Impreso en México/Printed in Mexico
Bloque 3presentación
/ secuencia 1
3
Al maestro:
La práctica docente exige, cada día más, diferentes recursos para enfrentarla y lograr
una educación de calidad. Por eso, Ediciones Castillo ha elaborado para usted esta
Guía para el maestro, una herramienta que le facilitará el trabajo diario en el aula, considerando los retos que plantea trabajar con el enfoque didáctico de los Programas de
estudio 2011:
• Abordar los contenidos desde contextos vinculados a la vida personal, cultural y
social de los alumnos.
• Estimular la participación activa de los alumnos en la construcción de sus conocimientos.
• Contribuir al desarrollo de competencias para la vida, al perfil de egreso y a las
competencias específicas de la asignatura.
El trabajo con secuencias didácticas y proyectos, entendido como una estrategia
de enseñanza y de aprendizaje para construir y reconstruir el propio conocimiento,
representa, en cuanto a su metodología, una manera radicalmente distinta a la forma
tradicional de enseñanza. Es por esto que la guía que ponemos a su alcance tiene
como principal objetivo acompañarlo en cada una de las etapas que conforman el
proceso de trabajo con las secuencias, señalando, en primer lugar, los conceptos,
habilidades y actitudes que se desarrollarán, y los antecedentes que sobre los contenidos tienen los estudiantes.
En cada una de las etapas de inicio, desarrollo y cierre, encontrará la explicación de
su intención didáctica, así como sugerencias didácticas complementarias y respuestas a cada una de las actividades que conforman la secuencia.
Asimismo, en esta guía encontrará el solucionario correspondiente a las evaluaciones tipo pisa y enlace que aparecen en el libro del alumno y una evaluación adicional
por bloque recortable con la que usted podrá, si lo considera conveniente, realizar
una evaluación diferente a sus alumnos.
Al inicio de cada bloque le sugerimos un avance programático que le ayudará a planear y organizar bimestralmente su trabajo en el aula y un resumen del bloque en
donde se especifican cuáles son los aprendizajes esperados y las competencias que
se favorecerán.
Se incluyen recomendaciones de otros recursos, como el uso del CD Recursos digitales para el docente, elaborado por Ediciones Castillo como otra herramienta de
apoyo a su trabajo en el aula, páginas de Internet, audios, películas, videos, libros,
museos, entre otros.
Los que participamos en la elaboración de esta Guía sabemos que con su experiencia y creatividad logrará potenciar las intenciones didácticas aquí expuestas, y
así conseguir que sus alumnos desarrollen, de manera natural, las habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados y las competencias para la vida.
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44
Bloque 3 / secuencia 13
Estructura de la guía
10
Bloque 1
Bloque 1
Contenidos del bloque
Al inicio de cada bloque encontrará un resumen de los aprendizajes esperados y las
competencias que se desarrollarán a lo largo de cada bloque.
Contenidos del bloque
Competencias que se favorecen
• Resolver problemas de manera autónoma.
• Comunicar información matemática.
• Validar procedimientos y resultados.
• Manejar técnicas eficientemente.
Aprendizajes esperados
• Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica.
• Resuelve problemas que impliquen calcular el área y el perímetro
del círculo.
• Resuelve problemas que implican el cálculo de porcentajes o cualquier término de la relación: Porcentaje 5 cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren procedimientos recursivos.
• Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.
Sentido numérico y pensamiento algebraico. El eje de este bloque
comprende dos contenidos: en el primero, el alumno estudiará las
multiplicaciones y divisiones con números enteros y, en el segundo,
concluirá el aprendizaje de las leyes de los exponentes y la notación
científica, mediante el estudio del cálculo de productos y cocientes
de potencias enteras positivas, potencias de una potencia y potencias
con exponente negativo.
Forma espacio y medida. El estudiante analizará las relaciones que forman dos rectas paralelas cortadas por una transversal y justificará la
suma de los ángulos interiores de triángulos y paralelogramos. Continuará con el trazo de triángulos a partir de ciertos datos e identificará las
condiciones de posibilidad y la unicidad de las construcciones. Para finalizar resolverá problemas que implican el cálculo de áreas compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.
Bloque 3 / secuencia 1
Manejo de la información. Un contenido de este eje es la resolución de
problemas relacionados con el porcentaje, y que implican interés compuesto, crecimiento poblacional y otros que requieren procedimientos
recursivos, así como del cálculo de porcentajes y los términos que intervienen en esa relación. Otro contenido permite que el estudiante
finalice la comparación cualitativa de la probabilidad de eventos simples
con dos o más eventos a partir de sus resultados posibles. Para finalizar
el bloque, el alumno estudiará a fondo un tema relacionado de la escuela primaria: análisis de los casos en los que la media aritmética y la
mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.
7
El trabajo con secuencias
didácticas
Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros
recursos, organizados –a partir de un nivel de complejidad progresivo– en tres fases:
inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje.
Al inicio de la secuencia del libro del alumno, presentamos el aprendizaje esperado
y una situación problemática y articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar el interés de los estudiantes en torno a los contenidos
curriculares relacionados con dicho aprendizaje.
En esta fase, es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos
de la secuencia; que se asegure que sus estudiantes identifican la realidad que será
objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alumnos
para dar respuesta a la situación problemática.
El trabajo con secuencias didácticas
Posteriormente, en la fase de desarrollo, se presenta un conjunto de actividades que
constituyen un reto para los alumnos y que se encuentran bien apoyadas por textos explicativos, imágenes y organizadores gráficos. La intención de presentar estos
recursos es promover una comprensión profunda de las explicaciones que ofrecen
los libros.
Al inicio de la guía presentamos una explicación del trabajo con secuencias didácticas.
En ella encontrará cuál es el sentido y propósitos de esta metodología en el aula.
En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas,
lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el
docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad el procedimiento que hay que seguir y los conocimientos que deben aplicar para poder actuar eficientemente, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos empíricos hacia procedimientos más expertos. En todo momento, es conveniente que el
maestro ofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos,
y revise con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus
conocimientos, y el proceso de construcción de nuevos conocimientos.
En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron, en un inicio, los
alumnos a la situación problemática y se presenta, bien una actividad de transferencia en la que aplicarán lo aprendido en otros contextos, bien una actividad de
síntesis en la que los estudiantes tienen que presentar sus conclusiones por escrito o
en algún organizador gráfico elaborado por ellos; estas actividades atienden el logro
del aprendizaje esperado.
De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema de
actuación que los lleva al desarrollo de la competencia, será necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus alumnos en la aplicación
de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con la realidad de sus estudiantes
y evalúe el progreso de sus alumnos, detecte hasta dónde fueron alcanzados los
aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados.
Bloque 1
11
Avance programático
Aprendizajes esperados:
• Resuelveproblemasqueimplicanelusodelasleyesdelosexponentesydelanotacióncientífica.
• Resuelveproblemasqueimpliquencalculareláreayelperímetrodelcírculo.
• Resuelveproblemasqueimplicanelcálculodeporcentajesocualquiertérminodelarelación:Porcentaje5cantidadbase×tasa.Inclusiveproblemasquerequierenprocedimientosrecursivos.
• Comparacualitativamentelaprobabilidaddeeventossimples.
1
1y2
Eje
Sentido numérico y
pensamiento algebraico
Semanas
Tema
Problemas
multiplicativos
3y4
4y5
Forma, espacio y medida
2y3
Medida
9
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Manejo de la información
7y8
8y9
Contenido
Páginas
Resolución de multiplicaciones y divisiones con
números enteros.
18 a 22
2. Leyes de los
exponentes
Cálculo de productos y cocientes de potencias
enteras positivas de la misma base y potencias de
una potencia. Significado de elevar un número
natural a una potencia de exponente negativo.
23 a 28
3. Relaciones entre
ángulos a partir de
rectas paralelas
Identificación de relaciones entre los ángulos que
se forman entre dos rectas paralelas cortadas por
una transversal. Justificación de las relaciones
entre las medidas de los ángulos interiores de los
triángulos y paralelogramos.
29 a 34
Figuras y cuerpos
5y6
6y7
Lección
1. Resolución de
multiplicaciones
y divisiones con
números enteros
4. Condiciones para Construcción de triángulos con base en ciertos
datos. Análisis de las condiciones de posibilidad
la construcción de
y unicidad en las construcciones.
triángulos
35 a 40
5. Problemas de
áreas de figuras
compuestas
Resolución de problemas que impliquen
el cálculo de áreas de figuras compuestas,
incluyendo áreas laterales y totales de prismas
y pirámides.
41 a 46
6. La centésima
parte
Resolución de problemas diversos relacionados
con el porcentaje, como aplicar un porcentaje
a una cantidad; determinar qué porcentaje
representa una cantidad respecto a otra, y
obtener una cantidad conociendo una parte de
ella y el porcentaje que representa.
47 a 51
7. Problemas
que requieren de
procedimientos
recursivos
Resolución de problemas que impliquen el
cálculo de interés compuesto, crecimiento
poblacional u otros que requieran
procedimientos recursivos.
52 a 56
Proporcionalidad
y funciones
8. Comparación de Comparación de dos o más eventos a partir de
eventos
sus resultados posibles, usando relaciones como:
“es más probable que…”, “es menos probable
que…”.
57 a 61
Nociones de
probabilidad
Análisis y
representación
de datos
9. Análisis de la
media aritmética
y de la mediana
Análisis de casos en los que la media aritmética o
mediana son útiles para comparar dos conjuntos
de datos.
62 a 66
Evaluación PISA, Evaluación enlace
Avance programático
Es una propuesta para planear y organizar,
de manera bimestral, el trabajo en el aula,
atendiendo a los aprendizajes esperados
del libro del alumno. En él se indican los
contenidos a desarrollar, así como el tiempo sugerido para abordarlos.
70 a 72
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Bloque 3 / secuencia 1
Bloque 4 / lección 4
L5
5
121
Variación lineal en fenómenos
sociales y naturales
Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de
la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que
existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades.
Representación de la variación mediante una tabla o una
expresión algebraica de la forma: y = ax + b.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el
aprendizaje esperado de la lección 5 del bloque 5 de
Matemáticas de 3° de secundaria: leer y representar, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y cuadráticas.
Conceptos principales: gráfica de una ecuación,
constantes y variables, variación lineal.
Antecedentes
• Resolución de problemas que impliquen el uso de
ecuaciones de las formas: ax + b = c
• Identificación, interpretación y expresión de relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas
Situación inicial (pág. 201)
En esta sección el alumno modelará una situación de proporcionalidad directa con la intención
de que se introduzca en el análisis de la variación lineal entre dos conjuntos de cantidades.
Explora y construye
(págs. 201–205)
Al iniciar la sección se presenta una situación
de proporcionalidad directa que se modifica
para transformarla en una expresión de la forma
y = ax + b. Después se analizarán variaciones lineales, crecientes y decrecientes, para registrarlas
en tablas y trazar las gráficas correspondientes.
Se finaliza con el estudio de un caso en el que la
constante a es un número fraccionario.
