Junio 2012

PROPUESTA A
1A. Dada la función
f(x) = x3 + ax2 + bx + c,
calcula los parámetros a, b, c  R sabiendo que:
 La recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x = – 1 tiene pendiente – 3.
 f(x) tiene un punto de inflexión de coordenadas (1,2)
(2,5 puntos)
2A. a) Esboza la región encerrada entre la parábola f(x) = x2 – 1 y la recta g(x) = 5 – x. (0,5 puntos)
b) Calcula el área de la región anterior. (2 puntos)
3A. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro m  R.
(1,5 puntos)
b) Calcula la solución cuando el sistema sea compatible determinado. (1 punto)
4A. a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano
 x – y + 3z = – 3 con los ejes de coordenadas. (1,25 puntos)
b) Si llamamos A, B y C a los vértices del triángulo del apartado anterior, encuentra el valor
del parámetro R para que el tetraedro de vértices A, B, C y D(– 2, 2 + , – 3) tenga
volumen mínimo. (1,25 puntos)
(sigue a la vuelta)
PROPUESTA B
1B. La concentración ( %) de nitrógeno de un compuesto viene dada, en función del tiempo t  [0, + ∞)
medido en segundos, por la función
a) Comprueba que la concentración de nitrógeno crece con el tiempo. ¿Para qué t  [0, + ∞) la
concentración de nitrógeno es mínima y cuál es esta concentración? (1,25 puntos)
b) ¿A qué valor tiende la concentración de nitrógeno cuando el tiempo tiende a infinito? (1,25 puntos)
2B. Calcula las siguientes integrales:
(1,25 puntos por integral)
3B. a) Sean A y B matrices cuadradas de orden n  N, n ≥ 2, tales que B es la inversa de A:


Si |A| = 3, razona cuánto vale |B|.
¿Cuál es el rango de B?
(0,75 puntos)
b) Calcula el determinante de la matriz cuadrada X de orden 3 que verifica
(1,75 puntos)
4B. Dados el plano  2x – z = 6 y la recta
a) Encuentra el valor del parámetro a  R para que  y r sean paralelos. (1,25 puntos)
b) Para el valor de a del apartado anterior, da la ecuación general del plano ´ que contiene a r
y es perpendicular a . (1,25 puntos)
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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA A
1A. Dada la función
f(x) = x3 + ax2 + bx + c,
calcula los parámetros a, b, c  R sabiendo que:
 La recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x = – 1 tiene pendiente – 3.
 f(x) tiene un punto de inflexión de coordenadas (1,2)
(2,5 puntos)
Solución. Puesto que la función es tal que la recta tangente a f(x) en x = – 1 tiene pendiente – 3,
entonces deducimos que f´(– 1) = – 3.
Como la derivada de la función es f´(x) = 3x2 + 2ax + b entonces
f´(– 1) = – 3  3·(– 1)2 + 2a·(– 1) + b = – 3  3 – 2a + b = – 3  – 2a + b = – 6
Por otra parte, f(x) tiene un punto de inflexión en la abcisa x = 1 por lo que f´´(1) = 0.
En ese caso, como f´´(x) = 6x + 2a entonces
f´´(1) = 0  6·1 + 2a = 0  6 + 2a = 0  2a = – 6  a = – 3
Por último, f(x) pasa por el punto (1,2) por lo que f(1) = 2, es decir,
f(1) = 13 + a·12 + b·1 + c = 2  1 + a + b + c = 2
 a+b+c=1
De las tres afirmaciones anteriores obtenemos el siguiente sistema:
Resolvemos el sistema:
Concluimos que a = – 3, b = – 12 y c = 16 para que se cumplan las condiciones impuestas.
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2A. a) Esboza la región encerrada entre la parábola f(x) = x2 – 1 y la recta g(x) = 5 – x.
(0,5 puntos)
b) Calcula el área de la región anterior. (2 puntos)
Solución
a) Esboza la región encerrada entre la parábola f(x) = x2 – 1 y la recta g(x) = 5 – x.
(0,5 puntos)
Representamos la parábola fijándonos que tiene el vértice en el valor x = 0 ya que
f´(x) = 0  2x = 0  x = 0
Se trata de una parábola convexa porque a = 1 > 0. Damos algunos valores para representarla:
x
0
–2
–1
1
2
f(x) = x2 – 1
02 – 1 = – 1
(– 2)2 – 1 = 4 – 1 = 3
(– 1)2 – 1 = 1 – 1 = 0
12 – 1 = 1 – 1 = 0
22 – 1 = 4 – 1 = 3
Por otro lado, la recta queda representada mediante algunos puntos:
x
–2
–1
0
1
2
g(x) = 5 – x
5 – (– 2) = 5 + 2 = 7
5 – (– 1) = 5 + 1 = 6
5–0=5+0=5
5–1=5–1=4
5–2=5–2=3
Además, si calculamos los puntos de corte de estas dos funciones:
f(x) = g(x)  x2 – 1 = 5 – x  x2 + x – 6 = 0
Por lo tanto, las abcisas de los puntos de corte son x = – 3 y x = 2.
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La región cerrada que delimitan estas funciones queda determinada por la siguiente
representación:
b) Calcula el área de la región anterior. (2 puntos)
A la vista del esbozo de la región y los cálculos efectuados en el apartado a), el área de la
región vendrá definida por la integral entre x = – 3 y x = 2 de la expresión algebraica de la
recta menos la expresión algebraica de la parábola.
Operamos y resolvemos al tratarse de una integral inmediata:
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3A. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro m  R.
(1,5 puntos)
b) Calcula la solución cuando el sistema sea compatible determinado. (1 punto)
Solución
a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro m  R.
Sea la matriz de coeficientes asociada al sistema anterior:
Su Rango puede ser de 1 a 3. Sea la matriz de ampliada asociada al sistema anterior:
Su rango podría ser de 1 a 4. Calculamos su determinante, habiendo ceros en la última
columna:
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Por lo tanto, por el teorema de Rocuhe-Frebenius tendremos que:
 Si m ≠ 2, Rg(A) ≠ Rg(A´) = nº de incógnitas = 3 y por lo tanto el sistema es
Incompatible.
 Si m = 2, entonces Rg(A´) < 4 y como
Entonces, por tener la última columna de ceros, Rg(A) = Rg(A´) < nº de incógnitas = 3, el
sistema es Compatible Determinado. Además,
Por lo tanto, Rg(A) = Rg(A´) = 3 y concluimos que el sistema es Compatible
Determinado.
b) Calcula la solución cuando el sistema sea compatible determinado. (1 punto)
Por lo visto en el apartado a), el sistema es Compatible Determinado cuando m = 2. Como
nos encontramos ante un sistema homogéneo (los términos independientes de cada ecuación
son ceros), entonces la única solución posible es x = 0, y = 0, z = 0.
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4A. a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano
 x – y + 3z = – 3 con los ejes de coordenadas. (1,25 puntos)
b) Si llamamos A, B y C a los vértices del triángulo del apartado anterior, encuentra el
valor del parámetro R para que el tetraedro de vértices A, B, C y D(– 2, 2 + , – 3)
tenga volumen mínimo. (1,25 puntos)
Solución.
a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano
 x – y + 3z = – 3 con los ejes de coordenadas. (1,25 puntos)
Calculamos los puntos de intersección con del plano  con los ejes coordenados:
 Intersección del plano  con el eje OX. Las ecuaciones del eje OX son y = 0, z = 0.
Luego el punto de corte del plano  con el eje OX es A(– 3, 0, 0)
 Intersección del plano  con el eje OY. Las ecuaciones del eje OY son x = 0, z = 0.
Luego el punto de corte del plano  con el eje OX es B( 0, 3, 0)
 Intersección del plano  con el eje OZ. Las ecuaciones del eje OZ son x = 0, y = 0.
Luego el punto de corte del plano  con el eje OX es C( 0, 0,– 1)
Para calcular el área del triángulo ABC, aplicamos la fórmula que involucra al producto
vectorial.
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Como
, entonces,
Concluimos que el área del triángulo formado por los puntos de corte del plano con los
ejes coordenados es
b) Si llamamos A, B y C a los vértices del triángulo del apartado anterior, encuentra el
valor del parámetro R para que el tetraedro de vértices A, B, C y D(– 2, 2 + , – 3)
tenga volumen mínimo. (1,25 puntos)
Dados los puntos A, B, C, y D, el volumen del tetraedro ABCD viene dado por la fórmula:
Como
volumen viene descrito por:
y
entonces el
Para que el volumen sea mínimo tratamos la el volumen como una función con expresión:
La derivada de la función es
.
Si igualamos a cero, los posibles extremos relativos son:




Como la segunda derivada de la función V() es:
Entonces
y se concluye que  = – ½ es el valor que hace mínimo el
volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D.
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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA B
1B. La concentración ( %) de nitrógeno de un compuesto viene dada, en función del tiempo
t  [0, + ∞) medido en segundos, por la función
a) Comprueba que la concentración de nitrógeno crece con el tiempo. ¿Para qué t  [0, + ∞)
la concentración de nitrógeno es mínima y cuál es esta concentración?
(1,25 puntos)
b) ¿A qué valor tiende la concentración de nitrógeno cuando el tiempo tiende a infinito?
(1,25 puntos)
Solución
a) Comprueba que la concentración de nitrógeno crece con el tiempo. ¿Para qué
t  [0, + ∞) la concentración de nitrógeno es mínima y cuál es esta concentración?
(1,25 puntos)
Para comprobar que la concentración de nitrógeno es creciente con el tiempo, debemos
comprobar que la derivada de la función N(t) en el intervalo [0, + ∞) es siempre positiva, lo
que nos demuestra que la función siempre es creciente. La derivada de la función N(t) es:
Observar que ni el numerador ni el denominador pueden anularse ya que no existe t tal que
e– t = 0 o tal que e– t = – ½.
Ahora, simplemente fijándonos que el numerador es positivo siempre puesto que e– t es una
función positiva y multiplicada por 120 sigue siendo positiva mientras que (1 + 2e – t )2 es un
cuadrado y por tanto positivo, deducimos que N´(t) > 0 si t  [0, + ∞) y entonces N(t)
siempre es creciente en [0, + ∞).
Por lo tanto, concluimos que la concentración de nitrógeno crece en [0, + ∞).
Por otra parte, si la función N(t) es creciente en [0, + ∞), el mínimo valor lo debe obtener
para t = 0 y su concentración para este instante será:
Concluimos que el instante en el que la concentración es mínimo es t = 0 segundos donde
hay una concentración de 20 %.
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b) ¿A qué valor tiende la concentración de nitrógeno cuando el tiempo tiende a infinito?
(1,25 puntos)
Solución. Para conocer este valor tendremos que calcular el límite cuando el tiempo se hace
cada vez mayor, es decir, cuando t tiende a infinito:
Concluimos que el valor de la concentración de nitrógeno tiende a ser 60 % cuando el
tiempo aumenta.
2B. Calcula las siguientes integrales:
(1,25 puntos por integral)
Solución


. Se trata de una integral de tipo arcotangente. Se siguen los siguientes pasos:
. Se trata de dos integral de tipo logarítmico. Lo primero es transformar
las tangentes según el cociente de seno entre coseno. Se siguen los siguientes pasos:
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3B. a) Sean A y B matrices cuadradas de orden n  N, n ≥ 2, tales que B es la inversa de A:


Si |A| = 3, razona cuánto vale |B|.
¿Cuál es el rango de B?
(0,75 puntos)
b) Calcula el determinante de la matriz cuadrada X de orden 3 que verifica
(1,75 puntos)
Solución.
a) Sean A y B matrices cuadradas de orden n  N, n ≥ 2, tales que B es la inversa de A:
 Si |A| = 3, razona cuánto vale |B|.
 ¿Cuál es el rango de B?
(0,75 puntos)
Para que una matriz pueda tener matriz inversa debe ser cuadrada y con determinante no nulo.
Por lo tanto, al tener matriz inversa A, es cuadrada y su determinante es no nulo. Por lo tanto,
el rango de A es n y deducimos entonces que el rango de B tiene que ser n, el mismo que el de
la matriz A.
Por otra parte, como B es la matriz inversa de A entendemos que |A| ≠ 0. En tal caso, como
A · B = I, con I la matriz inversa de orden n
entonces |A·B| = | I |.
Y por las propiedades de los determinantes

Como | I | = 1 entonces concluimos que:
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b) Calcula el determinante de la matriz cuadrada X de orden 3 que verifica
(1,75 puntos)
Primero nos cercioramos de que la matriz que multiplica a X tiene inversa. Para ello,
calculamos su determinante.
Como su determinante es no nulo, la matriz tiene inversa.
En ese caso, podemos calcular la matriz X fácilmente ya que se debe cumplir la siguiente
expresión:
Puesto que,
Entonces
Por lo tanto, el determinante de la matriz X es 1.
4B. Dados el plano  2x – z = 6 y la recta
a) Encuentra el valor del parámetro a  R para que  y r sean paralelos. (1,25 puntos)
b) Para el valor de a del apartado anterior, da la ecuación general del plano ´ que
contiene a r y es perpendicular a . (1,25 puntos)
Solución.
a) Encuentra el valor del parámetro a  R para que  y r sean paralelos. (1,25 puntos)
Para que la recta y el plano sean paralelos, el vector normal del plano debe ser perpendicular
al vector director de la recta.
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
El vector normal al plano   2x – z = 6 es

El vector director de la recta
viene determinado por:
Para forzar a que la recta r y el plano  sean paralelos debemos forzar a que
sea
perpendicular a
. Para ello, debemos imponer que el producto escalar sea nulo. Como el
producto escalar de los dos vectores es:
Tendremos que,


Concluimos que para que la recta r y el plano  sean paralelos, a = – 3/2.
b) Para el valor de a del apartado anterior, da la ecuación general del plano ´ que
contiene a r y es perpendicular a . (1,25 puntos)
Sea a = – 3/2, el plano ´ que contiene a la recta r y es perpendicular al plano  debe tener
por vectores directores a
. Para el valor a = – 3/2 son:
Por otra parte, cualquier punto de la recta r pertenece al plano ´.
Por ejemplo, dada la recta
, podemos tomar z = 0 y entonces y = 0
junto con x = 4 por lo que un punto de r es A(4, 0, 0).
De este modo, con el punto A, y los vectores directores
general del plano ´ según:

podemos dar la ecuación
 
Concluimos que la ecuación general del plano ´ que contiene a la recta r y es perpendicular
al plano  es ´  2x + 5y + 4z = 8
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