Resolución de circuitos eléctricos

TRABAJO DE ELECTRÓNICA
MÉTODOS DE MALLA Y NUDO. POTENCIA.
Nombre
Especialidad: Electrónica.
Grupo: 214
RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS POR LOS MÉTODOS DE MALLA Y NUDO.
INTRODUCCIÓN
Resolver un circuito es hallar las intensidades con su sentido de circulación por cada uno de los componentes
del circuito, o bien, la d.d.p. en cada uno de dichos componentes. Es necesario aclarar que en todo momento el
circuito debe ser lineal, es decir, la ley de Ohm debe ser aplicable en todos los receptores de dicho circuito.
MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR CORRIENTES DE MALLA
Una malla es una trayectoria cerrada de una red, siempre que a recorrer la malla no se pase dos veces a través
del mismo elemento. En toda la red eléctrica se deben cumplir las dos leyes de Kirchhoff.
Para la aplicación de este método, se eligen en primer lugar las mallas, asignándoles unas corrientes de
sentido arbitrario, a continuación se plantean las ecuaciones de ley de mallas de Kirchhoff, tomando las
intensidades como incógnitas, resolviendo el sistema así planteado.
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Sobre el circuito de la figura fijemos las intensidades i1, i2 e i3, con sentido arbitrario, pero todas con la
misma rotación; en la solución final, si obtenemos un resultado positivo para las intensidades, significa que el
sentido fijado para el sentido de las corriente de las mallas, resultó ser el indicado, si nos da con signo
negativo, será preciso cambiar el sentido fijado.
Al analizar la malla, hemos de seguir el sentido fijado para la intensidad, entonces, si en una determinada
rama concurren dos o más intensidades de malla (por ejemplo, sobre R4), a las otras intensidades les damos
signo positivo o negativo, según circulen por la rama en el mismo o contrario sentido que la intensidad de
rama que estamos estudiando.
Para resolver el circuito y hallar las diferentes intensidades de malla, debemos seguir un método:
• Definimos el sentido de intensidad de la mallas (sentido arbitrario), éstas han de tener el mismo sentido en
todas las mallas.
• Definimos el sentido de la intensidades para cada elemento.
• Multiplicamos cada intensidad de malla por todos los elementos que constituyen dicha malla, restándole los
elementos compartidos con otras mallas por la intensidad de la malla correspondiente.
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• Las fuentes de tensión aparecen como el elemento independiente a la derecha del igual.
Planteamiento de ecuaciones:
Sobre el circuito de la figura:
Malla 1: e1 = R1*i1 + R4*(i1−i2)
Malla 2: 0 = R2*i2 + R4*(i2−i1) + R5*(i2−i3)
Malla 3: e2−e3 = R3*i3 + R5*(i3−i2)
En la malla 3 la intensidad penetra en e3 por el borne negativo, es por lo que en la ecuación escribimos −e3.
Las ecuaciones de mallas las podemos plantear de forma directa de la siguiente manera:
Llamando resistencia propia de malla a la suma de todas las resistencias de la malla, tenemos:
Malla 1: R1−1 = R1 + R2
Malla 2: R2−2 = R2 + R4 + R5
Malla 3: R3−3 = R4 + R5
Llamando resistencia compartida de malla, a la resistencia común entre dos o más mallas del circuito, ésta
lleva el signo positivo, si las corrientes de las dos mallas tienen el mismo sentido por dicha resistencia, y signo
negativo cuando tienen signos contrarios:
Malla 1−2: R1−2 = −R4 (porque sólo comparten R4)
Malla 2−3: R2−3 = −R5 (porque sólo comparten R5)
Malla 1−3: R1−3 = 0 (porque no comparten ninguna)
Podemos escribir las ecuaciones planteadas bajo la forma general:
e1 = R1−1*i1 + R1−2*i2 + R1−3*i3
e2 = R2−1*i1 + R2−2*i2 + R2−3*i3
e3 = R3−1*i1 + R3−2*i2 + R3−3*i3
La solución de las ecuaciones planteadas se puede obtener por los métodos del álgebra básica, cuando
tengamos tres o menos ecuaciones. Con más de tres se aconseja el uso del cálculo matricial.