Prepararse para la secuencia
Antes de iniciar la secuencia didáctica, indicamos cuáles son los aprendizajes esperados, los
conceptos, habilidades y actitudes que se desarrollarán; así como los antecedentes que tienen
los alumnos sobre los contenidos. También señalamos los propósitos de cada una de las fases
de la secuencia: inicio, desarrollo y cierre.
Regresa y revisa (pág. 205)
Se modifica el planteamiento de la situación inicial
al convertirlo en un problema con variación lineal
y expresión de la forma y = ax + b.
Bloque 4 / lección 2
111
Solucionario y sugerencias didácticas
Solucionario y sugerencias didácticas
En cada una de las etapas de la secuencia encontrará los propósitos de las actividades, algunas sugerencias didácticas adicionales y las respuestas a las actividades del libro del alumno.
Encontrará la leyenda “Respuesta libre”, cuando
sea el caso.
4
18
g.
pá
Situación inicial
Página 184
Delasexpresionesalgebraicasquerepresentanelproblemasetienelaecuación2x + 5 = x+25,entonces
x=20,esdecir,losbilletessonde$20.
5
18
g.
pá
•Laigualdadseconserva:j + 1 550 − j = 2j − j,de
dondeseobtiene1550=j.
•1550g.
b)•7x + 1.14 = 3x+3.84,aunqueesposibleutilizar
otraliteral.
•3barras:4x + 1.14 = 3.84.
• A la primera se le restan 3x de cada lado de la
ecuación.
•0.675kg.
Sugerencia didáctica. Noseesperaquelosalumnos
planteenelprocedimientoanterior.Permitaqueresuelvanelproblemaconpruebayerrorynoinsista
en su resolución mediante expresiones algebraicas Página 186
porque así buscarán sus propios procedimientos, y
c)•2x+9=6x + 3
alfinaldelalecciónpodráncompararlosconelmé •La masa de un cilindro es de 1.5 g. Un posible
todoalgebraico.
procedimiento es restar 2x + 3 a ambos lados
delaecuaciónparaobtener6=4x.Despuésambosladossedividenentre4ysetienequex = 1.5.
Explora y construye
d)•
Página 184
Plantear y resolver un problema con una ecuación
ax + b = cx + d
1. a)•—Quitarunjarróndecadalado.
—Quitarelmismonúmerodebarrasde500gen
amboslados.
—Quitarunapesade700gdeamboslados.
—Quitardospesasde500gdeamboslados.
Texto del problema
Planteamiento algebraico
Chocolatesquehayenel
primercajón
3x + x−7=4x−7
Chocolatesquehayenel
segundocajón
•j + 1 950 + 1 400 = 2j+1100+700
•Laigualdadseconserva:
j + 1 950 + 1 400 − 1 800 = 2j+1100+700−1800,
dedondeseobtienej + 1 550 = 2j.
2x + 9
Losdoscajonestienen
elmismosnúmerode
chocolates
4x−7=2x + 9
x=8
Página 185
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6
18
g.
pá
•Hay8chocolatesencadacaja.
Página 187
e)•7b+340 •10b+16
•7b + 340 = 10b+16
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6
Bloque 3 / secuencia 13
Bloque 1 / evaluación
43
Evaluación pisa
Al final de cada bloque encontrará el solucionario correspondiente a la evaluación
tipo pisa que aparece en el libro del alumno.
Respuestas
Bloque 1 / evaluación
1. En 7 meses pagará toda su deuda. Deuda al final del primer mes: $2 560; del segundo: $2 111.2; del tercero: $1 653.4; del cuarto: $1 186.5; del quinto: $710, y del
sexto: $224.4.
- En la última mensualidad pagará $224.4.
- Pagará en total $224.42 por concepto de interés, que es el resultado de sumar la
cantidad de intereses que paga cada mes.
45
Evaluación enlace
Al final de cada bloque encontrará el
solucionario que corresponde a la evaluación tipo enlace que aparece en el
libro del alumno.
BLOQUE 5 / EvaLUación
Evaluación Bloque 5
Nombre del alumno
Grupo
Fecha
Subraya la respuesta correcta.
1. ¿Cuál es la solución del siguiente sistema de ecuaciones:
5x + 2y = 8 y 4x − 5y = 2?
A) x = 23 , y = 43
B) x = 43 , y = 23
C) x = 43 , y = 23
D) x = 23 , y = 43
2. ¿De qué sistema y = 31 , x = 31 son solución?
A) 2x + 16y = 6 y 4x + 8y = 4
B) 16x + 2y = 6 y 8x + 2y = 4
C) 4x + 16y = 8 y 3x + 8y = 3
D) 5x + 2y = 5 y 4x − 3y = 1
Evaluación adicional
3. Observa la gráfica y a partir de ella selecciona el enunciado correcto.
A) x = 2, y = 0 es la solución del sistema de ecuaciones
B) La ecuación de la recta punteada es 2x + y = 4
C) La ecuación de la recta continua es 2x + 3y = 4
D) El sistema de ecuaciones tiene muchas soluciones
Como recurso adicional, le ofrecemos, con
reactivos tipo enlace, evaluaciones bimestrales que pueden ser recortadas para su
reproducción y aplicación a los estudiantes.
y
x
4. En la grafica el punto A es la solución de un sistema de ecuaciones,
de las cuales sólo se ha representado una. ¿Cuál de las siguientes
expresiones corresponde a la otra ecuación?
A) 2x + 2y = 4
B) 2x + 2y = 5
C) x + y = 1
D) x − y = 2
y
x
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Bloque 3 / secuencia 1
7
El trabajo con secuencias
didácticas
Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros
recursos, organizados –a partir de un nivel de complejidad progresivo– en tres fases:
inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje.
Al inicio de la secuencia del libro del alumno, presentamos el aprendizaje esperado
y una situación problemática y articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar el interés de los estudiantes en torno a los contenidos
curriculares relacionados con dicho aprendizaje.
En esta fase, es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos
de la secuencia; que se asegure que sus estudiantes identifican la realidad que será
objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alumnos
para dar respuesta a la situación problemática.
Posteriormente, en la fase de desarrollo, se presenta un conjunto de actividades que
constituyen un reto para los alumnos y que se encuentran bien apoyadas por textos explicativos, imágenes y organizadores gráficos. La intención de presentar estos
recursos es promover una comprensión profunda de las explicaciones que ofrecen
los libros.
En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas,
lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el
docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad el procedimiento que hay que seguir y los conocimientos que deben aplicar para poder actuar eficientemente, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos empíricos hacia procedimientos más expertos. En todo momento, es conveniente que el
maestro ofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos,
y revise con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus
conocimientos, y el proceso de construcción de nuevos conocimientos.
En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron, en un inicio, los
alumnos a la situación problemática y se presenta, bien una actividad de transferencia en la que aplicarán lo aprendido en otros contextos, bien una actividad de
síntesis en la que los estudiantes tienen que presentar sus conclusiones por escrito o
en algún organizador gráfico elaborado por ellos; estas actividades atienden el logro
del aprendizaje esperado.
De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema de
actuación que los lleva al desarrollo de la competencia, será necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus alumnos en la aplicación
de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con la realidad de sus estudiantes
y evalúe el progreso de sus alumnos, detecte hasta dónde fueron alcanzados los
aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados.
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La evaluación
La evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje,
ya que es una oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidades
matemáticas de sus alumnos, lo cual le será útil en el diseño de sus propias estrategias de enseñanza. También son valiosas para los alumnos, ya que les permiten ser
reflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han incluido en el libro del
alumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación, evaluación tipo enlace y evaluación tipo pisa.
En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cada
lección vista en el bloque, y tendrán que responder si consideran que lograron el aprendizaje esperado. Después deberán escribir una propuesta para mejorar su desempeño.
A través de este ejercicio, los alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les
permitirá detectar las áreas que dominan y aquellas en las que deben mejorar.
Las pruebas tipo enlace (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares) están elaboradas a partir de preguntas con cuatro respuestas posibles para cada
una. Esta evaluación ofrece un beneficio adicional para la preparación de los alumnos
ante este instrumento de evaluación oficial.
En las pruebas tipo pisa (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Internacional
de los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder preguntas de análisis de
problemas que, además de abarcar contenidos del bloque, implican la movilización
de las habilidades y competencias adquiridas.
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Bloque 1
Bloque 1
Contenidos del bloque
Competencias que se favorecen
• Resolver problemas de manera autónoma.
• Comunicar información matemática.
• Validar procedimientos y resultados.
• Manejar técnicas eficientemente.
Aprendizajes esperados
• Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica.
• Resuelve problemas que impliquen calcular el área y el perímetro
del círculo.
• Resuelve problemas que implican el cálculo de porcentajes o cualquier término de la relación: Porcentaje 5 cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren procedimientos recursivos.
• Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.
Sentido numérico y pensamiento algebraico. El eje de este bloque
comprende dos contenidos: en el primero, el alumno estudiará las
multiplicaciones y divisiones con números enteros y, en el segundo,
concluirá el aprendizaje de las leyes de los exponentes y la notación
científica, mediante el estudio del cálculo de productos y cocientes
de potencias enteras positivas, potencias de una potencia y potencias
con exponente negativo.
Forma espacio y medida. El estudiante analizará las relaciones que forman dos rectas paralelas cortadas por una transversal y justificará la
suma de los ángulos interiores de triángulos y paralelogramos. Continuará con el trazo de triángulos a partir de ciertos datos e identificará las
condiciones de posibilidad y la unicidad de las construcciones. Para finalizar resolverá problemas que implican el cálculo de áreas compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.
Manejo de la información. Un contenido de este eje es la resolución de
problemas relacionados con el porcentaje, y que implican interés compuesto, crecimiento poblacional y otros que requieren procedimientos
recursivos, así como del cálculo de porcentajes y los términos que intervienen en esa relación. Otro contenido permite que el estudiante
finalice la comparación cualitativa de la probabilidad de eventos simples
con dos o más eventos a partir de sus resultados posibles. Para finalizar
el bloque, el alumno estudiará a fondo un tema relacionado de la escuela primaria: análisis de los casos en los que la media aritmética y la
mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.
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Bloque 1
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Avance programático
Aprendizajes esperados:
• Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación
científica.
• Resuelve problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.
• Resuelve problemas que implican el cálculo de porcentajes o cualquier término de la relación: Porcentaje 5 cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren procedimientos
recursivos.
• Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.
1
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Eje
Sentido numérico y
pensamiento algebraico
Semanas
Tema
Problemas
multiplicativos
3y4
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Forma, espacio y medida
2y3
Medida
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Manejo de la información
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Contenido
Páginas
1. Resolución de
multiplicaciones
y divisiones con
números enteros
Resolución de multiplicaciones y divisiones con
números enteros.
18 a 22
2. Leyes de los
exponentes
Cálculo de productos y cocientes de potencias
enteras positivas de la misma base y potencias de
una potencia. Significado de elevar un número
natural a una potencia de exponente negativo.
23 a 28
3. Relaciones entre
ángulos a partir de
rectas paralelas
Identificación de relaciones entre los ángulos que
se forman entre dos rectas paralelas cortadas por
una transversal. Justificación de las relaciones
entre las medidas de los ángulos interiores de los
triángulos y paralelogramos.
