Matemática Financiera Presentación “Matemática aplicada a la toma de decisiones económicas” Objetivo General Desarrollar la habilidad de utilizar herramientas matemáticas para resolver problemas financieros, considerando el valor del dinero en el tiempo. “Tasas, Factores y Flujos” TASAS, FACTORES Y FLUJOS DE CAJA Tipos y tasas de interés Simple y Compuesto Nominales y Efectivas Factores [F/P], [P/F] Factores de Pago Único [A/P], [A/F] Factores de series uniformes [P/G], [Pg] Factores de series gradientes Flujos de Caja 1 CAPÍTULO 4 Tipos y tasas de interés Tasa de Interés “El precio del dinero” Tipos de Interés: Simple v/s Compuesto La diferencia radica en que en el tipo de interés simple, la tasa se aplica sobre el capital, mientras que en el tipo compuesto, la tasa se aplica sobre el capital y los intereses. Tasas de Interés: Nominal v/s Efectiva La diferencia radica en que la tasa nominal no considera los intereses ganados en cada periodo de capitalización, mientras que la efectiva sí lo hace. UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 3 Tipos de interés – Fórmulas Interés Simple F = P (1 + i ⋅ n) Interés Compuesto F = P (1 + i ) n Obs.: F corresponde al valor futuro, P al valor presente, i a la tasa de interés y n al número de períodos de capitalización. Es importante recordar que tanto i como n deben estar en la misma unidad de tiempo. Por ejemplo, si la tasa es mensual el número de períodos debe corresponder a una cantidad de meses también. UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 4 2 Tasas de interés – Fórmulas ia Tasa Nominal Anual ia = n ⋅ in n i Tasa Efectiva Anual i i = 1 + a − 1 n Obs.: n corresponde al número de periodos de capitalización en el año (ya que ambas fórmulas corresponden a tasas anuales). Por ejemplo si n es 12, se capitaliza 12 veces en el año y por lo tanto es un régimen de capitalización mensual. UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 5 Tipos y tasas – Ejemplos Tipos de Interés: Simple v/s Compuesto Si a un préstamo por $ 1.000.000 se le aplica un tasa del 2% mensual, en un año, el monto a pagar es; con un tipo de interés simple con un tipo de interés compuesto $ 1.000.000*(1+0,02*12) = $ 1.240.000 $ 1.000.000*(1+0,02)^12 = $ 1.268.241 Tasas de Interés: Nominal v/s Efectiva Para el mismo ejemplo consideremos una tasa nominal de 24% anual, la tasa anual efectiva corresponde a; Capitalización Anual Capitalización Semestral Capitalización Mensual Capitalización Continua UTFSM 2011 0,24 (1+0,24/2)^2 – 1=0,2544 (1+0,24/12)^12 – 1= 0,2682 e^0,24 – 1= 0,2712 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 24,00% 25,44% 26,82% 27,12% 6 3 CAPÍTULO 2 Factores Definición y Clasificación Los factores a estudiar son fórmulas que permiten simplificar algunos cálculos de Matemática Financiera, siempre y cuando la serie de flujos analizada, cumpla con una determinada estructura y corresponda a uno de los tres casos siguientes: - Series de Pago Único - Series Uniformes - Series con Gradiente UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 7 Sección 2.1 Factores – Serie Única [F/P], [P/F] Factores de Pago Único En este caso un único flujo presente [P] se relaciona con un flujo futuro [F], a una tasa i por n periodos. F i 0 1 2 n Ejemplo: Si Ud. invierte hoy MM$ 1, al 2% mensual, ¿Cuál será el valor de su inversión después de 5 meses? P = 1 n = 5 i = 0,02 F = ? F = 1(1 + 0,02) 5 = 1.104081 P “Cantidad Compuesta” F = P (1 + i ) n P= F (1 + i ) n “Valor Presente” UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 8 4 Sección 2.2 Factores – Serie Uniforme [A/P], [P/A] Factores de Series Uniformes i En este caso un flujo presente [P] se relaciona con una serie de flujos anuales (iguales entre sí) [A], a una tasa i por n periodos. 0 Ejemplo (a): Si un banco presta hoy MM$ 1, P al 3% mensual, pagadero en un 1 año, ¿Cuál será la cuota fija cobrada? P = 1 n = 12 i = 0,03 A = ? 