NOTA: Los términos de sentido positivo y negativo de tensiones y corrientes, son más propios de circuitos de
c.c que de c.a., donde los valores instantáneos unas veces on de un signo y otras de signo contrario, pero a
pesar de ello, los valore instantáneos de dos corrientes, por ejemplo, en una rama, pueden estar
constantemente en oposición, por lo que podemos considerar a una negativa, respecto de la otra.
NOTA 2: Si tenemos fuentes de intensidad en el circuito, esto simplifica las cosas, ya que desaparece una
incógnita debido a que la intensidad que circula por la fuente de intensidad es la misma que la que circula por
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toda la malla.
Ejemplo de circuito con fuente de intensidad:
Este circuito se resolvería de forma convencional, con la ventaja de que desaparece una incógnita:
Ic = −I1
Pero las fuentes de intensidad tienen tensión en bornes:
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Ahora: I1 = Ic−Ib
Método de resolución por tensiones de nudo
Éste método de análisis de circuitos está basado en la ley de nudos de Kirchhoff, y resulta muy indicado en
circuitos con pocos nudos principales y muchas ramas.
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Llamamos nudo principal a aquel en el cual concurren tres o más elementos, sobre la figura los nudos 1, 2 y 3
son nudos principales, siendo el nudo 4 el de referencia. Así pues, la tensión de nudo es la d.d.p. entre un nudo
principal y el de referencia.
Planteamiento de ecuaciones:
El método de las tensiones en los nudos consiste en determinar las tensiones en los nudos principales
respecto al nudo de referencia.
Tomando como incógnitas las tensiones en los nudos principales n1, n2 y n3 del circuito de la figura y
considerando que todas las corrientes entran en el nudo, tenemos:
Nudo 1: (n1−e1)/R1 + n1/R5 + (n1−n2)/R2 = 0
Nudo 2: (n2−n1)/R2 + n2/R6 + (n2−n3)/R3 = 0
Nudo 3: (n3−n2)/R3 + n3/R7 + (n3+e2)/R4 = 0
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Las ecuaciones de nudos las podemos plantear de forma directa de la siguiente manera:
Llamando conductancia propia del nudo a la suma de todas las conductancias que concurren en dicho
nudo, tenemos:
Nudo 1: C1−1 = (C1 + C2 + C5)
Nudo2: C2−1 = (C2 + C3 + C6)
Nudo 3: C3−1 = (C3 + C4 + C7)
Conductancia compartida es la común entre dos nudos del circuito, afectada del signo negativo, por
considerar positivas las tensiones del nudo principal respecto al de referencia, así pues, tenemos:
Nudo 1−2: C1−2 = −C2
Nudo 2−3: C2−3 = −C3
Nudo 1−3: C1−3 = 0
Con todo ello podemos escribir en forma general:
C1−1*n1 + C1−2*n2 + C1−3*n3 = e1*C1
C2−1*n1 + C2−2*n2 + C2−3*n3 = 0
C3−1*n1 + C3−2*n2 + C3−3*n3 = −e2*C4
Si alguna de las tensiones de nudo, estudiada como incógnita, nos da su resultado con signo negativo,
indica que el sentido considerado a priori es erróneo.
SISTEMAS DE POTENCIA
Hemos Visto que la potencia instantánea tiene carácter oscilatorio en un circuito de alterna. Primero
veremos la diferencia entre potencia real y potencia reactiva, a continuación, introduciremos el
concepto de potencia compleja y, más tarde, definiremos el factor de potencia de una carga y
demostraremos que, modificando dicho factor mejora la eficiencia de la transferencia de potencia.