29 a 34
Figuras y cuerpos
5y6
6y7
Lección
4. Condiciones para Construcción de triángulos con base en ciertos
datos. Análisis de las condiciones de posibilidad
la construcción de
y unicidad en las construcciones.
triángulos
35 a 40
5. Problemas de
áreas de figuras
compuestas
Resolución de problemas que impliquen
el cálculo de áreas de figuras compuestas,
incluyendo áreas laterales y totales de prismas
y pirámides.
41 a 46
6. La centésima
parte
Resolución de problemas diversos relacionados
con el porcentaje, como aplicar un porcentaje
a una cantidad; determinar qué porcentaje
representa una cantidad respecto a otra, y
obtener una cantidad conociendo una parte de
ella y el porcentaje que representa.
47 a 51
7. Problemas
que requieren de
procedimientos
recursivos
Resolución de problemas que impliquen el
cálculo de interés compuesto, crecimiento
poblacional u otros que requieran
procedimientos recursivos.
52 a 56
Proporcionalidad
y funciones
8. Comparación de Comparación de dos o más eventos a partir de
eventos
sus resultados posibles, usando relaciones como:
“es más probable que…”, “es menos probable
que…”.
57 a 61
Nociones de
probabilidad
Análisis y
representación
de datos
9. Análisis de la
media aritmética
y de la mediana
Análisis de casos en los que la media aritmética o
mediana son útiles para comparar dos conjuntos
de datos.
62 a 66
Evaluación pisa, Evaluación enlace
70 a 72
01/07/13 10:12
12
Bloque 1 / lección 1
L1
Resolución de multiplicaciones
y divisiones con números
enteros
Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el
aprendizaje esperado en la lección 2 del bloque 3: resolver problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con expresiones algebraicas.
Conceptos principales: producto positivo, producto
negativo, cociente negativo, cociente positivo.
Materiales: calculadora.
Antecedentes
• Resolución de problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números
decimales
• Resolución de problemas aditivos que implican el
uso de números enteros, fraccionarios o decimales
positivos y negativos
Ideas erróneas
or lo común, los alumnos confunden los números
1. P
enteros (…, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3,…) con los números naturales (1, 2, 3, 4,…).
2.En multiplicaciones con paréntesis, los estudiantes
suelen cometer errores como el siguiente: (2)(4)(25)
5 8 2 5. Hay que recordarles que aunque el producto
se hace dos a dos, se debe seguir multiplicando: (2)(4)
(25) 5 (8)(25) 5 240.
SFUMA2TG_B1.indd 12
Situación inicial (pág. 18)
Se plantea un problema que permite recuperar
los conocimientos acerca del uso de los números
negativos, como las operaciones de suma y resta.
El problema corresponde a multiplicación y división de números enteros, pero el alumno puede
resolverlo a partir de sus conocimientos previos.
Explora y construye
(págs. 18–22)
El alumno comenzará con el estudio de la relación que hay entre el signo de los factores de una
multiplicación y el signo del producto, para luego
revisar cómo en una división el signo del dividendo y del divisor se relaciona con el del cociente.
Regresa y revisa (pág. 22)
El alumno resolverá una variante del problema de
la situación inicial que implica cálculos con números grandes, en el que aplicará los conocimientos
adquiridos en la lección. También realizará una serie de problemas multiplicativos.
04/12/12 11:41
13
Bloque 1 / Lección 1
Solucionario y sugerencias didácticas
18
g.
pá
Situación inicial
Página 18
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que observen con atención la imagen. Pregunte qué representa el 0 en esa situación y cómo se usan los números
enteros. De ser necesario discuta la idea errónea 1.
1. a) 3 m por minuto.
b) En 8 minutos.
Sugerencia didáctica. Después de que los alumnos
respondan los incisos anteriores con sus propios procedimientos, pregunte qué distancia consideraron entre 0 y –39. Reitere que el valor absoluto de un número
es la distancia que lo separa del 0, y que las distancias
siempre son positivas. Pida que a partir de lo anterior
indiquen la distancia entre 12 y –39 (|12| + |–39| = 51).
Aclarar estos puntos les ayudará a realizar las actividades de la lección.
19
g.
pá
20
g.
pá
• (I) (+5) × (+2) = +10
c)• (+3) × (+5) = +15
• (–6) × (+4) = –24
• (+14) × (+3) = +42
• (–3) × (+1) = –3
• (+4) × (–2) = –8
• (–7) × (–1) = +7
• (+12) × (–6) = –72
• (–13) × (–5) = +65
d)• Los dos tienen signo positivo o los dos tienen
signo negativo.
• Tienen signos distintos: uno positivo y otro negativo, o viceversa.
• Por –1.
Página 20
e)• La semejanza es que ambos tienen el mismo número, es decir, su valor absoluto es igual; la diferencia es que tienen signos diferentes.
• Por –1.
• Por –5.
• Por –4.
• Cero.
Integración
Explora y construye
Página 18
Multiplicación de números
1. a)I. En +10.
Página 19
II. En –10.
III. En –10.
IV. En +10.
b)• (II) (+5) × (–2) = –10
• (III) (–5) × (+2) = –10
• (IV) (–5) × (–2) = +10
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a)El resultado de multiplicar dos números del mismo
signo es de signo positivo.
b)El resultado de multiplicar dos números de signo
distinto es de signo negativo.
Sugerencia didáctica. Discuta con el grupo la idea
errónea 2 antes de realizar los siguientes ejercicios.
2.a)• (–2)2 = +4
• (–2)3 = –8
4
• (–2) = +16
• (–2)5 = –32
6
• (–2) = +64
b)Respuesta modelo. Si el exponente de un número
negativo es par, el signo del resultado es positivo.
Si el exponente de un número negativo es impar,
el signo del resultado es negativo.
01/07/13 10:17
14
Bloque 1 / lección 1
21
g.
á
p
División de número enteros
1. a)$7
• El signo de ambas cantidades es positivo.
• Tiene signo positivo.
b)–3 °C cada media hora.
• Primero se calcula cuántos grados descendió la
temperatura entre las 22:00 h y 18:00 h, es decir,
(–26 °C) – (–2 °C) = –24 °C. Después se divide
el resultado anterior entre el número de medias horas que transcurrieron en ese periodo:
–24 °C ÷ 8 = –3 °C. Se hizo una división de números enteros con signos.
• Tuvo signo negativo.
c)En 9.5 horas.
• Que el signo de ambas cantidades es negativo y
el del resultado es positivo.
Sugerencia didáctica. Algunos alumnos solucionarán
el problema sumando varias veces –80, hasta llegar
a –760. Si esto sucede, pida que expliquen cuál es el
resultado de (–760) ÷ (–80). Analice que el resultado
de esa división tiene signo positivo, pues el tiempo
transcurrido sólo toma valores positivos.
d)+160.
Analicen y respondan. Los resultados se pueden comprobar mediante la multiplicación.
Dividendo
120
230
15
25
0
16
212
11
120
230
15
25
0
16
212
21
220
130
25
15
0
26
112
15
14
26
11
21
0
11.2
22.4
22
210
115
22.5
12.5
0
23
16
Divisor
SFUMA2TG_B1.indd 14
• Si el signo del dividendo y del divisor es el mismo,
el signo del resultado es positivo. Si los signos del
dividendo y del divisor son diferentes, el signo del resultado es negativo.
Integración
a)Cuando se dividen dos números del mismo signo,
el resultado tiene signo positivo.
Página 21
e)
22
g.
á
p
Página 22
b)Cuando se dividen dos números de distinto signo,
el resultado tiene signo negativo.
2.a)x = –13
b) Los números que pensó son simétricos.
Regresa y revisa
Página 22
1. a)A –90 m
b)100 minutos después de que empezó a descender.
Resuelve y practica
1. •(+3)(–19) = (–3)(+19)
• (+36) ÷ (–12) < (–24) ÷ (+12)
• (–5)(–1) > (+5)(–12)
•
–48 +48
=
+6
–6
2.–7
3.En 13 mensualidades.
• El signo de ambas cantidades es negativo y el del
resultado es positivo. Sí se cumplen las leyes de
los signos.
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Bloque 1 / lección 2
L2
Ley de los exponentes
Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas
de la misma base y potencias de una potencia. Significado de
elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Se espera que al terminar esta secuencia el alumno resuelva problemas que implican el uso de las leyes de
los exponentes y de la notación científica.
Conceptos principales: polígonos regulares, conservación del área al transformar figuras.
Antecedentes
• Resolución de problemas aditivos que implican el
uso de números enteros, fraccionarios o decimales
positivos y negativos
• Resolución de problemas aditivos que implican el
uso de números enteros, fraccionarios o decimales
positivos y negativos
• Uso de la notación científica para realizar cálculos
Ideas erróneas
1. Aunque es poco frecuente, los alumnos pueden pensar
que, por ejemplo, 3 × 3 × 3 × 3 es igual que 4 × 3 porque 3 aparece 4 veces como factor, pero lo correcto es
3 × 3 × 3 × 3 = 34.
2.Pensar que a0 es igual a cero cuando lo correcto es
a0 = 1.
3. Es común que los alumnos piensen que cualquier número decimal multiplicado por una potencia de 10 corresponde a notación científica; sin embargo, para que
la notación científica sea correcta, el número decimal
debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10.
SFUMA2TG_B1.indd 15
15
Situación inicial (pág. 23)
Se presenta un problema que permite que el alumno recuerde cómo representar con potencias una
situación.
Explora y construye
(págs. 23–27)
El alumno estudiará cómo se realizan operaciones
entre los exponentes para obtener el resultado de
multiplicar dos potencias, y luego analizará el caso
de las potencias de potencias y de la división de
potencias. Esto permitirá resolver de manera más
práctica cálculos con notación científica.
Regresa y revisa (pág. 28)
Se resolverá una variante del problema inicial y se
realizarán actividades que implican el uso de potencias.
04/12/12 11:41
16
Bloque 1 / lección 2
Solucionario y sugerencias didácticas
23
g.
pá
Situación inicial
Página 23
Sugerencia didáctica. Comente con el grupo la idea
errónea 1.
1. Respuesta modelo. Para cada casilla la potencia es
2n – 1, donde n representa el número de casilla.
Sugerencia didáctica. No se espera que los alumnos respondan 2n – 1, sino que escriban la cantidad en
cada casilla. Si observa que los alumnos tienen dificultades para expresar con potencias la cantidad de
trigo que corresponde a cada casilla, pregunte cómo
se obtiene la cantidad que hay en cada una a partir
de la anterior. De este modo podrán concluir que en
la primera casilla hay 1 = 20 granos; en la segunda,
1 × 2 = 21; en la tercera, 1 × 2 × 2 = 22, y así sucesivamente, hasta llegar a la casilla 64 en la que hay 263
granos.
Explora y construye
Página 23
Multiplicación de números
1. a)• 32 cm2
• Cinco veces.
• 25 cm2
b)• Nueve veces.
• 39
• Los exponentes se suman.
24
g.
á
p
Página 24
• Es la misma.
• El exponente del producto es igual a la suma de
los exponentes de los factores.
Integración
an × am = an + m: uno de los factores indica que a se multiplica n veces, y el otro que a se multiplica m veces,
entonces, a se multiplica m + n veces.