0,03(1 + 0,03)12 A = 1 = 0,100462 12 (1 + 0,03) − 1 UTFSM 2011 AA 1 AAA n 2 “Recuperación de Capital” i (1 + i )n A = P n (1 + i ) − 1 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 9 Sección 2.2 Factores – Serie Uniforme [A/P], [P/A] Factores de Series Uniformes P Este caso es idéntico al anterior, solo que la cantidad dada es A y la incógnita es P. i 1 Ejemplo(b): Si Ud. ahorra MM$ 0,1, durante 6 meses, ¿A cuánto equivale el total de sus ahorros (hoy), con una tasa de 2,5% mensual? P = ? n = 6 i = 0,025 A = 0,1 (1 + 0,025) − 1 P = 0,1 = 0,550812 6 0,025(1 + 0,025) 6 UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz n 2 0 AA AAA (1 + i )n − 1 P = A n i (1 + i ) 10 5 Sección 2.3 Factores – Serie Uniforme [A/F], [F/A] Factores de Series Uniformes En este caso un flujo futuro [F] se relaciona con una serie de flujos anuales (iguales entre sí) [A], a una tasa i por n periodos. F i 0 1 2 n AA AAA Ejemplo (a): Si Ud. desea tener un ahorro de MM$ 1 al cabo de 10 meses ¿Cuánto debe ahorrar mensualmente, considerando una tasa de interés del 3% mensual? “Fondo de Amortización” i A = F n (1 + i ) − 1 F = 1 n = 10 i = 0,03 A = ? 0,03 A = 1 = 0,087230 10 (1 + 0,03) − 1 UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 11 Sección 2.3 Factores – Serie Uniforme [A/F], [F/A] Factores de Series Uniformes F Este caso es idéntico al anterior, solo que la cantidad dada es A y la incógnita es F. i 0 1 2 n Ejemplo(b): Si Ud. ahorra MM$ 0,2, durante 12 meses, ¿A cuánto equivale el total de sus ahorros (mañana, después de los 12 meses), con una tasa de 2,5% mensual? F = ? n = 12 i = 0,025 A = 0,2 (1 + 0,025)12 − 1 A = 0,2 = 2,759110 0,025 UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz AA AAA (1 + i )n − 1 F = A i 12 6 Sección 2.5 Factores – Serie Gradiente [PG/G], [AG/G] Factores de Gradiente Aritmético En este caso un flujo presente [PG] se relaciona con una serie de flujos anuales (crecientes en una cantidad fija G) [G], con una tasa i por n periodos. PG i n Ejemplo (a): Si Ud. proyecta flujos de costos crecientes en MM$ 0,1 cada mes (a partir del 2do mes), con una tasa del 3,5% mensual ¿A cuánto equivale (hoy) el total de los costos proyectados, después de 5 meses? G = 0,1 n = 5 i = 0,035 PG = ? 2 1 0 G (n-1)G PG = n G (1 + i ) − 1 n · − i i(1 + i )n (1 + i )n 0,1 (1 + 0,035)5 − 1 5 PG = · − = 0,871961 0,035 0,035(1 + 0,035)5 (1 + 0,035)5 UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 13 Sección 2.5 Factores – Serie Gradiente [PG/G], [AG/G] Factores de Gradiente Aritmético En este caso una serie anual constante [AG] se relaciona con una serie de flujos anuales (crecientes en una cantidad fija G) [G], con una tasa i por n periodos. Ejemplo (b): Si Ud. proyecta flujos de costos crecientes en MM$ 0,1 cada mes (a partir del 2do mes), con una tasa del 3,5% mensual ¿Cuál es la anualidad equivalente al total de los costos proyectados después de 5 meses? G = 0,1 n = 5 i = 0,035 AG = ? AG 0 1 i AG n 2 G (n-1)G 1 n AG = G· − n i ( i ) 1 + − 1 1 5 AG = 0,1· − = 0,193123 5 0 , 035 ( 1 + 0 , 035 ) − 1 UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 14 7 Sección 2.6 Factores – Serie Gradiente [Pg/A1] Factores de Gradiente Geométrico En este caso un flujo presente [Pg] se relaciona con un flujo inicial [A1] y con una serie de flujos anuales (crecientes en una tasa fija g) [g], con una tasa i por n periodos. n 1+ g 1− A1 · 1 + i i ≠ g Pg = i−g n A1 · i=g 1+ i UTFSM 2011 Pg 1 2 n 0 A1 A1g A1(1+g)n-1 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 15 Sección 2.6 Factores – Serie Gradiente [Pg/A1] Factores de Gradiente Geométrico Ejemplo: Si Ud. proyecta flujos de gastos crecientes en un 1% cada mes (a partir del 2do mes), con una tasa de 3,5% mensual y partiendo de un gasto inicial para el mes 1 de MM$ 0,7 ¿A cuánto equivalen (hoy) el total de los gastos proyectados, después de 12 meses? A1 = 0,7 g = 0,01 i = 0,035 n = 12 Pg=7,120 1 12 2 0 0,7 0,707 12 1 + 0,01 1− 1 + 0,035 Pg = 0,7· = 7,120008 0,035 − 0,01 UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 0,780 16 8 Sección 2.7 Factores – i desconocida [i/(P,F,n)] Tasa de interés desconocida Si consideramos un determinado valor presente [P] y un valor futuro [F] relacionados por un cierto número de períodos [n], la tasa de interés correspondiente a este caso de serie única se obtiene a través de la fórmula: P ¿i? 1 n 2 0 i=n UTFSM 2011 F −1 P F Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 17 Sección 2.7 Factores – i desconocida [i/(P,F,n)] Tasa de interés desconocida Ejemplo: Si Ud. sabe que un depósito a plazo de 1,3 millones de pesos equivaldrá dentro de 6 meses a 1,35 millones de pesos. ¿Cuál es la tasa de interés del depósito? P = 1,3 F = 1,35 n = 6 i ? MM$ 1,35 ¿i? 0 1 2 1,35 i=6 − 1 = 6 1,0384 − 1 1,3 n=6 i = 1,0063 − 1 = 0,0063 = 0,63% MM$ 1,3 UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 18 9 Sección 2.7 Factores – n desconocida [n/(P,F,i)] Número de períodos desconocido Si consideramos un determinado valor presente [P] y un valor futuro [F] relacionados por una tasa de interés [i], el número de períodos correspondiente a este caso de serie única se obtiene a través de la fórmula: F log P n= log (1 + i ) UTFSM 2011 P i 1 ¿n? 2 0 F Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 19 Sección 2.7 Factores – n desconocida [n/(P,F,i)] Número de períodos desconocido Ejemplo: Si Ud. sabe que otro depósito a plazo de 2,7 millones de pesos equivaldrá a 3 millones de pesos con una tasa de interés de 0,8% mensual. ¿Cuántos meses deben transcurrir para que se obtenga dicho resultado? P = 2,7 F = 3 i = 0,8% n = ? MM$ 3 i=0,8% 0 1 2 ¿n? 3 log 0,0457 2,7 n= = = 13,44 ≈ 13 meses log(1 + 0,008) 0,0034 MM$ 2,7 UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 20 10 Ejercicios Ejercicios BLANCK, Capítulo 2: Factores Págs. 84-90 Determinación de F, P y A Gradiente Aritmético G Gradiente Geométrico g Tasa de Interés Desconocida i Número de Periodos Desconocido n BLANCK, Capítulo 4: Tasas UTFSM 2011 Págs. 160-165 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 21 Tabla de Amortización Explicación En una anualidad, es la tabla que permite desglosar al valor de una cuota fija en los montos correspondientes a capital e intereses para cada período. Construcción Se consideran 4 columnas: Saldo Insoluto (S), Amortización de Capital (A), Pago de Intereses (I) y Cuota (C). Y tantas filas como períodos de capitalización (n) tenga el préstamo. El capital inicial solicitado está asociado a la letra P. UTFSM 2011 1 2 … n TABLA DE AMORTIZACIÓN (Cuota Fija) i% Saldo Amortización Interés Cuota S1=P A1=C-I1 I1=ixP1 C S2=S1-A1 A2=C-I2 I2=ixP2 C … … … … Sn=S(n-1)-A(n-1) An=C-In In=ixPn C Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 22 11 Tabla de Amortización Ejemplo Si se toma un crédito por MM$ 1 pagadero a 4 meses, con una tasa mensual del 1,5%, la cuota fija a pagar (obtenida con el factor de recuperación de capital [A/P]) corresponde a $ 259.448. Partiendo de este dato como base se completa la tabla que permite desglosar cada cuota fija en amortizaciones e intereses variables en cada período. UTFSM 2011 1 2 3 4 TABLA DE AMORTIZACIÓN (Cuota Fija) i= 1,5% Saldo Amortización Interés Cuota 1.000.000 244.448 15.000 259.448 755.552 248.115 11.333 259.448 507.438 251.836 7.612 259.448 255.601 255.614 3.834 259.448 1.000.012 37.779 i= 0,015 n= 4 P= 1.000.000 A/P= 0,25944781 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 23 Sección 2.4 Interpolación Lineal Definición Método de aproximación que permite obtener valores estimados, a través de un conjunto de valores previos conocidos. Asumiendo una relación lineal entre estos valores se tiene que; Valor fijado 1 (x1) Valor obtenido 1 (y1) Valor deseado (x) Valor buscado (y) Valor fijado 2 (x2) Valor obtenido 2 (y2) x − x1 y − y1 = x2 − x1 y2 − y1 UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 24 12 Sección 6.1, Schaum. + Anualidades Otro tipo de anualidades Hasta ahora todas las