Potencia real y potencia reactiva
En primer lugar, debemos definir el modo de escribir cualquier impedancia de carga como:
Z = Z = R + jX
Donde R = Z cos ð X = Z sen ð
A continuación, debemos saber como se expresan todas las magnitudes de fasores en valores eficaces
(rms). Para la tensión en los terminales y los fasores de corriente de un circuito, escribimos:
V = Vrms I = Irms
La ley de Ohm relaciona a V e I por medio de V = Z*I esto es debido a que usamos valores eficaces
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(rms) tanto para la tensión como para la corriente. Si consideramos el ángulo ð de la tensión en los
terminales como referencia de fase, entonces ð = I = (V/Z) = ð ð ð
Por lo que:
V = Vrms ð I = Irms ððð
Sin embargo, los valores pico de las ondas senoidales asociadas deben calcularse ahora mediante:
Vmax = Vrms* 2 = V 2
Imax = Irms * 2 = I 2
Por tanto, podemos definir la potencia real y la potencia reactiva como:
POTENCIA REAL P = Vrms * Irms * cos ð
POTENCIA REACTIVA Q = Vrms * Irms * sen ð
TRIÁNGULO DE IMPEDANCIA
Z
X
R
Por tanto:
P(t) = Pr(t) + Px(t) donde Pr(t) es la parte real y Px(t) la parte imaginaria, así pues:
Pr(t) = P[1 + cos 2( ðt + ð ðð y Px(t) = Q sen 2( ðt + ð ð
La componente Pr(t) está formada por una constante y una sinusoide, por lo tanto:
P = Vrms * Irms * cos q = R * Irms
Por lo que el valor medio de Pr(t) es igual la potencia media absorbida por la resistencia de la carga. A la
potencia real la llamaremos P y la mediremos en vatios (W).
La otra componente de P(t) es Px(t), la cual oscila sinusoidalmente entre +Q y −Q y su valor medio es cero.
Por lo tanto, Px(t) no contribuye a la potencia media absorbida por la carga, por lo tanto:
Q = Vrms * Irms * sen ð ð X*Irms
donde Q es la potencia reactiva. La potencia reactiva representa almacenamiento de energía de carácter
alterno y no transferencia de potencia, Q se expresa en voltiamperios reactivos (Var).
Si llega a suceder que la carga es puramente resistiva, entonces X = 0, Q = 0 y P(t) = Pr(t). Pero si la carga es
puramente reactiva, entonces R = 0, P = 0 y
P(t) = Px(t). En el caso de una sola bobina con corriente rms I , tensión rms V y X = ðL, la ecuación que
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resulta es:
Q = ðL * I = V /ðL
Así mismo, en el caso de un solo condensador con X = −1/ðC
Q = − I /ðC = −ðC * V
El valor negativo de Q simplemente significa que se invertiría la forma de onda de Px(t). De forma más
general, una carga con reactancia inductiva (X>0) tiene Q>0, mientras que una carga con reactancia capacitiva
(X<0) tiene Q<0. Por lo tanto, decimos que una carga inductiva consume potencia reactiva mientras que una
carga capacitiva produce potencia reactiva.
La potencia reactiva representa un intercambio de energía oscilatoria y no contribuye a la transferencia de
potencia. La potencia reactiva a menudo disminuye la eficiencia de transferencia de potencia, al aumentar la
corriente rms requerida para suministrar una potencia media especificada de la fuente a la carga. El resultado
del aumento de corriente es energía desperdiciada en forma de calentamiento óhmico en la resistencia interna
del generador y en la resistencia de los conductores que conectan la fuente a la carga.
Potencia compleja y factor de potencia
El producto de la tensión y la corriente rms en los terminales de una carga se llama potencia aparente y se
expresa en voltiamperios (Va).
Vrms* Irms = P + Q
La forma de esta ecuación sugiere una relación triangular entre la potencias real, reactiva y aparente.