Reflexionen. Respuesta modelo. No, porque no tiene
la misma base.
La potencia de una potencia
1. a)• (32)3
• 36
b)• 512. El volumen se obtiene al multiplicar el largo
por el ancho por la altura: 54 × 54 × 54 = 512.
• El exponente se multiplica por 3.
Analicen y comenten. a28
Integración
(an)m = an × m porque al elevar un número a una potencia, éste aparecerá como factor en la multiplicación
tantas veces como indique el exponente: (an)m = an × an
× an × … × an, donde an aparece como factor m veces
y, por el producto de potencias, an × an × an × … × an =
an + n + … + n + n + n, donde n se suma m veces.
Analicen y comenten. a16
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04/12/12 11:41
17
Bloque 1 / lección 2
26
g.
pá
25
g.
pá
Página 25
Integración
El cociente de potencias de la misma base
an
= an – m: en este caso, n es mayor que m, es decir,
am
1. a)1
b)Es 1.
c)En que el divisor del último cociente es 1 y no cero.
d)Reducir una fracción es expresarla de manera más
simple, mientras que eliminar consiste en quitar
términos de una expresión.
25
2×2×2×2×2
e)• 2 =
=2×2×2=8
2×2
2
36
3×3×3×3×3×3
• 3 =
= 3 × 3 × 3 = 27
3×3×3
3
54
5×5×5×5
• 2 =
= 5 × 5 = 25
5×5
5
25
f) • 2 = 23
2
36
• 3 = 33
3
54
• 2 =52
5
Se conserva la misma base y al exponente del numerador se le resta el exponente del denominador.
Analicen. Respuesta modelo. El procedimiento anterior
es más rápido.
Sugerencia didáctica. Comente que en este momento se revisará el caso en que el exponente del
dividendo es mayor que el del divisor. Más adelante
se analizará que la expresión obtenida también sirve
cuando el exponente del divisor es mayor que el del
dividendo.
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que a aparece en el numerador como factor más veces
que en el denominador, por lo que, después de reducir
la fracción el numerador es an – m, y el denominador, 1.
Analicen y comenten. No, porque tiene distinta base.
Página 26
a8
= a3
a5
b12
• 9 = b3
b
2.•
Sugerencia didáctica. Para discutir la idea errónea
n
1, pregunte cuánto vale aan . Algunos alumnos dirán
an
que an = 1, lo cual es cierto, pero también, a partir
de lo que se concluye en la sección Integración de la
n
página anterior, an = an – n = a0, entonces a0 = 1.
a
Los exponentes negativos
B
24
1
= 6 = 2
A
2
2
C
22
1
•
= 6 = 4
A
2
2
C
22
1
•
= 4 = 2
B
2
2
1. a) •
Reflexionen. Respuesta modelo. Que el número de
bacterias del tipo B aumenta cuatro veces más lento
que las del tipo A; que el número de las del tipo C aumenta 16 veces más lento que las del tipo A y que el
número de las del tipo B aumenta cuatro veces más
lento que las del tipo C.
01/07/13 10:18
18
Bloque 1 / lección 2
28
g.
pá
27
g.
pá
B
24
= 6 = 24 – 6 = 2–2
2
A
C
22
= 6 = 22 – 6 = 2–4
•
2
A
C
22
= 4 = 22 – 4 = 2–2
•
2
B
• Elevar un número a un exponente negativo significa que ese número pasa de numerador a denominador, pero con exponente simétrico.
b)•
Página 27
Integración
0
1
= a–n: como 1 = a0, se tiene que a1n = aan = a0 – n = a–n.
an
Usos de las leyes de los exponentes en la notación
científica
Sugerencia didáctica. Antes de iniciar las siguientes
actividades discuta con el grupo la idea errónea 3.
1. a)• 0.000 002 = 2 × 10–6
• 0.000 000 06 = 6 × 10–8
• 3.3 × 101 veces.
b)2.081 2 × 1019
Reflexionen. Respuesta modelo. En que sólo se realizan
operaciones con los exponentes en vez de hacerlo con
todas las cantidades.
SFUMA2TG_B1.indd 18
Regresa y revisa
Página 28
1. a)2n – 1
b) 3n – 1
Resuelve y practica
33 × 311
= 34
38 × 32
b3 × b4
1
• 4
=
b × b4
b
216 × 214
1
• 5
=
21 × 218 213
11 × 115
1
• 3
= 4
11 × 117
11
• (23 × 25)2 = 216
35
• ( 2 )4 = 312
3
2.• 78y = 714 ⇒ y = 76
• 136 y = 1310 ⇒ y = 134
• 1119 y = 1120 ⇒ y = 11
3.Es incorrecto porque cualquier número elevado al
exponente cero es igual a uno.
4.• 70 = 1
• (4 × 108)0 = 1
5.a)3.906 25 × 102
b)2.25π × 1016 km2
1. •
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Bloque 1 / lección 3
L3
19
Relaciones entre ángulos a
partir de rectas paralelas
Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman
entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.
Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos
interiores de los triángulos y paralelogramos.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance
el aprendizaje esperado en la lección 4 del bloque 3:
justificar la suma de los ángulos internos de cualquier
triángulo o polígono y utilizar esta propiedad en la resolución de problemas.
Conceptos principales: rectas paralelas y transversales, ángulos: suplementarios, opuestos por el vértice,
adyacentes, colaterales (internos y externos), alternos
(internos y externos) y correspondientes.
Ideas erróneas
1. Los alumnos suelen confundir ángulos adyacentes con
ángulos consecutivos. Dos ángulos son consecutivos
si tienen un vértice y un lado en común, pero si suman
180°, entonces son adyacentes.
Situación inicial (pág. 29)
El alumno resolverá un problema sobre líneas paralelas midiendo los ángulos de la figura. Al final podrá resolverlo con lo que aprenda en esta lección.
Explora y construye
(págs. 29–33)
Se analizan las relaciones entre las medidas de
los ángulos formados por dos rectas paralelas
y una secante. Estas relaciones permitirán a los
alumnos concluir que los ángulos interiores de un
triángulo suman 180°, y que la suma de los ángulos interiores de un paralelogramo es de 360°.
Regresa y revisa (págs. 33–34)
Se resuelve una variante del problema inicial en la
que el alumno no podrá hacer mediciones para
resolverlo, pero sí utilizar los recursos geométricos
aprendidos.
SFUMA2TG_B1.indd 19
04/12/12 11:41
20
Bloque 1 / lección 3
Solucionario y sugerencias didácticas
29
g.
pá
Situación inicial
Página 29
Los ángulos 1 y 2 deben medir 108°.
Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos utilicen sus propios métodos. Lo más probable es que
usen el transportador, pero más adelante tendrán las
herramientas para argumentar su respuesta.
Explora y construye
Página 29
Rectas paralelas cortadas por una transversal
1. a) • 160°
• El ángulo B mide 20° y el ángulo C, 160°.
• Son iguales.
• Son iguales.
• Paralelas.
Página 30
b)Respuesta libre.
c)• ∠f tiene como ángulos suplementarios al ∠e y ∠g.
El ∠e tiene como ángulos suplementarios al ∠g y
∠h.
• Opuestos por el vértice: ∠d y ∠b; ∠a y ∠c; ∠h y
∠f; ∠e y ∠g.
• Adyacentes: ∠a y ∠b; ∠a y ∠d; ∠b y ∠c; ∠c y ∠d;
∠e y ∠f; ∠e y ∠h; ∠f y ∠g y ∠g y ∠h.
• Colaterales internos: ∠c y ∠h; ∠b y ∠e.
• Colaterales externos: ∠d y ∠g y los ángulos ∠a y
∠f.
SFUMA2TG_B1.indd 20
30
g.
á
p
• Alternos internos: ∠c y ∠e; ∠b y ∠h.
• Alternos externos: ∠d y ∠f; ∠a y ∠g.
• Correspondientes: ∠d y ∠h; ∠c y ∠g; ∠e y ∠a; ∠f
y ∠b.
Página 31
Integración
Sugerencia didáctica. Para completar las oraciones
de esta sección, trace en el pizarrón una figura como
la siguiente y pida a los alumnos que identifiquen las
siguientes parejas de ángulos.
a d
c
b
e h
f g
- Los ángulos ∠a y ∠c son opuestos por el vértice.
- Los ángulos ∠c y ∠d son adyacentes.
- Los ángulos ∠c y ∠h son colaterales internos.
- Los ángulos ∠d y ∠g son colaterales externos.
- Los ángulos ∠c y ∠e son alternos internos.
- Los ángulos ∠d y ∠f son alternos externos.
- Los ángulos ∠d y ∠h son correspondientes.
Plantee los siguientes razonamientos, sin las palabras subrayadas, y reflexionen en grupo.
- Como ∠a y ∠d forman un ángulo de 180°, entonces son suplementarios; lo mismo para ∠c y ∠d, lo
cual significa que ∠c + ∠d = 180° = ∠a + ∠d, entonces, ∠c + ∠d = ∠a + ∠d, por lo que ∠c = ∠a. De lo
anterior se resume que los ángulos opuestos por un
vértice son iguales.
04/12/12 11:41
21
Bloque 1 / lección 3
31
g.
pá
- La transversal corta a dos rectas paralelas, por lo
que la inclinación que forma con cada una es la misma, es decir, que los ángulos correspondientes que
se forman con cada recta son iguales: ∠d = ∠h, ∠c =
∠g, ∠a = ∠e y ∠b = ∠f. De esta manera, los ángulos
correspondientes son iguales.
- Como ∠e = ∠a por ser correspondientes, y ∠a = ∠c
por ser opuestos por el vértice, se tiene que ∠c = ∠e,
de ahí que los ángulos alternos internos son iguales.
- Como ∠d = ∠h por ser correspondientes y ∠h = ∠f
por ser opuestos por el vértice, se tiene que ∠d = ∠f,
y por ello, los ángulos alternos externos son iguales.
- Como ∠c + ∠d = 180° por ser suplementarios y
∠d = ∠h por ser correspondientes, entonces ∠c +
∠h = 180°, así que los ángulos colaterales internos son
suplementarios.
Pida a los alumnos que de manera individual escriban la justificación de que los ángulos colaterales externos son suplementarios: Como ∠h + ∠g = 180°
por ser suplementarios y ∠d = ∠h por ser correspondientes, entonces ∠d + ∠g = 180°. De este modo,
los ángulos colaterales externos son suplementarios.
a) Iguales.
b) Iguales.
c) Iguales.
d)Iguales.
e)Suplementarios.
f) Suplementarios.
g)Suplementarios.
Sugerencia didáctica. Comenten la idea errónea 1.
SFUMA2TG_B1.indd 21
32
g.
pá
Medida de los ángulos internos de un triángulo
1. a)En todos los triángulos, la suma de sus ángulos interiores es 180°.
b)La suma de los ángulos mide 180°.
c)Respuesta modelo. Que la medida de los ángulos
interiores de un triángulo es de 180°.
d Respuesta libre. Por ejemplo, hacer varios triángulos más.
Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos busquen sus propios métodos para justificar lo anterior.
En la siguiente sección se muestra una manera formal de hacerlo.