anualidades han sido calculadas asumiendo que el período de pago es igual al período de capitalización. Por ejemplo; si la capitalización es mensual el pago de las cuotas también ha sido mensual. Si estos períodos difieren, entonces debemos corregir el método a través de una de las siguientes formas: (1 + i ) - Aplicar la tasa de interés equivalente ip. - Calcular el pago equivalente R. p R =W m: Número de períodos de capitalización en un año. p: Número de períodos de pago en un año. UTFSM 2011 i = 1 + a m p m i (1 + i )m p − 1 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 25 Sección 6.2, Schaum. Perpetuidades [P/A∞] Factores de Series Uniformes P ¿Cuál es el valor presente de una serie uniforme de pagos, que se extiende indefinidamente en el tiempo? i 1 ∞ 2 0 Tomando el límite con el número de pagos (n) tendiendo a infinito obtenemos: AA AAA (1 + i )n − 1 (1 + i )n 1 A∞ P = Lím A∞ = Lím A − = ∞ n n n n →∞ n →∞ i ( ) ( ) ( ) i 1 + i i 1 + i i 1 + i 1 UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 0 26 13 Perpetuidades [P/A∞] Factores de Series Uniformes P Ejemplo: Si por derechos de aguas un municipio obtiene una renta anual MM$ 10, asumiendo que es una renta perpetua no reajustable y considerando una tasa de interés del 8% anual. ¿Cuál sería el precio mínimo de venta de esos derechos? i 1 AA P = ? i = 0,095 A∞ = 10 10 P= = 105.263.158 $ 0,095 UTFSM 2011 ∞ 2 0 AAA P= Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz A∞ i 27 Flujo de Caja Sapag N. Pág. 265 El Flujo de Caja es la medida elemental de los ingresos y egresos relacionados a un proyecto en un instante de tiempo. Contiene cuantitativamente la información reunida en el estudio de mercado, estudio técnico y otros estudios complementarios. Sus componentes son básicamente tres: Egresos Iniciales Ingresos y Egresos Gastos no desembolsables Otros Beneficios y Egresos Ej.: Inversión Inicial, Capital de Trabajo Ej.: Ventas, Costos directos. Ej.: Depreciación. Ej.: Valor Residual. Su estructura depende, comúnmente, de si el proyecto es o no financiando (total o parcialmente) con deuda. UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 28 14 Flujo de Caja – Estructura Sapag N. Pág. 268 Flujo con Deuda + = = + + + - Flujo sin Deuda Ingresos afectos a impuestos Egresos afectos a impuestos Intereses del préstamo Gastos no desembolsables Utilidad antes de impuesto Impuesto Utilidad despues de impuesto Ajustes por gastos no desembolsables Egresos no afectos a impuestos Beneficios no afectos a impuestos Préstamo Amortización de la deuda Flujo de caja UTFSM 2011 + Ingresos afectos a impuestos - Egresos afectos a impuestos = = + + Gastos no desembolsables Utilidad antes de impuesto Impuesto Utilidad despues de impuesto Ajustes por gastos no desembolsables Egresos no afectos a impuestos Beneficios no afectos a impuestos Flujo de caja Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 29 Laboratorio Taller Fórmulas Para utilizar la fórmulas de excel: 1º En la barra de Herramientas, seleccionar Insertar/Función 2º En la categoría de Función:, seleccionar Financiera 3º Elegir la función a utilizar, las más comunes son: VA VF PAGO : Valor Actual : Valor Futuro : Anualidad o Cuota NPER TASA : Nº de Periodos : Tasa de Interés Recomendaciones: Los flujos negativos deben registrarse con dicho signo en la celda correspondiente. En el campo tipo seleccionar 0 (pagos realizados al final de cada periodo) UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 30 15 Taller Fórmulas RESUMEN DE FUNCIONES FINANCIERAS DE EXCEL Fórmula Símbolo Operación VA VF VP VF PAGO A TASA i NPER n Datos Necesarios VP VF A i n Entrega el valor presente de una serie Entrega el valor futuro de una serie Entrega la Anualidad o Cuota equivalente a una serie Calcula la tasa correspondiente a una serie Calcula el número de periodos correspondiente a una serie Dat o Obligatorio Dat o Opcional según c/ caso UTFSM 2011 Prof. Ing.: Carlos Hernández Díaz 31 16