Para desarrollar la imagen geométrica, usaremos el conjugado complejo del fasor de corriente:
Irms = (I ððð ð ð Irms ððð
Puesto que V = Vrms ð , al multiplicar V por I se elimina ð y se obtiene la potencia compleja.
S = V * I = Vrms*Irms ð
Por lo tanto, en forma rectangular:
S = Vrms*Irms*cos q + jVrms*Irms*sen ð = P+jQ
La potencia real es, por lo tanto, igual a Re[S] y la reactiva Q a Im[S].
En la siguiente figura observamos el triángulo de potencia:
S (Va)
Q (Var)
P (W)
S = P + Q = Vrms*Irms
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Éste triángulo tiene la misma forma que el triángulo de impedancia antes mostrado, porque:
S = P + jQ = R*Irms + jX*Irms = Z*Irms
Por lo tanto, el triángulo de potencia es igual al triángulo de impedancia multiplicado por Irms.
Una propiedad importante de la potencia compleja para el estudio de sistemas de potencia es la ley de la
conservación, la cual establece que cuando se conectan varias cargas a la misma fuente, la potencia compleja
total de la fuente es igual a la suma de las potencias complejas de las cargas individuales.
Por ejemplo, si dos cargas consumen S1 = P1 + jQ1 y S2 = P2 + jQ2, respectivamente, entonces la fuente
debe suministrar:
S = S1 + S2 = (P1 + P2) + j(Q1 + Q2)
Las cargas que consumen grandes cantidades de potencia a menudo se caracterizan en función del factor de
potencia definido por:
fp = P/ S = cos ð
que es la relación de la potencia real a la potencia aparente. El factor unitario de potencia simplemente
significa que S = P, lo cual surge cuando Q = 0 y ð = 0.
Una carga con un fp = 1 tiene una reactancia en serie equivalente a cero y absorbe la corriente mínima de
fuente Irms = P/Vrms necesaria para un valor especificado de P. De lo contrario cualquier carga con Q = 0
consume:
Irms = S /Vrms = (P/fp)/Vrms > P/Vrms
Dada la especificación de potencia y el factor de potencia de una carga, la potencia aparente se puede calcular
con facilidad mediante S = P/fp. A continuación se calcula la magnitud de la potencia reactiva como:
Q = S − P = S * 1 − fp
Sin embargo, el signo de Q depende de la naturaleza de la reactancia de la carga. Si es inductiva, significa que
Q > 0 y q > 0, entonces decimos que tiene un factor de potencia de retraso, lo cual quiere decir que el fasor
de corriente va retrasado con respecto al fasor de tensión. Así mismo, si la carga es capacitiva, significa que Q
< 0 y q < 0, entonces decimos que tiene un factor de potencia adelantado, lo cual quiere decir que el fasor de
corriente va adelantado con respecto del fasor de tensión.
Bloque resumen
Cantidades de potencia alterna
Para la carga Z = R + jX = Z
Cantidad
Relaciones
P=Vrms*Irms*cosð ð
Potencia Real
=R*Irms
Q=Vrms*Irms*senð=
Potencia Reactiva
=X*Irms
Unidad
Significado
W
Potencia media
suministrada a la carga
VAr
Velocidad de intercambio
de energía reactiva
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S = V*I = P + jQ =
Potencia Compleja
VA
Combinación
bidimensional de P y Q
VA
Magnitud de la potencia
compleja
= Z*Irms
S Vrms*Irms =
Potencia Aparente
=P+Q
Factor de Potencia
fp = P/ S = cos ð
Relación de la potencia
real y la potencia aparente
Terminología para el factor de potencia
Factor de potencia
Unitario
Retrasado
Adelantado
Tipo de carga
Resistiva
Inductiva
Capacitiva
Condiciones
X = 0, ð = 0, Q = 0
X > 0, ð > 0, Q > 0
X < 0, ð < 0, Q < 0
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