Página 32
Integración
a)180°
b)Iguales.
c)Iguales.
d)180°
e)Respuesta modelo. La suma de los ángulos interiores mide 180°.
Sugerencia didáctica. Para los incisos b) y c) pregunte cuál es la justificación geométrica de sus respuestas (a y d, así como b y e, son alternos internos).
2.a)95°. Es el resultado de la resta 180° – 50° – 35°.
b)60°. Es un triángulo rectángulo, y por tanto, es el
resultado de la resta 180° – 60° – 30°.
c)18°, 72° y 90°. Hay que resolver la ecuación 90° +
x + 0.25x = 180°: x = 72° y x ÷ 4 = 18°.
04/12/12 11:41
22
Bloque 1 / lección 3
33
g.
pá
34
g.
pá
Página 33
Página 34
Medida de los ángulos internos de un paralelogramo
Resuelve y practica
1. • ∠f = 120°
• ∠a = 35°
• ∠h = 120°
• ∠b = 25°
• ∠d + ∠e = 60°
• ∠c + ∠a = 155°
• ∠a + ∠b + ∠c =180°
• ∠a + ∠b = 60°
2.135°
3.Respuesta libre.
4.38°, 66° y 76°
5.∠a = 45°, ∠b = 135° y ∠c = 45°
1. a) • 90°
• De izquierda a derecha: los ángulos a del primero
y segundo pentágonos miden 90° cada uno; los
del tercero, miden 45° y 135° y los del cuarto,
135° y 45°.
• 360°
Analicen y comenten. 360°
b)Respuesta libre.
Integración
La suma de los ángulos internos de cualquier paralelogramo es igual a 360°.
Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos
que todo paralelogramo se puede dividir en dos
triángulos (cuyos ángulos internos miden 180°), por
lo que sus ángulos internos suman 360°.
Regresa y revisa
Página 33
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que justifiquen geométricamente por qué el ángulo 2 mide
108°.
1. a) 112°.
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Bloque 13 // Lección
Lección 41
L4
23
Condiciones para la
construcción de triángulos
Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis
de las condiciones de posibilidad y unicidad en las
construcciones.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el
aprendizaje esperado de la lección 4 del bloque 3 de
Matemáticas de 3º de secundaria: resolver problemas
de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura.
Conceptos principales: posibilidad y unicidad en las
construcciones de triángulos.
Materiales: regla graduada, popotes o tiras de papel.
Antecedentes:
• Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del
juego de geometría
Ideas erróneas
1. Los alumnos pueden pensar que dos triángulos, cuyos
lados tienen las mismas medidas, son distintos porque
se encuentran en distinta posición. Sin embargo, su posición no determina si son distintos, pues si las medidas
de sus lados son iguales, entonces son idénticos.
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Situación inicial (pág. 35)
Esta sección introduce al alumno al análisis de
posibilidad de construcción de triángulos a partir
de distintas medidas.
Explora y construye
(págs. 35–40)
El alumno estudiará la posibilidad de construir un
triángulo cuando se conocen las medidas de sus
tres lados. También analizará cuántos triángulos
distintos se pueden construir conociendo las medidas de los tres lados, la de dos lados y un ángulo, o la de los tres ángulos.
Regresa y revisa (pág. 40)
El alumno tendrá las herramientas suficientes para
justificar su respuesta de la situación inicial.
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24
Bloque 13 / lección 4
1
Solucionario y sugerencias didácticas
35
g.
á
p
Situación inicial
Página 35
Sugerencia didáctica. Es muy probable que los
alumnos no resuelvan el problema mediante la desigualdad del triángulo. Pida, entonces, que intenten
construir un triángulo con las medidas del odómetro
del carro de Luis, y otro con las del carro de Brenda. Así podrán concluir cuál es el odómetro que no
funciona bien.
1. a) El odómetro del carro de Luis no funciona bien
porque no es posible formar un triángulo con las
distancias que indica.
Explora y construye
Página 36
¿Cuántos triángulos se pueden construir?
1. a)• No, todos los triángulos que se pueden construir
son iguales.
Sugerencia didáctica. Discuta con el grupo la idea
errónea 1.
• Respuesta modelo. Sí, porque los extremos de
dos lados no se unían, es decir, no se formaban
tres vértices.
b)Respuesta modelo. No es posible construir el
triángulo.
c)Respuesta modelo. Sí se puede construir un triángulo.
Integración
La suma de cualesquiera dos lados tiene que ser estrictamente mayor que la longitud del otro lado.
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36
g.
á
p
37
g.
á
p
Sugerencia didáctica. Trace en el pizarrón varios
triángulos: acutángulos, obtusángulos, rectángulos,
equiláteros, isósceles y escalenos para verificar que
la suma de cualesquiera dos lados siempre es mayor
o igual que la del otro lado.
Página 37
2.a)Respuesta libre.
• Respuesta modelo. No es posible trazar triángulos distintos: son triángulos iguales a los anteriores, pero en distintas posiciones.
Página 38
Integración
• Siempre es posible construir un solo triángulo.
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos si es
po-sible que el ángulo comprendido entre los dos segmentos sea mayor o igual a 180°. Se espera que respondan que no, ya que en la lección anterior se estudió
que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo
es igual a 180°, por lo que el ángulo comprendido entre los segmentos debe ser menor que 180°.
• Respuesta libre.
Comparen. Respuesta modelo. Para construir triángulos idénticos basta dar las tres longitudes de sus lados
o las longitudes de dos de ellos y el ángulo que forman
esos dos lados.
3.a) • En total hay 6 posibles combinaciones, pero sólo
4 de ellas permiten construir un triángulo.
• No es posible construir triángulos diferentes porque los ángulos determinan la ubicación del tercer vértice.
01/07/13 10:22
25
Bloque 1 / lección 4
38
g.
pá
• Con 145° y 90°, porque suman más de 180°.
b)Respuesta modelo. No se puede construir el triángulo.
c)Sí se puede construir el triángulo.
39
g.
pá
40
g.
pá
Página 40
Integración
a)Tantos como se quiera.
b)Dos triángulos distintos.
Página 39
Integración
Regresa y revisa
Su suma debe ser menor que 180°.
Página 40
4.a)Respuesta libre.
• Respuesta modelo. Tienen diferente perímetro
porque cada integrante utilizó distintas medidas
para los lados.
• Tantos como se quieran, pues basta elegir un
lado y asignarle una medida distinta cada vez que
el triángulo se construya.
1. El odómetro de Luis es el que está descompuesto,
porque las distancias que marca no cumplen la desigualdad del triángulo.
b)Sugerencia didáctica. Es posible que en esta actividad los alumnos sólo obtengan un triángulo. De
ser así, comente que hay dos triángulos distintos y
trácelos en el pizarrón: las medidas de uno son 5 cm,
6 cm y 1.9 cm, y las del otro, 5 cm, 6 cm y 5.8 cm.
• Respuesta modelo. No, hay dos triángulos distintos.
• Se pueden trazar dos triángulos distintos: una forma de construirlos es trazar un segmento de 6 cm
y, desde uno de sus extremos, trazar una recta, L,
a un ángulo de 50° (con esto se logra que el ángulo de 50° sea opuesto al lado de 5 cm). Después,
desde el otro extremo del segmento de 6 cm, se
traza una circunferencia de 5 cm de radio; ésta interseca la recta L en dos puntos distintos, que son
las posibles ubicaciones del tercer vértice.
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Resuelve y practica
1. Ninguno, porque no se cumple la desigualdad del
triángulo.
2.Se pueden construir dos triángulos distintos, cuyas
longitudes son 2 cm, 2 cm, 3 cm y 1 cm, 3 cm, 3 cm.
3.Sólo se puede trazar un triángulo distinto y el ángulo
de 95° debe ser opuesto al lado de 5 cm. De lo contrario, como los ángulos adyacentes al lado de 5 cm son
iguales, la suma de los ángulos internos sería mayor
que 180°.
4.No, porque 73° + 90° + 55° = 218 > 180°.
04/12/12 11:41
26
Bloque 13 / lección 51
L5
Problemas de áreas de figuras
compuestas
Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de
figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de
prismas y pirámides.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Se espera que al terminar esta secuencia el alumno resuelva problemas que impliquen calcular el área y el
perímetro del círculo.
Conceptos principales: áreas de polígonos regulares,
conservación del área al transformar figuras.
Antecedentes
• Resolución de problemas que implican el cálculo de
cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros
y polígonos regulares
• Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el
área del círculo en la resolución de problemas
Ideas erróneas
1. Algunos alumnos cometen el error de relacionar la altura de un triángulo obtusángulo con uno de sus lados,
pero la altura de un triángulo siempre es perpendicular
a uno de los lados.
2.Los alumnos suelen cometer errores al calcular el área
de un polígono regular, ya que multiplican la longitud
de lado por la apotema, pero olvidan dividir entre 2.
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Situación inicial (pág. 41)
El alumno calculará el área de algunas partes de
un logotipo a partir de las áreas de triángulos y
rectángulos.
Explora y construye
(págs. 41–45)
Se plantean diversas situaciones en las que será
necesario que el alumno calcule áreas que se pueden descomponer en figuras más simples como
trapecios, rombos, círculos, triángulos, rectángulos o cuadrados.
Regresa y revisa (págs. 45–46)
Se retoma el problema inicial para que el alumno
calcule las áreas de otras partes del logotipo.
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27
Bloque 1 / lección 5
Solucionario y sugerencias didácticas
41
g.
pá
Situación inicial
Página 41
1. a)2.4 m2
b)4.94 m2
c)Para el área del balón se utiliza la fórmula A = r2 × π,
donde A es el área, y r el radio. La región blanca se
puede dividir en un trapecio y un triángulo y así, con
ayuda de las fórmulas (A = L 2× l × h y A = B 2× a , respectivamente), obtener el área que ocupa. Después
se resta el área que ocupará el balón.
Sugerencia didáctica. Si los alumnos no recuerdan
la fórmula para calcular el área de un trapecio, solicite que lo dividan en figuras de las que sepan calcular
el área: dos triángulos y un rectángulo.
Explora y construye
Página 41
42
g.
pá
Página 42
b)• Un rectángulo, un trapecio y dos círculos, uno encima de otro.
• 60.8 cm2
Sugerencia didáctica. Pida a un equipo que explique cómo calcularon el área del logo. Es importante que comente en grupo que se debe calcular el
área de un rectángulo, el de un trapecio y el de dos
círculos; para obtener el área del asa es necesario
restar el área del semicírculo blanco.
Comenten. Respuesta libre.
c) • 151.42 cm2
• El soporte se puede descomponer en un semicírculo, un trapecio y un rectángulo.
• 472.2 cm2
Sugerencia didáctica. Analicen en grupo, si se presenta, la idea errónea 2.
Áreas de figuras planas compuestas
1. a)121.5 cm2
Se conoce la altura de ambos triángulos azules y la base
de cada uno (9 cm y 4.5 cm), entonces se calculan sus
respectivas áreas y se suman.
Sugerencia didáctica. Comenten la idea errónea 1.
Es probable que los alumnos no identifiquen que los
dos triángulos tienen la misma altura, que es la medida de lado del cuadrado.
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04/12/12 11:41
28
Bloque 13 / lección 51
43
g.
pá
Página 43
b)• Cada figura se puede colocar dentro de un cuadrado, como muestra la imagen, y calcular su área.
Como hay cuatro cuartos de círculo que no son
parte de la figura, es necesario restar un círculo
completo. Entonces, al área del cuadrado se le
resta el área de un círculo de radio igual a la mitad de la medida del lado del cuadrado.
44
g.
pá
Página 44
Áreas de superficies de prismas y pirámides
1. a)Respuesta libre.
• 27.6 cm2
• 110.4 cm2
• 492.24 cm2 (se consideró que la hoja de tamaño
carta mide 21.6 cm × 27.9 cm).
b)• Para la caja de leche entera cada cara lateral tiene un área de 111.65 cm2, cada cara frontal de
182.7 cm2 y las tapas, 49.5 cm2 cada una. Para
la caja de leche descremada cada cara tiene un
área de 143.5 cm2 y cada tapa, 49 cm2.
• 687.7 cm2
• 672 cm2
Analicen y comenten. En la caja de la leche entera.
• El lado del cuadrado que contendrá una de las figuras mide 5 cm y, por tanto, su área es de 25 cm2.
Después se le resta el área de un círculo de 2.5 cm
de radio: 25 cm2 – 19.63 cm2 = 5.37 cm2.
Para obtener el área de las tres figuras se multiplica por tres: 5.37 cm2 × 3 = 16.11 cm2.
• El área del cuadrado menos las tres figuras juntas: 100 cm2 – 16.11 cm2 = 83.89 cm2.
Integración
Respuesta modelo. Para conocer el área de una figura plana compuesta es conveniente dividirla en figuras
conocidas como triángulos, cuadrados, rectángulos y
círculos.
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04/12/12 11:41
29
1 / lección
Bloque 3
Lección 51
46
g.
pá
45
g.
pá
Página 45
c) • 150 cm
• 51 495 cm2
d) • Respuesta libre.
• 27.5 cm2
• 16 cm2
• 107.5 cm2
Integración
Respuesta modelo. Se calcula el área de cada cara y se
suman con el área de las tapas o las bases.
Regresa y revisa
Página 45
1. a) El diamante azul, sin considerar el diamante blanco
ni el balón, se puede dividir en un trapecio y un
triángulo. Entonces, su área es igual a 4.38 m2 +
6.97 m2 = 11.35 m2. Después se debe restar el área
del diamante interior (el espacio blanco y el balón):
11.35 m2 – 7.34 m2 = 4.01 m2.
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Página 46
Resuelve y practica
1. Área de la figura verde claro: 2π cm2.
Área de la figura verde oscuro: π cm2.
Área de la figura azul claro: π cm2.
Área de la figura azul oscuro: 6 cm2.
Área de la figura roja: 4 cm2.
Área de la figura anaranjada: 4 cm2.
Área de la figura morada: 2 cm2.
Área total: 28.57 cm2.
Sugerencia didáctica. Si observa que los alumnos
tienen dificultades para resolver el siguiente problema, pida que encuentren cuánto vale el radio del círculo (altura del triángulo azul + medida de lado del
cuadrado + apotema del hexágono). Se espera que
al calcular el área del círculo, los alumnos encuentren el área que ocupa el vitral.
2.a)2 358.6 cm2
b)Es de 714.6 cm2
c)24 041.4 cm2
3.Si la caja se forra sólo por fuera, serían necesarios 14
406 cm2. Si se forra por dentro y por fuera, se requeriría el doble, es decir, 28 812 cm2.
4.Las medidas para el heptágono son: lado lateral, 13 cm
y apotema, 13.5 cm. La altura del prisma es de 13 cm.
01/07/13 10:24
30
Bloque 13 / lección 6
1
L6
La centésima parte
Resolución de problemas diversos relacionados con el
porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad,
determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a
otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el
porcentaje que representa.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el
aprendizaje esperado en la lección 7 del bloque 1: resolver problemas que implican el cálculo de porcentajes o
de cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren de
procedimientos recursivos.
Conceptos principales: porcentaje, tasa de interés.
Material: calculadora.
Antecedentes
• Cálculo de porcentajes y utilización de esta herramienta en la resolución de otros problemas, como la
comparación de razones
• Resolución de problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna
o externa es un número fraccionario
Ideas erróneas
1. Los alumnos pueden expresar un porcentaje como
número decimal de manera errónea, lo que afectará
el resultado. Por ejemplo, pensar que 5% es igual a
5
0.5, cuando lo correcto es 100
= 0.05.
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Situación inicial (pág. 47)
Se plantea un problema con el que el alumno recuperará sus cocimientos respecto a porcentajes
estudiados en primaria.
Explora y construye
(págs. 47–50)
En esta sección el alumno analizará cómo determinar qué porcentaje representa un cantidad respecto a otra, cómo aplicar un porcentaje a una
cantidad y cómo obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.
Para ello estudiará la relación entre un porcentaje y
el número decimal equivalente.
Regresa y revisa (pág. 51)
El alumno resolverá una variante de la situación
inicial y otros problemas que implican cálculos de
porcentajes.
04/12/12 11:41
31
Bloque 13 // lección
Lección 61
Solucionario y sugerencias didácticas
47
g.
á
p
Situación inicial
Página 47
1. a)1 980 600 km2
Sugerencia didáctica. Permita que cada pareja encuentre la solución al problema. En grupo pida a los
alumnos que expresen dos centésimas como una
2
fracción y expliquen el significado de 100
x = 39 612,
donde x representa la superficie de México. Por último, solicite que despejen x para verificar su respuesta.
Explora y construye
Página 47
La tasa
Sugerencia didáctica. Antes de iniciar las actividades
se recomienda analizar la idea errónea 1.
1. • 20%
20
• 100
• 0.20
7
b) • 50
• 0.14
• 14
Analicen y comenten. Que al multiplicar el valor decimal por 100 se obtiene el porcentaje.
Página 48
48
g.
á
p
49
g.
á
p
• 133.45. Un procedimiento consiste en representar 17% como decimal y multiplicarlo por 785:
0.17 × 785 = 133.45.
d) • 64%
• 36%
• 19%
• 46.3%
Analicen y comente. Porque en un caso se consideraron todas las personas que había en el cine y, en el otro,
sólo los infantes.
e)Respuesta libre.
Integración
Respuesta modelo. Para obtener una tasa en porcentaje se divide la cantidad que se desea expresar como
porcentaje entre la otra cantidad, que es el total, y luego
se multiplica por 100.
Página 49
El porcentaje
1. a)• 27 g
• 6.12 g
• 75% y 17%, respectivamente.
b)• 0.18
• $40.5
• $184.5
c)• 30%
• 22.5 metros
c)• $1 800 porque se multiplica el interés por el préstamo (0.12 × 15 000).
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04/12/12 11:41
32
Bloque 1 / lección 6
50
g.
pá
b)
Zapatería Hermanos González, S. A. de C. V.
Ingresos registrados durante enero: $77 529
Concepto
Porcentaje (%)
Gastos ($)
IVA
16
12 404.64
ISR
10
7 752.9
Nómina
9
6 977.61
Pago a proveedores
17
13 179.93
Ganancias en enero:
52
40 315.08
Página 50
Integración
m=c×t
La cantidad
1.a)• $450
• $396
b)• $250
• $270
• $220
c)• 55%
• 216 alumnos.
• 168 alumnos.
Analicen y comenten. Que si se conoce una cantidad y
el porcentaje que representa, es posible obtener la cantidad total, es decir, 100%.
Integración
Primero el porcentaje se expresa como número decimal y después la cantidad conocida se divide entre el
número decimal.
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51
g.
pá
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cómo
obtendrían, sólo con una multiplicación, la cantidad
total a pagar por un automovilista que tenía una multa de $540 y no pagó en el plazo de un mes. Se
espera que los alumnos concluyan que al multiplicar
540 por 1.08 se obtiene el monto total.
Comente con el grupo a qué número decimal equivale 0% y a cuál 100% (0 y 1, respectivamente), para
que analicen por qué al multiplicar por 1.08, en el
ejemplo anterior, se obtiene directamente la cantidad a pagar.
Regresa y revisa
Página 51
1. a) 31 689.6 km2
b) 3.57%
Resuelve y practica
1. a) 20
b) 200%
c) De 5 261.1
2.Dos cantidades: la cantidad total y la cantidad que es
una parte de la cantidad total.
3.El 110%.
4.No, porque el salario del trabajador debería ser negativo.
5.Respuesta libre.
6.a) 65 000 personas.
b) 1 300 boletos.
c) Respuesta modelo. Que el registro se hizo de manera errónea o que hubo sobreventa de boletos.
d) 6.92%
04/12/12 11:41
Bloque 1 / lección 7
L7
33
Problemas que requieren
de procedimientos recursivos
Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés
compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran
procedimientos recursivos.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Se espera que al terminar esta secuencia el alumno resuelva problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje =
cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren
procedimientos recursivos.
Conceptos principales: interés simple, interés compuesto.
Materiales: calculadora.
Antecedentes:
• Resolución de problemas diversos relacionados con
porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad,
determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una
parte de ella y el porcentaje que representa
Situación inicial (pág. 52)
El alumno resolverá un problema de tasa poblacional para lo que recuperará los conocimientos
adquiridos en la lección anterior.
Explora y construye
(págs. 52–55)
La lección inicia con dos situaciones que implican
el cálculo de intereses: una corresponde a interés
simple y la otra, a interés compuesto. El alumno
calculará a partir de la tasa los crecimientos o decrementos de algunos valores conforme pasa el
tiempo.
Regresa y revisa (pág. 56)
Los alumnos resolverán una variante del problema
inicial y una serie de actividades.
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04/12/12 11:41
34
Bloque 1 / lección 7
Solucionario y sugerencias didácticas
53
g.
á
p
52
g.
á
p
Situación inicial
Página 52
1. a) 8.55% (tasa de cada 5 años).
b)Si la tasa permanece constante, habrá, aproximadamente, 143 702 840 habitantes.
Sugerencia didáctica. Para verificar las respuestas,
haga en grupo las siguientes preguntas:
¿Cuántos habitantes más hubo en 2010 que en 2005?
(8 847 876.357).
¿Qué porcentaje de la población de 2005 representa
esa cantidad? (8.55%)
¿Qué porcentaje de la población de 2010 representa el incremento de habitantes entre 2010 y 2015?
(8.55%)
De esta manera, los alumnos observan que 8.55% se
aplica a la población resultante del último incremento poblacional.
Explora y construye
Página 52
Cálculo de intereses
1. a) • $265
• $26 765, porque a la cantidad inicial ($26 500) se
suma la generada por el interés ($265).
• Se suma la cantidad de dinero ahorrada al final
del primer mes ($26 765) y 1% de esa cantidad
($267.65).
• $27 032.65
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54
g.
á
p
Página 53
•
Banco del Sur
Mes
Cantidad al
inicio del periodo
mensual ($)
Interés mensual ($)
Cantidad al
final del periodo
mensual ($)
Primero
26 500
26 500  0.01  265
26 765
Segundo
26 765
26 765 × 0.01 = 267.65
27 032.65
Tercero
27 032.65
27 032.65 × 0.01 = 270.33
27 302.98
Cuarto
27 302.98
27 302.98 × 0.01 = 273.02
27 576
Quinto
27 576
27 576 × 0.01 = 275.77
27 851.77
b)Analicen. Respuesta modelo. En ninguna opción:
para la caja de ahorro El Porvenir hay que multiplicar $291.50 por el número de meses que se ha
ahorrado y sumar el producto obtenido a $26 500.
Para el Banco del Sur se debe multiplicar la cantidad
inicial por la tasa elevada al número de meses que
se ha ahorrado.
• En la caja de ahorro El Porvenir, porque después
de ocho meses tendrán $28 832, mientras que en
el Banco del Sur tendrán $28 695.70.
• En cualquiera de las dos, porque en ambas al final
del quinto mes tendrán ahorrados más de $28 000.
Página 54
Cálculo del crecimiento poblacional
Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos
que los resultados se deben truncar, ya que no hay
decimales de personas.
04/12/12 11:41
35
Bloque 1 / lección 7
56
g.
pá
55
g.
pá
Estado de la
República
Mexicana
a) Variación
de la
población
Coahuila de
Zaragoza
Aumenta
25 198
Aumenta
7 454
Aumenta
188 753
Disminuye
2 613
Colima
Estado de
México
Zacatecas
b) Población
al final de
este año
(2012)
c) Población
aproximada
en dos años
(2014)
2 705 873
2 756 983
623 512
638 693
15 410 809
15 795 367
1 372 658
1 367 447
Analicen y comenten. En Zacatecas (1 364 849 habitantes en el 2015).
Propagación de una epidemia y pérdida del valor
1. a) • 7.31%
Sugerencia didáctica. Para obtener la tasa de crecimiento: Población final – Población inicial × 100.
Población inicial
• 147 personas.
Analicen. En 7 años.
Integración
Primero se multiplica la cantidad inicial por la tasa, después se suma o se resta, según corresponda, a la cantidad inicial. Para un segundo cálculo se hace lo mismo,
pero en vez de la cantidad inicial, se utiliza la cantidad
resultante del cálculo anterior.
Una forma más rápida de realizar los cálculos es Cantidad incial × (1 + tasa)t, donde t es el tiempo transcurrido,
ya sean horas, días, semanas, etcétera, y la tasa, expresada como decimal, puede ser positiva o negativa.
Regresa y revisa
1. a) 150 101 967 habitantes.
• 2 159 personas.
• 441 durante las cuatro semanas.
Resuelve y practica
Propagación de la epidemia de gripe
SFUMA2TG_B1.indd 35
b) • $10 800 • $109 200
• $9 828 • $99 372
Página 56
Página 55
Semanas
Analicen. Al final de la sexta semana.
Registro al
inicio de
la semana
Personas
contagiadas
durante
la semana
Registro al
final de
la semana
1
1 875
137
2 012
2
2 012
147
2 159
3
2 159
158
2 316
4
2 316
169
2 485
5
2 485
181
2 666
6
2 666
194
2 860
1. • 1%
• 1%
• En la deuda B.
2.• 245 bacterias.
• 6 889 bacterias.
• 7 143 bacterias.
• Sí, en el sexto día.
3.• 7 738 758 471 personas.
• En 2017.
01/07/13 10:34
36
Bloque 1 / lección 8
L8
Comparación de eventos
Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados
posibles, usando relaciones como: “es más probable que…”, “es
menos probable que…”.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Se espera que al terminar la secuencia el alumno compare cualitativamente la probabilidad de eventos simples.
Conceptos principales: experimento aleatorio, evento, espacio muestral, probabilidad.
Antecedentes
• Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y
registro de los resultados. Elección de estrategias en
función del análisis de resultados posibles
• Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su
registro en una tabla de frecuencias
• Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados
Ideas erróneas
1. Es común que los alumnos no contemplen todo el
espacio muestral, pues no consideran algunos resultados posibles. Por ejemplo, al tirar dos dados, uno
azul y otro rojo, y sumar los puntos de las caras que
caen hacia arriba, hay tres combinaciones distintas
para obtener 3:
- La cara superior de los dos dados es 2.
- La cara superior del dado azul es 1 y la del dado rojo
es 2.
- La cara superior del dado azul es 2 y la del dado rojo
es 1.
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Situación inicial (pág. 57)
Se plantea una situación en la que el alumno retomará los conocimientos de conteo de primer año
de secundaria; contemplará todos los posibles
casos de un evento, y establecerá si un evento es
más o menos probable que otro.
Explora y construye
(págs. 57–60)
Mediante diferentes actividades el alumno resolverá ejercicios, en los que para conocer qué evento
es más probable o menos probable que otro deberá encontrar el espacio muestral del experimento.
Entre las actividades hay experimentos en los que
no importa el orden con que salen las muestras y
otros en los que sí.
Regresa y revisa (pág. 61)
El alumno retomará el problema inicial y, con el
conocimiento adquirido en la lección, solucionará
una variante del problema. También se presentan
otros problemas para que el alumno practique el
contenido de la lección.
04/12/12 11:42
37
Bloque 1 / lección 8
Solucionario y sugerencias didácticas
57
g.
pá
Situación inicial
Página 57
1. a) Alan tiene mayor oportunidad de ganar. Los resultados posibles son los siguientes (entre paréntesis se
muestra el número de distintas combinaciones posibles): 5 (una combinación), 4 (dos combinaciones),
3 (tres combinaciones), 2 (cuatro combinaciones), 1
(cinco combinaciones), 0 (seis combinaciones),
–1 (cinco combinaciones), –2 (cuatro combinaciones), –3 (tres combinaciones), –4 (dos combinaciones), –5 (una combinación). Entonces, en 21
combinaciones, de las 36 posibles, el resultado es
menor que 1, y en las demás, 15 de 21, es mayor
o igual que 1. Por lo tanto, es más probable que
gane Alan.
Explora y construye
Página 58
¿Quién ganará?
Sugerencia didáctica. Pida que cada integrante de la
pareja pinte su dado de color distinto, para ayudar a
distinguir los posibles resultados al lanzar los dados.
Durante la actividad discuta en grupo la idea errónea
1. Si lo considera necesario, exponga ante el grupo
que los números 2, 3, 5 y 7 son primos y que 4, 6 y 8
no son primos, es decir, compuestos.
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58
g.
á
p
a) Sí, porque hay más casos en los que la suma de los
puntos es un número primo, que casos en los que
es uno compuesto.
b)Hay nueve distintas combinaciones: {(1, 1), (1, 2),
(2, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (3, 4), (4, 3)}.
c)Hay siete distintas combinaciones: {(1, 3), (2, 2), (3,
1), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (4, 4)}.
Reflexionen. Sí, porque como hay más casos en los que
la suma de los puntos es un número primo, que casos
en los que es uno compuesto, se puede prever que el
resultado será un número primo.
2.a) • Sí, porque se conocen todos los billetes y es posible encontrar todas las diferentes combinaciones, y así analizar si Beatriz pasará a la siguiente
fase.
Página 59
• Beatriz puede obtener las siguientes cantidades
(entre paréntesis se muestra el número de distintas
combinaciones posibles):
$60 (una combinación),
$90 (seis combinaciones),
$120 (tres combinaciones),
$140 (tres combinaciones),
$170 (seis combinaciones),
$200 (una combinación).
01/07/13 16:53
38
Bloque 1 / lección 8
60
g.
pá
59
g.
pá
Sugerencia didáctica. Si se presenta de nuevo la
idea errónea 1, discútanla en grupo. Comente que,
por ejemplo, hay tres distintas maneras de obtener
$140: aunque en todas aparecerá un billete de $100
y dos de $20, éstos se pueden combinar de tres distintas maneras para sumar $40 (billete 1 + billete 2,
billete 2 + billete 4, billete 4 + billete 1).
• Sí. Hay 20 combinaciones posibles de las cuales 13 forman una cantidad menor que $150 y
las otras, 7, una mayor que $150. Por lo tanto, se
puede prever que Beatriz no pasará a la siguiente
fase.
Reflexionen. No, porque es más probable que salga del
concurso a que pase a la siguiente fase.
b) • En el espacio muestral se utilizó la siguiente nomenclatura:
Tarjeta 1 = 1a, Tarjeta 5 = 1b, Tarjeta 6 = 1c, Tarjeta
2 = 2a, Tarjeta 7 = 2b, Tarjeta 3 = 3, Tarjeta 4 =
4, Tarjeta 8 = 0. Las combinaciones resaltadas en
amarillo suman menos de 4 y las resaltadas en
verde suman 5.
{(1a, 1b, 1c), (1a, 1b, 2a),
(1a, 1b, 2b), (1a, 1b, 3),
(1a, 1b, 4), (1a, 1b, 0),
(1a, 1c, 2a), (1a, 1c, 2b),
(1a, 1c, 3), (1a, 1c, 4),
(1a, 1c, 0), (1b, 1c, 2a),
(1b, 1c, 2b), (1b, 1c, 3),
(1b, 1c, 4), (1b, 1c, 0),
(1a, 2a, 3), (1a, 2a, 4),
(1a, 2a, 0), (1a, 2b, 3),
(1a, 2b, 4), (1a, 2b, 0),
(1b, 2a, 3), (1b, 2a, 4),
(1b, 2a, 0), (1b, 2b, 3),
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(1b, 2b, 4), (1b, 2b, 0),
(1c, 2a, 3), (1c, 2a, 4),
(1c, 2a, 0), (1c, 2b, 3),
(1c, 2b, 4), (1c, 2b, 0),
(1a, 3, 4), (1a, 3, 0),
(1a, 4, 0), (1b, 3, 4),
(1b, 3, 0), (1b, 4, 0),
(1c, 3, 4), (1c, 3, 0),
(1c, 4, 0), (2a, 2b, 1a),
(2a, 2b, 1b), (2a, 2b, 1c),
(2a, 2b, 3), (2a, 2b, 4),
(2a, 2b, 0), (2a, 3, 4),
(2a, 3, 0), (2a, 4, 0),
(2b, 3, 4), (2b, 3, 0),
(2b, 4, 0), (3, 0, 4)}
Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a utilizar
paréntesis y la misma notación que en el espacio
muestral anterior. Aclare que en esta actividad, por
ejemplo, (1b, 4, 0) y (4, 1b, 0) son las mismas combinaciones porque hacen referencia a los mismos elementos, y que (1b, 4, 0) y (1c, 4, 0) son distintas, pues
las tarjetas 1b y 1c son diferentes.
• En 20 casos.
• En 11 casos.
• En 25 casos.
Página 60
• El evento “la suma de los números da 5”, porque hay menos combinaciones posibles para ese
evento que para los otros.
c) Sugerencia didáctica. Para la siguiente actividad discuta con sus alumnos la manera en que se obtiene
el número de casos en que se presenta cada evento.
04/12/12 11:42
39
Bloque 1 / lección 8
61
g.
pá
Para el caso de las vocales, como en el tablero hay
4 de ellas, se tiene que hay 4 × 3 × 2 = 24 distintos
casos posibles, mientras que para las consonantes
hay 5 × 4 × 3 = 60 casos.
• En 24 casos.
• En 3 casos.
• Fabiola, porque el evento “que se forme un sustantivo” tiene más resultados posibles.
Reflexionen. Porque mediante el espacio muestral se
puede contar el número de casos en los que se obtiene
cada evento.
El espacio muestral es:
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2,
3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5),
(3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5,
2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4),
(6, 5), (6, 6)}.
2.a) En 8 casos: (el gato blanco), (el gato negro), (el perro blanco), (el perro negro) (un gato blanco), (un
gato negro), (un perro blanco), (un perro negro).
b) En los demás, es decir, en 112 casos.
c) Francisco, porque hay más casos en los que no se
forma un enunciado del tipo artículo + sustantivo
+ adjetivo, que casos en los que sí sucede.
Integración
Primer hay que obtener todo el espacio muestral y contar el número de casos en que se obtiene cada evento.
El evento que se obtenga con un número mayor de casos es más probable de ocurrir que el otro.
Regresa y revisa
Página 61
1. Eduardo, porque en 21 combinaciones, de las 36 posibles, el resultado es mayor o igual que 0, mientras
que en las demás combinaciones, 15 de 36, el resultado es menor que 0.
Resuelve y practica
1. a) Sergio, porque hay más combinaciones posibles para
obtener el evento “la suma es 6, 7 u 8”, que combinaciones para los otros eventos (de las 36 distintas
combinaciones, en 10 Mariana gana, en 16 Sergio
gana y en 10 Diego gana.
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04/12/12 11:42
40
Bloque 1 / lección 9
L9
Análisis de la media aritmética
y de la mediana
Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son
útiles para comparar dos conjuntos de datos.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el
aprendizaje esperado en la lección 6 del bloque 4: resolver problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propiedades de la media y la mediana.
Conceptos principales: media aritmética, mediana.
Antecedentes
• Resolución de problemas que involucran el uso de medidas de tendencia central (media, mediana y moda)
Situación inicial (pág. 62)
El alumno resolverá un problema en el que obtendrá la media y la mediana de un conjunto de
datos. Parte del problema busca que los alumnos
recuerden cómo obtener las medidas de tendencia central y empiecen a ver qué medida representa mejor a un conjunto de datos.
Explora y construye
(págs. 62–65)
Con las diversas actividades los alumnos analizarán
cuándo la media representa mejor un conjunto de
datos y cuándo lo hace la mediana. Además resolverán problemas que presentan datos no numéricos, es decir, datos cualitativos, y observarán que
la única forma de comparar dos conjuntos de ese
tipo de datos es con la mediana.
Regresa y revisa (pág. 66)
Con los conocimientos adquiridos en la lección,
los alumnos retomarán la situación inicial y establecerán qué medida representa al estudiante que
es mejor en Matemáticas. También resolverán problemas para practicar el contenido de la lección.
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04/12/12 11:42
Bloque 1 / lección 9
41
Solucionario y sugerencias didácticas
62
g.
á
p
Situación inicial
Página 62
1. a) Tanto Raúl como Antonio tienen 7.6 de calificación
promedio.
b) No.
Explora y construye
63
g.
á
p
64
g.
á
p
Analicen y comenten. El equipo amarillo, su producción
es la misma que la mediana del conjunto de datos.
Página 64
d) • La mina El Porvenir.
• La mediana, porque los conjuntos de datos presentan valores extremos que afectan el cálculo
de la media.
Página 62
Analicen. El Porvenir.
La media o la mediana para comparar dos conjuntos
de datos
2.a) • $371.54
• No, porque el valor de la media es muy grande
en comparación con las ganancias individuales.
1. a) • El promedio de edades de los Tornados es de 24
años y de estatura, 1.76 m.
Águilas. Promedio de edad: 34 años, promedio
de altura: 1.76 m.
• El equipo de los Tornados es más joven en promedio.
• Sí, porque en cierto intervalo de edades la gente
tiene mejor condición física.
Analicen y comenten. La mediana, es decir, $210.
b) • $360
• Sí, porque no hay valores extremos que afecten
la media aritmética de manera considerable.
Analicen y comenten. Respuesta modelo. Sí, la caja Vida
Nueva produce más ahorros por persona que la caja El
Guardadito.
Página 63
• Meter a los jugadores más jóvenes.
• Las estaturas de los dos equipos son casi iguales.
• Respuesta libre. Como no hay valores extremos,
la media es representativa.
b) • Zacatecas 21.5 °C, Torreón 28 °C.
• Por 6.5 °C.
• Obtener un valor representativo de la temperatura de la semana en cada ciudad.
c) • 430.4 piezas.
• 475 piezas.
• La mediana, porque hay valores extremos que afectan considerablemente la media aritmética.
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42
Bloque 1 / lección 9
65
g.
pá
66
g.
pá
Página 65
Regresa y revisa
¿Y los datos cualitativos?
Página 66
1. a) Cualitativos.
b)No, porque no son datos cuantitativos y, por tanto, no se pueden hacer operaciones aritméticas.
c)Piezas de Juan: peón, alfil, caballo, torre, torre, reina y rey. Piezas de Roberto: peón, peón, alfil, caballo, torre, reina y rey.
d)Sí, porque después de ordenar las piezas de acuerdo con su importancia se elige la que se localiza
en medio.
e) Juan.
1. La mediana, porque la media de las calificaciones se
afecta por el 0 que tuvo Antonio, que es un valor extremo.
Analicen y comenten. No, porque ninguna pieza está
exactamente en medio, y no se puede calcular la media de las dos piezas que ocupan esas posiciones.
Resuelve y practica
1. a) La marca B.
b) La media, porque no hay valores extremos.
2.a) Fábrica A: $3 625
Fábrica B: $2 868.75
b) Fábrica A: $2 800
Fábrica B: $2 450
c) En la fábrica A con la mediana y en la fábrica B con
la media.
Integración
a)Obtener un valor representativo de un conjunto
de datos.
b)Por lo regular es más frecuente utilizar la media
para comparar conjuntos; sin embargo, la mediana resulta útil cuando el conjunto de datos presenta valores extremos excepcionales que afectan
demasiado a la media. También resulta útil con
datos de tipo cualitativos que se pueden ordenar.
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04/12/12 11:42
Bloque 1 / Evaluación
43
Respuestas
1. En 7 meses pagará toda su deuda. Deuda al final del primer mes: $2 560; del segundo: $2 111.2; del tercero: $1 653.4; del cuarto: $1 186.5; del quinto: $710, y del
sexto: $224.4.
- En la última mensualidad pagará $224.4.
- Pagará en total $224.42 por concepto de interés, que es el resultado de sumar la
cantidad de intereses que paga cada mes.
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44
Bloque 1 / Evaluación
$8 797.50 $ 5 623.50
$6 854
$7 020.75 $8 797.50
Respuestas
6.b) $32 240.25
c) Sí, porque al calcularlo de las dos maneras se obtiene el mismo resultado.
Otra justificación: Sí, porque se hará una factorización del tipo, 1.15x + 1.15y =
1.15 × (x + y).
7. a) $5 234.73
8.a) De 46 alumnos.
b) De 7.94.
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Bloque 1 / Evaluación
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45
04/12/12 11:42
bloque 1 / evaluación
Evaluación Bloque 1
Nombre del alumno Grupo Fecha Subraya la respuesta correcta.
1. ¿Cuál es el resultado de la operación (–8)3  (–4)?
A)−6
B)128
C)6
D)−128
3
× 13 –4
?
2.¿Cuál es el resultado de la operación 13 13
5
A)136
B)134
C)13−6
D)13−4
4 3
3.¿Cuál es el resultado de la operación 910 × (9912) × 9–2?
A)98
B)912
C)94
D)93
4.A la suma de los ángulos internos de un paralelogramo se le resta la
suma de los ángulos internos de un triángulo escaleno. ¿Cuál es el
resultado final?
A)360°
B)0°
C)90°
D)180°
5.¿Con cuál de las siguientes condiciones se puede construir un triángulo único?
A)Se conocen las longitudes de sus tres lados.
B)Dos de sus lados miden lo mismo y su suma es mayor que el tercer lado.
C)Se conoce la longitud de dos de sus lados.
D)Se conoce la medida de sus ángulos internos.
6.¿Cómo se calcula el área que ocupa la superficie de un prisma de
base hexagonal?
A)Se obtiene el área del hexágono que forma la base y se multiplica
por la altura del prisma.
B)Se obtiene el área del hexágono que forma la base y se multiplica
por el área de la cara lateral del prisma.
C)Se obtiene el área de la cara lateral de prisma y se suma al área de
la base.
D)Se obtiene el área de una cara lateral del prisma y se multiplica por
seis. Al resultado se le suma dos veces el área de la base.
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bloque 1 / Evaluación
7. La batería de una computadora portátil tiene el 12% de su capacidad
total y 20 minutos después la computadora se apaga. ¿Cuántos minutos dura la batería con el 100% de carga?
A)186.7 minutos
B)146.7 minutos
C)166.7 minutos
D)144 minutos
8.El día lunes cuatro personas vieron un video en Internet. El día siguiente el número de personas que vio el mismo video era de 89.
¿Cuál fue la tasa con la que aumentó la cantidad de personas que
vio el video?
A)2 225%
B)22.25%
C)4.5%
D)45%
9.En un puesto de una feria hay un estanque con siete patos de plástico, numerados del 1 al 7. Si con una caña de pescar se saca uno al
azar, ¿cuál de los siguientes eventos es más probable que suceda?
A)Que el número del pato seleccionado sea impar.
B)Que el número del pato seleccionado sea par.
C)Que el número del pato seleccionado sea un múltiplo de 3.
D)Todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir.
10.En un torneo de dominó los integrantes de dos equipos obtuvieron las siguientes puntuaciones: equipo 1: 12, 4, 3, 7, 3 ; equipo 2:
6, 14, 4, 10. ¿Cuál de ellos tuvo mejor desempeño?
A)Tuvieron el mismo desempeño, porque ambos sumaron la
misma puntuación.
B)El equipo 2, porque su media aritmética es mayor que la del
equipo 1.
C)El equipo 1, porque tiene más integrantes.
D)El equipo 2, porque hay menos diferencia entre los puntos de sus
integrantes.
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Respuestas a las evaluaciones
175
Respuestas a las evaluaciones
BLOQUE 1
BLOQUE 2
BLOQUE 3
1 A B C D
1 A B C D
1 A B C D
2 A B C D
2 A B C D
2 A B C D
3 A B C D
3 A B C D
3 A B C D
4 A B C D
4 A B C D
4 A B C D
5 A B C D
5 A B C D
5 A B C D
6 A B C D
6 A B C D
6 A B C D
7 A B C D
7 A B C D
7 A B C D
8 A B C D
8 A B C D
8 A B C D
9 A B C D
9 A B C D
9 A B C D
10 A B C D
10 A B C D
10 A B C D
BLOQUE 4
BLOQUE 5
1 A B C D
1 A B C D
2 A B C D
2 A B C D
3 A B C D
3 A B C D
4 A B C D
4 A B C D
5 A B C D
5 A B C D
6 A B C D
6 A B C D
7 A B C D
7 A B C D
8 A B C D
8 A B C D
9 A B C D
9 A B C D
10 A B C D
10 A B C D
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